Устойчивость к шумам метода томографирования с помощью синтезированной апертуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

Теория сигналов

УДК 621.396.96; 519.8(075)

В. П. Ющенко

Новосибирский государственный технический университет

Устойчивость к шумам метода томографирования с помощью синтезированной апертуры

Рассматривается устойчивость к шумам метода томографирования с помощью синтеза апертуры. Апертура синтезируется в двух взаимно перпендикулярных направлениях по двум траекторным сигналам. К траекторным сигналам добавляются шумы и анализируются искажения функции рассеяния точки и томограмм точечных объектов в зависимости от отношения сигнал/шум. Кроме того, рассмотрено искажение модельной томограммы гомогенной области с полостью внутри под воздействием шума.

Синтезирование апертуры, томография, траекторный доплеровский сигнал, функция рассеяния, гомогенная область

Привлекательным, с точки зрения томографии, является применение в ней апертур-ного синтеза. Для реализации последнего требуется когерентный источник сигнала для локации внутренней структуры объекта. Следует ожидать определенных преимуществ от применения когерентности, например регулирования разрешающей способности, осуществляемого простым изменением длины волны зондирующего сигнала. При этом конструкция томографа и программное обеспечение практически не затрагиваются, поскольку предельная разрешающая способность синтезированной апертуры 5 определяется известной формулой 6 = Х/ 5 [1]. Кроме того, предполагается, что когерентность позволит обойти проблемы дисперсионности томографируемых сред и объектов. Следует ожидать также определенных диагностических преимуществ когерентной томографии, таких, как резонансное поглощение или отражение волн, что может оказаться необходимыми для диагностики патологических тканей.

В настоящее время существуют два метода синтеза апертуры в томографии. Первым является томографирование в спектральной области с регистрацией кольцевого спектра [1]. Этот метод вытекает из классической томографии (в его основе лежит восстановление изображения по проекциям). Недостатком метода является требование дальней зоны и малых угловых размеров объекта. Дальняя зона связана с бесполезными затратами мощности на облучение больших пространств, что невыгодно энергетически и вредно для объекта.

Второй метод [2]-[5], основанный на корреляционной обработке траекторного сигнала, одинаково хорошо работает и в зоне Фраунгофера, и в зоне Френеля. Этот метод легче приспособить для практики томографирования.

© В. П. Ющенко, 2005

3

В настоящее время апертурный синтез в томографии не вышел за пределы теоретического изучения, моделирования объектов томографии и проведения начальных экспериментов. Одной из связанных с когерентностью проблем является интерференция на томограммах, затрудняющая восприятие внутренней структуры объекта, однако, как показано в [3], эти проблемы решаются положительно.

В настоящее время в технической литературе отсутствуют сведения об оценке устойчивости к шумам метода томографии с помощью синтезированной апертуры. Материал предлагаемой статьи дает представление об устойчивости к шумам рассматриваемого метода томографии.

Краткое изложение существа метода томографии с помощью синтезированной апертуры. Чтобы не отсылать читателя к другим литературным источникам, коротко опишем сущность апертурного синтеза методом взаимных корреляций, а также поясним существо действий для устранения интерференции.

Траекторный сигнал от 1-й точки, связанный с параметрами движения локатора по прямой траектории мимо томографируемого объекта, можно записать в виде

\2 2

/л а ( xi, У1)

Ь =----2-2 ехр

(vt + Xi-Cj 2 ) + yf

-j У >/(vt + Xi - CJ2)2 + y2

(1)

где а (х^, У1) - комплексная амплитуда рассеяния в 1-й точке (х^, у^ - координаты 1-й точки

объекта в плоскости, проходящей через траекторию перемещения локатора относительно томографируемого объекта и секущей этот объект); V - постоянная скорость перемещения приемника с излучателем относительно томографируемого объекта; ^ - время; Са - длина

синтезированной апертуры; X - длина волны зондирующего сигнала.

Предполагается, что приемник и передатчик совмещены в пространстве. Положение плоскости сечения определяется диаграммой направленности локатора, изотропной в рассматриваемой плоскости*. За пределами этой плоскости приема отраженного сигнала нет. Начало координат лежит на траектории, к которой восстановлен перпендикуляр из центра сечения объекта.

Суммарный сигнал ^ (I), отраженный от всего объекта, состоящего из I точек, можно представить в виде

I

s (I) = ^ ^ (I) . (2)

I=1

Для обработки суммарного траекторного сигнала ^ (^) потребуется опорный траекторный сигнал, отраженный от точечного объекта. Этот сигнал можно записать следующим образом:

1 4 л I 2

= --—2-fexp -j—V^-Q/2) + y

(vt - Са/2)2 + y2 L Я,

где У - ордината опорной точки в плоскости томографирования.

* Назовем эту плоскость плоскостью томографирования. 4

Далее следует найти двухмерную взаимно-корреляционную функцию (ВкФ) между опорным сигналом 5о (г) (3) и суммарным сигналом 5 (г) (2). При нахождении ВкФ положение опорной точки варьируется по координате у с шагом Ду и по координате х с шагом Ах = ут (т - временной сдвиг между траекторным сигналом, зарегистрированным от томографируемого объекта, и опорным траекторным сигналом от точечного объекта): У2 *2 I

В (т, Ду) = | 5 (уг, у ) [у (г -т), (у -Ду)] ёуёг = У1 11 ' =1

= —П-2 I I £ ( юх, юу ) К* ( юх, юу ) ехР ( юхДх + юуДу )] аюу, (4)

\2Ъ) —да —да

где у^ = 0; у2 = 2 утах (утах - точка объекта, максимально удаленная от траектории движете да

ния локатора); г1 =-Са/v ; 12 = Са/V; £(юх,Юу) = | | 5(х,у)ехр(юхх + Юуу) йхйу

—да —да

- спектр реконструируемой пространственной функции 5(х,у) (х = уг-Са/2; юх, Юу - пространственные частоты);

да да

К(юх,Юу) = | | 5о [(х-Ах),(у-Ду)]ехр{у[юх (х-Ах) + Юу (у-Ду)|}йхйу

—да —да

- спектр опорной пространственной функции 5о (х, у); * - знак комплексного сопряжения.

К (юх, юу) можно рассматривать как частотную характеристику дисперсионного

фильтра*, перестраиваемого на разные дальности по у .

Если взять одноточечный объект, т. е. в выражении (2) положить I = 1, то выражение (4) позволит рассчитать и построить двухмерную ВкФ для одноточечного объекта (рис. 1, а). Для этого нужно перейти от координаты т к координате Ах, пользуясь соотношением Ах = ут . Полученную двухмерную ВкФ принято называть передаточной функцией точки (термин введен Д. Л. Менсой [1]), или функцией рассеяния точки (ФРТ) (термин заимствован из оптики). В дальнейшем будем использовать второй термин. ФРТ характеризует разрешающую способность метода томографии. Лучше всего если она будет представлена в виде 8-импульса. Такую ФРТ позволяет получить многоракурсный апертурный синтез. Ограничимся синтезированием апертуры в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Для этого нужно зарегистрировать два траекторных сигнала, выбрав две взаимно перпендикулярные траектории.

Сущность многоракурсного апертур-ного синтеза можно пояснить формулой рис. 1

* Дисперсионным называют фильтр, задержка сигнала в котором зависит от частоты.

N

В^ = П В [(Дх, Ду) ,8п ] , согласно которой для получения ФРТ В^ необходимо перемножить п=1

все двухмерные ВкФ, повернутые на углы 8п относительно исходной корреляционной функции. Для этого траекторию вторичного синтезирования апертуры необходимо поворачивать на те же углы относительно исходной траектории. На рис. 1, б представлен результат перемножения исходной ВкФ (рис. 1, а) и такой же ВкФ, но повернутой на 90° в плоскости основания.

Результаты воздействия шума на томограммы, полученные моделированием. Приступим к рассмотрению воздействия шума на ФРТ и на ее томограмму, которую можно получить из ФРТ, сделав ее сечения параллельными плоскостями на разных высотах и

V, *

представив совмещенные планы этих сечений .

Шумовому воздействию подвергается только регистрируемый траекторный сигнал. Опорные сигналы получают расчетным путем, и они шумовому воздействию не подлежат. Добавление шума к траекторному сигналу дает сигнал

^) = ^ ^) + п (Г), (5)

где п (I) - шумовой процесс.

Все сигналы в приведенных формулах записаны с непрерывными аргументами. Не составляет большого труда перейти к дискретным аргументам, после чего по этим формулам провести расчеты на ЭВМ.

На рис. 2, а приведен траекторный сигнал (1) точечного объекта без шума**, на рис. 2, б - ФРТ, а на рис. 2, в представлена томограмма точки, т. е. совокупность сечений ФРТ на разных высотах в плане.

На рис. 3 показаны аналогичные отображения для случая искажения траекторного сигнала шумом (5), среднеквадратическое отклонение (СКО) которого в два раза меньше максимального значения сигнала. Из сравнения рис. 2, б и 3, б, а также 2, в и 3, в, можно видеть ис-

-20

300 500 700 900 1100 i

а

Рис. 2

-20

|Гт""|,Т| И ' i к Éáiidil

300 500 700 900 1100 i

а

: f

íf: «

Рис. 3

s

0

в

s

ш

0

* Для лучшего восприятия сечения раскрашиваются в разные тона или цвета.

**

По оси абсцисс отложены номера дискретные отсчеты времени I, следующие с интервалом 0.8 мс.

кажения ФРТ и ее томограммы. Представленные результаты демонстрируют хорошую шу-моустойчивость метода томографирования с помощью синтеза апертуры методом взаимных корреляций, объясняемую тем, что дисперсионный перестраиваемый фильтр-коррелятор является хорошим накопителем сигнала, улучшающим отношение сигнал/шум на выходе.

Хорошая устойчивость к шумам ФРТ еще не означает, что результаты томографии реальных объектов будут также хороши при наличии шума. Рассмотрим томографирова-ние гомогенной области с полостью внутри. При выборе параметров модели такой области предполагалось, что отражающие точки не затеняют друг друга, имеют одинаковую комплексную амплитуду рассеяния и распределены равномерно с шагом X/ 7 вдоль обеих координат. Шаг выбран с учетом максимальной разрешающей способности синтезированной апертуры X/ 5 [1]*. Гомогенная область представлена квадратом 36x36 мм; полость

внутри также имела квадратную форму разметом 9x9 мм. Длина синтезированной апертуры составляла 24 см; расстояние до центра гомогенной области от траектории равнялось 12 см; длина волны X = 1.3 мм.

На рис. 4, а представлен траекторный доплеровский сигнал от гомогенной области с пустотой внутри, на рис. 4, б - функция рассеяния всей гомогенной области с полостью при синтезировании апертуры в двух взаимно перпендикулярных направлениях. На рис. 4, в дана томограмма исследуемой области.

Рассмотрим влияние шумов на результаты томографирования этой гомогенной области. На рис. 5 приведены функции, аналогичные представленным на рис. 4, но с добавлением к доплеровскому сигналу шумов при отношении сигнал/шум, равном пяти.

Представленные результаты показывают, что шум, меньший, чем полезный сигнал, в пять раз, способен практически полностью маскировать полость в гомогенной области. Однако надо учитывать, что на практике тепловые шумы электронных схем будут иметь

* Точки, расположенные на расстояниях, меньших разрешающей способности синтезированной апертуры, сливались в гомогенную структуру.

гораздо меньшую мощность, чем суммарная мощность отраженного сигнала от всего объекта. Поэтому представленный на рис. 5 результат является маловероятным.

Результат объективной оценки качества изображения в шумах. Выявленная из сравнений рис. 2 и 3, 4 и 5 оценка искажений томограмм является качественной, субъективной, даваемой наблюдателем. Обратимся теперь к количественной, или объективной оценке качества изображения.

По-прежнему будем анализировать томограмму гомогенной области с полостью внутри (рис. 4, в). Это изображение получено из квадратной матрицы модулей комплексных чисел. Матрица изображения содержит М = 256 строк и N = 256 столбцов, т. е. состоит из 256x256 элементов. Для оценки степени искажения изображения шумами будем использовать СКО модуля элемента изображения, восстановленного из зашумленного траекторного сигнала, от модуля элемента изображения, полученного из траекторного сигнала при отсутствии шума, усредненное по всем элементам изображения:

ст

(k)=

Л

N M

NM ^^ Оa '

\ctj j + n (k)

' j

где i, j - номера строки и столбца матрицы соответственно; a j = B(т, Ay) - элемент матрицы изображения, полученный из одного отсчета взаимно-корреляционной функции, определенной в результате обработки траекторного сигнала при отсутствии шумов; a j (nk)

- элемент матрицы изображения, полученный в результате обработки траекторного сигнала при наличии шумов; k - максимальное отклонение шумового процесса, сгенерированного программой RANDOM*.

Зависимость а (k) представлена на рис. 6. Как из него следует, увеличение интенсивности шумового процесса k ведет к увеличению СКО а, причем наблюдается прямо пропорциональная зависимость между этими величинами. Маркер на рис. 6 соответствует отношению

сигнал/шум ис/Gq = 5 (см. рис. 5, а). Таким

образом, маркер на рис 6 и рис. 5 позволяют связать объективные и субъективные характеристики шумоустойчивости томограмм.

В заключение отметим ситуацию, при которой можно столкнуться с шумами в томографии. Будем исходить из очевидного факта, что чем меньше мощность зондирующего сигнала, тем меньше он причиня-

1000 1500 k ет вреда здоровью пациента. Поэтому

Рис. 6 уменьшение мощности излучателя с неиз-

150 -

100

50 -

500

2

* В качестве отсчетов шума в эксперименте использованы генерируемые программой RANDOM случайные величины, имеющие равномерное распределение. После центрирования эти величины заключены в интервале [-k/2,k/2] и имеют СКО Qq = -у/k2/l2 .

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2005. Вып. 3

бежностью обусловливает приближение к уровню шумов электронных схем, а значит, необходимо решить вопрос о допустимом уровне шума. Шумы электронных схем будут определять чувствительность томографа, и она никогда не будет лишней.

Приведенные результаты дают представление об устойчивости к шумам рассматриваемого метода томографии. По мере увеличения мощности шумов происходит постепенное искажение изображения, на томограммах. При этом нет порогового эффекта, т. е. резкого разрушения изображения, начиная с определенного отношения сигнал/шум. Отношение ис/ Gq = 5 (см. рис. 5) практически скрывает пустоту в гомогенной области. Однако сигнал от гомогенной области с пустотой внутри обычно на несколько порядков превышает шумы электронных схем, поэтому ситуация с ис/ Gq = 5 практически нереальна. Тем не менее, этот результат дает представление о границе шумовой устойчивости метода.

Библиографический список

1. Менса Д. Л., Халеви Ш., Уэйд Г. Применение методов когерентной доплеровской томографии для получения изображения на СВЧ // ТИИЭР. 1983. Т. 71, № 2. С. 76-84.

2. Ющенко В. П. Доплеровское сканирование структуры объекта с помощью синтезированной апертуры // Приборы и техника эксперимента. 2001. № 2. С. 41-45.

3. Ющенко В. П. Сопоставление двух методов когерентной томографии // Радиотехника и электроника. 2004. № 2. С. 178-187.

4. Ющенко В. П. Круговой апертурный синтез для целей томографии // Автометрия. 2002. Т. 38, № 6. С. 28-33.

5. Ющенко В. П. Синтез апертуры по квадратной траектории для когерентной томографии // Тр. вузов России. Радиоэлектроника. 2004. № 2. С. 18-28.

6. Пат. 2066060 РФ МКИ G 01 S 13/90. Способ картографирования с помощью синтезированной апертуры // В. П. Ющенко (РФ). Опубл. 27.08.96. Бюл. № 24.

V. P. Yushchenko

Novosibirsk state technical university

Stability to noise of a tomography method with the help of synthesized aperture

The noise stability of the tomography method with using of the aperture synthesis is considered. The aperture is synthesized in two orthogonally related directions on two trajectory signals. The noises are added to trajectory signals and the distortions of a point scattering function and dot objects tomograms are parsed depending on a signal/noise ratio. In addition the distortion of a model tomogram of homogeneous area with an inside cavity under noise influence is surveyed.

Aperture synthesizing, tomography, Doppler 's trajectory signal, point transfer function, homogeneous area

Статья потупила в редакцию 15 декабря 2004 г.