Нелинейные колебания спутника относительно центра масс Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 223-224

223

УДК 531.36

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СПУТНИКА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС © 2011 г. А.П. Маркеев

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Исследована нелинейная задача о движении динамически симметричного спутника относительно центра масс вблизи его относительного равновесия. Инерционные параметры спутника таковы, что на круговой орбите имеет место резонанс 1:1, а на орбите малого эксцентриситета резонанс 1:1:1.

Ключевые слова: спутник, равновесие, резонанс

Рассматриваются нелинейные колебания гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности ее устойчивого положения равновесия. Система либо автономна, либо близка к автономной из-за наличия малых внешних периодических сил. В случае когда система автономна, предполагается, что функция Гамильтона является знакоопределенной, а величины частот ее линейных колебаний равны или близки одна другой (резонанс 1:1). А если имеются внешние периодические силы, то их частота считается равной или близкой сразу к обеим частотам линейных колебаний порождающей автономной системы (двойной резонанс 1:1:1 в вынужденных колебаниях).

Исследование проводится на примере анализа движения спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой или на слабоэллиптической орбитах (эксцентриситет е орбиты центра масс равен нулю или мал). Предполагается, что спутник обладает динамической симметрией

На круговой орбите существует такое стационарное движение (отвечающее положению относительного равновесия спутника в орбитальной системе координат), при котором ось динамической симметрии тела направлена вдоль вектора скорости центра масс. Это положение относительного равновесия является частным случаем так называемой гиперболоидальной прецессии спутника, когда постоянная во все время движения проекция абсолютной угловой скорости спутника на его ось симметрии равна нулю [1—3]. Предполагается, что отношение а полярного и экваториального главных центральных моментов инерции тела равно числу 4/3 или близко к нему. При таком предположении на

периодическое движение, устойчивость.

круговой орбите реализуется резонанс 1:1, а на слабоэллиптической — резонанс 1:1:1.

В случае круговой орбиты решена задача о существовании, бифуркациях и орбитальной устойчивости периодических движений спутника, рождающихся из его относительного равновесия.

Дан также анализ условно-периодических движений приближенной системы, учитывающей члены до четвертой степени включительно в нормализованном гамильтониане. При помощи КАМ-теории [4] показано сохранение этих движений при учете членов пятой и более высоких степеней в разложении функции Гамильтона в ряд в малой окрестности положения равновесия.

В случае слабоэллиптической орбиты подробно исследована нелинейная задача о существовании периодических движений оси симметрии тела с периодом, равным периоду движения его центра масс по орбите. Показано что в плоскости е, а параметров задачи из порождающей резонансной точки е = 0, а = 4/3 исходят три кривые разветвления: аг- = 4/3 + е2 35г- + О(е) (/ = = 1, 2, 3), где

51 = 1/^2 = 0.79,

62 = ^2/3 = 0.87,

53 = ^26/3 = 2.05.

При переходе через эти кривые количество периодических движений меняется на 2 или на 4. Для значений параметров, не принадлежащих кривым разветвления, число периодических движений может равняться 5, 7, 11 или 15.

Исследована устойчивость по Ляпунову всех периодических движений в первом приближении. Для некоторых периодических движений рас-

224

А.П. Маркеев

смотрена нелинейная задача об устойчивости и получены выводы об их устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий или о формальной устойчивости (устойчивости в приближении сколь угодно высокого конечного порядка). Обнаружено несколько случаев, когда периодические движения, устойчивые в первом приближении, на самом деле неустойчивы (из-за вторичных резонансов третьего и четвертого порядков).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №08-01-00363) и по гранту Президента РФ поддержки ведущих научных школ (проект № НШ-2975.2008.1).

Список литературы

1. Белецкий В .В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975.

2. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Сер. Исследование космического пространства. Т.11. М.: ВИНИТИ, 1978. 222 с.

3. Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. 396 с.

4. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 414 с.

NONLINEAR OSCILLATIONS OF A SATELLITE AROUND THE CENTRE OF MASS

A.E Markeev

Nonlinear problem of the motion of a dynamically symmetrical satellite around the centre of mass in the vicinity of a relative equilibrium is investigated. Inertial parameters of the satellite are such that there are 1:1 - resonance in the circular orbit and 1:1:1 - resonance in an orbit of a small eccentricity.

Keywords: satellite, equilibrium, resonance, periodic motion, stability.