CC BY
50
Математика
УДК 531.36
Устойчивость движения спутника на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии при резонансе лунного типа
Т. Е. Чуркина
Кафедра теоретической механики Московский авиационный институт Волоколамское шоссе, д. 4, А-80, ГСП-3, Москва, Россия, 125993
Исследуется устойчивость частного движения спутника относительно центра масс на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии при резонансе лунного типа. В пространстве параметров задачи (инерционный параметр и эксцентриситет орбиты) построены области устойчивости в первом приближении, в которых проведён подробный нелинейный анализ устойчивости. Применяются аналитические и численные методы исследования.
Ключевые слова: спутник, цилиндрическая прецессия, устойчивость, резонанс.
1. Постановка задачи
Рассмотрим движение динамически симметричного спутника — твёрдого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Характерные размеры спутника предполагаем малыми по сравнению с размерами орбиты. Орбита центра масс спутника е может быть как эллиптической, так и круговой [1].
Пусть OXYZ — орбитальная система координат, при этом ось OZ направлена по прямой, соединяющей притягивающий центр и центр масс O спутника, OX — по трансверсали, OY — по бинормали к орбите. Введём систему координат Oxyz, жёстко связанную со спутником, оси которой направлены вдоль его главных центральных осей инерции. Ориентация спутника в орбитальной системе координат задаётся при помощи углов Эйлера ф, 0, р.
Движение спутника относительно центра масс может быть описано каноническими дифференциальными уравнениями с гамильтонианом [2]:
т2 г2
Н = ^ТТГГ-Ф \2 ■ 2п + оЛ| . 0-- ^ <*g<W -
2(1 + ecosz/) sin в 2(1 + ecosz/)
a¡3 (1 — e2)3/2 cosO . , n. 2чз/2 cosé -тРф—^ — To siné + а3 (1 -е) 77^ +
(1 + ecos и)2 vsln26> sin в
w(1 -e2>: «¿в+3
2 (1 + ecos и) 2
+ v-(2 ctg2 0 + - (a - 1) (1 + e cos v) cos2 в. (1)
Здесь введены безразмерный инерционный параметр а = ^ (0 < а ^ 2), равный отношению полярного момента инерции к экваториальному, и безразмерная угловая скорость @ = Го/юо (отношение проекции абсолютной угловой скорости спутника на ось симметрии к среднему движению его центра масс). За независимую переменную принята истинная аномалия и, а обобщённые импульсы рф, р$ приведены к безразмерной форме.
Статья поступила в редакцию 25 ноября 2008 г.
Автор выражает глубокую благодарность профессорам А.П. Маркееву и О.В. Холостовой за внимание к данной работе.
Уравнения движения, соответствующие гамильтониану (1), допускают частное решение: 0о = ^, ф0 = я, Рф0 = 0, Рв0 = 0, отвечающее одному из трёх известных стационарных режимов движения динамически симметричного спутника, называемому цилиндрической прецессией [3]. В этом случае ось симметрии спутника нормальна к плоскости орбиты и описывает в абсолютном пространстве цилиндрическую поверхность. Сам спутник во все время движения вращается относительно оси симметрии с постоянной угловой скоростью Го.
Рассмотрим частный случай вращений спутника на орбите, соответствующий 0 = 1. При таком движении спутник вращается относительно оси симметрии в направлении движения центра масс по орбите, при этом в абсолютном пространстве он, совершив оборот по орбите, возвращается в начальное положение в своём вращении (так называемый «резонанс лунного типа»). Ставится задача об устойчивости этого стационарного вращения.
Отметим, что случай @ = 0 исследован в [4], случай а = 2 — в [5].
2. Линейная задача
2.1. Нормализация функции Гамильтона
Сделаем в гамильтониане (1) каноническую замену переменных в,'ф,рв,рф ^ Я1,Я2,р1,р2 по формулам в = ^/2 + д1, ф = к + д2, рв = р1, Рф = р2 и разложим гамильтониан в ряд Тейлора по степеням ^, ,Р\,Р;. Получим: Н = Н; + Н4 + ■ ■ ■, где Нп — совокупность членов п-го порядка относительно величин ^, р^ (^ = 1, 2), многоточием обозначены члены выше четвёртого порядка по с±1, ц_2, р\, р;. В разложении гамильтониана возмущённого движения будут отсутствовать формы Нп нечётного порядка.
Рассмотрим сначала случай, когда эксцентриситет орбиты мал. В предельном случае (е = 0), соответствующем круговой орбите центра масс спутника, характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет вид X4 + (а2 + а — 1) X2 + 4 (а — 1)2 = 0. Будем предполагать, что данное уравнение имеет только чисто мнимые корни вида (к = 1,2). В противном случае невозмущённое дви-
жение неустойчиво [6]. Условие существования только чисто мнимых корней у
характеристического уравнения таково: 0, 8541096 ~ з^5-5 < а ^ 2.
При е = 0 строится каноническая замена переменных с^, p^ ^ р[, приводящая форму Н2 к алгебраической сумме гамильтонианов двух линейных, не связанных между собой осцилляторов [7]. Эта замена имеет вид (^ q2 р1 р2)Т = А ((2 р'1 р'2)Т . Элементы а^ матрицы А таковы:
а;г = Ciai, а3г = С^ (г = 1, 2); ац = €1-2, ац = й^С— (г = 3,4),
где
Ъ = (—ш2 +4а — 4) /ъ, к = (—и2 (1 — а) — 4а + 4) /л, ^ = {—ш2 + а2 + а — 2) Шг/^г, = Ыг (2 — а).
Невыписанные элементы равны нулю. Здесь иг (г = 1,2) находятся из характеристического уравнения, считаем, что > Ш2 > 0. Константы Сг выбраны следующим образом:
Сг = (2 — а) (и?Сп + С22)|, где г = 1,2,
С11 = (а2 — 7а + 7) , С22 = (4а — 4) (а2 — а + 1) .
При а = 2 матрица нормализующего преобразования А указанного вида не существует. В этом случае нормализация проводится отдельно, а элементы матрицы А таковы: 2ац = = 2а41 = —л/2, а34 = а42 = —а24 = 1. Невыписанные элементы равны нулю.
В результате данного преобразования форма Н2 приводится к виду
Н = 2 + к2) + *2^2 (с22 + р22) , (2)
при этом а = —1, если ^3^5 — /2 < а < 1, и а =1, если 1 < а < 2.
2.2. Случай параметрического резонанса
При малых значениях эксцентриситета представим преобразованную функцию Гамильтона #2 в виде ряда по степеням е:
#2 = #02) + еЯ(2) + е2я22) + ..., (3)
где #02), Н(2), ... — квадратичные формы переменных с1, с[2, р[, р'2, причём коэффициенты формы #02) постоянны, а коэффициенты форм Н(2), Н(2), ... —
(2)
непрерывные вещественные функции и с общим периодом 2^. При этом НО совпадает с (2).
По теореме Крейна-Гельфанда-Лидского [7,8] при 0 < е ^ 1 в задаче неустойчивость возможна тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из трёх соотношений ш1 + аш2 = М1, 2ш1 = М2, 2ш2 = М3, Щ = 0,1,2,... (г = 1,2,3). Значения а = ао, при которых выполняются эти соотношения в предельном случае = 0, являются порождающими точками областей параметрического резонанса. Порождающие точки а = ао оси е = 0 выписаны в табл. 1. Отметим, что точки ао = 1 и ао = 2 являются точками кратных резонансов, поскольку в них выполняются сразу несколько резонансных соотношений второго порядка.
При малых е уравнения границ областей неустойчивости получены аналитически при помощи метода Депри-Хори [7,9,10]. Уравнения соответствующих границ областей неустойчивости приведены в табл. 1. Обозначение а+ соответствует «верхней» границе, а— — «нижней» границе. Если в таблице приводится только одно уравнение, то это означает, что либо границы сливаются в одну (резонансные соотношения с номерами 3-5), либо, что в допустимой области значений для параметров задачи находится лишь одна граница области неустойчивости в первом приближении (резонансные соотношения с номерами 1, 10). Отметим, что область неустойчивости, соответствующая резонансному соотношению с номером 11, исходит в область а > 2, не являющуюся допустимой для инерционного параметра а; в той же порождающей точке (е; а) = (0; 2) (точке кратного резонанса) выполняются резонансные соотношения с номерами 9, 10, и в область допустимых значений параметров задачи исходят сразу две области неустойчивости.
2.3. Численное построение областей устойчивости в первом приближении
При больших значениях эксцентриситета исследование устойчивости требует привлечения численных расчётов на ЭВМ. Для этого при фиксированных параметрах и а следует построить фундаментальную систему решений линейной системы дифференциальных уравнений, соответствующих гамильтониану #2 в точке V = 2^, а затем подсчитать коэффициенты характеристического уравнения р4 — а,1р3 + й2р2 — а1р +1=0. Если при этом выполняются неравенства 4 (а2 — 2) < а2 < (а2 + 2)2 /4, —2 < а2 < 6, то рассматриваемые значения параметров е и а лежат в области устойчивости в первом приближении [11]. Здесь коэффициент а1 равен следу фундаментальной матрицы линейной системы, вычисленной при V = 2^, а2 — сумма всех её главных миноров второго порядка.
На рис. 1 области неустойчивости заштрихованы, а области устойчивости — оставлены светлыми.
Таблица 1
Резонансы второго порядка
№ Резонанс ао Уравнения границ
1 и1 — и2 = 0 sV5-5 _ 0,8541096 ai = 0,85410196 — 4,487804058е2 + 0е3 + ...
2 2U2 = 1 11—f ~ 0,855051 а+ = 0, 855051 + 0,130783е + ... а-" = 0,855051 — 0,130783е + ...
3 2ui = 2
4 2^2 = 0 1 «3,4,5 = 1
5 и1 ± и2 = 1
6 2^2 = 1 11+0f6 ~ 1, 344949 о+ = 1, 344949 + 0,449217е + ... а- = 1,344949 — 0,449217е + ...
7 Ui + U2 = 2 f6¡~5 ~ 1,405125 а+ = 1,405125 + 3, 223104е2 + ... а- = 1,405125 — 1,465903е2 + ...
8 2ш1 = 3 41~3/46 ~ 1,475215 а+ = 1,475215 + 2,569456е2 + 13,172605е3 + ... а- = 1,475215 + 2, 569456е2 — 13,172605е3 + ...
9 2^2 = 2 2 «я =2 — 2 е + Ще2 + ... а- =2 — зе + 4420 е + ...
10 и1 + Ш2 = 3 2 «10 = 2 — 10 е2 + ...
11 2wi = 4 2
Область устойчивости в первом приближении с номером I очень узка, поэтому для наглядности вынесена отдельно на увеличенный фрагмент рис. 1. Порождающие точки областей неустойчивости, лежащие на оси Оа, обозначены на рис. 1 как Ai, номера точек i совпадают с номерами строк в табл. 1, где приведены соответствующие им значения параметра а = ао.
В области устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений, соответствующих функции Гамильтона Н2, последнюю при помощи вещественной канонической 2-^-периодической по v замены переменных q/, pi ^ q/, р/ можно
привести к виду Н2 = ¿ Xi (q/2 + p'¡ j /2. Величины Ai и \2 определяются неод-
i=i v >
нозначно. Для их однозначного определения воспользуемся их непрерывностью по параметру е. Тогда из условия Х1 = и1 и Х2 = аи2 при е = 0, величины Х1 и Х2 вычисляются численно по формулам в соответствии с табл. 2. Выбор формулы осуществляется в зависимости от принадлежности значений параметров е, а той или иной области устойчивости. Для каждой из таких областей в табл. 2 в первой колонке приведён её номер (в соответствии с рис. 1), во второй — значения а, принадлежащие им при е = 0. В табл. 2
¿i = ^i + yjai — 4а2 + 8^ /4, Z2 = (ai — \Ja\-4oT+8^ /4.
Опишем более подробно рис. 1. В рассматриваемом случае существует 7 областей устойчивости в первом приближении. Области VII и VIII имеют только одну общую граничную точку, формулы подсчёта величин X/ (i = 1, 2) для них одинаковы.
Для всех областей устойчивости в первом приближении (для достаточно малых значений е) резонансные соотношения на границах остаются теми же, что
Рис. 1. Области устойчивости в первом приближении, кривые резонансов
четвёртого порядка
Таблица 2
Формулы для вычисления Ах и Л2
№ обл. уст. а Л1 \2
I ( 3/5 — 5 . 11 — ^бЛ ^ 2 ' 10 ) 1 — 21 агссоя ^ —1 + агссоя х2
II ( ^ .1) 1 — 21 агссоя х1 — 2? агссоя %2
III (1. 11+^вЛ V1. 10 У 1 + 21 агссоя г1 агссоя х2
IV ( 11+/6 . л/бТ—5 \ ^ 10 ' 2 ) 1 + 21 агссоя г1 1 — 2Г7Г агссоя х2
V ( /61—5 . 41 —3/4б\ ^ 2 ' 14 ) 1 + 21^ агссоя х2 1 — 2? агссоя х1
VI ( 41 —3/46 . оА 1 14 . 2 2 — агссоя х2 1 — 21 агссоя г1
VII 2 2 — 2? агссоя х2 1 + 21 агссоя х1
при е = 0 в соответствующих порождающих точках областей параметрического резонанса. Для некоторых из областей устойчивости в первом приближении (например, областей V, VII, VIII) границами служат не две кривые, на которых выполняются резонансные соотношения второго порядка, а более. При этом смена резонансного соотношения происходит в «угловых» точках, являющихся точками кратного резонанса второго порядка, в которых также могут иметь место и резонансные соотношения более высоких порядков. На рис. 1 в рамках приведены резонансные соотношения, которые имеют место на соответствующих границах.
3. Нелинейный анализ
В областях устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений, соответствующих гамильтониану Н2, для полного исследования требуется проведение нелинейного анализа.
В общем случае в гамильтоновой системе в области её устойчивости в первом приближении неустойчивость возможна для тех значений параметров е и а, при которых имеет место резонанс третьего или четвёртого порядков
щХх + п2 \2 = N, (4)
где щ, N — целые числа, |ni| + |п2| = 3 или |щ| + |п2| = 4. Резонансы третьего порядка к неустойчивости в данной задаче не приводят, так как в разложении гамильтониана возмущённого движения отсутствует форма третьей степени относительно qi, pi. Будем рассматривать однократные резонансы четвёртого порядка.
На рис. 1 построены кривые резонансов четвёртого порядка, пронумерованные в соответствии с табл. 3. В плоскости е, а при е = 0 резонансные кривые исходят из точек а(0) (см. табл. 3). Кроме того, из точки кратного резонанса е = 0, а = 2 исходят две резонансные кривые Х1 + 3Л2 = 5 (номер 22 на рис. 1), Х1 — 3Л2 = —1 (номер 23 на рис. 1) Помимо резонансных кривых, имеющих порождающие точки при е = 0 на оси Оа, существуют резонансные кривые, идущие из части плоскости (е,а), лежащей вне исследуемой области значений параметра а. Это резонансные кривые с номерами 24 (4А2 = 5), 25 (Ai — ЗА2 = —2), 26 (2Ai — 2А2 = 1), 27 (4А2 = 5), 28 (3Ai — А2 = 3), 29 (2Ai — 2А2 = 1).
Опишем подробнее характерное поведение кривых резонансов четвёртого порядка при произвольных значениях эксцентриситета внутри областей устойчивости в первом приближении. Из рис. 1 видно, что многие кривые резонансов четвёртого порядка лежат не в одной области, а проходят через несколько областей. К таким кривым относятся, например, резонансные кривые с номерами 17, 18, 23 (проходят через области V, VI), 2б (области V, VII). Кроме этого, некоторые кривые, покидая конкретную область устойчивости в первом приближении, «возвращаются» в ту же область. Такими кривыми являются 3 и 12 из областей II и III соответственно. Многие кривые резонансов четвёртого порядка проходят через «угловые» точки, в которых выполнены ещё по два резонансных соотношения второго порядка. Это кривые с номерами 14, 18, 19, 26 (см. табл. 3). Отметим также, что на границах областей устойчивости в первом приближении существуют точки кратных резонансов: так, на границах, выходящих из порождающей точки е = 0, а = 2, существуют две точки, в которых выполнены резонансные соотношения 20 и 16, помимо этого, существует точка пятикратного резонанса четвёртого порядка (в ней сходятся кривые 16, 21, 24-26); на границе подобластей VII, Vila есть четыре точки, в которых сходятся кривые 22, 25 и 16, 20. Отметим интересное свойство подобластей VII, VIII: наблюдается схожесть в расположении кривых резонансов четвёртого порядка относительно единственной общей точки границы данных подобластей, в которой также имеет место кратный резонанс четвёртого порядка.
При малых е уравнения кривых резонансов четвёртого порядка (4), найденные при помощи метода Депри-Хори [7], имеют следующий вид: а = а(0) + ea(i) + е2а(2) + .... Все коэффициенты a(i) обращаются в нуль, значения а(2) приведены в табл. 3.
Таблица 3
Резонансы четвёртого порядка
№ Резонанс
1 Л1 +ЗЛ2 = —1 ~ 0,854З42 - —7,547477
2 Л1 — ЗЛ2 = 2 ~ 0,857745 - 7, 508868
3 4 1 З 274-22^/709 ~ 0, 882З58 - —0,581157
4 3 Л1 + Л2 = 2 ~ 0,886792 - —0,152З1З
5 2 Л1 +2Л2 = 1 V4f-5 - 0,891165 - 0,176176
6 Л1 + ЗЛ2 = 0 ^®°|-23 - 0, 89542 - 0,427568
7 4 Л2 = —1 se-vlM - 0, 89952 - 0,61946З
8 4 Л2 = 1 86+V109 - 1,148099 - 0,511З26
9 Л1 + ЗЛ2 = 2 - 1,1601497 - —0,5З287
10 2 Л1 +2Л2 = 3 3 л/6-5 - 1,1742З5 - —0,252872
11 3 Л1 + Л2 = 4 - 1,1908З8 - 0,160542
12 4 Л1 = 5 102-5 V6! - 1,21055З - 0,77991
13 Л1 — ЗЛ2 = 0 17-6//85 - 1, 29674З - —4,582З62
14 Л1 + ЗЛ2 = З - 1,З7З54 - 1,975201
15 З Л1 + Л2 = 5 - 1,4З9295 - 1,З7206
16 З Л1 — Л2 = 4 - 1,547446 - 6,З58259
17 4 Л2 = З 274+2^ - 1, 608551 - —4,676567
18 Л1 + ЗЛ2 = 4 - 1,647269 - —2, 75З948
19 2 Л1 +2Л2 = 5 ^f-5 - 1, 68ЗЗ - 0,019677
20 З Л1 + Л2 = 6 - 1,715651 - З,486425
21 4 Л1 = 7 118-27/Ш - 1, 74З98 - 7,44З54
Если П\П2 < 0, то имеет место формальная устойчивость [12]. Пусть теперь числа п\, п имеют одинаковые знаки. При помощи алгоритма нормализации, изложенного в статье [13], для значений параметров, принадлежащих кривым резонансов четвёртого порядка, гамильтониан системы приводится к виду
Н = Л1Г1 + Л2Г2 + G (г i, г 2) +
+ Г1П1'2Г2П212 (¡¡п1,п2 Sin Ф + 7п1,п2 COS Ф) + О ((г 1 + Г2)3/2) , (5)
где Ф = п1р1 + п2р2 — Nv,
G (г 1, г2) = С20Г2 + С11ПГ2 + С02Г2, q* = V2r¡sin pi, p* = cospi. Изучаемое движение неустойчиво по Ляпунову, если выполняется неравен-
( ч 1/2
ство |G (п1,п2) | < тПг/2п2П2/2 [¡п1,п2 + 7П1)П2) (при ni = 0 считаем, что
тпЛ2 = 1). Если же выполнено обратное неравенство, то имеет место устойчивость при учёте в разложении гамильтониана форм по крайней мере до четвёртого порядка включительно относительно q*, p* (i = 1, 2).
Расчёты показывают, что на всех резонансных кривых четвёртого порядка имеет место устойчивость при учёте в гамильтониане членов по крайней мере до четвёртого порядка включительно. Отметим, однако, что устойчивость в точках пересечения резонансных кривых не исследовалась.
Если предположить, что резонансы до четвёртого порядка включительно отсутствуют, то в (5) 0П1,п2 = 0, 1п1,п2 = 0. Тогда при условии знакоопределенности квадратичной формы С (г\,г2) в области г^ ^ 0 движение формально устойчиво [14]. Невозмущённое движение устойчиво для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий, если выполняется неравенство Б = с[1 — 4С20С02 = 0.
На рис. 2 вертикальной штриховкой обозначены области формальной устойчивости. Проверка условия равенства нулю величины Б показала, что устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий имеет место почти всюду в областях устойчивости в первом приближении (за исключением, возможно, кривых Б = 0 рис. 2).
Рис. 2. Области формальной устойчивости, кривые О = 0
Литература
1. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. — М.: Наука, 1965. — С. 416.
2. Маркеев А. П. Исследования устойчивости движения в некоторых задачах небесной механики. — М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1970. — С. 163.
3. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. — М.: Издательство МГУ, 1975. — С. 308.
4. Маркеев А. П., Чеховская Т. Н. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите // ПММ. — 1976. — Т. 40. — С. 1040-1047.
5. Холостова О. В. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника в одном частном случае // Космич. исследования. — 2008. — Т. 46, вып. 3. — С. 270-278.
6. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — С. 532.
7. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. — М.: Наука, 1978. — С. 312.
8. Якубович В. А, Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — 1972. — С. 720.
9. Маркеев А. П. О кратном резонансе в линейных системах Гамильтона // Доклады АН. — 2005. — Т. 402, № 3. — С. 339-343.
10. Маркеев А. П. Об одном особом случае параметрического резонанса в задачах небесной механики // Письма в Астрон. журнал. — 2005. — Т. 31, № 5. — С. 388-394.
11. Ляпунов А. М. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. Собр. соч. Т.1. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954. — С. 327.
12. Moser J. New Aspects in the Theory of Stability of Hamiltonian Systems // Communs, Pure and Appl. Math. — 1958. — Vol. 11, No 1. — Pp. 81-114.
13. Маркеев А. П. Конструктивный алгоритм нормализации периодического гамильтониана // ПММ. — 2005. — Т. 69, вып. 3. — С. 355-371.
14. Glimm J. Formal Stability of Hamiltonian Systems. — 1964. — Vol. 17, No 4. — Pp. 509-526.
UDC 531.36
On Stability of Sattellite's Elliptical Orbit Motion for Cylindrical Precession of Lunar Type Resonance
T. E. Churkina
Department of Theoretical Mechanics Moscow Aviation Institute Volokolamskoe Shosse 4, GSP-3, Moscow, Russia, 125993
Stability of satellite's elliptical orbit motion in the case of the cylindrical precession at Lunar type resonance is under investigation. Stability regions at first approximation have been obtained in the space of parameters of the problem (inertial parameter and eccentricity). Nonlinear analysis is carried out in these regions. Analytical and numerical methods are used.
