CC BY
35
УДК 531.383
ОПТИМИЗАЦИЯ ОРИЕНТАЦИИ ГИРОТАХОМЕТРОВ В БЛОКЕ ПРИ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В.В. Алешкин
Кафедра «Приборостроение», ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет», г. Саратов; aleshkinvv@yandex. ги
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: алгоритмическая компенсация; блок гиротахометров; методические погрешности; квадратичный критерий; оптимизация ориентации; результаты моделирования.
Аннотация: Решена задача определения ориентации осей трех гиротахометров в блоке с помощью минимизации квадратичного критерия качества переходных процессов при нелинейных ограничениях, налагаемых условиями ортогональности элементов матриц направляющих косинусов осей гиротахометров. Методом математического моделирования подтверждена алгоритмическая компенсация методических погрешностей гиротахометров.
Как показано в [1, 2], использование уравнений обратной задачи в качестве алгоритма определения компонентов вектора абсолютной угловой скорости объекта по сигналам тройки гиротахометров (ГТ) позволяет теоретически точно компенсировать, а с учетом инструментальных погрешностей гироскопов - существенно снизить: погрешности перекрестных связей, нелинейностей масштабных коэффициентов; погрешности от действия угловых ускорений объекта и динамические погрешности ГТ. Степень компенсации этих погрешностей зависит от собственных динамических свойств системы дифференциальных уравнений обратной задачи, которые, в свою очередь, определяются ориентацией трех одинаковых ГТ в блоке. В настоящей работе определяется оптимальная, в смысле квадратичного критерия качества переходных процессов в решениях уравнений обратной задачи, ориентация ГТ, позволяющая в значительной степени компенсировать указанные погрешности.
1. Постановка задачи. Блок измерителей угловой скорости состоит из трех гиротахометров, ориентация каждого из которых в блоке задается тремя последовательными поворотами в'3 ^ 92 ^ 91 (7 = 1, 2,3).
На рисунке 1 правый ортогональный трехгранник У (У1, и2, Щ) связан с корпусом блока, трехгранники гi(, г2, 23), Zi^/ъ Zi2, 11Ъ) связаны, соответственно, с корпусом и рамкой /-го ГТ, причем, ось Zi3 является осью кинетического момента, а ось Zil - выходной осью ГТ. Угол вi характеризует относительное движение рамки /'-го ГТ. Гиротахометры 1 и 2 расположены так, что 91 = 0 (] = 1, 2, 3); 92 = 90°; 92 = 0; 92 * 0 .
Взаимная ориентация трехгранников определяется равенствами:
(^1,22,23) = ЛГ*(Уь У2, Уэ);
С^/!, 2й, 2Й) = К1 (21, 22, 23) ^ = 1,2,3), где Ni (пи), Кi (^,-) с/, I, ] = 1,2,3) - матрицы вида
0
0 cos в sin Р;
0 - sin Р; cos Pj
cos 02 cos 03 cos 02 sin 03
sin 01 sin 02 cos 03 - cos 0 j sin 03 sin 0 j sin 02 cos 03 + cos 0 j cos 03 sin 0 j cos 02 cos 01 sin 02 cos 03 + sin 0j sin 03 cos 01 sin 02 sin 03 - sin 01 cos 03 cos 0j cos 02
Уравнения движения главных осей гиротахометров относительно трехгранника и можно представить в виде:
3 3 ( 3 V 3 ^
4 Р i + сгРi +Qt- -Hi X d2j® j- Ai X d1 j® j- Bi X d2j® j
j-1 j-1 v j
n (ц) m (v)
Xa^ Qi -К XbV Pi;
ц-0 v-0
X d3j ffl j
A j-1
(1)
Dj - KjNj; a- - Ii + Ei; B- - Ft - Д- - I- (i - 1,2,3),
где И/ - кинетический момент ротора /-го ГТ; 1/ - экваториальный момент инерции ротора /-го ГТ; Е/, Е/, Б/ - моменты инерции рамки /-го ГТ относительно осей Zг■1, Zi2, Ziз соответственно; Qi - момент обратной связи; с/ - коэффициент
демпфирования; К, аг^, Ь\, - коэффициенты регуляторов электромеханических обратных связей ГТ; ю/ (у = 1, 2, 3) - проекции абсолютной угловой скорости объекта на оси иу (у = 1, 2, 3).
На объекте наблюдаемыми являются углы в, (/ = 1, 2, 3) относительных движений главных осей ГТ и величины Qi, определяемые путем измерения токов в обмотках датчиков моментов ГТ. Производные , в / (/ = 1,2,3) также могут быть измерены или вычислены. Поэтому, считая , в/, в /, Qi известными, обозначая неизвестные проекции угловой скорости Юу через ху и обращая переменные в уравнениях (1), получим уравнения обратной задачи для блока трех ГТ
3 3 ( 3 V 3 ^
А/ ^уху + И/ ^2 у ху + В/ ^2 у ху ^3 у ху
J=i
J=i
К j=i
К j=i
(2)
= -А/1& / - с/в/ - й (/ =12,3).
Уравнения (2) являются алгоритмом вычисления компонентов вектора абсолютной угловой скорости объекта по сигналам блока трех ГТ, который может быть реализован на бортовом вычислительном устройстве. При таком подходе обеспечивается алгоритмическая компенсация погрешностей ГТ, вызванных угловыми движениями объекта [1].
Для эффективной работы вычислителя и наиболее полной компенсации методических и динамических погрешностей необходимо, чтобы:
а) единственные решения системы (2) были асимптотически устойчивыми по Ляпунову;
б) динамические свойства системы были достаточно хорошими. В частности, время переходных процессов решений должно быть меньше, чем у самих ГТ.
Задача построения такой системы сводится к определению параметров И/, А/,
В/ и углов 9}, 92, 93 ориентации ГТ в блоке, которые определяют при малых
в/ < (1-2)° (/ = 1, 2, 3) динамические свойства решений уравнений (2).
2. Решение задачи. Уравнения возмущенного движения системы (2) имеют вид
3 3 ( 3 V 3 ^
AI dijyj + Ht I d2jyj + Bt I d2jyj I d3jyj
j=j j=j К j=j A j=j
+Bt
Г 3 Y 3
I d2jyj Id
_Vj=j /Vj=j
3 JXJ
Id
V j=i
2 jxj
Y з
I j
V j=j
(З)
= 0 (i = i, 2, 3),
где X0 (ґ) - невозмущенное движение системы (2); у- (ґ)- возмущения.
При ю - = 0 нелинейная неавтономная система (3) превращается в автономную, совпадающую по форме с уравнениями собственного движения системы (3)
з з ( з V 3 ^
AInijyj + H11j + Bt Ij Ij
j=j j=j VJ=j /Vj=i
= 0 (i = i, 2, 3).
(4)
+
+
В случае использования одинаковых гиротахометров систему (4) можно привести к виду
3 3
Ук = £Ск]У] + £ V; + Кк (У;) (к = 1 2,3), (5)
У=1 У=1
сУ; и
где у'к = —^ (к = ] = 1,2,3), т = кг, к = -!- (1 = 1,2,3), Ск, (к,] = 1,2,3) - эле-Ст Д
менты матрицы С, состоящей из направляющих косинусов тех ГТ, ориентацию которых мы задаем заранее. Например, мы полагаем, что один или два ГТ расположены ортогонально по отношению к осям блока. Ориентацию остальных ГТ, то
есть Р; (к), будем определять, исходя из необходимых динамических свойств
решений уравнений обратной задачи; Я; (х;) - совокупность нелинейных членов
уравнения (4).
В отличие от системы (4), коэффициенты системы (5) зависят только от углов ориентации ГТ в блоке и не зависят от их параметров.
В отношении системы (5) можно поставить следующую задачу: необходимо найти такие коэффициенты Р; линейных относительно фазовых координат
3
функций и;
= £ Рк}У}, которые обеспечивали бы асимптотическую устойчи-
;=1
вость невозмущенного движения У; = 0 в силу уравнений (5), причем на движениях У;(г) этой системы минимизировался бы интегральный критерий качества переходных процессов
3 = |ф( У,и )Ст.
0
Методика решения такого рода задач хорошо известна [3, 4]. Специфика настоящей задачи состоит в том, что синтезируемые коэффициенты Рк; есть функции элементов п; (к,} = 1, 2,3) матриц направляющих косинусов N1 (1 = 1, 2, 3),
которые должны удовлетворять шести нелинейным соотношениям (условиям ортогональности)
3 Г0 при I Ф к
= 1, 2, 3). (6)
i i ж-i i i Г 0 при l Ф к
I»rt=I "A-V = {, пр, 1= к ('- L к ‘ 1
При выполнении условия
rang (W) = 3, W = {и, CU, C2U}, U = (Pk]), C = (Cj) (к, j = 1, 2, 3)
решение поставленной задачи возможно по уравнениям первого приближения системы (5) [4].
Для принятой ориентации осей ГТ в блоке (см. рис. 1) уравнения первого приближения возмущенного движения имеют вид
У1 =- У2;
У2 = y1C0S 02 - Уз sin 02; (7)
у3 = ~3~ [- y1(«31 + «12 c0s 02) + y2(nn - n32) + y3(«32 sin 02 - «33)]= U «13
22 При 01 / лn (n - целое число) rang (W) = І. При 01 = О rang (W) = 1 и задача в
данной постановке не имеет решения.
Функционал оптимизации зададим в виде
з з А
Уі2
О V j=1 j=1
J=J|L yj2+L і2
dx.
Составляя уравнение Ляпунова-Белмана [1, 4] в силу уравнений (7)
дV дV д^ а2 . а2ч д^ Л 2
—-----—— у2 + —— (yl cos 02 - y3 sin 02 ) + ^- U + L x2 +
дт дУ1 дУ2 дУз J=1 (В)
+ a1 y2 + a2(y1 cos 02 - y1 cos 02 - y3 sin02 )2 + a3U2 = О
и используя обычную процедуру нахождения коэффициентов Atj (i,j = 1, 2, 1) функции Ляпунова
V = L At, jy-, yj
i, J = 1
с помощью уравнений Риккати:
2 2 2 1 2
Ац = 2A12 cos 02 +1 + a2 cos 02----------Ац;
a3
• 1 2
A22 = -2 A12 +1 + a1--------A23;
a3
2 2 2 1 2
A33 = —2A23 sin 02 +1 + a2 sin 02--------A33;
a3
• 2 1 A12 = A22 cos 02 — A11 A13A23;
a1
A
a3
1 —
a1
2 2 1 9 2
A13 = A23cos02 — A12sin0°--------A13A33 — a2cos02 sin02;
• . 2 1
A23 = —A22sin 0! — A13 A23 A33, (9)
получим ряд значений А;, соответствующих каждому конкретному значению 02. Далее, сопоставляя равенство
и = ---г;- = (А33 У3 + А22 У2 + А13 У1),
2а3 дУ3 а3
следующее из (8), и последнее уравнение системы (7), получим три алгебраиче-
3
ских уравнения для определения девяти элементов пI; (I, ] = 1, 2, 3) матрицы N3:
33 213 33 13
п21 + п12 01 = п13А13; п11 “п22 = п13А23; (10)
а3 а3
3 3 • 2 13
п23 “ п12 0 =----п13А33.
а3
Дополнив их шестью уравнениями связи (6) будем иметь систему девяти нелинейных алгебраических уравнений относительно элементов матрицы направляю-
2
щих косинусов N3. Решения этой системы при заданных 01, А; (1, ] = 1,2,3) и
а3 = 1 были найдены в конечном виде:
3 1 3 33233
п13 =± I ; п21 = А13п13 — п12 008 01; п12 = г • п13;
\ С-[Г + С3Г + С3
п131 = ОТ1п32 + т2п133; п23 = п132 8*п 02 + А33п133; п22 = пП + ^3^3;
3 1 3 3 3 3
п33 = I ; п32 = и • п33; п31 = п33(ки + у)
1 + и + (ки + y)
где
ш А13 00802 — А33 81п 01 . ш А123 + А23 + А33 — 1.
Ш1 =----------А-------------, т2 =--------------------А->
а23 а23
22 С = 1+Ш1; С2 = 1 + т; С3 = 2м1Ш2 ;
2
Р1 = Ш1 (1 — 008 01); Р2 = АцШ2 + А33;
22 Р3 = Ш2(1 — 008 01) + А13Ш1 — А23 — 8т 01;
3 3,3
У = п23 , и = п21У + п13 ,
У = и = 3 к + 3 ;
п21 п11к + п12
г = ^— Р3 — к = п^/п^. (11)
3
Знаки перед радикалом в формулах выбираются такими, чтобы трехгранник X после преобразования N оставался правым. Задавая величину угла 02 и определяя коэффициенты А1; (1,; = 1,2,3) функции Ляпунова путем интегрирования
уравнений (9), по формулам (11) можно вычислить пк; (к, ] = 1,2,3). Углы
03 (] = 1, 2, 3) последовательных поворотов третьего ГТ определяются из выражений:
3 3 3 3
03 = arctg-п23; 02 =— агс8тпц; 03 = arotg-3-. (12)
п33 п11
2
Область существования решений (10) - (12) по 01 ограничена неравенствами 140° < 02 < 180°; 180°< 02 < 220°, поскольку из всех решений уравнений (9) нужно выбрать удовлетворяющие критерию Сильвестра определенной положительности квадратичной формы V:
А11 > 0; А11А12 — А122 > 0;
А11(А22А33 — А23) — А12(А12А33 — А13А23) + А13(А12А23 — А13А22) > 0 .
Описанная задача решалась для 02 е (140°, 220°) и ау = 1 (у = 1, 2, 3), причем значения 02 перебирались с шагом 10°.
Например, при 01 = 140° решения Ау системы (9) равны:
А11 = 3,2468; А22 = 5,5973; А33 = 1,8571; А12 = 0,7536; А13 = 0,6575; А23 = -1,5834.
По формулам (11), (12) получаем:
ип = -0,5130; п32 = -0,6135; г$3 = -0,6004;
п21 = -0,8196; и32 = 0,5580; п23 = 0,13 02;
п31 = 0,2551; и332 = 0,5588; п33 = -0,7890;
03 = 170,627°; 02 = 36,917°; 03 = 230,125°.
3. Результаты моделирования. Исследование динамических свойств решений х() уравнений обратной задачи проводилось путем моделирования работы бортового вычислителя по алгоритмам вида (2), соответствующим различным ориентациям гиротахометров в блоке.
Предполагалось, что блок датчиков построен на ГТ, имеющих параметры, приведенные к Н, :
Н, = 1; Аг = 0,110 2 с; Б, = 0,1-102 с; с, = 0,144; К = 10 (с-рад)-1.
где К - коэффициент усиления обратной связи ГТ, входящий в формулу (1).
Остальные коэффициенты электромеханических обратных связей равны нулю. Движение главных осей трех ГТ моделировалось путем решения уравнений вида (1). В дальнейшем решения в,, Qi (, = 1,2,3) использовались как сигналы блока датчиков, поступающие на вход вычислителя.
Cj, ст, %
ffl j =
Наиболее критичным к изменениям 0} параметром переходных процессов является перерегулирование с. Графики зависимостей ст у (э2), у = 1,2,3, по компонентам
и среднего значения ст(э2) приведены на рис. 2.
Лучшие результаты были получены при 02 = 220° и 03 = 43,234°; 0^ = 57,565°;
03 = 35,823°.
На рисунке 3 приведены графики Ху (г) (У = 1, 2, 3) изменения вычисленных
значений абсолютной угловой скорости объекта при ступенчатом изменении последней
[0 при г < 0
[0,10472 [рад/с] при г > 0 (у = 1, 2, 3)
и график переходного процесса в одном ГТ Ql (г), пересчитанный в оценку угловой
скорости х2(г*) с помощью масштабного Рис 2 Зависимости перерегулирования коэффициента. в Решениях х$) °т угаа 0^
xj (t), X2 (t*), рад/с
Из графиков следует, что время переходных процессов в решениях Xj(t) примерно в 4 раза меньше, чем в гиротахометрах, что позволяет уже при t > 1,31-10-2 с практически точно определить угловую скорость объекта. Погрешность вычисления статических значений угловой скорости ограничивается в рассматриваемом случае лишь вычислительными погрешностями и имеет в процентном выражении порядок 10-8. Статическая погрешность гиротахометра при определении угловой скорости путем измерения тока датчика момента равна 3,3 %.
Таким образом, полученная ориентация гиротахометров в блоке обеспечивает необходимые динамические свойства решений задачи вычисления угловой скорости и в этом смысле является оптимальной. Вычисление компонентов O)j(t) (j = 1, 2, 3) угловой скорости объекта по алгоритму вида (2), соответствующему данной ориентации ГТ, позволяет с высокой точностью определять ffj(t) по сигналам трех гиротахометров, компенсируя методические погрешности, учтенные в исходной математической модели блока и, в значительной степени, динамические погрешности последних.
Список литературы
1. Плотников, П. К. Измерительные гироскопические системы / П. К. Плотников. - Саратов : Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1976. - 164 с.
2. Плотников, П.К. К вопросу построения алгоритмов оценивания параметров движения по сигналам датчиков первичной информации / П. К. Плотников // Изв. РАН. МТТ. - 1990. - № 1. - С. 12-22.
3. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. - М. : Наука, 1966. - 530 с.
4. Летов, A.M. Динамика полета и управление / А.М. Летов. - М. : Наука, 1969. - 359 с.
Optimization of Orientation Gyroscopes in Block with Algorithmic Compensation of Errors
V.V. Aleshkin
Department “Instrumentation”, Saratov State Technical University, Saratov;
aleshkinvv@yandex. ru
Key words and phrases: algorithmic compensation; block of gyroscopes; methodic errors; optimization of orientation; quadratic criterion; simulation results.
Abstract: The paper presents the solution to the problem of determining the axes orientation of the three gyroscopes in the block by minimizing the quadratic criterion of quality of transient processes under nonlinear restrictions imposed by the orthogonality conditions for matrices elements of the direction cosines of gyroscope axes. By mathematical modeling the algorithmic compensation of methodic errors of gyroscopes is verified.
Optimisation der Orientierung der Gyrotachometer im Block bei der algorythmischen Kompensierung ihrer Fehler
Zusammenfassung: Es ist die Aufgabe der Bestimmung der Orientierung der Achsen der dreien Gyrotachometer im Block mit Hilfe der Minimisierung des quadratischen Kriteriums der Qualitat der Ubergangsprozesse bei den nichtlinearen Begrenzungen in den Bedingungen der Orthogonalitat der Matrixelementen der Fuhrungen der Kosinusachsen der Gyrotachometer gelost. Durch die Methode der matematischen Modellierung ist die algorythmische Kompensation der methodischen Fehler der Gyrotachometer bestatigt.
Optimisation de l’orientation des hydrotachymetres dans un bloc lors de la compensation algorithmique de leurs erreurs
Resume: Est resolu le probleme de la definition de l’orientation des axes de trois hydrotachymetres dans un bloc a l’aide de la minimisation du critere quadratique de la qualite des processus transitoires lors des restrictions non lineaires appliquees par les conditions d’orthogonalite des elements des matrices des cosinus guide des axes des hydrotachymetres. Par la methode du modelage mathematique est affirmee la compensation algorithmique des erreurs methodiques des hydrotachymetres.
Автор: Алешкин Валерий Викторович - кандидат технических наук, доцент, докторант кафедры «Приборостроение», ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет», г. Саратов.
Рецензент: Глазков Виктор Петрович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Системы искусственного интеллекта», ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет», г. Саратов.
