Синтез апертуры по квадратной траектории для когерентной томографии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 2======================================

УДК:621.396.96;519.8(075)

В. П. Ющенко

Новосибирский государственный технический университет

Синтез апертуры по квадратной траектории для когерентной томографии

Рассматривается способ синтеза апертуры по траекторному сигналу при движении локатора по квадратной траектории. Апертурный синтез осуществляется не в Фурье-области, как это широко распространено в томографии, а в области пространственных функций. Приводятся математическое описание способа и алгоритм построения томографического изображения по траекторному доплеров-скому сигналу, а также томограммы, передаточные функции, кольцевые спектры.

Синтез апертуры, томография, траекторный доплеровский сигнал, передаточная функция, пространственный спектр на кольце

Обсуждение вопросов применения апертурного синтеза в томографии ведется с 1983 г. В [1] предлагалось синтезировать апертуру по кругу в спектральной области. От вращающегося вокруг своей оси объекта неподвижным доплеровским локатором, излучающим монохроматический сигнал, в зоне Фраунгофера регистрировалась пространственная спектральная функция на кольце. Обратное преобразование Фурье от зарегистрированного кольцевого спектра позволило авторам [1] реконструировать картину плотности центров отражения объекта, т. е. получить готовую его томограмму. Круговой метод синтезирования апертуры в спектральной области основан на проекционных теоремах, которые вытекают из обратного преобразования Радона, и поэтому требования Радона к проекционному лучу трансформировались при регистрации кольцевого спектра в требование дальней зоны Фраунгофера.

Требование дальней зоны в томографии энергетически невыгодно, поскольку приходится облучать большие объемы ненужного пространства. Выигрышным, с точки зрения энергетики, и более простым в реализации является метод томографирования с помощью синтезированной апертуры, использующий взаимную корреляцию между зарегистрированным траекторным сигналом по круговой траектории и опорными траекторными сигналами от одноточечных объектов, полученных расчетным путем для круговой траектории [3]. Этот метод не вытекает из проекционных теорем и поэтому одинаково хорошо работает как в зоне Френеля, так и в зоне Фраунгофера.

На первый взгляд, кажется, что в рассмотрении апертурного синтеза по квадратной траектории нет большой необходимости. Можно синтезировать апертуру, двигаясь по эллиптической траектории, или выбрать другую экзотичную траекторию. Рассмотренный в [2] метод позволяет реализовать многие из вымышленных траекторий, в то время как метод синтеза апертуры в спектральной области не дает такой возможности. Конечно, в этом вопросе нужно исходить из практической целесообразности.

18 © В. П. Ющенко, 2004

Выбор траектории определяется конструкторскими требованиями, в которых в первую очередь предполагают простоту технической реализации и удобство конструкции для пациента. Будем полагать, что апертурный синтез по квадратной траектории может быть полезным практически.

Следует отличать синтез апертуры по квадратной траектории от синтеза в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Суть отличия заключается в следующем. При синтезе апертуры по квадратной траектории регистрируется непрерывный траекторный сигнал при движении по замкнутой квадратной траектории. Опорные траекторные сигналы для точечных объектов также "генерируются" для непрерывного движения по этой же траектории.

При синтезе апертуры в двух взаимно перпендикулярных направлениях траекторные сигналы регистрируются в указанных направлениях по отдельности, а опорные сигналы генерируются отдельно для каждого направления. После взаимно корреляционной обработки зарегистрированного сигнала с опорными сигналами получают две взаимно ортогональные томограммы (вернее двухмерные матрицы изображения из комплексных чисел), которые затем накладывают друг на друга и совпавшие при этом элементы перемножают.

Проведем синтез апертуры при движении по квадратной траектории. Запишем тра-екторный сигнал от точечного объекта при движении локатора с изотропной диаграммой по квадратной траектории, для чего прибегнем к помощи функций, задаваемых кусочными областями изменения аргумента. Запишем траекторный сигнал в виде

^ = х + jy, (1)

где ^ - комплексный траекторный сигнал; х = A cos (4nRX); y = A sin (4nR/X) - действительная и мнимая части траекторного сигнала соответственно (A - амплитуда, R - текущее расстояние от точки объекта до локатора; X - длина волны). Зададимся, например, 1024 отсчетами траекторного сигнала, тогда амплитуду можно определить как

A = c/r2 (2KvM )b , (2)

где R = 2vAT^I(I -11 )2 + K2 - при I1 = 1... 256;

A = CR2 [2 (256 -1) vAT]b , (3)

где R = 2vATyj(K -Il + 256)2 + (256 -1)2 - при Il = 256. ..512;

A = CR2 [2 (256 - K)vAT]b , (4)

где R = 2vAT^J( 768 -1 - Ix )2 + ( 256 - K )2 - при Il = 512...768;

A = C/R2 (2IvAT)b , (5)

где R = 2vATyj(1024-K -Il)2 +12 - при Il = 768...1024;

C - постоянная величина; I = 1, 2, ..., 256, K = 1, 2, ..., 256 - номера столбцов и строк элементов матрицы изображения соответственно; v - скорость локатора относительно

объекта; ДГ - шаг дискретизации по времени; Ь - показатель степени, выравнивающий сигналы с разных дальностей; ¡1 - номер отсчета траекторного сигнала.

По приведенным формулам можно рассчитать опорные траекторные сигналы для каждого элемента матрицы изображения. По таким же формулам рассчитываются сигналы от каждой точки многоточечного объекта. Полный сигнал от объекта, согласно принципу су-

N

перпозиции, находится как сумма сигналов от каждой точки объекта: = ^ где -

п=1

полный сигнал, отраженный от всех точек объекта; N - общее число точек объекта; п - порядковый номер отражающей точки объекта; - сигнал, отраженный от п-й точки объекта.

Взаимно корреляционную функцию объектного сигнала и опорного сигнала 5оп I к запишем в общем виде (поскольку их запись в явном виде в выражении для взаимно корреляционной функции занимает много места и приводит к неудобному и громоздкому выражению), т. е. в виде

х2 >"2

Воб ,5оп (ТХ, Ту ) = | | ^Об (Х У) ^ОИ (Х + ТХ, У + Ту ) , Х1 >1

где Воб ^ (тх, т>) - взаимно корреляционная функция; х, у - пространственные координаты, причем координата х = (7 - время), а координата у имеет смысл промаха, т. е. является кратчайшим расстоянием от траектории до точки объекта; Х1, Х2, >1, >2 - границы пространственной области, включающей объект.

Свертку функций и 5оп I к лучше вычислить в дискретном виде в спектральной

области, используя алгоритмы быстрого преобразования Фурье:

2 N

Вк (к ) = X Я ( п)Кк (п ) ехр [7 ( 2п/N) ^п] , п=1

где /'1 = 1, 2, ..., 2N - номера отсчетов взаимно корреляционной функции; п - номера отсчетов частоты;

Я ( п) =

' N

X5об(')ехр[-](ПN) 1п\ при п = 1, 2, ..., N;

/=1

0 при п = N +1, N + 2, ..., 2N

отсчеты спектра сканируемого сигнала;

О при п = 1, 2, ..., N;

N

X50п 1,К (')ехр[-7(ПN)т~\ при п = N +1, N + 2, ..., 2N =1

Кк ( п) =

- отсчеты частотной характеристики дисперсионного фильтра*, настроенного на дальность, заданную элементом (I,К) матрицы изображения, г = 1, 2, ..., 2N - номера отсчетов сигнала; 5оп I к (г) - отсчеты опорного сигнала, рассчитанные по формуле (1) для

элемента (1,К) матрицы изображения.

Чтобы получить томограмму объекта, нужно найти взаимно корреляционные функции объектного траекторного сигнала с каждым опорным траекторным сигналом и из этих взаимно-корреляционных функций создать матрицу изображения, перекодировав амплитуды отсчетов в цветовые пиксели. По представленному алгоритму получены томограммы простейших малоточечных моделей объектов.

Рассмотрение результатов томографи-рования начнем с траекторных сигналов и их спектров. На рис.1, а представлен траек-торный сигнал от одноточечного объекта, а на рис. 1, б - его спектр. Условия моделирования были следующими: точка располагалась в центре квадрата, длина волны X = 1.36 см, шаг дискретизации по времени АТ = 0.8 мс, относительная скорость движения V = 0.28 м/с, шаг дискретизации в направлении, перпендикулярном к стороне траекторного квадрата, Да = 2Д^ = 144 мкм, удаление траектории от центра по перпендикуляру а = 128Да = 57.3 мм.

На рис. 2 представлена передаточная функция точки, расположенной в начале координат, реконструированной по траекторному сигналу рис.1, а (рис. 2, а - вид в трехмерном пространстве, рис. 2, б - в плане**). Передаточная функция точки или всего объекта получается, если развернуть в декартовой системе координат матрицу изображения, полученную

Рис. 2

* Дисперсионный фильтр выделяет точку матрицы изображения. Дальность до этой точки задается координатами (1,К) матрицы.

** В дальнейшем вид передаточной функции точки или группы точек в плане будем называть томограммой объекта.

Рис. 3

из 1024 отсчетов взаимно корреляционных функций. Необходимые построения были выполнены с помощью программы МаШСАО. На рис. 3 приведена передаточная функция точки, полученная при синтезе апертуры по круговой траектории. Как видно из сравнения рис. 2, а и 3, а, при синтезе апертуры по квадратной траектории возникают дифракционные явления в виде колец Эйри, аналогичные возникающим при синтезе по круговой траектории.

Кольца, или диски Эйри хорошо известны в оптике. Их можно получить на отражающем экране, пропустив плоскую когерентную волну сквозь отверстие в непрозрачной диафрагме, диаметр которого соизмерим с длиной волны. Поэтому кольца Эйри (рис. 2, а и 3, а) указывают на родство апертурного синтеза и когерентной оптики.

Рассмотрим пространственные спектры передаточных функций, полученные как результаты двухмерных преобразований Фурье от матриц элементов изображений.

На рис. 4, а представлен пространственный спектр передаточной функции точки, изображенной на рис. 2, а (а - в трехмерном пространстве, б - в плане, в - фазовый спектр, вид в плане)*. Спектр в плане имеет вид кольца, поэтому будем называть его кольцевым спектром, или спектром на кольце.

В работе [1] томографирование производилось именно в спектральной области. При сборе информации регистрировалась спектральная функция на кольце. Для восстановления картины плотности отражения в сечении (т. е. для получения томограммы) достаточно взять обратное преобразование Фурье от кольцевого спектра.

О

б

Рис. 4

А

1 --

а

* На рис. 4, б прямые линии показывают границы спектральной области. 22

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 2

Из рис. 4 следует, что синтезу апертуры по квадратной траектории соответствует кольцевой спектр, из [1] - что он же соответствует и синтезу апертуры по круговой траектории. Следовательно, кольцевой характер спектра сохраняется при любой траектории синтеза апертуры. Выясним, чему равен диаметр кольцевого спектра.

Поперечник томограммы точки на рис. 2, б равен удвоенной величине удаления траектории синтеза апертуры от центра, т. е. 2а = 114.6 мм, и на нем укладывается 256 шагов дискретизации. Тогда один отсчет соответствует расстоянию А/ = 114.6/256 = 0.447 мм . Из оптики известно, что величина поперечника пространственного спектра обратна шагу пространственной дискретизации передаточной функции, поэтому для рис. 4 поперечник

спектра равен АР = 1/ А/ = 2.234 мм-1, а шаг дискретизации по оси пространственных частот составляет А/ = АР/256 = 0.0087 мм-1.

Сравнивая рис. 4, б и в, определим число отсчетов, приходящихся на диаметр кольцевого спектра. Поперечник фазового спектра на рис. 4, в занимает 57 мм и содержит 256 отсчетов, а диаметр круга (рис. 4, б) равен 8 мм. Таким образом, на диаметр кольцевого спектра приходится х = (256/57) 8 = 35.9 отсчетов, т. е. он составляет хА/ = 35.9 • 0.0087 =

_1 1

= 0.312 мм_ . В [1] получен близкий результат: 4/Х = 4/13.6 = 0.29 мм- . Разница в результатах не превышает 7%, поэтому их можно признать совпадающими.

Рассмотрим результаты томографиро-вания точки, удаленной от центра по диагонали на 32.8Х. На рис. 5, а представлен траекторный сигнал от такой точки, а на рис. 5, Ь - спектр этого сигнала. Из сравнения рис. 1, б и 5, б видно, что смещение точки из центра не приводит к существенному изменению спектра. Следует обратить внимание на то, что траекторный сигнал (при учете радиолокационного затухания) имеет значительную амплитуду в тот момент времени, когда его прием ведется на участке траектории, расположенной близко к объекту. На рис. 6 показана передаточная функция такой точки (а - в трехмерной проекции, б - томограмма). Эта передаточная функция существенно отличается от функции точки, находящейся в центре (см. рис. 2). Теперь она состоит из двух взаимно перпендикулярных вытянутых передаточных функций. В рассматриваемом случае получилась ситуация, близкая к синтезу апертуры в двух взаимно перпендикулярных направлениях. На синтез апертуры влияют два ближайших к точке взаимно перпендикулярных участка траектории, а два других практически на него не влияют, поскольку они значительно удалены от томографируемой точки.

и.

256 512

а

768

256 512

б

Рис. 5

768

0

1

0

п

Рис. 6

На рис. 7 представлены спектральные характеристики смещенной передаточной функции точки (см. рис. 6). Полукольцевой спектр рис. 7, б свидетельствует о том, что синтез апертуры выполнен не по замкнутому периметру.

Сместим томографируемую точку от центра не по диагонали, а в направлении, перпендикулярном траектории (рис. 8). При этом сигнал ослабляется в соответствии с (2)-(5). В данном случае следует ожидать приближение условий к прямолинейному апертурному синтезу [2]. Синтез апертуры будет происходить в основном по одной, близко расположенной, траектории, остальные три траектории не будут оказывать практически никакого влияния на результат синтеза.

Приведенные на рис. 8 результаты демонстрируют переход к прямолинейному синтезу апертуры при приближении точки к одной из четырех траекторий. О том, что насту-

пил линейный синтез апертуры, свидетельствуют передаточная функция точки в виде восьмерки (рис. 8, а) и полукольцевой спектр (рис. 8, б).

Рассмотрим результаты томографирования трехточечных объектов. На рис. 9 представлен траекторный сигнал такого объекта, расположенного в центре томографируемой области, при обходе его по квадратной траектории.

Частота флюктуаций амплитуды тра-

5об 0

- 0.05

0

256

512

Рис. 9

768

екторного сигнала зависит от длины волны и расстояния между точками. В данном модельном эксперименте Х = 13.6 мм, расстояние между точками составляет 13.4 мм, скорость перемещения по траектории V = 0.28 м/с, а шаг дискретизации по времени ДГ = 0.8 мс.

На рис. 10, а показана передаточная функция трехточечного объекта, а на рис. 10, б и в представлены его томограммы. На томограмме рис. 10, б каждая из трех точек окружена кольцами Эйри и кроме того имеется интерференция на уровне пьедестала. Следует отметить, что при линейном синтезе апертуры круги Эйри почти не проявляются (ср. рис. 10, б и рис. 8, а). Если сохранить в томограмме сигналы со значениями не менее 60% от максимального уровня, то останутся узнаваемые три точки. По их размеру можно судить о разрешающей способности рассматриваемого метода томографии.

а б в

Рис. 10

На рис. 11 приведены спектральные характеристики передаточной функции трехточечного объекта (см. рис. 10, а). Наличие трех точек не только привело к интерференции в пространственной области (рис. 10, б), но и вызвало интерференцию кольцевого спектра (рис. 11, б), что проявилось в изрезанности последнего. При этом интерференционные процессы не покидали пределы кольца. Диаметр кольца остается по-прежнему равным 4/ X, в чем можно убедиться, сопоставив диаметр спектрального кольца с размерами спектральной области, как это было сделано ранее.

Уменьшим длину волны в пять раз, сохранив остальные условия эксперимента прежними. Полученная томограмма трехточечного объекта представлена на рис. 12, а, а на рис. 12, б дана та же томограмма, но с обнуленными отсчетами, не превышающими

60% максимального. Сравнение рис. 10, б, в и 12 показывает, что уменьшение длины вол-

25

а б в

Рис. 12

ны привело к увеличению числа интерференционных лепестков и уменьшению их толщины. При этом в пять раз увеличилась разрешающая способность: точки на рис. 12, б стали в пять раз меньше, чем точки на рис 10, в. Увеличение диаметра кольцевого спектра в пять раз (рис. 12, в) также свидетельствует об уменьшении длины волны.

Представленные результаты исследования апертурного синтеза по квадратной траектории позволяют увидеть его отличительное свойство от кругового апертурного синтеза. Из сопоставления передаточных функций рис. 2, б и 3, б видно, что кольца Эйри при синтезе апертуры по квадратной траектории пропадают в четырех секторах, в то время как при круговом апертурном синтезе они присутствуют на всей плоскости изображения. Эта особенность позволяет ослабить артефакты (кольца Эйри) и получить более качественное изображение, чем в случае кругового апертурного синтеза. Для дальнейшего уменьшения артефактов следует наложить две матрицы одного и того же изображения, полученные при синтезе апертуры по квадратной траектории, причем вторую матрицу изображения следует получить при траектории, повернутой на 45° относительно первой. Далее перемножают совпадающие элементы первоначальной и повернутой матриц. Для того чтобы добиться лучшего совпадения элементов матриц изображения, у второй матрицы (с повернутой траекторией) расстояние между элементами должно составлять 0.707 от расстояния между элементами первой матрицы.

Реализация указанной возможности иллюстрируется рис. 13 в сравнении его полей с полями рис. 10, а и б. Можно видеть, как увеличивается соотношение между главными 26

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 2

максимумами и боковыми лепестками (артефактами), что приводит к улучшению качества томограммы (ср. рис. 10, б и рис. 13, б). Еще раз подчеркнем, что для апертурного синтеза по круговой траектории эта возможность отсутствует из-за полноценных непрерывающихся колец Эйри.

Проведенные исследования выявили следующие основные закономерности.

При апертурном синтезе передаточной функции точки по квадратной траектории, так же, как и при апертурном синтезе по любой замкнутой траектории, возникают кольца Эйри. При линейном апертурном синтезе такие кольца практически отсутствуют.

У апертурного синтеза по квадратной траектории имеется много сходных черт с апертурным синтезом по круговой траектории, но есть и отличие, заключающееся в том, что кольца Эйри прерываются в четырех секторах томограммы. Это свойство позволяет улучшить изображения объектов по сравнению с круговым апертурным синтезом, применением наложения повернутых на 45° относительно друг друга матриц изображения.

Передаточная функция точки, расположенной в центре, обладает симметрией, однако при удалении ее от центра симметрия передаточной функции нарушается, особенно с учетом радиолокационного ослабления сигнала по мере увеличения расстояния.

При приближении томографируемой точки к середине стороны траекторного квадрата передаточная функция точки приобретает вид восьмерки, характерный для прямолинейного апертурного синтеза [2].

Если томографируемая точка приближается к углу траекторного квадрата, то передаточная функция точки приобретает черты передаточной функции точки, получаемой при синтезе апертуры в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

При значительном смещении точки из центра проекция кольцевого спектра принимает форму полукольца.

В случае томографирования многоточечных объектов наряду с кругами Эйри проявляются интерференционные явления, т. е. многоточечные протяженные объекты отображаются на томограммах вместе со своими диаграммами обратного рассеяния.

В случае многоточечных протяженных объектов интерференция проявляется также в спектральной области в виде изрезанности спектра на кольце.

Библиографический список

1. Менса Д. Л., Халеви Ш., Уэйд Г. Применение методов когерентной доплеровской томографии для получения изображения на СВЧ // ТИИЭР. 1983. Т. 71, № 2. С. 76-84.

2. Ющенко В. П. Доплеровское сканирование структуры объекта с помощью синтезированной апертуры // Приборы и техника эксперимента. 2001. № 2. С. 41-45.

3. Ющенко В. П. Круговой апертурный синтез для целей томографии // Автометрия. 2002. Т. 38, № 6. С. 28-33.

V. P. Juschenko

Novosibirsk state technical university

Aperture Synthesis on a Square Trajectory for Coherent Tomography

The expedient of the aperture synthesis on a trajectory signal is surveyed at a motion of a locator on a square trajectory. The synthesis of the aperture implements not in Fourier area, as it is widely widespread in a tomography, and in the field of spatial functions. The mathematical description of an expedient and algorithm of build-up of the image of object on a trajectory Doppler signal is given. The transfer functions, ring spectrums renovated images of objects are given.

Aperture synthesizing, tomography, Doppler 's trajectory signal, transfer function of a point, spatial spectrum on a ring

Статья поступила в редакцию 29 октября 2003 г.

УДК 621.396.96.06

В. А. Виноградов, В. В. Леонтьев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Эффективная площадь рассеяния усеченного параболического цилиндра

В приближении физической оптики определена эффективная площадь рассеяния металлического экрана в форме усеченного параболического цилиндра.

Эффективная площадь рассеяния, метод физической оптики, усеченный параболический цилиндр

Аналитическую оценку эффективной площади рассеяния (ЭПР) объектов радиолокационного наблюдения сложной формы (самолетов и кораблей) выполняют методами коротковолновой асимптотики, базирующимися на приближении физической оптики (ФО). При этом существуют два подхода к организации процедуры расчета. Первый подход предусматривает разбиение объекта на тела простой формы большого (по сравнению с длиной электромагнитной волны) размера, для которых получены аналитические выражения комплексных коэффициентов рассеяния (ККР). Например, самолет разбивают на фюзеляж, кабину, крылья и т. д. Как правило, даже для тел очень сложной формы число участков разбиения оказывается невелико. Во втором подходе поверхность объекта аппроксимируют большим числом единообразных фасетов малого размера, ККР которых также известны. В этом случае число фасетов для объекта сложной формы может составлять десятки и даже сотни тысяч.

У каждого из перечисленных подходов имеются как свои достоинства, так и недостатки (полное их обсуждение выходит за рамки данной статьи). Главным является вопрос

28 © В. А. Виноградов, В. В. Леонтьев, 2004