Динамика неконтактного гироскопа при случайной вибрации основания Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

2. Вербицкий А.А. Активное обучение в высшей школе: контекстный подход. М.: Высшая школа, 1991.

3. URL: http://sites.google.com/site/ito2011spb/master-klassy/

4. Патаракин Е.Д. Социальные сервисы Веб 2.0 в помощь учителю. М.: 2007.

5. Габай В. Т. Учебная деятельность и ее средства. М.: МГУ, 1988.

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.

Krivopalova I.V. Modern design activity in the conditions of development of information-communication technologies. At the present stage of modernization there is a number of problems that appear in Russian education: introduction of new information technology in educational process, growth of availability of education, of its quality and efficiency, updating of the education content, its adapting to the requirements of time and development of the country. Modern approaches in education, including the use of modern information-communication technologies (ICT), allow to create conditions for development of new generations of the Russian citizens, for forming the experts required in the future. So, in the modern conditions the necessity of informatisation of the educational sphere became important.

Key words: information-communication technologies (ICT).

УДК 531.38

ДИНАМИКА НЕКОНТАКТНОГО ГИРОСКОПА ПРИ СЛУЧАЙНОЙ ВИБРАЦИИ ОСНОВАНИЯ

© А. В. Медведев

Ключевые слова: гироскоп; трехгранник; дебаланс; случайный процесс; коррелляцион-ная функция; кинетический момент; момент силы; стохастические уравнения; метод осреднения; моментные функции.

В работе рассматривается задача о движении быстровращающегося несбалансированного гироскопа под действием одноосной вибрации, которая предполагается стационарным случайным процессом. С помощью метода осреднения стохастических систем получены и проанализированы уравнения для моментных функций первого и второго порядков.

Рассматривается задача о движении быстро вращающегося динамически симметричного твердого тела вокруг точки, которая совершает случайные колебания в пространстве. Пусть О, С\ являются точками подвеса и центра масс гироскопа соответственно, при этом точка О совершает перемещения по случайному закону вдоль неподвижной прямой. Для изучения углового движения гироскопа введем правые ортогональные трехгранники С^Сз, П1П2Пз, 212223 и У\У2У3- Трехгранник £ считаем неподвижным. Начала трехгранников ц, 2 и у выбираем в точке О. Оси П' параллельны о сям ^ .Трехгранник 2 связываем с вектором кинетического момента гироскопа К, при этом ось 23 направляем вдоль К. ТрехУ Уз

Направление оси у1 выбираем так, чтобы вектор дебаланса Е = ОО1 лежал в плоскости

УіУз. Согласно определению трехгранника у проекции вектора E та оси УіУ2Уз имеют

ВИДІ

Здесь E — модуль дебаланса, в = const — угол между E и экваториальной плоскостью эллипсоида инерции.

Взаимное положение введенных выше трехгранников определим следующим образом: трехгранник £ получается из трехгранника п двумя последовательными поворотами на угол а вокруг оси ni и та угол р вокруг второй оси промежуточного трехгранника. Трехгранник у получается из трехгранника 2 тремя последовательными поворотами: на угол ф вокруг оси Zi, на угол $ вокруг второй оси и на угол <р вокруг третьей оси промежуточных трехгранников. В качестве фазовых координат, задающих угловое движение гироскопа, выберем следующие элементы: величину модуля вектора кинетического момента K, углы а, р, ф и направляющие косинусы G1 = sin $, G2 = — sin ф cos $, G3 = cos ф cos $ оси ОУЗ с осями трехгранника Z. Предположим, что перемещение точки подвеса О происходит вдоль прямой, параллельной оси £з. Угловое движение гироскопа будем изучать в системе координат ОП1П2ПЗ • Для этого к центру масс Oi необходимо приложить силу инерции переносного движения F (t), которую считаем нормальным стационарным случайным процессом с нулевым средним и заданной корреляционной функцией N (t) и соответственно спектральной плотностью Б(\).

E

тотического решения. При E = 0 имеем свободное движение симметричного тела

% — коэффициент сплюснотости главного эллипсоида инерции тела, К = 1 — в невозмущенном движении.

Возмущенное движение при Е = 0 опишем В НОВЫХ перемещениях Х1, Х2, Хз, Х4, Х5, Хб, которые будут уже функциями времени. Уравнения возмущенного движения имеют следующий вид [1]:

X6 — KG3(1 + x) l + K (g2 + G2) [G3Gl — є (mlG2 — m2G3tgxl)] , є — EFqIiKq 2.

Здесь т%(г = 1,2,3) — проекции момента силы Е относительно точки О та оси 2%, II — экваториальный, 1з = /1(1 + %) — полярный моменты инерции гироскопа. Ео, Ко — характерные значения Е и К, • — означает дифференцирование по времени т. Эта система является стохастической системой дифференциальных уравнений.

Применяя схему осреднения и используя уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка для переходной функции плотности распределения вероятностей, получим дифференциальные уравнения для моментных функций первого и второго порядков [2, 3]. Не выписывая эти уравнения в общем виде, ограничимся окончательным представлением средних величин как функции времени:

Eyl = E cos в, Ey2 = 0, Ey3 = E sin в■

p = xl, а = x2, K = 1 + x3, Gl = x4 sinт + x5 cosт,

т

0

xi = const, i = 1, 2, ...б.

KXl = єml, Kcosx-}_X2 = —єm2, К = єm3,

X4 = —x3x5 + єK-l [—x5m2tgxl + (m2 cos т — ml sinт) G3], X5 = x3x4 + єK-l [x4m2tgxl + (m2 sinт + ml cos т) G3] ,

т.

Таким образом, имеет место линейное по времени нарастание квадратичного отклонения вектора кинетического момента относительно инерциального пространства, а также оси динамической симметрии гироскопа относительно направления вектора кинетического момента, при этом скорость квадратичного ухода гироскопа пропорциональна значению спектральной плотности случайной вибрации на частоте собственного вращения гироскопа, а квадратичное отклонение оси динамической симметрии от направления вектора кинетического момента пропорциональна значению спектральной плотности на частоте равной сумме частот прецессионного и собственного вращения гироскопа.

Отсюда следует вывод: наличие радикального дебаланса (в = 2) приводит к дестабилизирующему эффекту в движении гироскопа. При (в = 2) (случай гироскопического маятника) следует вывод о невозмущаемости гиромаятника в среднеквадратичном при вертикальной вибрации [4]. Анализ уравнений для моментных функций первого порядка приводит к следующему выводу: при произвольном значении в < р > и < а > экспоненциально затухают, а

1. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Наука, 1975.

2. Стратонович Р. П. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Наука, 1961.

3. Хасьминский Р. 3. Предельная теорема для решений дифференциальных уравнений со случайной правой частью // Теория вероятностей и ее применения. Москва, 1966. Т. 11. № 3. С. 444-462.

4. Медведев А. В. Движение быстро закрученного гироскопа под действием постоянного момента в сопротивляющейся среде // Известия АН СССР. МТТ. 1989. № 2. С. 21-24.

Medvedev A. V. Non-contact gyroscope dynamics under random base vibration. Problem of fast-rotating unbalanced gyroscope under uniaxial vibration, which is presumed as stationary stochastic process, is analyzed in this paper. Equations of first- and second-order torque functions were obtained and analyzed with the help of stochastic system averaging method.

Key words: gyroscope; trihedron; unbalance; random process; correlation function; kinetic moment; moment of force; stochastic equation; averaging method; torque functions.

ЛИТЕРАТУРА

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.