Об устойчивости стационарного движения гироскопа в кардановом подвесе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.314

Д-р физ.-мат. наук С. А. Агафонов1, канд. физ.-мат. наук И. А. Костюшко2,

канд. физ.-мат. наук С. П. Швыдкая2, А. В. Куземко3

1 Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва,

2 Запорожский национальный университет, 3 Запорожский национальный технический университет; г. Запорожье

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ

Исследуется устойчивость стационарного движения уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе, установленном на неподвижном основании. На ось внешнего карданова кольца действует момент вязкого трения и момент, представляющий собой функцию угла поворота внутреннего кольца. Анализ устойчивости проведен с указанием оценки области притяжения. Отметим, что вынужденные колебания гироскопа в кардановом подвесе, когда на ось внутреннего кольца действует периодический момент и момент сил вязкого трения изучены в [1].

Ключевые слова:устойчивость, стационарное движение, гироскоп, карданов подвес, область притяжения, функция Ляпунова.

Уравнения движения

Рассматривается уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании. Ось внешнего карданова кольца горизонтальна, а поворот ее определяется углом а. Поворот внутреннего кольца характеризуется углом р, причем при значении р = 0 плоскости внешнего и внутреннего колец ортогональны.

Кинетическая энергия всей системы имеет вид [1]:

Т = 2 К Со бШ 2

в) 2 + В0в 2 + С (ф + а бш в)

А0 — А + А1 + А2, В0 — А + В1, С0 = А + А1 - С1.

Здесь А2 - момент инерции внешнего кольца относительно его оси вращения; А1, В1, С1 - моменты инерции внутреннего кольца относительно осей, связанных с этим кольцом; А , С - экваториальный и полярный моменты инерции ротора, а Ф - угол его собственного вращения.

Пусть на ось внешнего карданова кольца действует момент вязкого трения с коэффициентом к и момент, представляющий собой функцию угла в : Ма — -ка-/(в). Будем считать, что функция /(в) удовлетворяет условиям: /(0) = 0, в/(в) > 0, / (в) е С1. Дополнительные ограничения на класс функций I (в) вводятся в дальнейшем по мере необходимости.

Уравнения движения с учетом момента М а после исключения циклической координаты Ф, можно привести к виду

(а - С0 БШ2 в) - С0 БШ2вав + + Н соб вв + ка +/ (в) = 0,

•• 1 2

В0в + — С0 Бш2ва2 - Н СОБ вех = 0,

(1)

где

Н — С(ф + а бш в) -

- циклическая постоянная.

Обозначим а = х1, в = х2, в = х3 и запишем уравнения (1) в нормальной форме Коши

С0 бш 2 х2 А0 - С0 БШ2 х2

Н СОБ х2

А00 - С0 БШ Х2

-х3 -

/ (Х2)

А0 С0 Х2

А0 С0 Х2

Х3 = - -2 С0 В01 бш(2 х2 ) + НВ01 соб х2 х1.

2 Анализ устойчивости и оценка области притяжения

Уравнения (2), очевидно, имеют решение

Х1 — Х2 — Х3 — 0 ,

(2)

(3)

при котором плоскости внешнего и внутреннего колец ортогональны. Примем это решение за невозмущенное и поставим задачу о его устойчивости. Рассмотрим сначала уравнения первого приближения

(/ (х2 )— ах2 ) :

ХХ -

13

х^ = х

2

3

xXl = - НАо

х3 кА0 Х1 aAQ Х2,

хх3 = HBQ1x1.

(4)

x2

V = || fз + хэ/, ^2 ) +

(

+1 /2 (х2 )х32 +1 /1 (х2 )х32 +

Производная от функции

,,п-1 Н 2 2 + |НВ0 х1х3 cos х2 +--- х1 cos х2

2В(

(7)

V =

| аН 2 аН

х2 + х2хз

2аовО 2аО В(

х^ хз +

( Н2 |к Ч2А( В( +'

2 А(

Л _ Н 2 х| + |НВ1_1х1х3 +--— х12

2В

в силу системы уравнений (4) равна

V = --

Н

А(

■ (к - А(|)х12--Н— (|Н - а).

А( В(

(5)

■Л (х2 ) =

А( С( Б1П х2

/2 (х2 ) =

Н 2 СОБ2 х2

1А0 С0 Б1П х2 В(

/ (х )= ■ НСОБх2/(х:

А0 С0 Б1П х2 В((

В (7) | > ( постоянный параметр. Производная V , вычисленная в силу уравнений (2) приводится к виду

К = _Тл2 _Т2х|,

(8)

При любом значении параметра | из интервала

аН-1 < | < кА-1 функция V > (, а V < (. Для того, чтобы этот выбор параметра | был возможен, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

к > аА( Н 1.

(6)

Неравенство (6) является условием асимптотической устойчивости стационарного движения (3), так как функция (5) удовлетворяет всем условиям теоремы Бар-башина-Красовского.

Можно показать, что применение критерия Рауса-Гурвица приводит к тому же условию. Отсюда следует, что анализ устойчивости, проведенный с помощью функции (5), дает не только достаточное, но и необходимое условие асимптотической устойчивости. Отметим, что асимптотическая устойчивость стационарного движения достигается силами частичной диссипации, так как они действуют только в оси внешнего карданова кольца.

На основании теоремы Ляпунова эти результаты справедливы и для исходной нелинейной системы (2). Однако в прикладном аспекте этой задачи одного анализа устойчивости недостаточно. Важно знать множество точек в фазовом пространстве, притягиваемых при / ^ ж к стационарному движению (3). Это множество называется областью притяжения. Нахождение этой области представляет собой важную и трудную задачу. Сложность заключена в том, что область притяжения ограничена поверхностями, состоящими из целых траекторий [2]. Нахождение последних сводится к интегрированию уравнений движения. Эту трудность можно обойти, если ограничиться нахождением оценки этой области. Эта задача и решается ниже.

Рассмотрим функцию:

^ = Н2 соб2 х2 (

ВО

к

А( - С( б1П х-

С(Н СОБ х2 Б1П х2 ( С(БШ2 х2 )2

/ (х2 ) +

|НС( . 2

+---1 Б1П х2 СОБ х2 х1 +

В(2 2 2 1

+ ^У1 ^ (А(( 2" С) Б1П х2 СОБ х2х3, ( - С(Б1П2 х2 )

% =

_СОБ2 х2 Н СОБ х2/' (х2 )

2 В(( (Ао - С( б1п2 х2) В( (кq - С(( б1п2 х2

+ 1Н(Л - С0~ С( С0б2 х2)1пх2 х +

1

+ ((( - С())2 -|кВ(С( )п 2х2 В( (аО - С0 ^Ш2 х2 ^

)

х3 +

+ Н (ао - С0 - С0 С0Б' х2 )б1п х2 / (^ ).

2 )б1п

В0 (-^О - С0 б1п2 х2 )2

Запишем функцию V в виде

V = V + | (/1 -1)х3 + -2 (А3 + НВ0-1 С0Б х2х1 )2

V =|

2|

( Л2

^ (х2)

Н/2( х2) -

/32(х2) Л 2^ (х2)

х32, ^(х2) = I /3

х^ = х

2

3

к

+

+

I

+

1

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2013

127

Предположим, что f (x2) такова, что существует

fx2 А-12 предел ю = limf (x2) Jf (^)d^

конечный

при

х2 ^ 0. Тогда можно определить по непрерывности V (0,0) — 0 . Зададимся числом 0 < х* < л/2 и будем считать, что значения переменной х2 заключены в

1 1 * промежутке х2 < х2.

Функция (7) является определенно - положительной при выполнении неравенств

ц < / (х2 ), ц / (х2 ) - /32 (х2 )/2 ^ (х2 ) > 0, которые можно записать в форме

м<-

k

A0 - C0 sin x2

цЯ - f 2 (x2)

2(Ao - C0sin2 ,2 ) ,COSj f (5¡.

Aq - Co sin 5

>°.(9)

Неравенства (9) заведомо выполняются, если параметр ц изменяется в пределах

мя< м < м0\

(10)

M = max х

|х) |<Х)

f 2 (2)

2(A0 - C0 sin x2

*2 COs 5 f (5) ,0 Aq - Cosin2 5

d5

Из условия (10) получим условие определенной положительности функции V

k > MA0 Я-

(11)

Параметр ц любой из интервала (10). Заметим, что в линейном приближении, когда / (х2) — с/х2, неравенство (11) совпадает с (11) (М — а).

Обратимся теперь к выражению для V (8). При оценке снизу функции ч второе слагаемое отбрасывается, так как оно принимает неотрицательные значения. Учитывая, что

sin x2 cos x2 <

2 sin x2cos x2

3л/3 ' A0 - C0 sin2 x2 A0 (( - C0) и используя неравенство Коши-Буняковского, имеем

^ >

Я2 cos2 x*

( -м)-

2МЯС^, i , мкБ0С0 + (( - Co ))2

x, +

^л/3Бо2' ' 2B0yjAq ((q - Co ) (kAo-1 - м)-

Я2 cos2 x

Б0

4M2 Я 2CQ + ((Co +((0 - Co ) 2 ) 4Бо4 aq ((0 - cQ )

27 Bo4

:(( + x2 )

> 0.

(12)

Из неравенств (12) получим

Xj2 + x32 < Rl, R2 = D1 /D2 , (11)

D = 108A0 (A0 - C0 ))4 cos4 x* ((1 - ц),

Di = 16ц2A0((0 -C0)2C02 + 27(C0 +((0 -C0)2)2.

При оценке снизу T2 отбрасывается третье слагаемое, принимающее неотрицательные значения, так как для реально существующих приборов A0 > 2C0. Кро-

ме того, обозначим m = max*

|x21< x2

cos X-

f' (x2 )

AqCq sin x2

. Тогда бу-

дем иметь

^ >

Я

Aq Bo

(мЯ

cos x* - A0m -

мЯ

( - C0 - C0 cos2 x*)sinx2 bq (o - cQ sin2 x

x, -

|(Aq - Co ) 2 -HkBoC,

o2 0Co

2Bq (AQ - Cosin2 x2

)2

x3\>

Я

(мЯ

cos2 x* - A0m)-

Bq2 (Ao - Cosin2 x

м2Я2 (a0 - C0 - C0 cos2 x2 )2 sin2 x2

( - Co ) 2 -HkBoCo) 4Bq2 (Aq - Cosin2 x* )

(A + x2 )

> 0.

Из последнего неравенства получим

-1

х

1

х

xx2 + Хз2 <R22, R22 = E\¡E2 E1 = 4H2 (h

\2 (

cos2 x* - mA0) (0 - C0 sin2 Х

(14)

E = a2 E2 ~ A0

4ц2H2 ( - C0 - C0 cos2 x*) x

(. • 2 * r • 2 *

A0 - C0 Sin Х2) Sin Х2 + + (,0,-((0 - C0)2 )2 ].

Из неравенств > 0 и T2 > 0 следует, что параметр М- изменяется в пределах

A0 m

Hcos2 x*

< М < kA01

(15)

Сравнивая с неравенствами (10), получим p = max

pH 1 < м < kA01,

( л \ M A0m

2* cos x2 j

(16)

Если переменные x1, x2, x3 принадлежат области |x2| < x*, x2 + x32 <R2, R2 = minR2,R22) (17)

и выполнено неравенство

к > pA0 H ,

(18)

то V > 0, а V < 0 , причем множество V = 0 не содержит целых траекторий в силу условия х2 / (х2 )> 0 при

х2 * 0.

В линейной постановке, когда /(х2) = ах2 неравенство (18) совпадает с (6), так как р = М = А0т = а . Параметр М- входит в выражения для R1 и R2, поэтому его выбор из интервала (16) диктуется необходимостью получения наибольших значений ^ и R2. Эта задача здесь не решается.

3 Численный пример Рассмотрим прибор, имеющий следующие параметры [3]: А = 2 гсмс2, С = 3,3 гсмс2,

А1 = Б1 = 2,2 гсмс2 , С = 2,8 гсмс2 , А2 = 8,5 гсмс2 ,

Н = 104 гсмс .

Функция f (x2 ) = a sin x2, a = 100 гсм. При таком выборе

(

x2

V X

f x ^ f (x2 )x[íf fe*

: (2a)>í A0

= 12,7 гсмс,

B0 = 4,2 гсмс2, C0 = 1,4 гсмс2.

Перейдем к оценке области притяжения. Для этого необходимо задать х*. Примем х* = л/ 6 и найдем m и M . Так как f' (х2) = a cos х2, то

a cos2 х2 .1 „„„. -2

m = max -2— = aA0 = 7,874 сек ,

|х216 A0 - C0 sin2 х2

M = max

max —t

|x21<*/6 2(

iA0 C0 sin x2 1

2 a cos 5 sin 5 ^^ IAq -C0 sin2 5

max |x2|<л/6 (

aC0 sin2 x2

A0 - C0 sin2 x2

ln-

A0 - C0 sin2 x2

aC0 sin2 x2*

(aq - Cq sin2 x*j

ln

A0 - C0 sin2 x2*

-101,41 гсм.

Тогда р = 133,33 гсм, а неравенство (18) принимает вид при к > 0,169 гсмс. Выберем к = 0,4 гсмс. Параметр М изменяется в пределах

0,013 с-1 <м<0,031с-1. Примем ц = 0,02 с-1. Вычисления по формулам (13), (14) дают значения R1 = 0,018 с-1, R2 = 0,0124 с-1. Следовательно,

R = R1 = 0,018 c-

а область притяжения

|x2| <п/6, x2 + x32 < R.

Список литературы

1. Журавлев В. Ф. Прикладные методы в теории колебаний / В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов. - М. : Наука, 1988. -326 с.

2. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова / Барбашин Е. А. -М. : Наука, 1970. - 240 с.

3. Климов Д. М. Динамика гироскопа в кардановом подвесе / Д. М. Климов, С. А. Харламов. - М. : Наука, 1978. - 208 с.

Одержано 04.10.2013

Агафонов С.А., Костюшко И. А., Швидка С.П., Куземко А.В. Про стшккть стащонарного руху проскопа в кардановом тдвт

Дослгджуеться стгйюсть стацгонарного руху вргвноваженого ггроскопа в кардановому nideici, встановленому на нерухомому niдcтавi. На вкь зовнiшнього карданова юльця die момент в'язкого тертя i момент, який представляе собою функ^ю кута повороту внутрiшнього юльця. Аналiз ^iü^^i проведено i3

-1

22

-1

ISSN 1607-6885 Нов1 матер1али i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2013

129

зазначенням оцiнки областi тяжiння.Зазначимо, що вимушенi коливання гiроскопа в кардановому nideici, коли на eicb внутрiшнього кшьця die nерiодичний момент i момент сил в 'язкого тертя вивченi в [1].

Ключовi слова: стшюсть, стацюнарний рух, гiроcкоn, карданов nidsic, область тяжiння, функщя Ляпунова.

Agafonov S., Kostushko L, Shvydkaia S., Kuzemko A. On the stability of steady motion of the gyroscope in gimbals

The stability of steady motion of a balanced gyroscope gimbal mounted on a stationary base is studied. On the axis of the outer gimbal ring operating point of viscous friction and the moment, which is a function of the angle of rotation of the inner ring are acting. Analysis of stability and an assessment was carried out showing estimation of the attraction field. Note that the forced oscillation gyroscope in gimbals, when the axis of the inner ring acts periodic moment and the moment of viscous friction were studied in [1].

Key words: stability, steady motion, gyro gimbals, domain of attraction, Lyapunov function.

УДК 621.874: 539.3

В. А. Лятуринский, канд. техн. наук М. В. Сидоренко Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕСВАРОЧНОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОРОБЧАТЫХ КРАНОВЫХ БАЛОК С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ШВАМИ

Моделируется возникновение остаточных напряжений и деформаций при сварке крановых балок коробчатого сечения. Рассмотрено влияние различных технологических факторов на послесварочное напряженно-деформированной состояние узла с радиусным переходом. Доказана необходимость учета фазовых и структурных превращений стали при моделировании. Выявлена взаимосвязь характерных разрушений узлов с картинами остаточных напряжений.

Ключевые слова: остаточные напряжения, металлоконструкция, кран, сварка, конечные элементы.

Введение

Наиболее распространенными для кранов мостового типа являются балочные металлоконструкции, в которых влияние остаточных напряжений вызванных технологическим процессом сварки сопоставимо с воздействием концентраторов напряжений [1]. Данные конструкции изготавливаются из малоуглеродистых и низколегированных сталей, у которых вызываемые сваркой температурные деформации приводят к остаточным напряжениям близким к пределу текучести [2]. Наложение полей эксплуатационных и неучтенных сварочных напряжений приводит к появлению отличных от расчетных деформаций элементов конструкций. В связи с этим, вопрос эффективности моделирования технологического напряженно-деформированного состояния (НДС) крановых металлоконструкций балочного типа является актуальным.

Исходные предпосылки

На сегодняшний день проведено ряд исследований, посвященных остаточным напряжениям и деформациям, вызываемых сваркой [3, 4 и др.]. Типичные картины НДС, возникающего при наложении

прямолинейных угловых и стыковых сварных швов на листовые элементы простой геометрии, в полной мере представлены в литературе. Однако применимость данных результатов на практике сдерживается сложностью переноса картины напряжений и деформаций отдельно взятых свариваемых образцов на реальные сложные пространственные конструкции. Для моделирования сварочного процесса разработано несколько методик, преимущественно основанных на методе конечных элементов (МКЭ), каждая из которых имеет свои ограничения и область применения. До недавнего времени значительный набор упрощений моделирования, вызванных сложностью процесса сварки, приводил к низкой сходимости расчета с экспериментом. Сегодня использование мощных сред компьютерного моделирования (САЕ) позволяет учесть большее число факторов и добиться сходимости расчетных и экспериментальных данных. В данной работе для моделирования используются САЕ среды компании ESI (Visиаl, Sys).

Исследованию НДС коробчатых балок крановых металлоконструкций уделялось внимание в немногих работах [5, 6 и др.]. Результатов моделирования

© В. А. Лятуринский, М. В. Сидоренко 2013

130