Расчет маневров коррекции слабоэллиптических и круговых орбит с двигателем малой и конечной тяги Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.78

РАСЧЕТ МАНЕВРОВ КОРРЕКЦИИ СЛАБОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И КРУГОВЫХ ОРБИТ С ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ И КОНЕЧНОЙ ТЯГИ

© 2002 A.A. Храмов, С.А. Ишков Самарский государственный аэрокосмический университет

Рассматривается задача оптимальной коррекции слабоэллиптических и круговых орбит с двигателями малой и конечной тяги в нецентральном гравитационном поле Земли. Использование модели движения КА в оскулирующих элементах для компонентов вектора Лапласа позволило получить аналитические соотношения для расчета параметров управления, энергетических затрат и времени маневра, справедливые для орбит с малыми эксцентриситетами вплоть до круговых. Показано, что методика расчета может использоваться при более высоких уровнях ускорения тяги. Для оценки методической погрешности решений проведено численное моделирование движения КА.

Значительная часть используемых космических аппаратов (КА) функционируют на круговых и слабоэллиптических орбитах. Как правило, доставка КА с орбит выведения на рабочие орбиты, осуществление маневров коррекции и схода с орбиты реализуется с помощью двигательных установок (ДУ) на жидкостных ракетных двигателях (ЖРД). Для ДУ такого типа практически уже достигнуты предельные значения параметров, характеризующих конструктивное совершенство и энергетические возможности. В связи с этим весьма перспективным представляется использование в качестве маршевых ДУ и двигателей коррекции реактивных двигателей, обладающих большими значениями удельного импульса тяги.

Наряду с электрореактивными двигателями малой тяги (ДМТ), обладающими высоким удельным импульсом, в настоящее время разрабатываются ДУ, которые по уровню тяги занимают промежуточное положение между ДМТ и ЖРД. Это так называемые двигатели конечной или средней тяги. В частности, ведется разработка солнечной тепловой двигательной установки [1] с подогревом рабочего тела и частичным его дожиганием, принцип работы которой заключается в следующем. В течение освещенного участка орбитального полета с помощью солнечных батарей и электронагревателя происходит преобразование световой энергии в тепловую и её накопление в тепловом аккумулято-

ре. Перед подачей компонентов топлива в камеру сгорания с целью повышения удельного импульса осуществляется подогрев горючего (водорода) в тепловом аккумуляторе. Имеется возможность работы двигателя без дожигания водорода в режиме "малой" тяги.

Задача об оптимальных маневрах формирования и коррекции слабоэллиптических орбит с малой тягой рассматривалась в работах [2-4]. В [2, 4] с использованием принципа максимума Понтрягина и метода усреднения получена оптимальная структура управления на витке, численно решена задача оптимальной коррекции солнечно-синхронной орбиты, получены аналитические решения, соответствующие приближенно-оптимальному переходу в центральном гравитационном поле.

В настоящей работе рассматриваются компланарные маневры коррекции круговых и слабоэллиптических орбит (0 < е < 0,1) с двигателями малой и конечной тяги в нецентральном гравитационном поле Земли. Под коррекцией понимается маневр КА с незначительным изменением большой полуоси орбиты по сравнению с её начальным значением. Управление движением центра масс КА осуществляется с помощью последовательности чередующихся активных и пассивных участков полета. На активных участках реализуется включение ДУ, создающей постоянную по величине тягу. Суммарная продолжительность пассивных участков на витке

считается заданной и постоянной в течение маневра.

Математическая постановка задачи

Для описания орбитального движения КА в плоскости орбиты в центральном гравитационном поле используется математическая модель в оскулирующих элементах [5]:

считается постоянным wT

dA = 2

dt 2

-wT

R

A3

m т 1 -q2-k2 ,

wS sin u + wT

- wS cos u + wT

q + cos u R

+ cosu

k + sin u R

\

■ + sin u

/

, (1)

du

dt

dVx dt

4

4 r 2 p

2 . 2 ws + wt

ут - 8 w0 , где

8є {-1,0,1} - функция включения тяги, w0 - ускорение тяги в начальный момент времени;

- орбиты движения определяются эксцентриситетами 0...0,1;

- предусматривается наличие пассивных участков на витке заданной продолжительности, обусловленные техническими особенностями ДУ, выполнением целевой задачи и др.

После перехода к новой независимой переменной и с учетом введенных ограничений, уравнения движения центра масс КА запишутся в виде:

,3

dA A = 2 о w.

du

m

0,

где р = А (1- q 2- к 2) - фокальный параметр орбиты, А - большая полуось, q и к - компоненты вектора Лапласа, и - аргумент широты, V - характеристическая скорость перелета, wT = wcos а и wS = wsin а - компоненты вектора ускорения тяги ДУ вдоль транс-версального и радиального направлений соответственно, w=P/m - ускорение силы тяги, Р - тяга ДУ, т - текущая масса КА, а - угол между вектором тяги ДУ и трансверсалью, т - гравитационный параметр, R = 1 + qcosu + кзіпи. Компоненты вектора Лапласа связаны с эксцентриситетом е и аргументом перигея ю орбиты следующими соотношениями: q = е сочю, к = е 8тю.

С целью упрощения математической модели с учетом специфики решаемой задачи вводятся следующие ограничения на управление и параметры орбиты:

- рассматриваются ДУ с нерегулируемой тягой и скоростью истечения;

- вектор ускорения ориентируется вдоль трансверсали wS = 0 ;

- вследствие малого расхода рабочего тела в процессе коррекции ускорение тяги

dq = 2 A

du m

dk A2

= 2—

du m

dw0 cos u

dw0sin u

(2)

dVx

m

о

w

0 .

В качестве критерия оптимальности траектории перехода принимается минимум затрат характеристической скорости Vx ® min. Отметим, что при постоянной величине реактивного ускорения ДУ и постоянной суммарной длительности пассивных участков на витке этот критерий эквивалентен критерию минимального времени перелета. Граничные условия орбитального перехода записываются как:

0, A -

A

и

Ао, к = ко,

q = q о-

u = ut

■Ak, k = kk

1к, л-лк, л-л*, q = дк- (3)

Характерные для рассматриваемых уровней ускорений (’№0/^<10-3) многовитко-вые межорбитальные перелеты позволяют упростить математическую модель движения с помощью метода усреднения. Указанный метод предполагает разделение управления на периодическую (быстро меняющуюся) и

вековую (медленно меняющуюся) составляющие и отдельную их оптимизацию [4]. Таким образом, поиск оптимального управления состоит из двух этапов. Первый этап -определение оптимального управления в пределах витка (локальная оптимизация); второй - построение усредненной модели движения и определение оптимального управления вековым изменением параметров орбиты.

Выбор структуры управления на витке

Для решения задачи локальной оптимизации воспользуемся принципом максимума Понтрягина. Гамильтониан для системы (2) и принятого критерия оптимальности записывается в виде:

йА йа йк

Н = ^ТУа +-ТУк +

йи йи йи

йУх йУ

+—— уУх-----;----® тах,

du

где yA ,y„ ,yk ,yVx

ТЄЛИ.

du

сопряженные МНОЖИ-

После преобразований получаем:

H = 2—dw0\лул + yq cosu + yk sinu}-

m

■HW0 {1 -Wvx }.

Запишем соотношения для сопряженных множителей:

У

du

дИ . А „

-4—о w0 х

дА

m

х I 2 АУА + Уд C0Su + Ук Sinu í +

+ -

2 V

HW0 {1 -Wvx },

dyq dyk dy

Vx

du

yq = const,

du du ук = const,

(4)

yVx = const.

сти изменения параметров A, q, к, Vx и yA пропорциональны малому параметру w0 и, таким образом, в гамильтониан входит единственная быстрая переменная - аргумент широты u. Оптимальное управление dopt находится из условия максимума гамильтониана как релейная функция аргумента широты. Точки включения и выключения ДУ будут определяться уравнением:

л2

2 — \Лул + y 0 cosu + yk0 sinu -m 1

-{-УгХ 0 }=0,

а направление ускорения тяги активных участков:

dopt = Sign{Ay A + У q0 c0s U + У к 0 sin u}.

Анализ полученного решения показывает, что в общем случае структура оптимального управления на витке будет включать два активных участка с разными знаками тяги, центры которых разнесены по аргументу широты на 1800 и разделены двумя одинаковыми пассивными участками (рис.1). Под витком здесь и далее понимается угловой интервал по аргументу широты в 3600, отсчитываемый от центра одного из активных участков. В частном случае один из активных участков может отсутствовать. Подобная структура управления, включающая разгонный и тормозной участки, была получена в работах

Линия узлов

Из уравнений (2) и (4) видно, что скоро-

Рис.1. Структура управления на витке

[2-4]. Однако, как показали исследования, при определенных граничных условиях и наличии пассивных участков на витке коррекция орбиты с активными участками противоположных знаков невозможна. В этом случае маневр может быть осуществлен если на витке расположить два активных участка одного знака. Для принятой в данной работе структуры управления, являющейся универсальной относительно граничных условий и длительности пассивных участков на витке, описанные варианты являются частными случаями.

Построение усредненной модели движения и вывод аналитических решений

Используя полученную структуру управления, перейдем к построению модели векового изменения параметров орбиты. В качестве параметров управления вводятся следующие величины: X - половина ширины первого активного участка со знаком тяги 81 и

аргументом широты его центра ^, 8 - отношение знаков тяг активных участков (рис.1). Ширина одного пассивного участка а задана и постоянна в течение маневра. Размеры участков измеряются по аргументу широты.

Усредняя систему уравнений движения (2) с учетом введенных параметров управления и переходя к независимой переменной £, получаем:

dA

dt

IaL wo

m p

dq

dt

dk

dt

= 2

1

A — Si [sin X - S sin(X + a)]cos h, (5) m p

m p

S1 [sin X - S sin(X + a)] sinh,

dK

dt

1 -

a

p

w

о.

Известно, что на вековое изменение параметров орбиты сильное влияние оказывает нецентральность гравитационного поля

Земли. Если в разложении геопотенциала учесть только вторую зональную гармонику, то вековые возмущения будут испытывать элементы q и к, равные [6]:

/ \ \

dq

Kdt У8

B

<3,5

где B

A

e(5cos2 i -1)

dk dt

A

B

3,5 q ,

2л[т

, e= 2,6333 -10

10

KM

С целью получения аналитических решений в правых частях уравнений (5) будем пренебрегать изменением большой полуоси орбиты, величина которой приближенно равна:

А0 + А^

СР

Таким образом, упрощенная математическая модель вековой прецессии слабоэллиптической орбиты в поле земного сфероида будет иметь вид:

dA

dt

= 2,

dq

dt

= 2

A Р wo

m p

Acp Wo

m p

S1 х

х

[sinX - S sin(X + a)]cosh -

B

A

3,5

cp

(6)

dk

dt

= 2

Acp Wo

m p

S1 х

х

[sinX -S sin(X +a)] sinh

+

B

A5

Acp

q.

Найдем оптимальный по быстродействию закон управления параметрами орбиты в течение длительных интервалов времени (более одного витка). В соответствии с принципом максимума Понтрягина гамильтониан для системы (6) имеет вид:

Н = -1 + aAcpSl {+8 (p-a-X)jУ +

+ aS1 {sinX -8 sin(X + a)j/q cosh + Vk sinh}+ + b(kq -yqk) ® max,

где

a = 2

Acp w0 = B

mp ’ a

3,5

cp

Уравнения для сопряженных множителей получаются в виде:

¿Ул а ¿Ук

dt

откуда:

dya

0, = -byk,

dt

dt

■bV4 ,

нейном изменении расположения центра активных участков относительно линии узлов (параметр ^) и постоянной их величине (параметр X). Система уравнений движения (6) при полученном законе управления интегрируется аналитически, что позволяет записать:

А0

A =

(1 -jt)2 ’

УA = Уа0 = COnSt,

Wq =У + У\й COS(ho +bt) ,

Wk =W +Wq20 sin( ho + bt) ,

(7)

q = eo cos(wo +—3Гt) + A;’5

cp

B 4

+ Vt: cos(ho t);

Az

(8)

где

h0 = arcsin

Wko

W

^|yi+yí

= arccos

qo

^Wl+¥¡

B B

к = e0 sin(w0 + —3— t)+nt sin(h0 + ——1);

A3,5 A3,5

~Acp Acp

*0 ' т 40 МТ *0 т 40

Закон изменения параметров управления определяются из уравнений для экстремалей:

где j ■■

w0

A0

m

d1 X + d (p-a-X)},

= WA 0 öAcp (1 -d) +

dH ~d%

+ ad1( cosh + Wk sinh}x xjcosX -d cos(X + a)}= 0 ,

A ,,

=2 cp

V m

■ d1 {sin X - d sin(X + a)},

e0 = Vк02 + q0 , w0 = arctg k0

q 0

эксцентри-

= ad1 {sinX - d sin(X + a)}

x

dH dh

x{/k cosh -yq sinh}= 0.

Из последнего уравнения с учетом (7) получаем:

tghopt = — = tg(h0 + bt) ,или hop = ho + bt . —

Далее для параметра X:

COs lopt -8 COs(l0p +«) =

ситет и аргумент перигея начальной орбиты. После преобразования системы (8) с учетом

ограничения 0£X £р — а параметры управления выражаются через граничные условия, величину пассивных участков на витке и ускорение тяги ДУ:

d = signi 1

p -a l sin a

e 1 + d . / , . \ 1 - d

d1 =^-sign\Ak - A0) +

-W

1 -d

A0

VWk2o +v,

■ const,

откуда следует что:

ХоР1 =Х0 = СОП^ .

Таким образом, оптимальная по быстродействию коррекция осуществляется при ли-

X = arccos*

p -a

. a

2l sin —

a

a e -cos —, при d = -

1 =

г/0 =w0 + arctg 2fA,

ek sin AWa ek C0S AWa - e0

где

cp

Vе2 - 2e

AWa = Wk

ke0 C0S AWa + e0

B

л/Л -J^k

0

A

3,5

cp

tk - изменение аргу-

мента перигея под действием тяги ДУ,

tk =

1

1

л/A0 л/Л

p

X + d (p - a - X)

Vx

xi

1 -

a

p

УІА)

di

x

p -a

X + d(p -a-X)

(10)

AA:

-Jm

Ae = -e0 (1 - cos Awa) ±

-2

- A0 , пРи d = +1 ,

ill

A^VX COs b coSa [■ - eo0(1 - co^ Awa ) ,

n-a\ m 2

при d =-

где b

p-a

л/ій

время маневра.

Т акнм образом, в случае активных участков одного знака (3 = ) их длительность определяется в явном виде, в случае противоположных ^ = -1) - в результате решения трансцедентного уравнения. Затраты характеристической скорости в соответствии с (5) рассчитываются по формуле:

Границы областей управлений с активными участками одного (управление 1-го типа) и противоположных (управление 2-го типа) знаков определяются как:

Ae = -e0 (1 - cos Awa) ±

±-JF2 - e02(1 - cos2 Drna) ’

где

F = 2-

лРСР

sin a p -a

На основе полученных решений формируется следующая методика расчета временных и энергетических затрат при оптимальной коррекции. По заданным граничным условиям перехода и величине пассивных участков на витке определяются тип управления

d , знак тяги 81 и длительность X первого активного участка, расположение активных участков в начальный момент времени относительно линии узлов Г/о . Время коррекции определяется при расчете параметров управления, а энергетические затраты по соотношению (10).

Полученные решения можно отобразить графически в виде изолиний затрат характеристической скорости в плоскости корректируемых параметров АА/А0 и Ав для заданных значений Аю . Изолинии математически опи-

а

сываются следующими соотношениями:

На рис.2 построены области корректируемых параметров, определяющие маневренные возможности КА при заданном значении располагаемой характеристической скорости. Тонкие линии разделяют плоскость корректируемых параметров на области управлений разных типов. Как видно, области управления 1-го типа вытянуты вдоль оси, соответствующей изменению большой полуоси орбиты. Таким образом, управление на витке будет иметь активные участки одного знака в случае преимущественной коррекции большой полуоси АА/А0 и противоположных знаков при значительных коррекциях эксцентриситета Ав и аргумента перигея Аюа . Изолинии V для управления 1 -го типа - прямые линии; в этом случае энергетические затраты зависят только от требуемого изменения большой полуоси орбиты и не зависят от необходимых приращений эксцентриситета и аргумента перигея, коррекция которых осуществляется "автоматически" при соответствующей величине и расположении активных участков на витке относительно линии узлов.

Рис.2. Области корректируемых параметров {у = у% = 0,013; Аюа = 100; в0 = 0,01)

1 т

При управлении 2-го типа затраты Ух будут функцией всех трёх корректируемых параметров АА/А0, Ав и Аюа . Изолинии имеют точки излома, соответствующие решению задачи с одним активным участком на витке.

На рис.3 представлены границы областей в плоскости требуемых изменений эксцентриситета и аргумента перигея, где управление на витке будет состоять из активных участков одного (внутри области) и противоположных (вне области) знаков. Можно

отметить, что тип управления определяется как требуемыми приращениями корректируемых параметров, так и величиной пассивного участка. При увеличении пассивного участка или приращения большой полуоси орбиты управление с активными участками одного знака обеспечит коррекцию больших значений эксцентриситета и аргумента перигея. Если пассивный участок на витке отсутствует или нет необходимости изменять большую полуось орбиты, то область, соответ-

1 віпа |А/4| е0 п — а А0

Де

Р = 5

5 =-1

— 2,5

Л1

/О = 1 -0,5 У1- 3.9 \

-180 -135 -90 -45

45 90 135 180

Дсоа, зрэд

Рис.3. Области, соответствующие управлениям разных типов

Рис.4. Зависимость параметров орбиты от времени в процессе коррекции = 2-10'5 м/с)

ствующая управлению первого типа преобразуется в точку; в этом случае коррекция возможна лишь при управлении с активными участками противоположного знаков.

Проводилось численное моделирование маневров коррекции солнечно-синхронной орбиты на модели движения в оскулирующих элементах при следующих исходных данных:

А0 = 6978, в0 = 0,014, ю0 = 0 град.

Ак = 7038, вк = 0,002, юк = 36 град.

При моделировании учитывались возмущения от нецентральности гравитационного поля Земли (2-ая зональная гармоника). Значения параметров управления вычислялись по уравнениям (9). На рис.4 приведены

зависимости изменения параметров орбиты при коррекциях без пассивных участков на витке, полученные в результате численных расчетов (тонкие линии) и по аналитическим соотношениям (8) при ускорениях тяги 2-10-5 м/с. На рис.5 показаны результаты расчетов при величине ускорения тяги 2-10-2 м/с и суммарной длительности активных участках на витке 5 град. Таким образом, полученные решения могут использоваться и при более высоких уровнях ускорения тяги при некотором уменьшении продолжительности активных участков на витке.

Численные расчеты показывают, что полученные аналитические решения являются достаточно точными и могут быть исполь-

0,01

//

®(*).

7

/

у

,

е(1)

4

0,2

0,4

0,6

0,8 1 І, сут

со,

град

Рис.5. Зависимость параметров орбиты от времени в процессе коррекции ^ = 2-10-2 м/с)

зованы для оценки баллистических характеристик маневров КА с двигателем малой и конечной тяги.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Усталое Ю.М., Храмов A.A. Анализ некоторых схем перевода КА на геостационарную орбиту с использованием солнечной тепловой двигательной установки ограниченной тяги // Сборник трудов девятого Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигации ЛА. 4.1. Самара. 1999.

2. Юрин В.В. Оптимальная коррекция параметров орбиты космического аппарата с

двигателем малой тяги // Космич. исслед. 1983. Т.21. №5.

3. Салмин В.В., Соколов В.О. Приближенный расчет маневров формирования орбиты спутника Земли с двигателем малой тяги // Космич. исслед. 1991. Т.29. №6.

4. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. Проблемы совместного управления траекторным и угловым движением. М.: Машиностроение, 1987.

5. Элъясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965.

6. Нариманов Г. С., Тихонравов М.К. Основы теории полета космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1972.

CORRECTION MANEUVERS CALCULATION OF QUASI ELLIPTICAL AND CIRCULAR ORBITS BY ENGINE WITH LOW AND LIMIT THRUST

© 2002 A.A. Khramov, S.A. Tshkov

Samara State Aerospace University

The problem of optimal correcting quasi elliptical and circular orbits by engine with low and limit thrust in the Earth non-center gravitational field is considered. Application of Laplace vector components in spacecraft motion model has allowed to get analytical solutions. Such solutions are equitable for calculation of control parameters, energy consumption and maneuver time for orbits with small eccentricity up to circular. Tt is shown that methodology of calculation can be used under conditions with more high levels of thrust acceleration. For the evaluation of methodical inaccuracy of solutions numerical simulation of spacecraft motion is conducted.