CC BY
25
ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 531.383
В.В. Алёшкин УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНОГО АЛГОРИТМА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ПО ИНФОРМАЦИИ БЛОКА ГИРОСКОПОВ
Развивается асимптотический подход к решению задачи определения компонентов вектора абсолютной угловой скорости движения объекта по информации блока трех двухстепенных гироскопов. Показывается, что с помощью выбора ориентации гироскопов в блоке может быть обеспечена асимптотическая устойчивость нелинейного нестационарного идентификатора третьего порядка.
Блок гироскопов, угловая скорость, асимптотическое оценивание, устойчивость
V.V. Aleshkin NONLINEAR ALGORITHM STABILITY FOR ASYMPTOTIC ESTIMATION OF ANGULAR VELOCITY VECTOR USING INFORMATION FROM THREE GYROSCOPIC BLOCKS
An asymptotic approach is developed to determine the vector components of the absolute angular velocity of an object according to information from three two-level block gyroscopes. It is shown that choosing the gyroscope orientation in the block can help providing asymptotic stability in a nonlinear non-stationary identifier of the third order.
Gyroscope block; the angular velocity; the asymptotic estimation; stability
Введение
В [1, 2] показано, что в качестве алгоритма оценивания (идентификации) параметров движения объекта могут применяться уравнения обратной задачи для блока трех двухстепенных гироскопов. При этом точность оценивания зависит от собственных динамических свойств идентификатора. По уравнениям первого приближения решена задача определения конфигурации блока гироскопов, обеспечивающая заданные свойства идентификатора. В настоящей работе приводится строгое доказательство асимптотической устойчивости полных нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений идентификатора третьего порядка.
Постановка задачи
Блок измерителей состоит из трех гироскопических измерителей угловой скорости (ГИУС), ориентация каждого из которых в блоке задается тремя последовательными поворотами л * ® ® 0* а — 12 3)
3 2 1 ^ '. Пусть правый ортогональный трехгранник U (Ui ,U2,U3) связан с корпу-
сом блока, трехгранники U (U[,U2,U3), V1 (VpV^Vs ) связаны, соответственно, с корпусом и рамкой i-го ГИУС, причем ось V3! является осью кинетического момента, а ось V{ - выходной осью
ГИУС. Угол (b характеризует относительное движение рамки i-го ГИУС. Взаимная ориентация трехгранников определяется выражениями:
(U1,U2,U3)—N(U1U2U3); (V/VV) — K(U1,U2,U3) (i—1,2,3)
N (4 (в))), К (к, (в,));(,, и = 1,2,3)
где 1 ] - матрицы направляющих косинусов.
Уравнения движения главных осей ГИУС можно представить в виде [2]:
4Р, + СР, + =~Нг I / -4 ]Г -Д. (Х / XI /);
/=1 /=1 /=1 /=1 (!)
И (д) и (V)
I«до,=^к в,
д=0 г=0
D! = К, • 4 = Л + Е,; В, = ¥г-Д-I, (, = 1,2,3). (2)
Здесь: Н, - кинетический момент ротора ,-го ГИУС; I, - экваториальный момент инерции рото-
V' V' V'
ра ,-го ГИУС; Е,, Г,, Д, - моменты инерции рамки ,-го ГИУС относительно осей 1,2,3 соответ-
, а' , К
ственно; 0, - момент обратной связи; с, - коэффициент демпфирования; к, д у - коэффициенты регуляторов электромеханических обратных связей ГИУС; (/=1, 2, 3) - проекции вектора абсолют-
ной угловой скорости объекта на оси V/ (/=1, 2, 3).
Измеряемыми являются углы Р, (,=1, 2, 3) относительных движений главных осей ГИУС и величины 0,, определяемые путем измерения токов в обмотках датчиков моментов ГИУС. Производные Р;,Р; (1=1,2,3) также могут быть измерены или вычислены. Поэтому, считая Р;,Р¡,Р ¡,0 известными, обозначая неизвестные проекции угловой скорости ЮJ через V/ и обращая переменные в уравнениях (1), получим уравнения обратной задачи для блока трех ГИУС:
3 3 3 3
АI / + Иг I / + в, (I /)(I /) = -4р, - сД. - о, (, = 1,2,3)
■=1 ■=1 ■=1 ■=1 (3)
Система нелинейных нестационарных уравнений (3) является алгоритмом вычисления компонентов вектора абсолютной угловой скорости объекта по сигналам блока трех ГИУС. При таком подходе может быть обеспечена алгоритмическая компенсация погрешностей ГИУС, вызванных угловыми движениями объекта и учтенных в уравнениях (1, 2) [1, 2].
Для эффективной работы вычислителя необходимо, чтобы единственные решения системы (3) были асимптотически устойчивыми по Ляпунову. Задача построения такой системы сводится к определению параметров Н,, А,, В, и углов 0|, 02,03 ориентации ГИУС в блоке. Рассмотрим условия устойчивости.
Уравнения возмущенного движения
V* (Г) = ® () (/ = 1,2,3) Принимая за невозмущенное движение частное решение ■> ■> системы
^ V* (О = V* ^о) „
(3), соответствующее некоторым начальным условиям и обозначая возмущения че-
X/(О = V/ (О-V* (Г) V/ (0 ...
рез ■> ■> ■> , где ■> - другие частные решения системы (3), соответствующие
^ I ^ I
V/ооЦ) = V* (^) й
начальным условиям , получим систему уравнений возмущенного движения
3 3 3 3
а, I й[}х/ + Нг I й+ В, (I й)(I /)+ (4)
/ =1 / =1 / =1 / =1
+ В,
3 3 3 3
(I й2/Х/) х (I й\]У] ) + (I й2]У] )(I й3]Х]) . / =1 / =1 / =1 /=1
= 0 (, = 1,2,3).
Уравнения (4) являются дифференциальными уравнениями возмущённого движения. Каждому решению (/=1,2,3) системы (3) соответствует частное решение уравнений (4), невозмущенно-
му движению У]*(Ь) соответствует тривиальное решение X] = 0 (/=1,2,3).
Для стационарной системы, соответствующей случаю идеальной работы обратных связей (в=0), уравнения возмущенного движения имеют вид
А1n^ij + Н‘ 2}_гп^.ж, + В‘(
71 Т-
+Bl
Zj=in2 jXi,
(5)
*M//) + (2,3=i«by/)(^=in3^)] = ° (/-1,2,3).
Уравнения первого приближения возмущенного движения, соответствующие системе (5), следующие:
Л1 Zj-^ri^jXj + Н12;=1 KjXj = о (i = 1,2,3) (6)
Исследование устойчивости решений системы уравнений (4), являющейся нелинейной нестационарной системой, а также системы (5) в общем случае вызывает большие затруднения. Однако, специфика использования системы уравнений как алгоритма компенсации погрешностей ГИУС позволяет решить вопросы устойчивости их решений.
Устойчивость положения равновесия и неустановившихся движений
Рассмотрим следующую ситуацию. Допустим, что в некоторый момент времени сигналы, поступающие в вычислитель с блока трех ГИУС, «обнулились»:
ц* = п, = [V = fie = о о = 1 ,зд (7)
Это возможно в случаях, когда объект не совершает вращательного движения а/ (/=1,2,3), ко-
гда блок ГИУС намеренно отключают от вычислителя (если есть какой-либо другой, резервный, блок ориентации), наконец, возможен обрыв цепи «блок ГИУС - вычислитель». Во всех этих случаях сигналы об а/ (/=1,2,3), вырабатываемые вычислителем на основе интегрирования системы трех дифференциальных уравнений обратной задачи (3), должны либо обращаться в «0» сразу же, либо приходить к нулю в течение определенного промежутка времени. Последнее будет происходить в случае, когда положение равновесия системы (3):
^ = Qi = 0; V/ = 0 (г, j = 1,2,3) (8)
(то есть тривиальное решение Xj = 0 соответствующих уравнений возмущенного движения (4)) бу-
дет асимптотически устойчивым. При неустойчивости или неасимптотической устойчивости положения (4) системы (5) возмущения типа «начальных условий», имеющие здесь место, приведут, соответственно, к нарастанию сигналов по V/ (t) (/=1,2,3), либо к установившимся колебаниям этих величин на выходе вычислителя, что не отражает действительного движения объекта.
Таким образом, исследование устойчивости невозмущенных движений (/=1,2,3) системы
(3) сводится к исследованию устойчивости тривиальных решений Xj = 0 (/—1,2,3) системы (4).
Далее в силу (8) и равенства linipi^g, Dl = N1 решения уравнений (3) будут совпадать с решениями стационарной системы. Следовательно, вместо системы (4) необходимо исследовать устойчивость решений Xj = 0 стационарной системы (5). Причем в дальнейшем будет показано, что здесь
имеет место «некритический» случай [3, 4] когда вопрос об устойчивости решений Xj = 0 системы
(5) может быть решен по уравнениям первого приближения (6).
Запишем характеристическое уравнение системы уравнений пер
+ к nzi -+ *1 п1 ,L22 - ML
1 -Ь h2 2 nil Лп12 -+ п22 - h2n\2
Лп1г + ^3 3 nil лп12 + ^3 п22 Яп|3 - ^зп1з
рвого приближения (6):
О,
(9)
где Н/= И/ /А/ (/=1,2,3).
После преобразований оно приводится к виду
а0Я3 + М2 + а1Я + Ог3 = 0)
Для того, чтобы все корни характеристического уравнения системы третьего порядка имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:
Л - 0: Л- := Л;,;:1 г; = С,!,: (II)
Неравенства (11) являются условиями асимптотической устойчивости положения равновесия системы (3).
Следуя [4], назовем движение (8) системы (3) установившимся. Покажем, что условия (11) являются достаточными условиями асимптотической устойчивости любого невозмущенного (неустано-вившегося) движения V? (с). Для этого запишем уравнения возмущенного движения (4) в матричной
форме:
Здесь О!
в
АВ! - X - - X — - Е (52 - Э3) = С. (12)
11,|| (7,7—1,2,3) - матрица 3x3, составленная из первых строк матриц Б!, 2/||, °з — 1Из>|| 0-./= 1.2.3) - матрицы 3x3, составленные из вторых и третьих строк соответственно; X - матрица Зх 1 возмущений хьх2,х3; 51 = Ц5,1 (х)||, = Ц5? (рс, 1^)11, 53 = ||5,3 (х, 7')|| -
матрицы 3x1 с элементами:
а? = У 1^1; = УМ; = \кч,
где
У; = 1^1 + (¿22 *^23^3 * = ^31^1 “I- ^32^2 *^33^31
V, =^,^ + ^^ + ^3^; Л = а*11ъ + <%2Ъ + а*2а1%;
А=А/, Б=Б/, И=И/ (/=1,2,3) - параметры ГТ, которые для упрощения записи уравнения (12) приняты одинаковыми.
Допустим, что гироскопы на объекте расположены так, что условия существования и единственности решений уравнения (12) выполняются, то есть матрица Бх - неособенная. Запишем (12) в форме Коши
1
2*Х + В$1 + В(32 + Б3)]
(13)
Преобразуем матричное уравнение (13). При этом учтем, что углы рг- (/=1,2,3) относительных движений главных осей ГИУС малы, и в первом приближении можно принять С08р/ ~ 1, 8трг- ~ р/. Тогда в силу (2) получим
“ К} ' 4; = 71г; + 34/ ' 41 = - 3% (.4 = X 2,3).
Обозначим матрицы элементов п*., ¡, 71^ соответственно N1, N2, N3, а матрицы элементов
N3-
(14)
¡о >
ПІ1 п\2 пІз 3^ з1^ З1^
4 = 77.fi Ті' і2 77 * ¿3 ' "ї = $гп) х 3^ з2^
ТІ^і П?2 ,1ІЗ звл* 3^2 3^,
Выражения для у/, у/, цг- примут вид
Ус = У10 + Р^о; ^ V, = via - ; ц* = 4-
причем
УсО = ^ 2 1 ^1 ^ 2 2 ^2 ^ 2 3 *3 > ^¿О = ^3 1^1“^ ЭТ3 2 ^2 ^3.3 ^3 >
"^¿0 + п32^2* "•_7гЗЗ.ИГ> И10 — п21^1 ~1~ п22^2 п2 3^* ■
Перепишем уравнение (13) в этих обозначениях
X 1 (1° + Ь1)
(15)
Ь° = Г*ї1[ Ь1 = N^1
X X + £?(5д + + Бо)];
ХХ + Б(^ + 5| + 5|)],
Матрицы 5^ (/=1,2,3) имеют структуру матриц в1, однако их элементы зависят только от ую, г,0, vjo, (1,0. Элементы матриц (/=1,2,3) определяются выражениями:
= у (А - Уш)
?1 = Р'
VI = РЧЗДо-УіоМіо)-
Заметим, что если положить Т,‘
гіОг'іО
(16)
¿оО — 1|2І3).
(■ (/=1,2,3), то уравнение (15) является матричной записью
нормальной формы автономной системы (5).
Допустим, что условия (11) выполняются и невозмущенное движение системы (5) асимптотически устойчиво. Тогда, согласно [3], существует определенно положительная квадратичная форма -і" ' (.V ), полная производная которой, составленная в силу уравнений (5), определенно отрицательна.
іі-їґ °Сї}
сі£
гз гі-гяСс) ( і ,(Л Аг=1 ІХі \ а П
Полная производная этой функции 4У 0
в силу уравнения (15) будет иметь вид
+ w'
(18)
В (17), (18) i^, lj~ (j— 1, 2, 3) - элементы матриц-столбцов Ь"и L1 соответственно.
Форма VI': (аг) представляет собой сумму двух форм, из которых первая -м>(х), согласно (17), определенно отрицательна. Форма IV' (V) в силу (14), (16), имеет коэффициенты, по крайней мере, в 1 |3 раз меньше, чем коэффициенты формы \м(х). Следовательно, форма (:?;} также знакоопределенная отрицательная [3]. Тогда для дифференциальных уравнений возмущенного движения (4) имеем определенно положительную форму -¿г0 (д'}. полная производная которой определенно отрицательна, что доказывает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения V? = V* (Г} системы (3) при малых Рг- (/=1,2,3).
Таким образом, неравенства (11) являются необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости решений задачи определения угловой скорости объекта по алгоритму (3). Они могут быть выполнены за счет выбора параметров и ориентации гироскопов в блоке, а при использовании одинаковых гироскопов - только ориентации [2]. Невыполнимость условий (11) означает, что вопрос об устойчивости данной системы нужно решать с учетом нелинейных членов уравнений (3).
1. Плотников П.К. К вопросу построения алгоритмов оценивания параметров движения по сигналам датчиков первичной информации / П.К. Плотников // Изв. РАН. МТТ. 1990. №1. С. 12-22.
2. Алёшкин В.В. Определение конфигурации блока датчиков при асимптотическом оценивании параметров движения / В.В. Алёшкин, П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. №2. С. 60-65.
3. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. М.: Наука, 1966. 530 с.
4. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р. Меркин. М.: Наука, 1971.
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
342 с.
Алешкин Валерий Викторович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Valeriy V. Aleshkin -
Ph. D., Assotiate Professor Department of Instrument Engineering,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 10.02.14, принята к опубликованию 15.03.14
