CC BY
6II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.876.5 Artem I. Zagaynov1, Alexander A. Musaev2
ANALYSIS OF FRACTAL CHANGES IN CHAOTIC PROCESSES
St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia e-mail: amusaev@technolog.edu.ru
The article is devoted to application of the numerical fractal analysis methods to a problem of processing of stochastic temporary series of observations. Specific features of the series of observations presented in the article is their nonstationarity and existence of signs of chaotic dynamics. The interpretation of the specified observations as implementations of dynamic chaos processes allows explanation of a low performance of the diagnostic schemes based on statistical information processing and gives a potential possibility to create a new class of prognostic indicators based on the concept of fractal mathematics.
Keywords: chaotic time series, stock indices of capital markets, indicators of quotations, correlation dimension, approximate entropy.
А.И. Загайнов1, А.А. Мусаев2
АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОСТИ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия e-mail: amusaev@technolog.edu.ru
Статья посвящена применению методов численного фрактального анализа к задаче обработки стохастических временных рядов наблюдений. Особенностью представленных в работе рядов наблюдений является их нестационарность и наличие признаков хаотической динамики. Интерпретация указанных наблюдений как реализаций процессов динамического хаоса позволяет, с одной стороны, объяснить низкую эффективность диагностических схем, основанных на статистической обработке информации, а с другой стороны, дает потенциальную возможность для построения нового класса прогностических индикаторов, базирующихся на концепции фрактальной математики.
Ключевые слова: хаотические временные ряды, биржевые индексы рынков капитала, показатели котировок, корреляционная размерность, аппроксимированная энтропия.
DOI 10.15217Zissn1998984-9.2017.39.109
Введение
Рассмотрим традиционную задачу анализа временного ряда
1 "fr ^ >t
оказывается невозможным. На практике подобный результат можно получить с помощью стандартного спектрального преобразования - при применении обратного преобразования к прямому,
F -1| F
К N ■ н N1
представленного темпоральной последовательностью
отсчетов х. = х(.). В качестве примера такого ряда с
нестационарной статистической структурой могут служить последовательности наблюдений за котировками валютного или фондового рынков. В работах [1-3] выдвигались предположения о хаотичности динамики таких процессов.
Выявление границ применения математических методов при прогнозировании поведения временных рядов и трендов данных, имеющих нестационарную или хаотическую природу, требует использования нелинейных подходов. Это можно объяснить видом рассматриваемых процессов (зависимостей), разложение которых в виде линейной комбинации простых составляющих
где F - дискретное косинусное преобразование. Исходный временной ряд, в общем случае, не может быть получен.
Таким образом, описание поведения хаотических процессов требует выхода за пределы возможностей регулярного математического аппарата. Здесь, как известно, существуют несколько возможностей, состоящих в разложении исходного сигнала по бесконечномерному нелинейному базису, использование специальных преобразований, анализе в многомерных фазовых пространствах. В последнем случае все чаще используются концептуальные категории фрактала и, особенно часто, детерминированного хаоса.
Данный факт обусловлен тем, что сама теория детерминированного хаоса имеет явный практический результат в виде доказательства сходимости фрактальной (или корреляционной) размерности в
1 Загайнов Артем Игоревич, ст. преподаватель каф. математического и программного обеспечения Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского. д. 13, Ждановская ул., Санкт-Петербург, 197198, Россия, e-mail: zagainov239@gmail.com
Artem I. Zagaynov, Senior Lecturer, Department of Mathematics and Software, A.F.Mozhaysky Military Space academy, Zhdanovskaya ul., 13, St. Petersburg, 197198, Russia
2 Мусаев Александр Азерович, д-р техн. наук, профессор, зав. каф. системного анализа и информационных технологий, декан факультета информационных технологий и управления СПбШТИ(ТУ), вед. науч. сотр. лаб. информационных технологий в системном анализе и моделировании СПИИРАН, д. 39, 14 линия В.О. Санкт-Петербург, 199178, Россия, e-mail: amusaev@technolog.edu.ru
Alexander A. Musaev, Dr. Sci. (Eng.), professor; dean of IT and control systems department, St. Petersburg State Institute of Technology, leading researcher, Laboratory of IT in System Analysis and Modeling, SPIIRAS, 39, 14-th Line V.O., St. Petersburg, 199178, Russia
Дата поступления - 15.декабря 2016 года
конечных фазовых пространствах для отображений, порожденных конечной системой нелинейных уравнений. Поэтому, анализ фракталов, порожденных, например, наблюдениями за состояниями рынков капитала, состоит в исследовании возможности подобной сходимости, установлении наличия детерминированного хаоса в исходном временном ряду наблюдений и, как следствие, установлении существования конечномерной системы нелинейных уравнений для исходного отображения.
Построенная система может дать большие возможности для исследований, самый очевидный путь которых - прогнозирование поведения исходных временных рядов. Однако ответ на вопрос о возможности построения подобной системы находится в сходимости корреляционной размерности на протяжении всего наблюдения временного ряда (при этом аппроксимированная энтропия должна стремиться к нулю). Поэтому, в настоящей статье предлагается рассмотреть эти две характеристики на протяжении всей длины исходных данных рынков.
Методология фрактального анализа
Построение фрактала из одномерного конечного сигнала связано с восстановлением его аттрактора. Это положение происходит из теории динамических систем, с которым на начальном этапе своего развития была неразрывно связана теория детерминированного хаоса. Данный факт отчетливо прослеживается в известной теореме Такенса [4,6], в которой предложен способ построения восстановленного аттрактора, принадлежащего гладкому многообразию, положив в качестве координат вектора состояния тот же самый ряд, смещенный относительно себя на некоторое постоянное значение:
4) = (4' \ 4 + т),-> 4 + т(п -!))) = (х1 > х2 хп),
где х(/) - исходный временной ряд, п - размерность пространства вложения, т - временная задержка, а полученный вектор - координата одной точки на восстановленном аттракторе. При этом п удовлетворяет условиям теоремы Такенса:
п > 2[Са]+1,
где dA - размерность восстановленного аттрактора.
Теорема Такенса утверждает, что при числе отсчетов построенное методом задержки
отображение является гладким и обратимым почти при любой конечной задержке т. Свойства построенного таким образом аттрактора метрически (и вероятностно) эквиваленты исходному аттрактору динамической системы.
Однако, для реальных временных рядов эта теорема неприменима в силу их конечности. К сожалению, к настоящему моменту для конечных временных рядов подобные теоретические результаты не получены. Существуют лишь оценки длины временного ряда, необходимые для характеристики степени подобия аттрактора с конечным числом значений. В качестве примера оценки необходимой длины приведем критерий А. Цониса [9]:
Ж>10
п + 0.41)
»100
Другой параметр, требующий уточнения при численной реализации - это параметр задержки т. Самый приемлемый способ, рекомендуемый в литературе [5], состоит в нахождении первого нуля автокорреляционной функции:
1
в(т) = — Iы-т{X. -+ -х)
4 ' N-т 1 = 1 V 1 " 1 + т '
= шт{Б\т . | = 0 3
°Рг т Л V 3
Применение этого метода связано с гипотезой некоррелированности координат точек аттрактора в силу ортогональности векторов базиса пространства вложения. Однако, эти утверждения неэквивалентны, и выбор параметра задержки таким способом не всегда является оптимальным. Альтернативой ему является построение функции средней взаимной информации по методу
А. М^^ег et а1. [5] Интервал [ш^ >шах.х.\ делят на L равных частей. Обычно L выбирают по формуле Старка:
Ь = [^2 N ]+1.
Событие «х(0 принадлежит /-му интервалу» обозначают А/, событие «х^+т) принадлежит j-му интервалу» - Bj. Р- вероятность соответствующего события. Функция средней взаимной информации определяется как:
( ( Л л
Ь Ь
1(т) = -Т I Р\ А Б ' = 13 = 1 ^ ' 1
Р\ а.Б .
Р (а Р
Б
и в качестве оптимального параметра задержки выбирается первый локальный минимум построенной функции:
т = шт °Р* т
> 0
где исходный временной ряд х . = х(ш). Тогда
Функция средней взаимной информации является более точной мерой независимости [8]. Там же показано, что для некоторых тестовых данных (например, аттрактор Лоренца) значение оптимального параметра задержки, полученное этим способом, является предпочтительней, чем первым.
Наиболее известными характеристиками аттрактора динамической системы являются вероятностные (фрактальные) размерности. Под вероятностью здесь понимается вероятность нахождения точки в определенной области самого аттрактора в фазовом пространстве. Их общим выражением является так называемая размерность Реньи [7]:
(1)
где М(е) - минимальное количество кубиков со стороной 8, полностью покрывающие аттрактор, р/ - вероятность посещения /-го кубика фазовой траекторией динамической системы.
Частными случаями размерности Реньи являются размерность Колмогорова, информационная размерность и корреляционная размерность, получаемые при параметрах д=0,1,2 соответственно. Для пространственно однородных аттракторов все эти размерности одинаковы. В общем случае, исходя из определения, размерность Реньи является монотонно убывающей функцией q:
4 < ? ^ В > В .
41 ^ 41 42
Следовательно, для рассматриваемых объектов параметр q должен быть положительным. В настоящее
2
время этот параметр принят равным двум (корреляционная размерность является оценкой информационной размерности, для ее вычисления разработан универсальный численный алгоритм, из полученного алгоритма автоматическая следует оценка соответствующей аппроксимированной энтропии). Из (1) следует, что корреляционная размерность есть:
£> =—!— Нш с 1-2^0
1п(1/*)
= Нш £• ^ 0
2
1п(<
форме:
Последнюю удобно представить в следующей
Б = Нш
0
, ч 1,а>0
ляционный интеграл, в\а) = < - функция Хевисай-
0, а < 0
да, р\ х., х . | - функция расстояния в п-мерном пространстве. Для аттракторов, состоящих из конечного числа точек, корреляционный интеграл заменяется соответствующей оценкой:
/ ч М М С (г )= х х
.=1 у=.+1
щ г - рухх.,х-
М (м -1)/ 2
где М - количество точек на восстановленном аттракторе.
Фрактальность исследуемого объекта предполагает:
С (г) ~г с ,
откуда следует что:
1пС(г)~Ос1пг
и корреляционную размерность можно оценить, получив наклон прямой логарифма корреляционного интеграла. Простым способом получения линейной зависимости по последовательности экспериментальных данных, как известно, является метод наименьших квадратов:
где Т - количество измерений корреляционного интеграла для различных расстояний г. (вычисленных на равномерной сетке). 1
Справедливость приведенного закона ограничена значениями г., достаточно малыми по сравнению с размером аттрактора. Очевидно, при увеличении г до размеров аттрактора С (г 1, а при уменьшении, из-за конечности точек на аттракторе, С (г 0, и указанный степенной закон справедлив только в ограниченном диапазоне г (т.н. скейлинговом диапазоне), который может быть использован для определения размерности аттрактора. Этот диапазон необходимо либо принять постоянным, либо установить на практике для рассматриваемых временных рядов и менять в зависимости от типа сигнала (типа соответствующего аттрактора сигнала).
Аппроксимированная энтропия отражает вероятность возникновения новых режимов при возрастании размерности пространства вложения. Чем она больше, тем больше неопределенностей в исходном сигнале. Для ее вычисления генерируется два аттрактора в последовательных пространствах вложения. Обычно (п+1) - мерное пространство является следующим по отношению к условиям теоремы Такенса. Для оценки их схожести вычисляют корреляционный интеграл в каждом пространстве. При этом аппроксимированная энтропия находится из условия:
АрЕп(п,г) = - 1п
_п + 1
Рекомендации по нахождению конкретного расстояния г для нахождения значения аппроксимационной энтропии в литературе обычно опущены. Приемлемым значением расстояния г является то расстояние, на котором корреляционный интеграл пересекается с прямой его аппроксимирующей в двойном логарифмическом масштабе в (п+1)-мерном фазовом пространстве (тангенс угла этой прямой и является оценкой корреляционной размерности). В случае если г выходит за границы скейлингого диапазона в л-мерном пространстве, то оно вычисляется в л-мерном фазовом пространстве тем же самым алгоритмом. На практике проверка этих двух условий является достаточной для нахождения г. Теоретически, если оба условия не выполнены, в качестве значения г можно взять одну из границ скейлингого диапазона (в зависимости от нахождения пересечения корреляционного интеграла с аппроксимирующей его прямой) в (п+1)-мерном фазовом пространстве.
Изменение фрактальных показателей в режиме «скользящего окна»
Таким образом, нахождение аттрактора и вычисление его корреляционной размерности и аппроксимированной энтропии происходит по следующему алгоритму:
- оценивание размерности пространства вложения.
- оценивание параметра задержки.
- нормирование расстояний между точками на аттракторе.
- восстановление аттрактора и его возможная визуализация, вычисление корреляционного интеграла.
- определение скейлингого диапазона.
- оценивание корреляционной размерности в скейлинговом диапазоне (в двойном логарифмическом масштабе).
Нахождение конкретного расстояния г при вычислении аппроксимированной энтропии и ее определение для этого г.
При модификации рассматриваемых методов для учета их изменения в режиме реального времени (или изменения в режиме "скользящего окна", схематично изображенных на рисунке 1) необходимо произвести перерасчет всех указанных параметров.
Длина окна
Перемещение окна
Перемещение окна
Длина окна
Рисунок 1. Способ перемещения "скользящего окна" с шириной 31 (длина окна) на 4 отсчета перемещение окна
Решение такой задачи даже на современных средствах вычислительной техники невозможно. При этом существует уже показанный ряд упрощений, связанный с видом предварительно рассчитанных значений корреляционной размерности и их аппроксимации в режиме "скользящего окна". Сказанное позволяет
сформулировать следующий алгоритм вычисления фрактальных показателей, основные этапы которого:
1. Задать постоянную размерность пространства вложения (на начальном этапе равную 3 и 4).
2. Предварительно оценить параметр задержки с помощью предыдущего алгоритма. Запомнить полученный результат, а также вид построенных функций (автокорреляционной и функции средней взаимной информации).
3. Выполнить нормирование расстояний между точками на аттракторе.
4. Восстановить аттрактор и визуализировать его (в пространстве размерности 3), вычислить корреляционный интеграл.
5. Определить скейлинговый диапазон.
6. Предварительно оценить корреляционную размерность в скейлинговом диапазоне (в двойном логарифмическом масштабе).
7. Определить конкретное расстояние г при вычислении аппроксимированной энтропии и вычислить ее для этого г.
8. Проверить найденные значения (в пространствах вложения размерности 3 и 4). При необходимости увеличить размерность пространства вложения и повторить пункты 2-7.
9. Сдвинуть временной ряд (перемещение окна выбирается апостериорно).
10. Оценить параметр п.2, изменив лишь значения отсчетов, относительно которых произошло перемещение скользящего окна.
11. Изменить аттрактор и корреляционный интеграл относительно отсчетов сместившегося окна.
12. Найти оценку скейлингова диапазона относительно переместившегося окна.
13. Дать оценку корреляционной размерности относительно нового местонахождения "скользящего окна".
14. Уточнить расстояние г и дать оценку аппроксимированной энтропии относительно нового местонахождения "скользящего окна".
15. Аппроксимировать полученные результаты трендами.
Построение аттракторов и расчет их качественных характеристик
В среде МаНаЬ разработан скрипт, позволяющий:
1. Строить графики двух- и трехмерного аттрактора (рисунки 2, 3) для произвольной задержки т.
2. Обрабатывать исходный временной ряд в режиме скользящего окна.
Двухмерный аттрактор
100 -50 0 50 100
ад
Рисунок 2. Фрактал (двухмерный аттрактор) временного ряда отношения котировок валют с количеством игры на бирже 10 дней (14400 отсчетов).
3. Вычислять корреляционную размерность в режиме скользящего окна.
4. Вычислять аппроксимированную энтропию в режиме скользящего окна.
5. Выводить результаты на совместном графике.
Трехмерный аттрактор
Рисунок 3. Фрактал (трехмерный аттрактор) временного ряда отношения котировок валют с на интервале времени 10 дней (14400 отсчетов).
Результаты и их обсуждение
В исследовании были обработаны 16 временных рядов различных котировок валют на временном интервале 10 дней (14400 отсчетов). Для каждого временного ряда реконструированы аттракторы, произведена их визуализация для двух- и трехмерного случая (рисунки 2, 3), найдены необходимые параметры для вычислений. В работе построены тренды корреляционной размерности и аппроксимированной энтропии для всего времени исследования временного ряда. Для удобства визуализации и сравнения включена возможность отслеживания изменений параметров аттракторов на совместном графике.
На рисунке 4 приведен график временного ряда отношения котировок USD/CHF. Разработанная методика не всегда обладает прогностическими способностями. Рассмотренный пример наглядно демонстрирует, что отсутствует явная видимая корреляция между рассмотренным типом фрактальной размерности и исходного временного ряда. Тот же результат был получен для аппроксимированной энтропии. Тем не менее, на рис. 5 приведен график отношения других котировок (EUR/USD), на котором удается осуществить прогностический анализ рядов наблюдений. В этом случае установлена постоянная корреляционная размерность (нижний график на рис. 5) и нулевая аппроксимированная энтропия (нижний график на рис. 6). Таким образом, можно сделать вывод о том, что обнаружен случай детерминированного хаоса, который может быть восстановлен (хотя бы в теории) в виде динамической системы.
Последний результат является наиболее важным, поскольку показывает применимость рассматриваемой методологии и указывает на возможность построения индикаторов, способных разделять процессы на детерминированные и недетерминированные. Подобная классификация дает возможность ввести количественную меру случайности, которую предполагается описать в последующей публикации.
Рисунок 4. Исходный временной ряд с количеством 10 дней обучения (14400 отсчетов) и корреляционная размерность в режиме «скользящего окна»
Заключение
Рассматриваемая статья посвящена раскрытию возможностей численного фрактального моделирования экономических временных рядов. В работе приведены основы указанной методологии, описаны возможности созданной программной реализации в среде МаНаЬ.
х к)6 Исходный временной ряд в зависимости от времени
10000 12000 14000
Корреляционная размерность в зависимости от времени
о.е
0.5
о
О 0.4
0.3
0.2
2000
4000
6000 t
8000
10000
12000
Рисунок 5. Пример детерминированного временного ряда отношения биржевых индексов и соответствующая постоянная корреляционная размерность за все время наблюдения
Разработанные скрипты позволяют строить двух- и трехмерные аттракторы, в том числе в режиме реального времени, совместно рассматривать изменение исходного временного ряда и построенных корреляционной размерности и энтропии. В результатах работы приведены графики изменения фрактальных показателей. Найден детерминированный случай (с постоянной корреляционной размерностью и нулевой аппроксимированной энтропией), что делает актуальной задачу нелинейной классификации рассматриваемых временных рядов относительно возможности детерминированного описания конечномерной нелинейной динамической системой.
Рисунок 6. Пример детерминированного временного ряда отношения биржевых индексов и соответствующая нулевая аппроксимированная энтропия за все время наблюдения
Литература
1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынке капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены, и изменчивость рынка. / Пер. с англ. под ред. А.Н. Романова. М.: Мир, 2000. 334 с.
2. Мусаев А.А. Quod est Veritas. Трансформация взглядов на системную составляющую наблюдаемого процесса // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 15. С. 53-74.
3. Мусаев А.А. Статистический анализ инерционности хаотических процессов // Труды СПИИРАН. 2014. Вып. 2(33). С. 48-59.
4. Захаров А.И., Загайнов А.И. Мультифракталь-ное математическое моделирование процессов хаотического происхождения // Труды военно-космической академии им. А.Ф. Можайского 2015. Вып. 648. С. 19-27.
5. МеклерА. А. Применение аппарата нелинейного анализа динамических систем для обработки сигналов ЭЭГ // Актуальные проблемы современной математики: ученые записки. 2004. Т. 13(2). C. 112-140.
6. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence, in dynamical systems and turbulence: Lecture Notes in Mathematics / Ed. by D.A. Rand and L.S. Young. Heidelberg: Springer-Verlag, 1981, P. 366-381.
7. Перерва Л.М., Юдин В.В. Фрактальное моделирование: учебное пособие / под общ. ред. В.Н. Гряника. Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2007. 186 c..
8. Головко В.А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов // Научная сессия МИФИ-2005. VII Всероссийская научно-техническая конференция «Ней-роинформатика-2005»: Лекции по нейроинформатике. М.: МИФИ, 2005. С. 43-91.
9. Tsonis A. Chaos: from Theory to Applications. New York: Plenum Press, 1992. 274 p.
References
1. Peters E. Haos i poryadok na ryinke kapitala. Novyiy analiticheskiy vzglyad na tsiklyi, tsenyi, i izmenchiv-ost ryinka [Chaos and order in the capital market. New analytical view of the cycles, the price and volatility of the market]. // Trans. from English. ed. A.N. Romanov. M .: Mir, 2000. 334 p. (In Russ.).
2. MusaevA.A. [Quod est veritas. Transformation of views on the systemic component of the observed process]. Proceedings SPIIRAS. 2010. Vol. 15. P. 53-74. (In Russ.).
3. Musaev A.A. [Statistical analysis of the inertia of chaotic processes]. Proceedings SPIIRAS. 2014. Vol. 2 (33). P. 48-59. (In Russ.).
4. Zakharov A.I., Zagaynov A.I. [Multifractal mathematical modeling of random processes origin]. Proceedings of the A.F Mozhaisky Military Space Academy. 2015. Vol. 648. P. 19-27. (In Russ.).
5. Meckler A.A. [Application of the device non-linear analysis of dynamical systems for EEG signal processing]. Actual problems of modern mathematics: the scientists note. 2004. T. 13 (2), P. 112-140. (In Russ.).
6. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence, in dynamical systems and turbulence: Lecture Notes in Mathematics / Ed. by D.A. Rand and L.S. Young. Heidelberg: Springer-Verlag, 1981, P. 366-381.
7. Pererva L.M., Yudin V.V. Fraktalnoe modeliro-vanie: uchebnoe posobie [Fractal modeling: Textbook]. / Ed. by V.N. Gryanik. Vladivostok: Publishing house VGUES, 2007. 186 p. (In Russ.).
8. Golovko V.A. [Neural network methods of processing chaotic processes]. Scientific session MEPhI-2005. VII All-Russian Scientific Conference "Neuroinformatics-2005": Lectures on neuroinformatics. Moscow: Moscow Engineering Physics Institute, 2005, P. 43-91. (In Russ.).
9. Tsonis A. Chaos: from Theory to Applications. New York: Plenum Press, 1992. 274 p.
