Методика исследования процессов изменения фрактальных показателей хаотических временных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Keywords: mobile metrological complexes, technical configuration, performance, principles of construction jobs, uncertainty, reconfiguration.

MalakhovAleksandr Vladimirovich, postgraduated,sanya-mal 1 @yandex.ru, Russia, St. Petersburg, Military and Special Equipment, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,

GusenitsaYaroslavNikolaevich. candidat of technical sciences, teacher, yaro-mir226@,mail. ru, Russia, St. Petersburg, Military and Special Equipment, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,

Kupriyanov Andrey Alexandrovich, Head of the Department of Accreditation, akup17@,mail.ru,Russia, Mytischi, Federal State Budgetary Institution "Metrology Scientific Head Center Russian Federation Ministry of Defense

УДК 519.876.5

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ИЗМЕНЕНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ХАОТИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

А.И. Загайнов, С.В. Войцеховский,А.И. Захаров

Ведется поиск индикаторов связей состояния систем, порождающих (много) компонентные временные ряды. В качестве примера обработки временных рядов приведено исследование экономических показателей. Однако алгоритмы, предложенные в публикации, могут быть использованы при численном анализе произвольной системы, порождающей временной ряд (например, медико-биологической, метеорологической, экономический, военный и пр.).

Ключевые слова: временной ряд, детерминированный хаос, фрактальные размерности, аппроксимированная энтропия.

Почти в каждой области научных исследований встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, вариабельность сердечного ритма, линейная скорость мозгового кровотока и т.д. Все они изменяются во времени.

Совокупность изменений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение некоторого периода времени представляет собой временной ряд. Совокупность существующих методов анализа таких рядов наблюдений называется анализом временных рядов.

475

Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности.

Современный этап социально-экономического развития страны выдвигает на первый план задачу оценки состояния и перспектив с целью выбора оптимальных управленческих, организационно-правовых и производственно-хозяйственных решений, направленных на повышение эффективности и деловой активности их функционирования и взаимодействия как в границах внутренней, так и внешней среды. В этой связи возрастает роль методологии статистического оценивания состояния, основных тенденций развития субъектов, а также анализа числовой информации, представленной в формах статистической, бухгалтерской и других видах отчетности с целью определения перспектив их развития и путей принятия наиболее эффективных решений и направлений дальнейшей деятельности.

Применение методологии анализа и прогнозирования на основе временных рядов имеет достаточно широкое прикладное значение и может использоваться при решении различных задач исследования реальных социально-экономических явлений и процессов. Так, например, применение математического аппарата временных рядов двойного назначения можно использовать в военном деле при разработке и совершенствовании математического, программного и информационного обеспечения автоматизированных систем военного назначения.

Фрактальные размерности и аппроксимированная энтропия Построение фрактала из исходного одномерного конечного сигнала связано с восстановлением его аттрактора. Это положение происходит из теории динамических систем, с которым на начальном этапе своего развития была неразрывно связана теория детерминированного хаоса. Данный факт отчетливо прослеживается в известной теореме Такенса [2-4], в которой предложен способ построения восстановленного аттрактора, принадлежащего гладкому многообразию, положив в качестве координат вектора состояния тот же самый ряд, смещенный относительно себя на некоторое постоянное значение:

х(/) = (х(/), х(г + т),...х(г + т(п — 1))) = (х1, х2,..., хп),

где х(1) - исходный временной ряд;п - размерность пространства вложения;!- временная задержка, а полученный вектор - координата одной точки на восстановленном аттракторе. При этом п удовлетворяет условиям теоремы Такенса:

п>2^а ] +1 ,

где - размерность восстановленного аттрактора.

476

Теорема Такенса утверждает, что при числе отсчетов (длине временного ряда) N^<x> построенное методом задержки отображение является гладким и обратимым почти при любой конечной задержке т. Свойства построенного таким образом аттрактора метрически (и вероятностно) эквиваленты исходному аттрактору динамической системы.

Наиболее известными характеристиками аттрактора динамической системы являются вероятностные (фрактальные) размерности. Под вероятностью здесь понимается вероятность нахождения точки в определенной области самого аттрактора в фазовом пространстве. Их общим выражением является так называемая размерность Реньи [1]:

M (t)

, in( z pq)

D = —1—lim-¡=-, (1)

q 1 - q t®o ln(1 /1) V '

где M(t) - минимальное количество кубиков со стороной t, полностью покрывающие аттракторр/ - вероятность посещения i-го кубика фазовой траекторией динамической системы.

Частными случаями размерности Реньи являются размерность Колмогорова, информационная размерность и корреляционная размерность, получаемые при параметрах q=0,1,2 соответственно. Для пространственно однородных аттракторов все эти размерности одинаковы. В общем случае, исходя из определения, размерность Реньи является монотонно убывающей функцией q:

41 < 42 ^ Dqx > Dq2 .

Следовательно, для рассматриваемых объектов параметр ддолжен быть положительным. В настоящее время этот параметр принят равным двум (корреляционная размерность является оценкой информационной размерности, для ее вычисления разработан универсальный численный алгоритм, из полученного алгоритма автоматическая следует оценка соответствующей аппроксимированной энтропии). Из (1) следует, что корреляционная размерность есть

M(t) M(t)

, ln( Z Pi2) ln( Z Pi2)

DC =-lim-i=1-= lim-i=1-.

C 1 - 2 t®0 ln(1 /1) t®0 ln(t)

Последнюю удобно представить в следующей форме:

Dc = limlniCii)),

C t®0 ln(t)

1 m

где С(r) = lim —— Z 9(r -p(x/,xj)) - корреляционный интеграл;

m®¥ m i, j=1

Г1, s > 0 /

0( s) = < - функция Хевисайда, p( X/, Xj)- функция расстояния в n-

[0, s < 0 J

мерном пространстве.

Для аттракторов, состоящих из конечного числа точек, корреляционный интеграл заменяется соответствующей оценкой:

с М М в(г -Р(X,-, Х) ))

( ) Ми =7+1 м (м -1)/2 ,

где М - количество точек на восстановленном аттракторе.

Фрактальность исследуемого объекта предполагает, что

С (г) ~ т^с ,

откуда

1п(С(г))~ Вс 1п г,

и корреляционную размерность можно оценить, получив наклон прямой логарифма корреляционного интеграла. Самым простым способом получения линейной зависимости по последовательности экспериментальных данных, как известно, является метод наименьших квадратов:

т т т

71п С (г,) 1п г, = Вс 71п 2 г, + Ь 71п г--,=1 ,=1 ,=1

71п С (г,-) = Вс 71п ц + ьт ,=1 ,=1 где т - количество измерений корреляционного интеграла для различных расстояний г (вычисленных на равномерной сетке).

Справедливость приведенного закона ограничена значениями г, достаточно малыми по сравнению с размером аттрактора. Очевидно, при увеличении гдо размеров аттрактора с(г)^1, а при уменьшении из-за конечности точек на аттракторе с(г)^0, и указанный степенной закон справедлив только в ограниченном диапазоне г, (так называемом скейлинговом диапазоне), который может быть использован для определения размерности аттрактора. Этот диапазон необходимо либо принять постоянным, либо установить на практике для рассматриваемых нами временных рядов и менять в зависимости от типа сигнала, то есть типа соответствующего аттрактора сигнала.

Аппроксимированная энтропия отражает вероятность возникновения новых режимов при возрастании размерности пространства вложения. Чем она больше, тем больше неопределенностей в исходном сигнале. Для ее вычисления генерируется два аттрактора в последовательных пространствах вложения. Обычно (п+1)-мерное пространство является следующим по отношению к условиям теоремы Такенса. Для оценки их схожести вычисляют корреляционный интеграл в каждом пространстве. При этом аппроксимированная энтропия находится из условия

сп+1(г) АрЕп (п, г) = - 1п(—-.

сп(г)

Разработанная методика исследований

Реализация аттрактора и вычисление его корреляционной размерности и аппроксимированной энтропии происходит по следующему алгоритму:

1. Оценка размерности пространства вложения.

2. Оценка параметра задержки.

3. Нормирование расстояний между точками на аттракторе.

4. Восстановление аттрактора и его возможная визуализация, вычисление корреляционного интеграла.

5. Определение скейлингового диапазона.

6. Оценка корреляционной размерности в скейлинговом диапазоне (в двойном логарифмическом масштабе).

7. Нахождение конкретного расстояния г при вычислении аппроксимированной энтропии и ее определение для этого г.

При модификации рассматриваемых методов для учета их изменения в режиме реального времени (или изменения в режиме "скользящего окна"), схематично изображенных на рис. 1,необходимо произвести перерасчет всех указанных параметров. Решение такой задачи даже на современных средствах вычислительной техники невозможно. При этом существует уже показанный ряд упрощений, связанный с видом предварительно рассчитанных значений корреляционной размерности и их аппроксимации в режиме "скользящего окна".

Перемещение Длина окна окна

Перемещение Дшна окна

окна

Рис. 1. Способ перемещения "скользящего окна" с шириной 31 (длина окна) на 4 отсчета (перемещение окна)

Сказанное позволяет сформулировать алгоритм вычисления фрактальных показателей, основные этапы которого заключаются в следующем:

1. Задать постоянную размерность пространства вложения (на начальном этапе равную 3 и 4).

2. Предварительно оценить параметр задержки с помощью предыдущего алгоритма. Запомнить полученный результат, а также вид построенных функций (автокорреляционной и функции средней взаимной информации).

3. Выполнить нормирование расстояний между точками на аттракторе.

4. Восстановить аттрактор и визуализировать его (в пространстве размерности 3), вычислить корреляционный интеграл.

479

5. Определить скейлинговый диапазон.

6. Предварительно оценить корреляционную размерность в скей-линговом диапазоне (в двойном логарифмическом масштабе).

7. Определить конкретное расстояние г при вычислении аппроксимированной энтропии и вычислить ее для этого г.

8. Проверить найденные значения (в пространствах вложения размерности 3 и 4). При необходимости увеличить размерность пространства вложения и повторить пункты 2-7.

9. Сдвинуть временной ряд (перемещение окна выбирается апосте-риорно).

10. Оценить параметр п.2, изменив лишь значения отсчетов, относительно которых произошло перемещение скользящего окна.

11. Изменить аттрактор и корреляционный интеграл относительно отсчетов сместившегося окна.

12. Найти оценку скейлингового диапазона относительно переместившегося окна.

13. Дать оценку корреляционной размерности относительно нового местонахождения "скользящего окна".

14. Уточнить расстояние г и дать оценку аппроксимированной энтропии относительно нового местонахождения "скользящего окна".

15. Аппроксимировать полученные результаты трендами.

Реализованный программный комплекс

Реализация корреляционной размерности в режиме реального времени осложняется, прежде всего, возможностями автоматизированного вычисления необходимых параметров (размерность пространства вложения, параметр задержки, скейлинговый диапазон и пр.). Поэтому в созданном комплексе предусмотрена возможность их изменения и автоматизированного вычисления с помощью оригинальных алгоритмов, использующих функции вероятности нахождения точек на аттракторе. Скользящее окно (то есть текущий рассматриваемый массив) перемещается по временному ряду (сигналу), тем самым изменяя вычисляемую характеристику во времени. При этом изменяется аттрактор системы, его размерность и параметры. Здесь необходимо подчеркнуть, что рассмотренные параметры могут меняться уже при незначительном перемещении скользящего окна, что при большом количестве значений временного ряда представляет значительную трудность, так как на каждом шаге нам необходимо выполнять пересчет всех точек аттрактора.

Программный комплекс был реализован в среде программирования 01Сгеа1ог. Его основные возможности:

1) представление исходных временных рядов;

2) автоматическое изменение аттрактора сигнала в режиме реального времени и его перестроение при изменении параметра задержки. Также реализовано автоматизированное изменение размерности пространства вложения;

3) визуализация соответствующего двухмерного аттрактора системы;

4) автоматический расчет параметров (левого и правого) скейлинго-вого диапазона;

5) вычисление корреляционной размерности при перемещении скользящего окна;

6) аппроксимация изменения корреляционной размерности, которая делается из-за сильных флуктуаций построенного результата;

7) вычисление и визуализация специальных параметров, служащих для характеристики деятельности специализированных систем (спектральная плотность, фазовый сдвиг, кросс-амплитуда и др.).

В комплексе предусмотрена возможность изменения длины скользящего окна, перемещения окна, скорости проигрывания (при считывании из файла), принудительном изменении указанных параметров аттрактора.

На рис. 2 представлены описанные графические возможности программного комплекса. При сравнении исходных временных рядов и реализованных спектральных и фрактальных показателей для их количественной характеристики на общем графике возможно представление нескольких шкал. Для аттракторов (рис. 3) соответствующие окна переносят в различные части экрана. В меню «Parameters» возможно принудительно изменить параметры вычислений (в том числе параметры аттрактора) (рис. 4).

Рис. 2. Возможности построенного программного комплекса

File Cross Spectral Analysis Fractal Analysis Multiple Plotter Parameters Heip

E32D Phase Space BFVR

^JMJ Al E 2D Phase sPace BFVL

Jj

- d x

60 70

Рис. 3. Аттракторы рассматриваемых временных рядов

481

Parameters Help

Window Weight: |Напп

Sampling Rite. Hz: 100 ¿J

Window Width, s: 140,00

Window Moving, s: 5,00 ±|

Delay Time: 15 -d

V Allocation Trends

Edit | Apply

Рис. 4. Меню «Parameters.», необходимое для изменения параметров вычислений

Результаты исследований

В исследовании были обработаны 16 временных рядов отношения различных котировок валют с количеством игры на бирже 10 дней (14400 отсчетов). Для каждого временного ряда реконструированы аттракторы, произведена их визуализация для двух- и трехмерного случая (напр. рис. 5, 6), найдены необходимые параметры для вычислений. В работе построены тренды корреляционной размерности и аппроксимированной энтропии для всего времени исследования временного ряда, для удобного наблюдения и сравнения которых включена возможность отслеживания их изменений на совместном графике.

На рис. 7 приведен график временного ряда отношения котировок USD/CHF. Разработанная методика, к сожалению, не всегда обладает прогностическими способностями. Рассмотренный пример наглядно демонстрирует, что отсутствует явная видимая корреляция между рассмотренным типом фрактальной размерности и исходного временного ряда.

100 80 60 40 20

i 0

а

-20 -40 -60 -80 -100

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 X(t)

Рис. 5. Фрактал (двухмерный аттрактор) временного ряда отношения котировок валют с количеством игры на бирже 10 дней

(14400 отсчетов)

482

Двухмерный аттрактор

Тот же результат нами был получен для аппроксимированной энтропии. Тем не менее, на рис. 8 рассмотрен график отношения других котировок (EUR/USD). В этом случае нами установлена постоянная корреляционная размерность (рис. 8, снизу) и нулевая аппроксимированная энтропия (рис. 9, снизу).

Трехмерный аттрактор

X(t+tau)

-100 -100

Рис. 6. Фрактал (трехмерный аттрактор) временного ряда отношения котировок валют с количеством игры на бирже 10 дней

(14400 отсчетов)

Таким образом, мы можем заключить, что нами обнаружен случай детерминированного хаоса, который может быть восстановлен (хотя бы в теории) в виде динамической системы.

Исходный временной ряд в зависимости от времени

Корреляционная размерность в зависимости от времени

t

Рис. 7. Исходный временной ряд с количеством 10 дней обучения (14400 отсчетов) и корреляционная размерность в режиме «скользящего окна»

483

х 106 Исходный временной ряд в зависимости от времени

5 0 -5 -10

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

0.6 0.5 £ 0.4 0.3 0.2

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

1

Корреляционная размерность в зависимости от времени

Рис. 8. Пример детерминированного временного ряда отношения биржевых индексов и соответствующая постоянная корреляционная размерность за все время наблюдения

5

х ю6 Исходный временной ряд в зависимости от времени

-10

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Аппроксимированна энтропия в зависимости от времени

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 1

0

5

0

0

2

0

Рис. 9. Пример детерминированного временного ряда отношения биржевых индексов и соответствующая нулевая аппроксимированная

энтропия за все время наблюдения

Последний результат является наиболее важным, поскольку показывает совершенство рассматриваемой методологии и указывает на индикаторы, способные разделять процессы на детерминированные и недетерминированные. Подобная классификация является новой мерой численного понятия случайности и будет предложена нами в дальнейшем.

484

Заключение

Итак, в настоящей статье разработана и предложена методика практического поиска индикаторов связей состояния систем, порождающих многокомпонентные временные ряды. Предлагается развитие указанной методологии на случай накапливания и изменения аттрактора соответствующего некоторому экономическому временному ряду.

Следует отметить тот положительный факт, что в созданном программном комплексе предусмотрена возможность изменения таких основных параметров, как размерность пространства вложения, параметр задержки, скейлинговый диапазон, и их автоматизированного вычисления с помощью оригинальных алгоритмов, использующих функции вероятности нахождения точек на аттракторе.

Важно то, что текущий рассматриваемый массив (скользящее окно) перемещается по временному ряду (сигналу), тем самым изменяя вычисляемую характеристику во времени. При этом изменяется аттрактор системы, его размерность и параметры.

Программный комплекс реализован на языке С++ в среде программирования QtCreator и обладает большими вычислительными возможностями, в том числе возможностями изменения длины скользящего окна, перемещения окна, изменения скорости проигрывания (при считывании из файла), принудительного изменения указанных параметров аттрактора.

Методы исследования, предложенные в статье, универсальные -двойного назначения -и могут быть также использованы при численном анализе произвольной системы, порождающей временной ряд. Например, в процессе развития и совершенствования методов и алгоритмов исследования операций, теории эффективности, информатики, системного анализа, искусственного интеллекта, принятия решений применительно к военной области.

Программный комплекс разработан, опробован и пригоден для проведения исследований, развития и изменения экономических и других временных рядовметодами фрактального анализа в режиме реального времени.

Список литературы

1. Перерва Л.М., Юдин В.В. Фрактальное моделирование: учеб.пособие / под общ. ред. В.Н. Гряника. Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2007. 186с.

2. Захаров А.И.,Загайнов А.И. Реализация программного комплекса для вычисления фрактальных параметров сложных систем // Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №2. С. 47-53.

485

3. Захаров А.И.,Загайнов А.И. Мультифрактальное математическое моделирование процессов хаотического происхождения // Труды Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского. 2015. №648. С. 19-27.

4. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence, in dynamical systems and turbulence // Lecture Notes in Mathematics, edited by D. A. Rand and L. S. Young. Heidelberg, Springer-Verlag. 1981. P. 366-381.

5. Меклер А. А. Применение аппарата нелинейного анализа динамических систем для обработки сигналов ЭЭГ //Актуал.пробл.современ. математики: ученые зап. 2004. Т. 13(2). C. 112-140.

6. Tsonis A. Chaos: from Theory to Applications. New York: Plenum Press, 1992. 274 p.

Загайнов Артем Игоревич, старший преподаватель, zagainov239@gmail. com, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Войцеховский Станислав Витальевич, канд. техн. наук, нач. кафедры, vsv25@mail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Захаров Анатолий Иванович, канд. техн. наук, профессор, ana6391615 7@yandex. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского.

AUTOMATED SOFTWARE COMPLEX OF THE METHODS OF INVESTIGATION PROCESSES OF CHANGING THE FRACTAL INDICATORS CHAOTIC TIME SERIES

S.V. Voytsekhovsky, A.I. Zagaynov, A.I. Zakharov

In this article, we search for indicators of the state-of-the-system relations that generate (many) component time series. As an example of processing time series, a study of economic indicators is given. However, the algorithms proposed in the publication can be used in a numerical analysis of an arbitrary system that generates a time series (for example, medical-biological, meteorological, economic, military, etc.).

Key words: time series, deterministic chaos, fractal dimensions, approximated entropy.

Zagainov ArtemIgorevich, senior teacher, zagainov239@gmail. com, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Voytsekhovsky Stanislav Vitalyevich, candidate of technical sciences, chief of department, vsv25@mail. ru, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Zakharov Anatoly Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, ana6391615 7@yandex.ru, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy