Устойчивость работы бесколлекторного ЭМУ постоянного тока в нагрузочном режиме Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО 'КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 190

1968

УСТОЙЧИВОСТЬ РАБОТЫ БЕСКОЛЛЕКТОРНОГО ЭМУ ПОСТОЯННОГО ТОКА В НАГРУЗОЧНОМ РЕЖИМЕ

Э. Н. ПОДБОРСКИИ, А. И. СКОРОСПЕШКИН, Е. К. ДЕРГОБУЗОВА

(Рекомендована научным семинаром кафедр электрических машин и общей электротехники)

Анализ устойчивости построением областей устойчивости имеет большое практическое значение, так как позволяет определить, какие значения должны иметь параметры, регулируемые при настройке, чтобы усилитель работал устойчиво. Поэтому в настоящей статье составлены и решены системы дифференциальных уравнений, описывающих работу усилителя при активной, активно-индуктивной и двигательной нагрузках. Коэффициенты характеристических уравнений рассчитаны для модели 'бесколлекторного ЭМУ 'постоянного тока, изготовленного по схеме, приведенной в [1]. Области устойчивости рассчитаны по критерию Гурвица в плоскости двух параметров, меняющихся при настройке степени компенсации 62 и угла сдвига коммутационной оси с геометрической нейтрали Рг-

При работе на активно-индуктивную нагрузку динамические'свой-ства усилителя описываются следующей системой уравнений:

ф, = М\Уу1у - \Vpi-_)), (1)

ф2 - Ы^Ь - -^Ра), <2>

г 7Г

иу = гу1у + с^рФь (3)

е 2= С,Ф, = г212 + ор^р3рФз и, (4)

^крФ2 + 1Ык - гш13 = О, (5)

е3 - С3Ф2 - г313 + гк1к + гн13+рЬн1в + °кАУкрФа + ¡з„ (6)

- 6зWзpФ2,

где

Ь — ток нагрузки,

гн — сопротивление нагрузки,

—индуктивность цепи нагрузки. Остальные обозначения даны в [1].

Решая систему (1—6) относительно тока ¡3, получим зависимость выходного тока от сигнала управления

[(1 + рТу)(1 + рт2 + К"р) + Кр(1 + рТу) - ТуКрр] {^1 + рТн +

К3Р2 , К3р2

TZ

к2г2

• I R3

где

+

1 +

o3W3p(l - е2)

T2W3?2 ,

р

a3W3p(l — £,) С,

R

K2KU

R:

гкгш

1 +

33W3p(l — s2)

С,

(7)

R

Тн = — постоянная времени цепи нагрузки,

а 3

К-

C2A3W. R:i

где

Уравнению (7) соответствует характеристическое уравнение а0р3 + а, р2 + а2р + а3 — О,

ао = ТуТ2Тн;

(8)

TyT2K3ß2

TU

+

т,

Т, + Тук"р

3i= ТуТ2

(Ту + Т2 + TyKp)K3ß2a3W3(l - е2) _ Т2К3?2^3(1 - е2)

Тн +

1ГС-)

:с.>

а2 - (Ту + Т2 + Тук/)( 1 + 2Kf ) ( 1 + k"p + kP )l тн , k3p2a3W3(l — s2) ] T2k3ß2

-C.

a3 = (1

kP)

Поскольку БЭМУ постоянного тока описывается системой уравнений, имеющей характеристическое уравнение не выше четвертого порядка, поэтому для построения областей устойчивости воспользуемся критерием Гурвида.

Чтобы исследовать влияние степени компенсации и сдвига коммутационной оси с геометрической нейтрали, необходимо построить области устойчивости в плоскости двух параметров е2 и р2.

Для этого коэффициенты характеристического уравнения а0, аь а2, а3 представим в виде:

а0 = а0' + х2а0", а2 = а2' + х2 а 2",

а! = а/ + х2оЛ а3 - а/ + х2а3", (9)

где х2 =

относительным сдвиг коммутационной оси,

г % П

а0 ~ ТуТ2Тн, а0 = О, а! = ТуТ2 + (Ту + Т2 + Тукр")Тн,

„ _ ТуТ2к3 , (Ту + Т2 + TyK"p)K3a3W3(l - е2)

—.—---U -----

2 2с2

T2K3a3W3(l — s2)

а"2 '= (Tv + Т

2с,

а'2 = Ту + Т2 + ТуК"р + (1 + кр + к"р)Т„,

Т „" W , 0 + КР + K"p)K3«aW8(l - е2) 1 VK dJk3 ~Т~-—-

У14 Р

Т2К3

2с

2

а'3 = 1 + кр + к"р,

.// /1 I w I

а"8 = (1 + кр + к"р)к3.

Для системы, имеющей характеристическое уравнение третьего порядка' с положительными коэффициентами, граница устойчивости определяется условием

Ъ^з — а0а3 = 0. (10)

Величина сдвига коммутационной оси,- соответствующая устойчивости, определялась из выражения (10), а также из условия равенства нулю каждого коэффициента характеристического уравнения. Расчеты показали, что минимальное значение х2, при котором усилитель попадает на границу устойчивости, определяется из равенства -нулю свободного члена уравнения (8) и равно

При этом характеристическое уравнение будет иметь три корня:

Pi — 0» Р2,3 =

at ±Va12 — 4aQa2 2ап

Корни р2] з комплексные с отрицательной вещественной частью.. При сдвиге коммутационной оси с границы устойчивости по направлению вращения корень pi становится отрицательным и переходный процесс будет протекать монотонно с затухающими колебаниями.

При сдвиге коммутационной оси против направления вращения за границу устойчивости коэффициент а3 становится отрицательным. При этом хотя бы один корень будет положительным, и в усилителе наступает процесс самовозбуждения.

В случае активной нагрузки характеристическое уравнение (8) принимает вид

а,р2 + а2р + а3 - 0. (11)

При положительных коэффициентах аь а2 и а3 усилитель будет работать в области устойчивости, корни уравнения (11) будут или вещественные отрицательные при

а22 > 4а1а3,

или комплексные с отрицательной вещественной частью при

а22 < 4а!а3.

Границей периодического и апериодического затухающих процессов является условие

а22 4ага3.

При аз=0 усилитель попадает на границу устойчивости, при этом коммутационная ось смещается против направления 'вращения якоря на величину

х2 = - ^ . (12)

« з

Если коммутационная ось сместится против направления вращения на величину, большую, чем полученную из равенства (12), в усилителе наступает процесс самовозбуждения.

Таким образом, при активной и активно-индуктивной нагрузке усилитель будет работать устойчиво, если угол ■сдвига коммутационной оси против направления вращения будет менее величины, определяемой равенством (12).

Рассмотрим области устойчивости при работе усилителя на двигатель постоянного тока независимого возбуждения. Уравнения системы бесколлекторный ЭМУ-двигатель можно получить, объединив уравнения усилителя и двигателя. Для этого к ура внениям (1—5) необходимо добавить следующие:

е3 — с2Ф2 = гаи + гк1к + рЬа13 + ок\УкрФа -

7Г

(13)

]• Ма - Мс, (14)

Ма = К^з, (15)

где

е а=кеП — э. д. с. двигателя,

п — скорость вращения вала двигателя,

Л — момент инерции якоря двигателя,

Ма—движущий момент двигателя,

Мс — момент сопротивления,

га — сопротивление якоря двигателя,

Ьа —индуктивность цепи якорей БЭМУ и двигателя,

к|, ке — постоянные.

Эта система уравнений составлена -при следующих допущениях:

1) магнитная система БЭМУ не насыщена,

2) влияние гистерезиса и вихревых токов не учитывается,

3) ¡поток двигателя постоянный.

Решая эту систему относительно скорости и тока, получим

[(Ь - с) Гир + 1]п = Цу- МсКак(Ь~^- , (16)

ке К1Ке

^ -ь^г - йпгЬТ, ' (17)

электромеханическая постоянная времени двигателя,

где

-г _ RaJ

Та «= —электромагнитная постоянная времени цепи якорей,

Ка

Иа = гз + га

Ик

озигзр(1 — е2)

ь = [(1+ рТт)(1+рТ2+ к"р) + Кр(1+рТу) —ТуКррШ 1 +рТа + ^

+

1 +

^Зр(1 — е2)

С2

С= ™(1 + рТу)р(^

1 +

а3^3р( 1 — в2)

(19)

(20)

Характеристическое уравнение для данного случая будет иметь

вид:

где

А0р4 + А,р3 + А2р2 + А3р + А4 = О,

(21)

А0 — ТуТ2ТаТт , А1 = ТуТ2Тт + (Ту + т2 + Тук"р)ТаТт +

2со ■ 2С2

(Ту + ,Т2 + Тук"р) Tmkзoзwз(l — е2) Т2Ттк3а3\У3(1 - е2)

-±------ — х2 -

ТуТ2Ттк3

х2,

Ао = Тт(Ту + Т2 + Тук"р) + (1 + Кр + к"р)ТаТт + ХТ

ш

(Т,

+ т2 + Тук"р)к3 +(1 + к,,р + кр)к»а^»(г - а. -

2с,

Аз = Тш(1 + кр + к"р) + х2Тга(1 + кр + к"р)к3, А4 - 1.

Обычно электромагнитной постоянной времени якорных цепей можно пренебречь. Поэтому при Та = 0 получим А0=0,

А 1 = ТуТ2Тт, .„ ТуТ2Тшк3 (Ту + Т2 + Тук"р)Ттк3с3\У3(1 - е2) _ 1 2 2с2

_ Т2Ттк3а3АУ3(1 — е2) 2с2

А'2 = Тт(Ту + т2 + Тук"р),

А"2 = Тт[(Ту + Т2 + Тук"р)к3 + (1 + Кр + - е2) _

^ } к 2с-

_ Т'2^3 2 '

А'3 = Тт(1 + кр + к"р), А"3 = Тш(1 + к0 + к"0)к

1.

Здесь

А0 = А'0 + Х2А"0, . А^ = А 1 Х2А 1,

А2 = А'2 + Х2А"2, Аз = А'3 Х2А"3.

Для построения областей устойчивости воспользуемся критерием Гурвица для системы четвертого (порядка, который записывается в виде

Аз^Аз - А0А3) - АгА4 - 0. (22)

Задаваясь степенью компенсации 82, из условия (22) находим значения сдвига ..'коммутационной оси, соответствующие границе устойчивости. На рис. 1 представлены области устойчивой и неустойчивой работы усилителя на двигатель МИ-11Ф.

£

Рис. 1

Из рассмотрения области устойчивости следует, что при сдвиге коммутационной оси по направлению вращения усилит ель работает устойчиво, при-этом корни характеристического уравнения могут быть либо все вещественные отрицательные, либо один корень вещественный отрицательный, а два — комплексные с отрицательной вещественной частью. В нервом случае будет иметь место апериодический переходный процесс, во втором переходный процесс протекает монотонно, но на кривую переходного процесса налагаются затухающие колебания.

Следует отметить, что граница области устойчивости построена из условия независимости угла сдвига коммутационной оси от степени компенсации. На самом деле при одинаковой нагрузке угол сдвига коммутационной оси положительный и тем более, чем меньше недо-компенсация, при перекомпенсации — сдвиг отрицательный. Поэтому при степени компенсации 82^ 1 усилитель будет работать устойчиво при любой нагрузке, так как при этом х2>0. Неустойчивый режим возможен только при перекомленсации.

Таким образом, проведенное аналитическое исследование показало, что бесколлекторный Э;МУ постоянного тока при работе в нагрузочном режиме будет устойчив при 82 1 независимо от вида нагрузки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Э. Н. Подборский, А. И. Скоро с пешки н. Вопросы теории бес-коллекторного ЭМУ постоянного тока в режиме холостого хода. Известия ТГТП, т. 190, 1968.

2. Д. В. ^Васильев, В. Г. Чуич. Системы автоматического управления. Изд-во «Высшая школа», М., 1967.