CC BY
33
ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 531.383
В.В. Алешкин ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА АЛГОРИТМА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ КОМПОНЕНТОВ ВЕКТОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
Изучены особенности частотных характеристик системы дифференциальных уравнений обратной задачи для блока трех гироскопических измерителей угловых скоростей, на основе которых строятся алгоритмы асимптотического оценивания компонентов вектора угловой скорости. Установлено свойство негру-бости этой многомерной динамической системы по отношению к углам поворотов чувствительных элементов гироскопов. Предложены два алгоритма, не имеющих этой особенности.
Блок гиротахометров, методические погрешности, алгоритмическая компенсация, частотные характеристики, результаты моделирования
V.V. Aleshkin FREQUENCY CHARACTERISTICS OF THE ALGORITM TO ESTIMATE ANGULAR VELOCITY COMPONENTS
The article deals with the details of frequency characteristics referring the system of differential equations of the inverse problem for the three gyroscopic meters of angular velocities which are the basis for algorithms relating asymptotic estimation of angular velocity vector components. Uncoarseness property of this many-dimensional dynamic system has been found in relation to the corners indicating sensitive elements of gyroscopes. Two algorithms deficient of these features have been proposed.
Gyroscope block, methodic errors, algorithmic compensation, bode diagrams, simulation results
Как показано в [1, 2], использование уравнений обратной задачи в качестве алгоритма определения компонентов вектора абсолютной угловой скорости объекта по сигналам тройки гиротахометров (ГТ) позволяет теоретически точно компенсировать, а с учетом инструментальных погрешностей гироскопов - существенно снизить погрешности перекрестных связей, нелинейностей масштабных коэффициентов, погрешности от действия угловых ускорений объекта и динамические погрешности ГТ. Степень компенсации этих погрешностей зависит от собственных динамических свойств системы дифференциальных уравнений обратной задачи. В настоящей работе показано, что часть связей многомерной динамической системы уравнений обратной задачи являются неминимальнофазовыми и негрубыми по отношению к углам поворотов чувствительных элементов гироскопов, что может привести к увеличению погрешностей оценивания при определенных движениях объекта. Предложены два алгоритма, не имеющих этих особенностей.
Из вида переходных процессов и результатов моделирования работы блока ГТ и алгоритма оценивания угловых скоростей, меняющихся по гармоническим законам, приведенным в [1, 2], следует, что многомерная система уравнений обратной задачи для блока трех гироскопических измерителей угловых скоростей обладает свойствами асимптотически устойчивого фильтра третьего порядка. Для более точной оценки динамических характеристик фильтра в рабочей области частот необходимо рассмотреть его частотные характеристики.
Нелинейная нестационарная система трех дифференциальных уравнений обратной задачи в матричной форме может быть записана в виде
У = -^01102У - ^ +0^ , (1)
5 = [5; (У)] - матрица 3x1 с элементами 5; =У;г;, где
у = ^21У1+^22У2+^2зУ3; =^31У1+^32У2+^33У3; (2)
V = [У1, У2, У3]т; Р = [/; ] - матрица 3x1 элементов
/; = -р - -^ О' =1, 2, 3); h = Я/Л; (3)
Ql и р;- моменты датчиков моментов и углы относительных поворотов ЧЭ ГТ, соответственно; Я, Л -кинетические моменты и моменты инерции ЧЭ ГТ вокруг их выходных осей.
Матрицы Э1, Э2, Э3 , соответствующие ориентации осей ГТ, полученной в [2], имеют вид
=
1 О
1.0.85886
О
О
СОБ^2 _ БІПр2
О
БІПр2
0,343222БІпр3 + І_+0,380208соБр3
0.406736 0.200455 СОБР1 0.913545БІпр2 0,91сохр2
—БІПр1
0
—0.913545 —0.471355
БІПр1
0.406736БІПр2
0,40сохр2
СОБр
0,913545соБр2
0,406736соБр2
—0,913545БІпр3 + 0,239103БІпр3 +
+0,367135собР3 +0,848913cosp3J
Для изучения частотных свойств нелинейной нестационарной системы (1) воспользуемся следующими особенностями этой системы. Как показано в [2], динамические характеристики, такие как устойчивость положения равновесия и качество переходных процессов, в основном определяются линейным приближением уравнений (1), поэтому построим передаточные функции и амплитуднофазочастотные характеристики (АФЧХ) для линейного приближения системы, а затем уточним их значения в характерных точках с помощью моделирования полной системы при гармонических входных сигналах соответствующих частот. Точно так же можно учесть и изменения коэффициентов системы (1) за счет зависимости элементов матриц Э2 и Э3 от углов р; относительных движений ЧЭ гироскопов.
Уравнения первого приближения для стационарной системы ф(=0) имеют вид
V = -ЬЫ11Ы2У+ЫГ1Р. (4)
Соответствующая матричная передаточная функция W ^), элементы которой ^) являются
передаточными функциями от]-х входов к г-м выходам многомерной системы, имеет вид
Ш ^) = (Ея - ) _1 И^1. (5)
В табл. 1 приведены числители передаточных функций и;;-^) при общем знаменателе, имеющем вид
53 + 5,437 * 10352 + 1,758 * 1075 + 2,79 * 1010
Таблица 1
Числители передаточных функций и^э)
^і/ 1 2 3
1 52 — 8,588 * 1045 — 1,197 * 10б —5,486 * 1045 — 2,806 * 107 1,063 * 1055 +4,766 * 105
2 91,31 * 52 + 1,878* 1045 +2,79* 107 54,86 *52 + 2,806* 1045 +3,27 * 10_8 —106,352 — 4,766* 1025 +2,329 * 10_7
3 40,66 *52 + 4,346* 1035 +1,058* 108 23,33 *52 + 4,794* 1035 +3,995* 107 —47,3452 + 3,186 * 1035 — 1,164* 108
Из вида передаточных функций следует, что свойства многомерной системы (4) существенно зависят от номеров входов и выходов. При общей устойчивости всей системы подсистемы с передаточными функциями ш12(^), ш13(я) имеют по одному нулю, в отличие от остальных, имеющих по два нуля. Подсистемы ш11(^), ш23(я), ш33(я), являются неминимально-фазовыми звеньями. Графики АФЧХ, соответствующие всем девяти передаточным функциям, приведены на рис. 1. Из вида АЧХ следует, что свойства системы (4) по первому и третьему выходам близки к свойствам фильтров нижних частот с полосой пропускания около 1500 Гц. По второму выходу система имеет свойства
полосовых фильтров. Детальные частотные характеристики, соответствующие каналам ш11(^) и м/22Сї), приведены на рис. 2, 3.
From: 1п(1)
8nrie Diagram
From: ln(2)
From ln(3J
Чд^гециепсу (гас!^^:)
Рис.1. Частотные характеристики системы при (3'= О
Их соответствие частотным характеристикам полной нелинейной нестационарной системы (1) проверялось с помощью моделирования ее при частотах изменения входных сигналов 1; 10; 102; 103; 104 рад/с. Соответствующие отклонения АЧХ канала ил^^), составили 0,1; 2; 1,8; 1,6; 4 ёЬ. при сохранении общего вида характеристики, уменьшении максимума амплитуды на 4,1 ёЬ. и сдвиге резонансной частоты на 0,32*103 рад/с.
При изменении углов относительных движений р2и р3 от 0 до +0,1 рад., максимальные значения элементов матрицы Э2 составляют
0 0,995004 0,099833'
О = -0,995004 0,091202 0,040606 .
-0,380242 0,872329 0,322658.
Bode Diagram
Рис. 2. Частотные характеристики канала и'11(э)
Bode Diagram
Рис. 3. Частотные характеристики канала и22(з)
Соответствующие передаточные функции имеют числители, приведенные в табл. 2, и знаменатель 53 + 7,153 * 10352 + 1,217 * 1075 + 2,571 * 1010.
Таблица 2
Числители передаточных функций иу(в)
Wi7- 1 2 З
S2 + 1,021 * 105S+ 6,977 * 105 5,691 * 104S + 2,723 * 107 -1,105 * 105S- 3,642 * 106
91,31 *S2- 1,01 *104S -3,557* 107 54,86 *S2 + 2,757 * 104S -4,418* 106 -106,3 *S2 - 4,726 * 103S + 1,156* 107
40,66 *S2 - 1,433* 104S +9,698* 107 22,33 *S2 - 2,067 * 103S +4,403 * 107 -47,34 *S2 + 1,061 * 104S -1,152* 108
Графики АФЧХ приведены на рис. 4. Видно, что в системе произошли качественные изменения. Из вида передаточных функций и ФЧХ следует, что по каналу и/ц^) при р=0 система является неминимально-фазовой, а при р = +0,1 рад - минимально-фазовой. Такие же изменения происходят по каналам и/12^), и21^), и22^). Количественные изменения сводятся к смещению резонансной частоты, например, для и11 и и22 на 0,82*103 и на 1,1*103 рад/с соответственно, причем сдвиг происходит в сторону низких частот.
На рис. 5, 6 приведен переходный процесс в канале и11(я) при р‘=0 и р‘=±0,1 рад соответственно.
Видим, что параметры переходного процесса изменились, например, время переходного процесса £пп увеличилось с 0,3*10_3 с. до 0,55*10_3 с. Это означает существенную зависимость динамических свойств (негрубость) системы (1) от углов относительных движений главных осей ГТ и, в конечном счете от движения объекта. При некоторых движениях объекта в рабочем диапазоне частот изменения угловой скорости возможно увеличение погрешностей асимптотического оценивания компонентов вектора угловой скорости по этому алгоритму.
Отметим, что классический анализ робастной устойчивости и качества замкнутой многомерной системы, основанный на определении сингулярных чисел СТ;, позволяет определить границы изменения АЧХ системы. В данном случае система устойчива при всех возможных значениях р1 (г = 1,
2, 3), о чем свидетельствуют полиномы знаменателей передаточных функций, графики АЧХ рис.1, 4 и зависимости С;(^), полученные с помощью пакета МАТЬЛБ.
From: іп(1)
aod0 Diagram From: Іп(2)
From: ЩЩ,
Fluency (rad/зес)
Рис. 4. Частотные характеристики при (3'=±0,1
Step Response
Рис. 5. Переходный процесс при (3'=0
Step Response
Рис. 6. Переходный процесс при (3'=±0,1 рад
Singular Values
Рис. 7. Графики сингулярных величин а;(ш)
Негрубость системы проявляется в изменении положения нулей на комплексной плоскости и сдвигу фаз на величину и в некоторых каналах при изменении (З1 (г = 1, 2, 3) в пределах ±0,1 рад. Этой особенности лишены алгебраические алгоритмы оценивания, построенные на основе упрощенных уравнений обратной задачи для блока трех ГТ.
Если в качестве исходных уравнений движения ЧЭ ГТ использовать прецессионные уравнения, соответствующее уравнение обратной задачи приобретает вид
^ = Р ; £ = (6)
решением которого является выражение
V = I . (7)
Условия существования и единственности решений (7) налагают ограничения на ориентацию только осей чувствительности ГТ в блоке в отличие от этих условий для системы (1). Они выполняются как при ориентации, полученной в [2], так и при более простой, например, взаимноортогональной ориентации осей ГТ. Матрицы направляющих косинусов N (г=1, 2, 3) в этом случае имеют, например, вид
о о І о І о
N1= E; N2= І о о ; №= о о І
о І о І о о
Определитель матрицы гироскопических коэффициентов ^2;(і і=1, 2, 3) равен
ёе1Э2 = — П йіп Р1 — П соэ р1 (8)
и не обращается в нуль ни при каких достаточно малых Р‘(і =1, 2, 3). Таким образом, алгоритм вычисления оценок Vj угловых скоростей Ю; (/ = 1, 2, 3) имеет вид конечных выражений (7), в котором /і заданы как в (6) или (3).
Результаты моделирования работы блока ГТ и вычисления Vj по алгоритмам (6), (7) и (3), (7) сведены в табл. 3.
Таблица 3
Результаты моделирования
Параметры ^nn, 0l а,% ^шуот%° ^^таї.%
Алг.(6,7) 0.055 23,28 0,1086 3,735
Алг.(3,7) 0.0001 0,005 0,1086 0,628
Видим, что использование алгоритмов вычисления угловой скорости объекта, построенных на основе алгебраических уравнений обратной задачи ГТ, позволяет определить статические значения Шу (/ = 1,2,3) с погрешностью 5&>усТ1 в 0,1086%. Это означает, что с помощью этих алгоритмов компенсируется до 98,8% методических погрешностей ГТ, равных в статическом режиме 9,8%. Время переходных процессов £пп в значениях 1^(£), вычисляемых по алгоритму (6), (7), близко к времени переходных процессов в гиротахометрах. Амплитудные значения погрешностей 5ютахпри изменении шДО с частотой 2 Гц. не превышают 3,735%. Использование алгоритма (3), (7) позволяет в этих
условиях снизить время переходных процессов до 1*10-4 с, а общую погрешность измерения угловой скорости с 13,82% (погрешность гиротахометров) до 0,628%.
Для более полной компенсации методических погрешностей целесообразно использовать систему трех нелинейных алгебраических уравнений (9), полученных из (1), при этом оценка (7) служит хорошим начальным приближением для численного решения этой системы, например, методом итераций.
V = \ Э^-^). (9)
Поскольку левые и правые части этого уравнения непрерывны и дифференцируемы, а оценка (7) отличается от решения системы (9), согласно табл. 3, на несколько процентов, условия сходимости итерационного процесса выполняются. Моделирование показало, что в установившемся режиме погрешности оценок имеют 10-8 , а в динамических режимах - 10-3 порядок в пределах заданной математической модели блока ГТ, при отсутствии инструментальных погрешностей, погрешностей съема сигналов по @ , р1 (г =1, 2, 3) и производным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Плотников П.К. К вопросу построения алгоритмов оценивания параметров движения по сигналам датчиков первичной информации / П.К. Плотников // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 1. С. 12-22.
2. Алешкин В.В. Оптимизация ориентации гиротахометров в блоке при алгоритмической компенсации их погрешностей / В. В. Алешкин // Вестник ТГТУ. 2011. Т. 17. №2. С. 333-341.
3. Поляк Б.Т. Робастная устойчивость и управление / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. М.: Наука, 2002. 303 с.
Алешкин Валерий Викторович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Приборостроение»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 12.03.12, принята к опубликованию 04.06.12
Valeriy V. Aleshkin -
Ph. D., Associate Professor Department of Instrument Engineering Gagarin Saratov State Technical University
