CC BY
571
Intellectual Technologies on Transport.2015. №2
Реализация программного комплекса для вычисления фрактальных параметров
сложных систем
Захаров А.И., Загайнов А.И.
ВКА им. Можайского Санкт-Петербург, Россия [email protected], [email protected]
Аннотация. Описываются возможности программного комплекса, предназначенного для вычисления фрактальных параметров сложных систем. Изложены методы численной реализации фрактальной размерности и пути осуществления ее вычисления в режиме реального времени. Показан интерфейс созданного комплекса, выполненный в среде Qt Creator. Параметры программной реализации содержат в себе необходимые для вычисления характеристики (размерность пространства вложения, параметр задержки, скейлин-говый диапазон и пр.) и могут быть изменены уже в процессе вычислений. Приведен пример расчета фрактальных размерностей пациента, выполненный в реальном времени с помощью допплерографа Multi-DopX.
Ключевые слова: фрактальные параметры, восста-
новленный аттрактор, фазовое пространство, корреляционная размерность.
Введение
Развитие методов анализа сложных сигналов с конца прошлого столетия приобрело явную тенденцию, направленную в сторону исследования возможностей нелинейных подходов для изучения их закономерностей. Особенно отчетливо эта тенденция наблюдается при построении нелинейных базисов для разложения исходного сигнала, учету нелинейных особенностей при построении прогноза, методов нелинейного регрессионного анализа, RS-статистики и исследования сигнала в конечномерных фазовых пространствах.
В последнем случае все чаще встречаются определения фракталов, хаоса и, особенно часто, детерминированного хаоса. Этот факт обусловлен, прежде всего, тем обстоятельством, что сама теории детерминированного хаоса имеет явный практический результат в виде доказательства сходимости фрактальной размерности в конечных фазовых пространствах для отображений, порожденных конечной системой нелинейных уравнений.
Поэтому исследовательский интерес к анализу фракталов, порожденных сложными временными рядами, состоит в возможности подобной сходимости, детерминированном хаосе самого сигнала и как следствие, постулате о существовании конечномерной системы нелинейных уравнений для исходного отображения. Последнее дает большие возможности для исследований, самый очевидный путь которых - прогнозирование построенных нелинейных систем.
Анализ современного состояния проблемы
Как будет показано ниже, в настоящее время момент при численном фрактальном анализе сложных систем используется следующий ряд показателей: корреляционная размерность, аппроксимационная (корреляционная) энтропия, примерная энтропия, энтропия Шеннона и ее модификации, старший показатель Ляпунова, экспонента Херста и др. При этом вычисления выполняются в известных статических программных реализациях (напр. модуль FracLab пакета MatLab, пакет TISEAN (авт. R. Hegger и соавт.), пакет Фрактан 4.4 (авт. В. Сычев) приложение CorDimension (Copyright ФРНМТ AIRES) и др.)). В работах используются алгоритмы для расчета оценки корреляционной размерности и энтропии с помощью алгоритма Грассбергера-Прокаччиа [2].
При этом в силу получения результатов в известных реализациях, не дается уточнения алгоритмов вычисления таких параметров, как размерность фазового пространства n и скорость сходимости корреляционной размерности в зависимости от n, скейлинговый диапазон, оптимальное расстояние для вычисления энтропии и др. Тем не менее, авторы нескольких работ получили важные практически интерпретируемые научные результаты.
Так, в работе [1] в качестве сложной системы был взят механизм функционирования регуляции фетального сердечного ритма (ритма плода при беременности) и показано, что корреляционная размерность может служить тестом ее нарушения. Было обследовано 520 беременных, начиная сроков гестации 29-30 недель, среди которых 400 составляли основную группу, а оставшиеся 120 - группу контроля. Регистрация ритма сердца производилась при помощи кардиомонитора «Corometrics-120», с максимальной продолжительностью записи до 90 минут (не менее 60 минут). Анализу подвергались записи с количеством артефактов менее 5%. Автор исследовал наличие детерминированного хаоса в структуре сердечного ритма плода для дальнейшего прогноза его адаптации к внутриутробной гипоксии.
Временные ряды фетального ритма сердца обрабатывались с использованием алгоритмов программы TISEAN. В работе предложена оценка длины временного ряда (согласно Nerenberg) - более 4000 отсчетов. Исходя из этой оценки, по стандартному алгоритму [2] находятся значения корреляционной размерности вариабельности фетального ритма. Отмечено, что в большинстве случаев на этапе беременности в 29-30 недель насыщения корреляцион-
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №2
47
Intellectual Technologies on Transport.2015. №2
ной размерности не наблюдается (56.7%), и исходя из этого все записи разделены на ритмы с хаотической и случайной динамикой. При этом ко времени родоразрешения (38-40 недель) насыщения не наблюдается уже только у 23.3% испытуемых. Исходя из результатов работы, автор заключает, что практическое применение расчета корреляционной размерности может являться эффективным при прогнозе жизнеспособности плода.
Статья [3] посвящена оценке нелинейных показателей временных рядов сложной системы вариабельности сердечного ритма (ВСР) во время сна на примере фрактальной размерности и аппроксимационной энтропии. Были произведено холтеровское мониторирование 23 здоровых добровольцев (14 женщин и 9 мужчин в возрасте 35.4±10.2 лет). Холтеровские записи были получены с помощью системы Delmar 750 A. Временные ряды сердечных сокращений также были проанализированы с помощью спектрального анализа в различных частотных диапазонах, с помощью специально разработанного программного обеспечения.
При анализе показателей ВСР были обнаружены существенные различия между бодрствованием и сном для фрактальной размерности, аппроксимационной энтропии и мощности в диапазоне 0.0033-0.5 Hz. Авторы заключают, что без трендовые меры фрактальных компонент в определенной позиции коррелируют с известными линейными показателями ВСР.
Авторы [4] пытались дать оценку корреляции нелинейных мер, таких как корреляционная размерность (PD2) и аппроксимационная энтропия (ApEn) во время анестезиологических пособий. В частности, проверялась оценка для случаев послеоперационной дисфункции желудочков. Были обследованы ЭКГ 12 пациентов, перенесших кардиохирургические вмешательства. С помощью микрокомпьютера Vetter model 420 (DataWave, LongMont, CO) получали высокочастотные (до 2000 Hz) ЭКГ, содержащие 10-15 минут записи во время анестезии и столько же после завершения наркоза.
Для расчета указанных характеристик было использовано неописанное программное обеспечение лаборатории Neurotech (Bangor, PA) и пакет математической обработки MatLab. Авторы выявили изменения ВСР, которые происходят после выхода из наркоза для всех рассмотренных ЭКГ. Вместе с тем в работе исследовано сравнение уменьшения нелинейных характеристик при вводе в наркоз с мощностями в различных спектральных диапазонах.
Отмечено, что рассмотренные меры не являются эквивалентными и каждая из них несет определенную структуру изменчивости ВСР при хирургическом пособии. Например, спектр мощности является очень чувствительным к периодическим изменениям, таким как дыхательная синусовая аритмия, которая зависит от положения пациента и частоты дыхания. При этом, величина периодического изменения не влияет на ApEn, что делает ее предпочтительной мерой ВСР при внесении изменений в положение и частоту дыхания. Авторы также заключают, что PD2 подходит для нестационарных данных и является индикатором переходных изменений ВСР.
Приведенный обзор не ограничивается получением важных научно значимых результатов при применении
аппарата фрактального анализа. Однако подчеркнем одну важную особенность подобных работ - обычно вычисления производят в отмеченных статических программных реализациях, не учитывающих специфику исходного временного ряда.
Рассматриваемая методология
Построение фрактала из исходного одномерного конечного сигнала связано с восстановлением его аттрактора. Это положение происходит из теории динамическим систем, с которым на начальном этапе своего развития была неразрывно связана теория детерминированного хаоса. Этот факт отчетливо прослеживается в известной теореме Такенса, в которой предложен способ построения восстановленного аттрактора, принадлежащего гладкому многообразию, положив в качестве координат вектора состояния тот же самый ряд, смещенный относительно себя на некоторое постоянное значение:
x(i) = (a(i),a(i + r),..,a(i + т(п — 1))) = (х1,х2,^,хи),
где a(i) - исходный временной ряд, n - размерность пространства вложения, т - временная задержка, а полученный вектор - координата одной точки на восстановленном аттракторе, при этом n удовлетворяет условиям теоремы Такенса:
п>2 [d^] + 1,
где dA - размерность восстановленного аттрактора.
Теорема Такенса утверждает, что при числе отсчетов N^w построенное методом задержки отображение является гладким и обратимым почти при любой конечной задержке т. Свойства построенного таким образом аттрактора метрически (и вероятностно) эквиваленты исходному аттрактору динамической системы.
Однако, для реальных временных рядов эта теорема неприменима в силу их конечности. К сожалению, к настоящему времени для конечных временных рядов подобные теоретические результаты не получены. Существуют лишь оценки длины временного ряда, необходимые для характеристики степени подобия аттрактора с конечным числом значений. В качестве примера оценки необходимой длины приведем критерий А. Цониса:
N> 1QW+0.4D >> 100 .
Другой параметр, требующий уточнения при численной реализации - это параметр задержки т. Самый приемлемый способ, рекомендуемый в литературе [5,8], состоит в нахождении первого нуля автокорреляционной функции:
В(г) = -^rTYHZliak ~а)(ак+т -a), где исходный временной ряд ак = a(kAt).
Topt = min{B(Tj) = 0}.
ч
Применение этого метода связано с гипотезой некоррелированности координат точек аттрактора в силу ортогональности векторов базиса пространства вложения. Однако, эти утверждения неэквивалентны, и выбор параметра задержки таким способом не всегда является оптимальным. Альтернативой ему является построение функ-
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №2
48
Intellectual Technologies on Transport.2015. №2
ции средней взаимной информации по методу A. M. Frais-eretal [6-8]. Интервал [minafc,maxfc ак] делят на L равных
к
частей. Обычно L выбирают по формуле Старка [7]:
L = [log2N] + 1.
Событие «a(t) принадлежит г-му интервалу» обозначают Ai, событие«a(t+т) принадлежит j-му интервалу» -Bj. P— вероятность соответствующего события.
Функция средней взаимной информации определяется как:
i = l 7 = 1 1
и в качестве оптимального параметра задержки выбирается первый локальный минимум построенной функции:
Topt = min{//(ri) = 0,//(Tl-)<0,//(Tl+)>0}.
ч
Функция средней взаимной информации является более точной мерой независимости [7]. Там же показано, что для некоторых тестовых данных (аттрактор системы уравнений Лоренца) значение оптимального параметра задержки, полученное этим способом, является предпочтительней чем первым.
ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ Наиболее известными характеристиками аттрактора динамической системы являются вероятностные (фрактальные) размерности. Под вероятностью здесь понимается вероятность нахождения точки в определенной области самого аттрактора в фазовом пространстве. Их общим выражением является так называемая размерность Реньи
[9]:
D
ч
—lim
i-ч
£^0
ln(l/£)
(1)
где M(e) - минимальное количество кубиков со стороной е, полностью покрывающие аттрактор, рг - вероятность посещения i-го кубика фазовой траекторией динамической системы.
Частными случаями размерности Реньи являются размерность Колмогорова, информационная размерность и корреляционная размерность, получаемые при параметрах q=0,1,2 соответственно. Для пространственно однородных аттракторов все эти размерности одинаковы. В общем случае, исходя из определения, размерность Реньи является монотонно убывающей функцией q:
qx < q2 ^ Dqi > Dq2
Следовательно, для рассматриваемых объектов параметр q должен быть положительным. В настоящее время этот параметр принят равным двум (корреляционная размерность является оценкой информационной размерности, для ее вычисления разработан универсальный численный алгоритм, из полученного алгоритма автоматическая следует оценка соответствующей корреляционной или аппроксимированной энтропии). Из (1) следует, что корреляционная размерность есть:
IngffiW)
Dr = —lim£.n
с 1_2 ^>0 1п(1/£)
lim
£^0
inQffiW)
1П(£) .
Последнюю удобно представить в следующей форме:
ln(C(e)) lim ,
£->о ln(e)
-у
где С(г) =limm^M —£у=1б(г — p(Xj,x,)) - корреляционный интеграл, 0(a) = а ^ 0 - функция Хевисайда,
p(xi,Xj) - функция расстояния в n-мерном пространстве. Для аттракторов, состоящих из конечного числа точек, корреляционный интеграл заменяется соответствующей оценкой:
м м
c(r)=Z Z
i = 17 = i+l
9(r - p(Xj,Xj)) M(M-1)/2 ,
где M - количество точек на восстановленном аттракторе.
Фрактальность исследуемого объекта предполагает что:
C(r)~rDc,
откуда следует:
ln С (г) ~DC ln г,
и корреляционную размерность можно оценить, получив наклон прямой логарифма корреляционного интеграла.
Самым простым способом получения линейной зависимости по последовательности экспериментальных данных, как известно, является метод наименьших квадратов:
Т т т
1=1 1=1 1=1
т т
^lnC(rj) = Dc'Yjlnri + ЬТ,
^ i=i i=i
где T - количество измерений корреляционного интеграла для различных расстояний гг (вычисленных на равномерной сетке).
Справедливость приведенного закона ограничена значениями rt, достаточно малыми по сравнению с размером аттрактора. Очевидно, при увеличении r до размеров аттрактора С(г) ^1, а при уменьшении из-за конечности точек на аттракторе С(г) ^ 0, и указанный степенной закон справедлив только в ограниченном диапазоне r (скей-линговом диапазоне), который может быть использован для определения размерности аттрактора. Этот диапазон необходимо либо принять постоянным, либо установить на практике для рассматриваемых нами сложных сигналов и менять в зависимости от типа сигнала (типа соответствующего аттрактора сигнала).
Характеристика программного комплекса Реализация корреляционной размерности в режиме реального времени усложняется, прежде всего, возможностями автоматизированного вычисления необходимых параметров (размерность пространства вложения, параметр задержки, скейлинговый диапазон и пр.). Поэтому в
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №2
49
Intellectual Technologies on Transport.2015. №2
шом количестве значений временного ряда представляет значительную трудность, так как на каждом шаге нам необходимо выполнять пересчет всех точек аттрактора.
Программный комплекс реализован в среде программирования Qt Creator. Его основные возможности состоят в следующем:
- Представлении исходных временных рядов.
- Автоматическом изменении аттрактора сигнала в режиме реального времени и его перестроении при изменении параметра задержки. Также возможно
изменения длины скользящего окна, перемещения окна, скорости проигрывания (при считывании из файла), принудительном изменении указанных параметров аттрактора.
Демонстрация работы программного комплекса
Для демонстрации работы программного комплекса приведен пример расчета фрактальных размерностей пациента, выполненный в реальном времени с помощью допплерографа Multi-DopX. На рис. 1 представлены описанные графические возможности построенного программного комплекса. При сравнении исходных временных рядов и реализованных спектральных и фрактальных характеристик для их количественной характеристики на общем графике возможно представление нескольких шкал.
Рис. 1. Возможности мультиграфического интерфейса
созданном комплексе мы предусмотрели возможность их изменения и автоматизированного вычисления с помощью оригинальных алгоритмов, использующих функции вероятности нахождения точек на аттракторе.
Скользящее окно (то есть текущий рассматриваемый массив) перемещается по временному ряду (сигналу) тем самым изменяя вычисляемую характеристику по времени. При этом изменяется аттрактор системы, его размерность и параметры. Здесь необходимо подчеркнуть, что рассмотренные параметры могут меняться уже при незначительном перемещении скользящего окна, что при боль- автоматизированное изменение размерности пространства вложения.
- Визуализации соответствующего двухмерного аттрактора системы.
- Автоматическом расчете параметров (левого и правого) скейлингового диапазона.
- Вычислении корреляционной размерности при перемещении скользящего окна.
- Аппроксимации изменения корреляционной размерности, которая делается из-за сильных флуктуаций построенного результата.
- Вычислении и визуализации специальных параметров, служащих для характеристики деятельности системы мозгового кровотока (спектральная плотность в диапазоне M- и B- волн, фазовый сдвиг, кросс-амплитуда и др.).
Параметры комплекса включают в себя возможность
Для аттракторов (рис.2) соответствующие окна переносят в различные части экрана. В меню «Parameters» возможно принудительно изменить параметры вычислений (в том числе параметры аттрактора).
На рис. 3 приведен пример мультиграфической визуализации построенных результатов. С помощью допплерографа Multi-DopX для пациента получены два временных ряда линейной скорости кровотока (слева и справа) и системного артериального давления. С помощью программного комплекса на одном графике могут быть построены сами временные ряды, сдвиг фаз между М волнами (справа и слева), амплитуда B-волн (справа и слева), корреляционные размерности сигналов.
Как отмечалось, слева могут быть установлены пять возможных шкал (скорость, давление, фазовый сдвиг, амплитуда и корреляционная размерность) для количественного сравнительного анализа сигнала. Так, для исследуемого сигнала линейная скорость кровотока слева изменялась от 1.38 до 1.64, справа от 1.38 до 1.68 и как видно из построенных графиков (CD2L и CD2R), эти показатели подобны. При этом фазовые сдвиги M-волн между линейными скоростями и давлением (PSR и PSL) изменялись (в соответствующем масштабе шкал) от -0.8 до 0 и от -0.95 до -0.65 [рад] и, наконец, амплитуды в диапазоне B-волн изменялись от 520 до 1320 и от 390 до 830 [мс] (ABL и ABR).
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №2
50
Intellectual Technologies on Transport.2015. №2
Рис.2. Аттракторы сигналов линейной скорости кровотока и системного артериального давления
Полученные изменения спектральных компонент очень большие в процентном соотношении и на рассмот-
ренном примере не удовлетворяют в прогностическом плане, не имеют признаков абсолютных факторов.
Рис. 3. Реализация изменения корреляционной размерности и ее сравнения другими показателями
Таким образом, из полученных результатов можно заключить, что построенная аппроксимация корреляционной размерности обладает прогностическими свойствами и точнее отображает внутренний характер структуры обрабатываемого временного ряда, нежели рассмотренные спектральные показатели.
Заключение
В работе реализован программный комплекс вычисления фрактальных размерностей сложной системы в режиме реального времени. Параметры программной реализации содержат в себе необходимые для вычисления характеристики (размерность пространства вложения, параметр задержки, скейлинговый диапазон и пр.) и могут быть изменены уже в процессе вычислений. Особенностью работы комплекса является реализация вычисления в режиме реального времени.
На примере средней скорости мозгового кровотока и системного артериального давления для пациента с помощью допплерографа Multi-DopX получены временные ряды указанных показателей, вычислены их фрактальные размерности и спектральные компоненты, выявлены их диапазоны и особенности изменения.
Следующей частью работы по реализации фрактальных показателей является сравнение корреляционной размерности с другими видами фрактальных размерностей (такими как, например, информационная размерность и показатель Херста, связанный линейным соотношением с фрактальной размерностью Колмогорова).
Построенное программное обеспечение может быть применено для обработки произвольных временных рядов в том числе и военного назначения (военная медицина, финансы, количество и тип войск и вооружений и др.).
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №2
51
Intellectual Technologies on Transport.2015. №2
Литература
1. Гудков Г.В. Диагностические возможности определения детерминированного хаоса в структуре вариабельности ритма сердца плода. // Вестник муниципального здравоохранения (электронное периодическое издание) №1(1), 2008, С.19.
2. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors // Phys. Rev. Lett. Vol. 50, 1983, pp. 346-349.
3. Yeragani V.K., Sobolewski E., Jampala V.C. Kay J., Yeragani S., Igel G. Fractal dimension and approximate entropy of heart period and heart rate: awake versus sleep differences and methodological issues // Clinical Science, Vol. 95, 1998, pp. 295-301.
4. Storella J. R., Kandell R. B., Horrow J. C., Ackerman T.
C., Polansky M., Zietz S. Nonlinear measures of heart rate variability after fentanyl-based induction of anesthesia // Anestesthesia&Analgesia, Vol. 81, 1995, pp. 1292-1294.
5. Махортых СА. Алгоритмы вычисления характеристик стохастических сигналов и их применение к анализу
электрофизиологических данных / С.А.Махортых,
В.В.Сычев // Abstracts. NonlinearPhenomenainBiolo-gy.Pushchino:1998. pp.33-34.
6. Меклер А.А. Применение аппарата нелинейного анализа динамических систем для обработки сигналов ЭЭГ / А. А. Меклер// Актуальные проблемы современной математики: ученые записки, 2004, Т. 13(2), C. 112-140.
7. Головко В.А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов / В. А. Головко // Научная сессия МИФИ-2005. VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика-2005»: Лекции по нейроинформатике. - М.:МИФИ, 2005. С. 43-91.
8. Янсон Н.Б. Моделирование динамических систем по экспериментальным данным / Н. Б.Янсон, В. С. Анищенко // Изв.вузов «ПНД», 1995, т.3, №3, C. 112-121.
9. Перерва Л.М. Фрактальное моделирование: учебное пособие / Л.М.Перерва, В.В.Юдин//под общ.ред. В.Н. Гряника. Владивосток: Изд-воВГУЭС, 2007. - С. 186.
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №2
52
Intellectual Technologies on Transport.2015. №2
Implementation of Software for Calculating the Fractal Parameters of Complex Systems
Zakharov A.I., Zagaynov A.I.
Military Space Academy named Mozhaiskyi St. Petersburg, Russian Federation [email protected], [email protected]
Abstract. Describes the possibilities of software designed to calculate the fractal parameters of complex systems. Methods of numerical realization of the fractal dimension and the implementation of its calculations in real time are describes. Shows the interface created by the complex formed in the environment of Qt Creator. Software implementation options contain necessary for calculating characteristics (dimension of the embedding space, delay parameter, the scaling range, and so on.) And can be changed in the course of calculations. An example of calculating the fractal dimensions of the patient made in real-time by Doppler study device Multi-DopX.
Keywords: fractal parameters, recovered attractor, phase space, correlation dimension.
References
1. Gudkov G.V. The diagnostic capabilities of the definition of deterministic chaos in the structure of the fetal heart rate variability [Diagnosticheskie vozmozhnosti opredeleniya determinirovannogo khaosa v strukture variabelnosti ritma serdtsa ploda] // Vestnik munitsipalnogo zdravookhraneniya (elektronnoe perioducheskoe izdanie) [Bulletin of the municipal health services (electronic periodical)] №1 (1), 2008, P.19.
2. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors // Phys. Rev. Lett. Vol. 50, 1983, pp. 346-349.
3. Yeragani V. K., Sobolewski E., Jampala V. C. Kay J., Yeragani S., Igel G. Fractal dimension and approximate entropy of heart period and heart rate: awake versus sleep differences and methodological issues // Clinical Science, Vol. 95, 1998, pp. 295-301.
4. Storella J. R., Kandell R. B., Horrow J. C., Ackerman T.
C., Polansky M., Zietz S. Nonlinear measures of heart rate
variability after fentanyl-based induction of anesthesia // Anestesthesia&Analgesia, Vol. 81, 1995, pp. 1292-1294.
5. Makhortykh S.A., Sychev V.V. Algorithms calculate the characteristics of stochastic signals and their application to the analysis of electrophysiological data [Algoritmy vychisleniya kharakteristik stokhasticheskih signalov i ikh primenenie k analizu electrofiziologicheskikh dannykh] Abstracts. Nonlinear Phenomena in Biology. Pushchino, 1998. pp.33-34.
6. Mekler A.A. Application of the apparatus of dynamic non-linear analysis systems for the EEG signal processing [Primenenie apparata nelineynogo analisa dinamicheskikh system dlya obrabotki signalov EEG], Aktualnye problemy sovremennoy matematuki: uchenye zapiski [Actual problems of modern mathematics: scientists notes], 2004, Vol. 13(2), pp. 112-140.
7. Golovko V.A. Neural network methods of processing chaotic processes [Neyrosetevye metody obrabotki khaotich-eskikh processov]. Trudy “Nauchnay sessiya MIFI-2005. VII Vserossiyskaya nauchno-tehnicheskaya konferentciya «Ney-roinformatika-2005»: Lektcii po neyroinformatike” [Proc. “Scientific session of the MiFi 2005. VII All-Russia scientific-technical conference "Neuroinformatics 2005" Lectures on neuroinformatics”]. Moscow, 2005, pp. 43-91.
8. Janson N.B., Anischenko V.S. Modeling dynamics sim-ulation-cal systems from experimental data [Modelirovanie dinamicheskikh sistem po eksperimentalnym dannym] Izv.vuzov "PND" [Proceedings of the universities "AND"], Saratov, 1995, pp. 112-121.
9. Pererva L.M., Yudin V.V. Fraktalnoe modelirovanie: uchebnoe posobie [Fractal modeling: study guide], Vladivostok: Publishing house VGUES, 2007. 186 p.
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №2
53
