Математическая модель динамически настраиваемого гироскопа Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 • 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Математическая модель динамически настраиваемого

гироскопа

# 04, апрель 2013

Б01: 10.7463/0413.0550951

Никандров В. Н.

УДК 531.383

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана nkndrv@bmstu.ru

Математическая модель динамически настаиваемого гироскопа (ДНГ) с учётом упругих и неидеальных шарикоподшипниковых опор вала электродвигателя необходима для моделирования динамики ДНГ при собственной вибрации и вибрации основания, расчётов собственных частот, а также для учёта влияния конкретных дефектов на уходы гироскопа.

Математическая модель шарикоподшипников гироскопов наиболее полно разработана В.Б. Бальмонтом, В.Ф. Журавлевым и В.А. Матвеевым [1], [2], [3]. В данной статье используются работы [1], [2], [3] для построения математической модели ДНГ с учётом движения вала электродвигателя.

ДНГ рассматривается как механическая система с восемью степенями свободы. Выбор числа степеней свободы обусловлен конструктивными особенностями гироскопа. Так, шарикоподшипниковые опоры вала электродвигателя обладают большей податливостью в осевом и радиальном направлении, чем упругий подвес ротора.

Системы координат. Движение гироскопа рассматриваем на неподвижном основании.

- связана с корпусом ДНГ.

O£, в Пв С в - совпадает с невозмущенным положением вала, вращается с

угловой скоростью вала электродвигателя П.

Ox в у в z в - связана с валом электродвигателя.

Ox кукzк - связана с кольцом так, что ось Ox к направлена по оси наименьшей жесткости упругого подвеса, соединяющего кольцо с валом.

Ox р у р z р - связана с ротором.

Принято, что оси систем координат Охкукък, Ох рурър являются главными центральными осями инерции кольца и ротора.

Угловые координаты. В качестве углов, определяющих положение вала электродвигателя, кольца подвеса и ротора относительно корпуса ДНГ, выберем следующие углы поворотов:

Ф - угол поворота вала электродвигателя относительно корпуса ДНГ вокруг оси О^, У1 - угол поворота вала вокруг оси О£, в, у 2 - угол поворота вала вокруг оси Оу в, а - угол поворота кольца вместе с ротором вокруг оси Ох в внутреннего упругого элемента подвеса, в - угол поворота ротора вокруг оси Оук наружного упругого элемента подвеса.

Угловая скорость вращения вала электродвигателя П = ф поддерживается постоянной с высокой точностью, поэтому угол поворота вала электродвигателя ф в данной модели ДНГ считается циклической координатой.

Переходы между системами координат. Преобразования координат выражаются следующими матричными соотношениями

Е в ,Пв £ в ]т = с ф Е, п, СТ, [х в ,ув Жв ]т=с ^ в п £ в ]т,

[хв,ув,ъв]т =Су2[хвУв,ъ'в]т, [х к,ук,ък]т =Са[хв,ув,ъв]т, С1)

[х р ,у р,ъ р]т =С р[х к ,у к,ъ к]т,

где С ф, С у1, С у2, С а, С р - матрицы поворотов (матрицы направляющих косинусов).

Определим матрицы поворотов С ф, С у1, С у2, С а, С р, используя

рисунки 1ч-5:

О

Рис. 1. Поворот вала вокруг оси О£,.

Матрица поворота С

Ф"

cos ф Бт ф 0" - Бт ф соб ф 0 0 0 1

(2)

Рис. 2. Поворот вала вокруг оси 0£, в.

Матрица поворота С у1 =

1 0 0 0 СОБУ1 БШУ1

0 - sin У1 собу1

(3)

Ув > ^в

Рис. 3. Поворот вала вокруг оси Оу'в .

Матрица поворота С у 2 =

собу 2 0 - sin у 2

0 1 0 ч sinу2 0 собу2 у

(4)

^В? X К

Рис. 4. Поворот кольца вместе с ротором вокруг оси Ох,

Матрица поворота С а =

0

0

0 еоБа Бта ч 0 - Бта еоБау

(5)

Рис. 5. Поворот ротора вокруг оси Оу к .

Матрица поворота С р =

ООБР 0 - БШР 0 1 0 бШР 0 ООБР у

(6)

Определение угловых скоростей. Определим проекции абсолютной угловой скорости вала юхв ,ю ув ,юъв; кольца ю хк, ю ук, юък и ротора

юхр, ю ур, ю2р на оси связанных с ними систем координат

Охвувъв, Охкукък, Охрурър соответственно. Будем использовать матрицы

поворотов (3)^(5).

Проекции угловой скорости вала электродвигателя

[юхв, юув, ю2В]T = [0,Y2,0]T + GY2[Y1,0,0]T + Gy2 Gyl[0, 0, ü]T, ю хв =Y icos Y 2 -ü cos Yi sin Y 2, ю ув =Y 2 + ü sin Yi,

= Y isin Y 2 + ü cos Yi cos Y 2-Проекции угловой скорости кольца

T T T

[юхк, Юук, ®zx] = [áA 0] + Gа[юхв, Юув, ^в] ,

ю хк = Y icos y 2 -ü cos Yi sin y 2 ,

Ю

Ю

ук

zк

(Y 2 + ü sin Yi )cos а +(Y isin y 2 + ü cos Yi cos y 2) sin а, = -(Y 2 +ü sin Yi )sin a + (Y isin y 2 +ü cos Yi cos y 2 )cos а.

(8)

Проекции угловой скорости ротора

T T T

[юхр, Юур, Югр] = [0,Р,0] + Gв[юхк, Юук, ^к] ,

Ю

хр

= (Yi cos y2 - ü cos Yi sin y2 + а)cos в -(-(Y 2 +ü sin Yi )sin a + (Y isin y 2 +ü cos Yi cos y 2 )cos a)sin в,

— i —

ю ур = (Y 2 +ü sin Yi )cos а +(Yisin y 2 +ü cos Yi cos y 2) sin а+в,

(9)

ю^ = (Yi cos y2 - ü cos Yi sin y2 + а)sin в +

+ (- (y 2 +ü sin Yi )sin a + (Y isin y 2 +ü cos Yi cos y 2 )cos a)cos в-

Движение центра масс вала, кольца и ротора. Линейные координаты и скорости. Вследствие деформаций шарикоподшипниковых опор вала электродвигателя, наряду с угловым движением возможно и поступательное движение вала, кольца подвеса и ротора. Будем рассматривать движение в плоскости, перпендикулярной оси вращения вала (радиальное движение), и вдоль оси вращения вала (осевое движение). Примем, что в рассматриваемом гироскопе совпадают центры масс ротора, кольца и вала. Деформации упругого подвеса малы, поэтому при поворотах кольца и ротора относительно вала не меняется взаимное положение центров масс.

В этом случае радиальное перемещение вала относительно корпуса будет определяться координатами х и у, а осевое перемещение вала относительно корпуса будет определяться координатой z.

Пусть V - вектор скорости движения центра масс. Проекции V на оси системы координат Охву^в вычисляются по формуле

Vx = х, Vy = у, Vz = z. (i0)

Таким образом, скорость центра масс будет определяться

V = ^ х2 + у2 + ъ2.

Кинетическая энергия ДНГ. Введем для ротора, кольца подвеса и вала следующие обозначения:

т р ,т к ,т в - масса ротора, кольца и вала соответственно,

Ар ,В р , Ср - главные экваториальные и осевой моменты инерции ротора, Ак ,Вк ,Ск - главные экваториальные и осевой моменты инерции кольца, Ав ,Вв ,Св - главные экваториальные и осевой моменты инерции вала.

Для симметричного ротора, колец и вала экваториальные моменты инерции равны: Ар = Вр, Ак = Вк, Ав = Вв.

Кинетическая энергия Т складывается из кинетической энергии вращательного движения ротора, кольца, вала ТВР и кинетической энергии поступательного движения ротора, кольца и вала вдоль оси вращения вала и в плоскости, перпендикулярной оси вращения вала Тп:

Т=ТВр+Тп. (12)

Кинетическая энергия ТВР записывается в следующем виде

Твр =У(1А; Ю2 +1 В; Ю2 Ю2 1 (13)

вр \2 1 х1 2 1 у1 2 1 21 г у '

1

где i - ротор, кольцо и вал.

Кинетическая энергия Тп записывается в следующем виде

Тп =2(т р + т к + т в (14)

Потенциальная энергия ДНГ. Потенциальная энергия гироскопа при его перемещениях складывается из энергии упругой деформации подвеса и шарикоподшипникого узла, энергии, зависящей от положения центров масс вала, кольца подвеса и ротора в гравитационном поле.

Потенциальная энергия упругой деформации подвеса

П = !(еа а2 + ерр2), (15)

где с а, с р - жесткости подвеса кольца и ротора.

Потенциальная энергия упругой деформации шарикоподшипникого узла вала электродвигателя определяется согласно [2, 3] по формуле

П = 2Кг 2 {sin т[8' + z + r (yi sin ф| -у2 cosф|)]+ 5 i=1

+ cosт[(х + liу2)cosф< +(y-li Yi)sinф<]+ 2TS Apis}2,5 +

s=1

+

2 К n

-L 2{-sinт[-8' + z+r(yi sinф[-у2 cosф")]+

5

i=1

+ cosт[(х-12 у2)cosф-+(у-12 Y1 )sinф[]+ 2ts'Apis}2,5,

s=1

где:

КГ - константа Герца, одинаковая для обоих подшипников, т - угол контакта, одинаковый для обоих подшипников, r - радиус окружности, по которой движутся шарики, 8', 8''- осевые натяги первого и второго подшипников, ф-, ф[ - углы, определяющие положение i-го шарика в первом и втором подшипниках относительно неподвижной системы координат.

{TS}={cosT-1,cosт-1,- cosT,cosт,- sinT,sinт} - вектор коэффициентов влияния первого подшипника,

{Ts}={cosT-1,cosт-1,- cosT,cosT,sinт,- sinт} - вектор коэффициентов влияния второго подшипника,

A ps - дефект подшипника, вычисляется по формуле

A ps =

да

2 sin

1=1

2 п1

1^t-(- 1)s-(i-1) + V1

n

, s = 1,...,6

да

(17)

2a^ sin(21rost + y 1), s = 7.

1=0

где:

а^, у ^ - амплитуды и фазы разложений в ряды Фурье поверхностей, Ю1 = ю3 = ю5 - угловая скорость сепаратора относительно наружного кольца, ®2 = ю4 = Ю6 - угловая скорость сепаратора относительно внутреннего кольца, Ю7 - угловая скорость шарика, п - количество шариков в подшипнике, б - индекс, характеризующий тип дефекта.

Для получения уравнений вибрации ДНГ, преобразуем потенциальную энергию упругой деформации шарикоподшипникого узла вала к линейной части и квадратичной форме

П = x

+ Y1

vs,i д x dp¿ , д 2 П

Api

s

+ У

s,i dYi 5pS

Api

У V л f

s

s,i d y 5pi

Api

s

+ z

+ Y 2

+ У

S d2 П

s,i d У Ф!5

У V л r

д 2 П

M dY2 ^

y V

л f

s

s,i 3 z 9ps

Api

s

+

Api

+x

ap-

s

+z

+ Y 2

д 2 П

y V л

s,i з z dps

y V л /

Ap"

s

+ Y1

У

s,i з x dpi д 2 П

apÍ'

s

+

v

s,i dYl dps

apÍ'

s

+

y

s,i dY2 5pis

apÍ'

s

2 д2 П 2 д2 П 2 д2 П 2 д2 П 2 + x -- + y -- + z --+Y1-2-+Y 2

д x

2

д y

2

д z

2

dYf

д 2 П

dY i2,

или, используя скалярные произведения векторов, получим

П = -хМ( Х',Б'х) - уМ( Х',Б'у) - 7Ы(г',Б'2) -У1 Л(У ',Б'у) + + у 2 Л(У',Б'х) - хМ(Х ',Б X) - уМ( X '',Б у) + 7М(г',Б X) +

+ у1 Л(У',Бу)-у2 Л(У',БX) + ^ х2 + ^Ку у2 + 1к2 z2 + + 2Ку1у2 + 2Ку2 Y2-8хУ2 + 8уУ1,

где:

М=т р + т к + т в - суммарная масса подвижных частей,

(19)

3

Kz = K'z + kz = -nКг sin2,5 т(а/зчл/з") - осевая жесткость ДНГ,

3

Kx = Ky = K'x + Kx = -nKrVsiñTcos2 т^ + л/б")

- радиальная

Ку2 = К'у1 + К;2 = кх [г т +1']2 + кх [г т +1']2 - угловая

коэффициент, характеризующий

х —у

жесткость ДНГ

К у1 = К у2 = К у1 + К у2

жесткость ДНГ,

8 = К'х [г1в т +1 ']-Кх [г1вт +1 ']

перекрёстные связи,

X' = 2КХ Т', пМ

У' = Ий т +1 ' I— X ', 1 А

Ъ ' = X ' т, °'х =к}

в х ={оХ8 }

Б'Х = 2Арреов Ф|, 1=1

п

ОХ8 =2АР! СОБ Ф1, 1=1

2К' X ' = х т '

пМ '

М

У' = [^ т +1 ']— X'', А

Ъ '' = X ' т,

ву = к}

°у= к8}

п

оу8 = 2Ар1 8 81п Ф1 , 1=1

в ^=О8 }

в ^=Ь8 }

п

оу = 2Ар^81п Ф1, =^Ар1

1=1 1=1

8

п

О

8

z - 2Ар; 1=1

8

Пусть вектор g задается в проекциях на оси системы координат О^пС,

связанной с корпусом. Вектор g в проекциях на оси системы координат О£, в пв С в определяется выражением

т т

в ,g пв ^в

] = Оф^^,gп^] ,

g^в = g£ СОБ ф + gп Б1п Ф, gпв =-gI Б1пф + gп СОБФ,

g Св = g с •

Потенциальная энергия ДНГ в гравитационном поле имеет вид П g =-A(mg) =-(т р + т к + т в )(g ^ х + g пВ у + g ^в z)•

(20)

(21)

Для вычисления обобщённых сил необходимо найти производные (22)

О а =-

О

х

дп

да' дП дх '

у

дП

ар,

дП ду

О у1 =

О;

дП

дУ1

О у 2 =-

дП

дУ 2

дП дz

(22)

Обобщённые силы имеют вид

Qa =-ca a, Ов=-cвв, QYi = - Kyi Yi - в у + Л(У',Б'у) + A(Y', D у),

Qy2 =-Ky2 Y2 +вх -Л(У+ Л(У^х),

r (23)

Qx =-Кх х + by2 + М(Х'^'х) + M(X',Dх) + M(g^cosФ + gц sinФ),

Qy =-Куу- в Yi + М(Х ',D'y) + М(Х ',Dy) + M(-g^ sin ф + gл cos ф), Qz =-Kz z + M(Z',D'z) + M(Z'',Dz) + Mgz.

Уравнения вибрации ДНГ.

При определении производных от кинетической энергии будем считать переменные a, в, Yi, Y2, х, у, z и их производные малыми.

(Лр + Лк) a + (Лр + Лк) Yi + (Cр - 2Aр рв + (Cр - 2Лр + CK - 2Лк) üY2 +

о о

+ (Ср-Лр + Ск - Л к) ü a+ (Ср-Лр + Ск-Лк) ü Yi + c a«= 0,

Лрв + Л- (Ср - 2Лр )üa - (Ср - 2Лр )üYi + (Ср - Лр) ü2 в + + (С р - Л р) ü 2 y 2 + cвв= 0,

(Л р + Л к + Л в) Yi + (Л р + Л к) а + (С р - 2Л р + С к - 2Ак + Св - 2Л в ) üY 2 + + (С р - 2Л р Рв + (С р - Л р + С к - Л к + Св - Л в) ü 2 Yi + К yi Yi +в у + + (С р - Л р + С к - Л к) ü 2 а = Л(У ' ,D у) + A(Y',D у),

(Л р + Л к + Л в) Y 2 + Л р в-(С р - 2Л р + С к - 2Ак + Св - 2Л в )üYi -

2

- (С р - 2Л р + С к - 2Ак )üa + (С р - Л р + С к - Л к + Св - Л в )ü 2 y 2 + К у2 Y 2 --вх+(Ср - лр)ü2 в=-Л(У'^х)+a(Y',dх),

Mх + Кх х-BY2 = M(X ',D'x^) + M(X '',Dх) + M(g^ cosф + gn sinф), My + Ку у + by1 = M(X ',Dy) + M(X D у) + M(-g^ sinф + gn cosф), (24) M z + ^z = M(Z',D'z) + M(Z',D z) + Mg z.

Выводы.

Получены уравнения вибрации ДНГ с учётом упругих и неидеальных шарикоподшипниковых опор вала электродвигателя, необходимые для моделирования динамики ДНГ при собственной вибрации, расчётов собственных частот, а также для учёта влияния конкретных дефектов на уходы гироскопа. Уравнения вибрации ДНГ учитывают угловое и поступательное движение ротора, колец и вала привода ДНГ.

Список литературы

1. Журавлев В.Ф. Теория вибрации гироскопов. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, 1972. 48 с. (Препринт; № 22).

2. Бальмонт В.Б., Матвеев В.А. Опоры качения приборов. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.

3. Журавлев В.Ф., Бальмонт В.Б. Механика шарикоподшипников гироскопов. М., Машиностроение, 1986. 272 с.

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE RAIJMAN MS TU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-040S

electronic scientific and technical journal

Mathematical model of a dynamically tuned gyroscope

# 04, April 2013

DOI: 10.7463/0413.0550951

Nikandrov V.N.

Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation

nkndrv@bmstu.ru

Mathematical model of a dynamically tuned gyroscope (DTG) includes an elastic and not ideal ball bearings of the gyro spin motor. The DTG is considered as a mechanical system with eight degrees of freedom. Selection of the number of degrees of freedom is based on the gyroscope design features. The angular and linear displacements of the gyro spin shaft, suspension ring and rotor became possible due to deformation of ball bearings. This model is necessary for modeling the DTG dynamics caused by natural vibration of bearings, for calculation of natural frequencies and for considering the influence of particular defects of ball bearings on the gyroscope drifts.

Publications with keywords: dynamically tuned gyroscope, ball bearing vibration, ball bearing defects

Publications with words: dynamically tuned gyroscope, ball bearing vibration, ball bearing defects

References

1. Zhuravlev V.F. Teoriia vibratsii giroskopov [The theory of vibration of gyroscopes]. Moscow, Institute for Problems in Mechanics of AS USSR, 1972. 48 p. Non published .

2. Bal'mont V.B., Matveev V.A. Opory kacheniiapriborov [Rolling-contact bearings of devices]. Moscow, Mashinostroenie, 1984. 240 p.

3. Zhuravlev V.F., Bal'mont V.B. Mekhanika sharikopodshipnikov giroskopov [Mechanics of ball bearings of gyroscopes]. Moscow, Mashinostroenie, 1986. 272 p.