CC BY
4
I
SCIENCE TIME
I
УСТОЙЧИВОСТЬ МАКРОСИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ МИНИМУМА ПРОИЗВОДСТВА ЭНТРОПИИ
Стрельцов Олег Борисович, Филиал Военной академии РВСН имени Петра Великого, г. Серпухов
E-mail: [email protected]
Аннотация. Использование системного подхода позволяет определить устойчивость систем различных классов. При оценке существования систем мы сталкиваемся со сложным взаимодействием и самоорганизацией естественных и социальных систем и их компонентов. Одним из вариантов применения законов термодинамики и теории информации к оценке устойчивости развития систем является критерий минимального производства энтропии, которую можновычислить по временному ряду данных.
Ключевые слова: энтропия, макросистема, аттрактор.
Современная наука обладает огромным багажом знаний макросистем и процессов, протекающих в них. Задача определения устойчивости таких макросистем, как город, регион, область, государство, не может решаться в рамках анализа одной лишь макросистемы. Каждая такая система состоит из большого количества подсистем, которые не только развиваются как самостоятельные системы, но и тесно взаимодействуют между собой.
При рассмотрении состояния и поведения макросистем следует обратить внимание на такое фундаментальное понятие, как энтропия.
Энтропия (от греч. entropía — поворот, превращение) — понятие, применяемое в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. Это понятие было введено Р. Клаузиусом (1865), который показал, что процесс превращения теплоты в работу следует общей физической закономерности — второму началу термодинамики. Его можно сформулировать строго математически, если ввести особую функцию состояния — энтропию.
В современной термодинамике второе начало термодинамики формулируется единым и самым общим образом как закон возрастания энтропии [1]. Согласно этому закону, в замкнутой системе энтропия S при любом реальном процессе либо возрастает, либо остается неизменной. В состоянии равновесия энтропия замкнутой системы достигает максимума (критерий максимума производства энтропии) и никакие макроскопические процессы в такой системе, согласно второму началу термодинамики, невозможны. При постоянном объеме V и температуре Т равновесию отвечает минимум свободной энергии F (гельмгольцевой энергии) [1]:
5
1 SCIENCE TIME 1
F = U - TS, (1)
где и — внутренняя энергия; S — энтропия; Т — температура.
А при постоянном давлении р и температуре Т — минимум термодинамического потенциала G (гиббсовой энергии):
в = Н - ТБ, (2)
где Н — энтальпия; S — энтропия; Т — температура.
Однако определенным значениям внешних параметров (р, V, Т и др.) может соответствовать несколько экстремумов (максимумов или минимумов) одной из перечисленных выше функций. Каждому из относительных минимумов функции F или G соответствует устойчивое по отношению к малым воздействиям или флуктуациям состояние. Такие состояния называют метастабильными [1]. При небольшом отклонении от метастабильных состояний система возвращается в это же состояние, однако по отношению к большим отклонениям от равновесия она неустойчива и переходит в состояние с абсолютным минимумом термодинамического потенциала, которое устойчиво по отношению к конечным отклонениям значений физических параметров от равновесных. Таким образом, хотя метастабильные состояния в известных пределах устойчивы, рано или поздно система все же переходит в абсолютно устойчивое, стабильное состояние.
Например, построение прогнозных моделей для социально-экономических объектов затрудняетсяограниченным объемом информации и отсутствием полных сведений о законах распределения параметров [3]. Это, в свою очередь, делает невозможным применение традиционных методов анализа и оценки таких моделей. В этом случае для анализа социальных и экономических макросистем предлагается использовать эмпирическую функцию распределения и принцип максимума неопределенности (т. е. принцип максимального производства энтропии). Данный метод реализован на основе информационной энтропии Шеннона
Н(А) = -^рк 1прк, (3)
к=1
и таком понятии, как энтропийная метрика
к = НТ (в)- НЭ (в), (4)
которая является разностью теоретической и эмпирической энтропий [3].
6
1 SCIENCE TIME 1
Подобный подход используется, например, и для моделирования функционально-пространственной городской системы, которая представляет собой сложную макросистему с большим количеством подсистем. Анализ подобного рода макросистем предлагается вести с помощью «принципа максимизации энтропии». Суть этого принципа заключается в следующем.
Состояние сложной иерархической макросистемы является величиной случайной, и его можноохарактеризовать функцией распределения вероятностей Р{К1.... Кт}. Для описания вероятностных свойств макросистемы с таким распределением вводится понятие энтропии S = с1пР, которая имеет «острый максимум». В этом случае макросостояние, реализуемое в данной системе, соответствует максимуму энтропии.
В качестве наиболее интересного, на мой взгляд, примера можно привести «звезду ориентиров», предложенную Хартмутом Босселем. Суть этой модели заключается в следующем.
Для оценки устойчивости системы Х. Боссель вводит такое понятие, как «жизнеспособность» системы [2]. Чтобы сохранить свою жизнеспособность, система должна адекватно реагировать на угрозы в ее адрес. При этом время длительности реагирования системы должно быть меньше, чем время распространения угрозы.
Для количественной оценки устойчивости (или жизнеспособности системы) используется безразмерный показатель Бьесиота [2], который определяется как отношение двух конкретных скоростей изменения в заданном промежутке времени: скорости реагирования и скорости распространения угрозы (возмущения). Если обе скорости равны между собой, то показатель Бьесиота равен единице. Следовательно, значение, равное единице, служит критической отметкой: если скорость реагирования окажется выше скорости распространения угрозы, то система будет способна справиться с конкретной угрозой, если ниже, то жизнеспособности системы будет угрожать опасность.
Существование
Безопасность Рис. 1 Звезда ориентиров
1 SCIENCE TIME 1
Как показано на рисунке, если значение показателя Бьесиота хотя бы для одного из базовых ориентиров находится внутри круга единичного радиуса, то жизнеспособности всей системы угрожает опасность и система переходит в неустойчивое состояние [2].
Для оценки выбранных показателей предлагается использовать критерий минимума производстваэнтропии. В отличие от метода «звезды ориентиров», недостатком которого является то, что он дает представление только об устойчивости движения системы, а не об устойчивом развитии, критерий минимума производства энтропии, наиболее полно отражает устойчивость макросистемы.
Набор показателей для удовлетворения базовых ориентиров представляет собой не что иное, каквременной ряд, т. е. статистический ряд, характеризующий изменение (развитие) каких-либо явлений во времени. Поэтому возникает вопрос о необходимости вычисления энтропии на основе временного ряда для того, чтобы оценить поведение любого из базовых ориентиров, а следовательно, определить жизнеспособность (или устойчивость) макросистемы в целом.
Для этого обратимся к анализу хаотических систем. В последние 15-20 лет ведется интенсивное изучение хаотических систем и процессов и развились два основных подхода к их идентификации и анализу. Первый подход достаточно традиционен и базируется на изучении поведения модели динамической системы достаточно простого объекта, которая представляется в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и может быть получена на основе представлений о физической природе процесса. Однако для реальных хаотических процессов чаще всего не представляется возможным найти адекватное описание с помощью системы дифференциальных уравнений. Второй подход к идентификации хаотических систем основан на наблюдении хаотических процессов и на построении аттрактора в так называемом реконструированном фазовом пространстве, которое восстанавливается изнаблюдаемого временного ряда, представляющего собой последовательность дискретных значений какой-либо переменной, генерируемой системой. Аттрактор — множество, на которое выходит система при бесконечном росте времени. Выход на это решение происходит из целой области начальных условий: происходит «забывание» системой начальных условий.
Для вычисления такой характеристики аттрактора, как энтропия, необходимо иметь множество точек, определенных в фазовом пространстве размерности п и принадлежащих аттрактору. Число точек М в расчетах конечно, но обязано быть достаточно большим:
М > Мтт = 102+0'ш, (5)
где D — размерность аттрактора. В случае, когда динамическая система задана дискретным оператором отображения, точки находятся автоматически
| SCIENCE TIME Щ
после задания начальных условий. Если динамическая система задана системой дифференциальных уравнений, то в общем случае решение может быть найдено только численным интегрированием системы на компьютере. Обычно используют метод Рунге-Кутта 4-го порядка, погрешность задают 10-4 - 10-8, шаг счета определяется конкретной системой и должен быть выбран в сравнении с наименьшим из ее характерных времен.
Однако часто требуется вычислить характеристики аттрактора некоторой реальной системы,математическая модель которой неизвестна. При этом, как правило, неизвестна и размерность ее фазового пространства. В этой ситуации мы располагаем информацией о поведении во времени какой-либо одной из динамических переменных. К тому же и интервал времени экспериментальной реализации естественно ограничен. Можно ли в таких условиях получить характеристики аттрактора?
Путь к решению этой проблемы был предложен Такенсом. Восстановление аттрактора по временному ряду осуществляется следующим образом.
Пусть имеется временной ряд экспериментальных данных,
представляющий собой отсчеты некоторой физической величины: {Sk 0 . Если
известен шаг по времени Dt, то времяt = KAt Предполагается, что физическая величина S является одной из переменных динамической системы. Система находится в стационарном режиме, т. е. фазовая траектория проходит внутри аттрактора. Для восстановления аттрактора Такенсом предложен метод временной задержки координат. В n-мерном фазовом пространстве строится последовательность точек вида:
Xk =( Sk, Sk+t ,...,Sk+(„-i)+t) (6) k=0; m-1, m = M-(n -1) т, (7)
здесь т — временная задержка; n — размерность вложения.
Основной результат Такенса состоит в следующем. Если М ^ да, то
множество точекхк е Як задает вложение исходного аттрактора почти при любом выборе наблюдаемой переменной, если п не меньше удвоенной размерности исходного аттрактора. Для оценки характеристик реального исследуемого аттрактора можно вычислять характеристики восстановленного аттрактора. С целью уменьшения ошибки, обусловленной конечностью набора
экспериментальных точек , необходимо проводить расчеты при
нескольких различных значениях М и п и добиваться независимости получаемых оценок характеристик от М и п в пределах заданной точности.
I
SCIENCE TIME
I
Для малых шагов по времени At значения Skи Sk+l будут близкими, поэтому большое значение приобретает правильный выбор временной задержки 1 Необходимо стремиться выбрать t так, чтобы корреляция между Skи Sk+l была по возможности минимальной. Традиционный способ выбора временной задержки состоит в вычислении автокорреляционной функции временного ряда:
1 т—1
%)=т £ (——^ (8)
т к=0
Задержка т выбирается равной времени первого пересечения нуля автокорреляционной функции. Второй способ требует вычисления спектра мощности временного ряда, т. е. быстрого преобразования Фурье автокорреляционной функции. Если в спектре мощности присутствуют кратные пики, то задержкам выбирается равной четверти периода самой высокой из доминирующих частот. Третий способ основан на вычислении средней взаимной информации между двумя измерениями. Пусть даны два множества измерений А и В. Взаимная информация между элементом ai множества А и элементом Ь множества В определяется как количество информации, которое имеют измерения ai и Ь по отношению друг к другу:
l
a,b,
ln
pAB (a,b) Pa (a )PB (b )
(9)
Если измерения независимы, то Усредняя по всем измерениям, получаем:
взаимная информация равна нулю.
1ab = Z Pab (a >b )ln
Pab (a >b)
(10)
.. (а )Рв (Ь)
Заменяя аi и Ь на Sk и Sk+t соответственно, получаем среднюю взаимную информацию как функцию временной задержки т. Задержка т выбирается равной времени первого минимума во взаимной информации [4].
В случае модельных данных, когда нам известна размерность п фазового пространства динамической системы и все п координат каждой точки на аттракторе, корреляционную размерность D2 аттрактора находят следующим образом [4].
Рассмотрим корреляционный интеграл С(г), показывающий относительное число пар точек аттрактора, находящихся на расстоянии, не большем г:
1 т—2 т—1
с (г )=т (т 1)/2 £ 21 —р (, х, ))■
■1)1 £ 1=0 , =1+1
(11)
m m
здесь 0 — функция Хевисайда:
10
| SCIENCE TIME Щ
0(а) = С!; (12)
р — расстояние в п-мерном фазовом пространстве; т — число точек xiна аттракторе.
Если выполняется условие:
С (г )« г°2, (13)
то D2 считают корреляционной размерностью аттрактора.
Справедливость приведенного степенного закона ограничена значениями г, достаточно малыми по сравнению с размером аттрактора. При увеличении г величина С(г) достигает насыщения С(г) ^ 1(при г, сравнимых с размером аттрактора). С другой стороны, при очень малых значениях г число пар точек х^ xj, расстояние между которыми не превышает г, становится малым (из-за конечности числа точек на аттракторе) и статистика становится бедной. Кроме того, приобретает решающее значение влияние инструментальных ошибок измерения сигнала. Следовательно, на практике степенной закон выполняется только в ограниченном диапазоне значений г (так называемом скейлинговом диапазоне), который и может быть использован для определения размерности аттрактора.
Учитывая, что из (13) следует:
1п С ( г )* Б21п г, (14)
получаем оценку размерности аттрактора как тангенс угла наклона прямой, аппроксимирующей график корреляционного интеграла С(г) в двойном логарифмическом масштабе.
В случае экспериментальных данных мы обычно не знаем размерность фазового пространства системы и располагаем информацией только об одной координате точек на аттракторе. Поэтому все расчеты проводятся для нескольких размерностей фазового пространства п = 1, 2, 3... Для восстановления аттрактора используется метод Такенса. При этом корреляционная размерность аттрактора D2(n) сначала возрастает, но затем обычно выходит на постоянный уровень D2(n) ~ D2. Таким образом, получают искомую корреляционную размерность D2 аттрактора и оценку размерности фазового пространства системып < 2D2 + 1. Если же выходной сигнал динамической системы сильно зашумлен, то размерность аттрактора постоянно растет.
Как уже говорилось выше, для диссипативной системы характерно сжатие объемов в фазовом пространстве, что приводит к потере информации. Скорость потери информации определяется с помощью энтропии Колмогорова. Она измеряет информацию за единицу времени для серии следующих друг за другом измерений и рассматривает динамику процесса.
| SCIENCE TIME Щ
Произведем разбиение фазового пространства, включающего в себя аттрактор, на М(е) непересекающихся n-мерных кубиков с ребром е. Проделаем промежутки времени t отмечая кубики si, в которых побывала траектория. При каждом независимом испытании получим конкретную реализацию в виде последовательности кубиков si, ...,sm. Пусть нам известны вероятности P(si, ..., sm) появления всех возможных последовательностей кубиков. Тогда энтропия Колмогорова определяется следующим образом [4]:
K =-limlimlim
1 r^0 t^0 m^0
— ¿P (S,...,Sm) ln P ( ,...,Sm)
ттт T
7 ■ ■ ■ I
(15)
Корреляционная энтропия К2 может быть определена следующим образом. Для этого также вычисляют корреляционный интеграл (11), но рассматривают не только его зависимость от расстояния г, но и от размерности фазового пространства п. При этом полагают, что
С(г,п) ~ г °2ехр(-пК2), (16)
откуда
ф К2 (г, п) = Ы-С^. (17)
п ' С (г, п +1)
Корреляционная энтропия аппроксимируется в приемлемом диапазоне значений г и п [4].
Характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы, обратно пропорционально энтропии Колмогорова. Если энтропия достигает нуля, то система становится полностью предсказуемой (критерий минимума производства энтропии).
Таким образом, жизнеспособность (или устойчивость) макросистемы оценивается на основе выбранных показателей, представленных временными рядами, с помощью критерия минимума производства энтропии.
Литература:
1. Базаров И. П. Термодинамика. М.: Высш. шк., 1991. 412 с.
2. Боссель Х. Показатели устойчивого развития: Теория, метод, практическое использование. Отчет, представленный на рассмотрение Балатонской группы / Пер. с англ. Под ред. Цибульского В. Р. Тюмень: Изд-во ИПОС СО РАН, 2001. 123 с.
3. Ивченко Б. П., Мартыщенко Л. А., Табухов М. Е. Управление в экономических и социальных системах. Системный анализ. Принятие решений в условиях неопределенности. СПб.: Нордмед-Издат, 2001. 248 с.
4. Колмогоров А. Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. РАН СССР, Т. 124, 1959. С. 750-755.
12
