Динамика быстро вращающегося неконтактного гироскопа при плоских случайных вибрациях точки подвеса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.38

ДИНАМИКА БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ НЕКОНТАКТНОГО ГИРОСКОПА ПРИ ПЛОСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВИБРАЦИЯХ

ТОЧКИ ПОДВЕСА

© А. В. Медведев

Ключевые слова: гироскоп; трехгранник; дебаланс; случайный процесс; коррелляцион-ная функция; кинетический момент; момент силы; стохастические уравнения; метод осреднения; моментные функции.

Рассматривается задача о движении быстро вращающегося несбалансированного гироскопа под действием плоской вибрации, которая предполагается стационарным векторным случайным процессом. С помощью метода осреднения стохастических систем получены и проанализированы уравнения для моментных функций первого и второго порядков фазовых координат, задающих движение неконтактного гироскопа.

Рассматривается задача о движении быстро вращающегося динамически симметричного твердого тела вокруг точки, которая совершает случайные колебания в пространстве. Пусть O, Oi являются точками подвеса и центра масс гироскопа соответственно, при этом точка

O совершает перемещения по случайному закону, находясь в вертикальной плоскости. Для изучения углового движения гироскопа введем правые ортогональные трехгранники £i£2£3, П1П2Пз, ziz2z3 и yiy2y3. Трехгранник £ считаем неподвижным. Начала трехгранников n, z и у выбираем в точке O. Оси nj параллельны осям £j. Трехгранник z связываем с вектором кинетического момента гироскопа KK, при этом ось z3 направляем вдоль KK. Трехгранник у жестко связан с телом, ось у3 является осью симметрии эллипсоида инерции тела. Направление оси yi выбираем так, чтобы вектор дебаланса O = OOi лежал в плоскости yiy3. Согласно определению трехгранника y проекции вектора ~E на оси yiy2y3 имеют вид:

Eyi = E cos в, Ey2 = 0, Ey3 = E sin в,

где E — модуль дебаланса; в = const — угол между ~E и экваториальной плоскостью центрального эллипсоида инерции гироскопа.

Взаимное положение введенных выше трехгранников определим следующим образом: трехгранник z получается из трехгранника n двумя последовательными поворотами на угол а вокруг оси ni и на угол р вокруг второй оси промежуточного трехгранника. Трехгранник y получается из трехгранника z тремя последовательными поворотами: на угол ф вокруг оси zi, на угол $ вокруг второй оси и на угол ф вокруг третьей оси промежуточных трехгранников. В качестве фазовых координат, задающих угловое движение гироскопа, выберем следующие элементы: величину модуля вектора кинетического момента K, углы а, р, ф и направляющие косинусы Gi =sin $, G2 = — sin ф cos $, G3 =cos ф cos $ оси OY3 с осями трехгранника Z. Предположим, что перемещение точки подвеса O происходит в плоскости OniП3, в отличие от работы [1], где перемещение точки подвеса предполагалось вдоль прямой, параллельной оси £3. Угловое движение гироскопа будем изучать

в системе координат ОщЩЩ- Для этого к центру масс O\ необходимо приложить силу инерции переносного движения f {f\(r), 0, /э(т)} , которую будем считать векторным стационарным случайным процессом с нулевым средним и заданной корреляционной матрицей Kij(т)=<fi(0)fj(т) >•

Предположим, что E достаточно малая величина. Поставим задачу отыскания асимптотического решения при E 0- При E = 0 имеем свободное движение симметричного тела [1]

р = x1, а = x2, K = 1 + x3, G1 = x4 sin т + x5 cos т,

T

Ф = т ■ а + G3 J Gl (G22 + G3) 1 йт + x6, G2 = —x4 cos т + x5 sin т,

0

xi = const, i = 1, 2, ...6,

I1 — экваториальный, I3 = Ii/а — полярный моменты инерции гироскопа, K = 1 — в невозмущенном движении.

Возмущенное движение при E = 0 опишем в новых перемещениях xi, x2, x%, x4, x5, x§, которые будут уже функциями времени. Уравнения возмущенного движения имеют следующий вид:

• • •

Kx1 = em1, Kcosx1 x2 = -em2, K = em3,

x4 = —x3x5 + eK-1 [—x5m2tgx1 + (m2 cos т — m1 sin т) G3],

x5 = x3x4 + eK-1 [x4m2tgx1 + (m2 sin т + m1 cos т) G3] ,

x6 = KG3 ■ а + K (G2 + G3) 1 [G3G2 — e (m1 G2 — m2G3tgx1)] , e = EF0I1K—2,

где mi(i = 1, 2, 3) —проекции момента силы f относительно точки О на оси zf, Fo,Ko — характерные значения f и K; • - означает дифференцирование по времени т. Эта система является стохастической системой дифференциальных уравнений.

Применяя схему осреднения [2] и используя уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка для переходной функции распределения плотности вероятностей, получим дифференциальные уравнения для моментных функций первого и второго порядков. Не выписывая эти уравнения в общем виде, ограничимся окончательным представлением средних величин как функции времени:

e2

< р >= — {cos2 в [51з(а) + £э1(а)] + 2 sin2 в [£31(0) — £31(1)]} ■ т

4

< а >= — {cos2 в[£13(а)+£31(а)+С13(1 — а)+С31(1 — а)] +2 sin2 в [—C31 (1)]} ■ т

<k> 1 + e2 [cos2e£33(a) + sin2в£11(1)] ■ т o o

Sj(ш) = 2 f Kij(т) cos штйт, Cj (ш) = 2 /-оо Kij(т) sin штйт.

— Ж

Из формул (1) следует важный вывод о линейном нарастании по времени в среднем углового отклонения вектора кинетического момента относительно неподвижного пространства. Это вызвано коррелированностью компонент векторного случайного процесса f. Этот вывод является совершенно новым в теории движения твердого тела. В случае однокомпонентной вибрации, в соответствии с [1], имеет место экспоненциальное убывание в среднем этих величин. Таким образом, коррелированность компонент случайного процесса f приводит к дестабилизации углового положения вектора кинетического момента гироскопа в среднем.

Уравнения для моментных функций второго порядка в общем случае очень громоздки. Сделаем упрощающее предположение о независимости компонент случайного процесса f ■ В этом случае получаем следующие окончательные выражения для соответствующих фазовых координат, описывающих движение неконтактного гироскопа

< p2 + а2 >= 2є2 ^зз(а) cos2 в + Sll(0) sin2 в] т

<G2 + G2 >= 2є2 [S33(1 — а) cos2 в + Sll(1) sin2 в] т (2)

< (1 — k)2 >= є2 [Sn^cos2 в] т■

Из формул (2) следует вывод о линейном по времени нарастании амплитуды квадратического отклонения вектора кинетического момента относительно инерциального пространства, а также амплитуды квадратического отклонения оси динамической симметрии гироскопа относительно направления вектора кинетического момента, при этом, как следует из приведенных формул, скорости изменения этих величин зависят как от осевой, так и от радиальной составляющих дебаланса гироскопа. Если в этих формулах положить Sn =0 (что будет соответствовать случаю чисто вертикальной вибрации точки подвеса), то придем к формулам, полученным в [І].

ЛИТЕРАТУРА

1. Медведев А.В. Динамика неконтактного гироскопа при случайной вибрации основания // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2012. Т. 17. Вып. 1. С. 50-52.

2. Хасьминский Р.З. Предельная теорема для решений дифференциальных уравнений со случайной правой частью // Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т. 11. № 3. С. 444-462.

Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.

Medvedev A.V. SPEEDY ROTATING NON-CONTACT GYROSCOPE DYNAMICS UNDER FLAT RANDOM BASEMENT VIBRATIONS

The problem of a fast-rotating unbalanced gyroscope under flat random vibration which is presumed to be a stationary vector stochastic process is considered. Using the method of stochastic systems averaging the equations for the first- and second-order torque functions describing a non-contact gyroscope dynamics are derived and analyzed.

Key words: gyroscope; trihedron; unbalance; random process; correlation function; kinetic moment; moment of force; stochastic equation; averaging method; torque functions.