CC BY
50
ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 531.383
В.В. Алёшкин
ВЛИЯНИЕ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДАТЧИКОВ НА ТОЧНОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
Развивается асимптотический подход к решению задачи определения компонентов вектора абсолютной угловой скорости движения объекта по информации блока трех двухстепенных гироскопов. Излагается способ приближенного учета упругой податливости главных опор в алгоритме асимптотического оценивания, не требующий измерения углов деформации опор.
Блок гироскопов, угловая скорость, асимптотическое оценивание, податливость опор, математическое моделирование
V.V. Aleshkin
SELECTING A MATHEMATICAL MODEL FOR SENSORS AND ITS INFLUENCE ON ASYMPTOTIC ESTIMATION OF THE ANGULAR VELOCITY VECTOR
An asymptotic approach is developed to solve the problem of determining the vector components with the absolute angular velocity of an object according to the information from three two-level gyroscopes. An approximate technique is described to account the elastic compliance of the main pillars in the asymptotic estimation algorithm which does not reguire measurements referring the deformation angles of the supports.
Gyroscope block; the angular velocity; the asymptotic estimation; pliancy piers; mathematical design
Введение
В [1, 2] показано, что в качестве алгоритма оценивания (идентификации) параметров движения объекта могут применяться уравнения обратной задачи для блока трех двухстепенных гироскопов. При этом точность оценивания зависит в значительной степени определяется следующими факторами: точностью исходной математической модели блоков датчиков; точностью съема информации датчиков; собственными динамическими свойствами уравнений обратных задач и методов их решения; точностью и быстродействием вычислительного устройства. В настоящей работе рассматривается влияние выбора математической модели блоков датчиков на степень компенсации их методических и динамических погрешностей при учете упругой податливости элементов конструкции датчиков.
Постановка задачи
В работах [1, 2] в качестве исходной модели для построения алгоритмов компенсации погрешностей блока трех гироскопических измерителей угловой скорости (ГИУС) были приняты полные динамические уравнения движения главных осей двухстепенных гироскопов, используемые, например, в [3] и других работах. В этих уравнениях учтены погрешности перекрестных связей, не-линейностей масштабных коэффициентов, погрешности от действия угловых ускорений объекта вокруг выходных осей ГИУС, динамические погрешности, то есть, погрешности, в различной степени присущие всем гироскопическим датчикам угловой скорости.
Уравнения составлены в предположении абсолютной жесткости элементов конструкции датчиков. При решении общих вопросов построения алгоритмов, исследовании влияния взаимной ориентации и параметров датчиков на собственные динамические свойства уравнений обратной задачи такой подход правомерен.
При формировании алгоритмов компенсации путем обращения переменных в уравнениях движения учет упругой податливости элементов гироскопический измеритель угловой скорости привел бы к необходимости измерения дополнительных углов относительных поворотов элементов ГИУС, вызванных нежесткостью, и их производных. В конечном итоге такой алгоритм был бы нереализуем из-за невозможности измерения достаточного количества определяющих координат. В тоже время известно, что нежесткость подвесов роторов и рамок гироскопов приводит к снижению частот собственных колебаний и появлению дополнительных резонансных частот [4], то есть изменяются динамические характеристики датчиков. Это особенно важно учитывать в ГИУС с большой жесткостью «электрических пружин», сопоставимой с жесткостью элементов конструкции. Поэтому представляет интерес оценка погрешностей компенсации, вызванных упругой податливостью элементов конструкции гироскопов и рассмотрение возможных путей снижения этих погрешностей.
Математическая модель и результаты моделирования работы блока ГИУС
с учетом упругой податливости
При построении новой модели ГИУС учтем, что упругая податливость опор ротора гироскопа в радиальном направлении и деформации в этих опорах значительно больше, чем в остальных элементах, при примерно одинаковых моментах реакции [4] .
Введем по два дополнительных угла относительных поворотов роторов гироскопов - ц1^1. Схемы поворотов рамок ГИУС относительно корпусов и роторов относительно рамок изображены на рис. 1, 2.
Трехгранники г^, V*1 связаны соответственно, с кожухом и ротором 1-го гироскопа. Их взаимная ориентация определяется матрицей 8.
V;1 = в * V,*
в1 =
cos ц;
зтг1 sin ц;
cos V
созг'зтц1 — sinvl
—sin ц cos ц; sin V1 cos ц; cos V1
Рис. 1. Схема поворота рамки
Рис. 2. Схема поворотов ротора
Уравнения движения рамок в осях V; и роторов ГИУС в осях V;1 (¿,7=1,2,3) запишем в виде
!1
(2)
/'Ц — + = М11;
— + = М^1;
М11 = —п^' — 7^'; М^1 = —(п$ц1 + V*;
М1 = М!1^ ц'; [^11,^21,^31] =
[р1,&1,г1] = К;[^1(,
[^1 ,^2,^3]=51[р1 + в1,+ [V1, цlcos V1, — ц1 sin V1].
(1) (2)
(3)
(4)
В (1-3) введены дополнительно следующие обозначения: 7{ ,7$ - угловая жесткость опор ротора /-го ГИУС; -П^,П2 - коэффициенты демпфирования.
Оценим изменения динамических свойств ГИУС с заданными параметрами, вызванные нежесткостью. Характеристическое уравнение уравнений первого приближения возмущенного движения системы (1-5) имеет вид
а0Л6 + а1А5 + —+ а6 = 0. (6)
Его коэффициенты %(7 = 0,1, ...,6) определяются выражениями2:
)о = 1; а1 = ~а44 — абб — )$$;
$
а2 = а21 + )22)24 + а66а44 — а65 + )46—)43 + а44а22 + а66а22;
а3 = — а44а21 — а66а21 + а21а24 + а43а44—а44а66а44 + 22 +а44а46 + а44а65 + а43а66 — а44а66а22 + а65а22 — а46а44+а43а44;
а4 = а21а44а66 — а65а21 + а4-6а21 — а43а21 + а21а23—а21а24а66 —
а43а66а44 — а22 а24а65 + а46а43 + а43а65 — а44а65а22 — а43а66а22;
а5 = а44а65а21 — а43а66а21 — а66а23а21 — а24а65а21 —
а43а65а44 — а43а65а22;
а6 = а43а65а21 — а43а65а41, В0 п к
а21 = — а22 = — Т; а23 = — а24 = — а43 = ^ ,,
пм пм Н к2 п2 ,_ч
а44 £ У; а46 = — у; а65 у; а66 = — у. (7)
тт / / п п 1 п7 сн*1м 3 сн*см*с
При 71 = 72 = 0,2 * 10 рад ; п1 = п2 = 1 * 10 рад корни характеристического уравнения (6) равны:
^ = —20699,7 ±;4837,065; ^3,4 = —7863,93 ±;1743,086;
= —64,17 ±;69,244.
Сравнивая их с корнями характеристического уравнения жесткого ГИУС =
—72 ± у'69,4,
видим, что основная частота собственных демпфированных колебаний реального ГИУС на 0,024 Гц ниже частоты математической модели, принятой при построении алгоритмов компенсации методических и динамических погрешностей ГИУС в [1]. Время переходных процессов отличается примерно на 0,004 с. Это приводит к снижению точности компенсации погрешностей блока ГИУС.
Численная оценка погрешностей была получена с помощью моделирования работы блока ГИУС (1-5) на борту объекта и работы бортового вычислительного устройства по алгоритму (3) в работе [1]. В таблице 1 приведены параметры переходных процессов в решениях уравнений () ^'(0 при единичном скачке угловой скорости
Таблица 1 Таблица 2
Параметры переходных процессов Погрешности компенсации
Параметры V! ^3
т[с] 0,31 • 10"2 0,36-10"2 0,29-10"2
0,54-10"2 0,56-10"2 0,56-10"2
5шу[%] 0,43-10"2 0,18-10"1 0,122-10"1
Параметры ^3
5шу[%] 0,25 0,573 0,24
Графики переходных процессов ^-(0 практически не отличаются от приведенных на рис.4 работы [1]. В таблице 2 приведены максимальные значения погрешностей компенсации методических и динамических погрешностей блока ГИУС при гармоническом изменении угловой скорости с частотой 1-2 Гц. Сопоставляя таблицы 1,2 и 3 [2] видим, что при постоянной угловой скорости вращения основания погрешности компенсации, обусловленные упругой податливостью опор роторов ГИУС, неучтенной в алгоритме (3) работы [1], составляют 0,184* 10_1%. При изменении угловой скорости с частотой 1-2 Гц эти погрешности возросли до 5,730* 10_1% амплитудного значения угловой скорости. В то же время погрешности ГИУС Дю при тех же движениях составляют, соответственно, 10,2% и 13,96%. По отношению к погрешностям математической модели ГИУС, принятой при формировании алгоритма (), эти погрешности увеличились на 0,47%.
2 Индекс I опущен
Коррекция алгоритма асимптотического оценивания
Рассмотрим одну из возможностей увеличения точности компенсации динамических погрешностей ГИУС без изменения конструкции и параметров блока датчиков.
Сравним уравнения собственного движения ГИУС, полученные из системы (), и уравнения собственного движения ГИУС с упруго-демпфирующей связью между ротором и поплавком (1-5). В последних, для упрощения выкладок, положим, что движение ротора гироскопа по координате v отсутствует.
Из (1 - 4)получим
(£1 + /)ß + nß + Q-5p- = 0;
/^ + n2^ + 72^ + 5ß = 0. (8)
Уравнения регулятора неизменны. Исключая из (8) переменную f получим
/g(1) 1 (#) 1 (2) — ß + —(/n + n$g)ß + —(n$n + M + 52)ß + 72 7 2 72 (1) + (1) h (2)
+nß + Q + -2Q +-"<3 =0. (9)
-2 — 2
При простейшем законе регулирования Q = b0ß уравнение (9) запишется в виде, известном из [143]
/g(1) 1 (#) 1 2 (2) (1) n2b0 (1)
— ß + — (/n + n2g) ß + — (n2n + /i0 + 72g + 52) ß + n ß + ß + b0ß = 0. 72 72 72 72 Движение поплавка ГИУС описывается теперь уравнением четвертого порядка, причем
O2 (1) наиболее важны изменения коэффициента при ß на величину — и появление членов, содержащих Q
-2
(#)
и ß . Введение указанных членов в правые части алгоритмов компенсации динамических погрешностей (3) [1] можно рассматривать как приближенный учет изменения динамики ГИУС от нежестко-стей подвесов роторов гироскопов.
Способ компенсации динамических погрешностей ГИУС от нежесткости их элементов путем
(#)
использования в алгоритмах вычисления угловой скорости информации о ß был предложен Плотниковым П.К.. Его эффективность была подтверждена экспериментально [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Алёшкин В.В. Определение конфигурации блока датчиков при асимптотическом оценивании параметров движения/ В.В. Алёшкин, П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков// Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. №2. С. 60-65.
2. Алешкин В.В. Частотные свойства алгоритма асимптотического оценивания компонентов вектора угловой скорости/ Алешкин В.В. // Вестник Саратовского государственного технического университета.- 2012. №2 (65), вып.1.- C. 105-111.
3. Пельпор Д.С., Осокин Ю.А., Рахтеенко Е.Р. Гироскопические приборы систем ориентации и стабилизации. - М.: Машиностроение, 1977. - 208с.
4. Климов Д.М.. Харламов С.А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. М.: Наука, 1978.
208с.
5. Алешкин В.В. Экспериментальная оценка точности алгоритмической компенсации погрешностей блока гиротахометров / Плотников П.К., Алешкин В.В., Филиппов В.А., Улыбин В.И. // Вопросы кораблестроения, сер. Навигация и гироскопия. 1983. № 8. С. 41-49.
Алешкин Валерий Викторович - Valeriy V. Aleshkin -
доктор технических наук, профессор Dr.Sc., Professor
кафедры «Приборостроение» Саратовского Department of Instrument Engineering
государственного технического Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
университета имени Гагарина Ю. А.
Статья поступила в редакцию 12.09.14, принята к опубликованию 25.12.14
