Установившиеся продольные колебания составных пластинок под действием произвольного нагружения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3: 534.121.1

Гофман М.Н.

УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ ПЛАСТИНОК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО НАГРУЖЕНИЯ

В работе [1] решаются граничные задачи об установившихся колебаниях изотропных тел, занимающих конечную многосвязную область с круговыми границами с использованием рядов по функциям Бесселя. В статье [2] предложен приближенный метод, использующий комплексные переменные, для изучения напряженного состояния пластинок при их циклических нагружениях. Этим методом в статьях [3], [4] приводится решение задачи об установившихся продольных колебаниях однородных составных изотропных пластинок для случая осесимметричного нагружения. Целью настоящей статьи является обобщение полученных решений на случай произвольного нагружения.

1. Рассмотрим составную пластинку, которая состоит из К круговых колец Б] 0 = 1, К). Области изготовлены из различных изотропных материалов. Они спаяны или склеены по соответствующим поверхностям. Пластина нагру- . жена по внешнему и внутреннему контурам продольной нагрузкой произвольной интенсивности р(8), пульсирующей с частотой ш.

Уравнение установившихся колебаний в комплексной области г относительно комплекснозначной функции перемещений Щг, г) = + ¡у,) для каждой из областей имеет вид [5]:

2к]д2и] 2 р/о2

+ —--Т- = -—-и)=1,К. (1)

к Г1 дгдг к Г1 д12 2С] 7

Здесь кз = 3 - 4^ в случае плоской деформации и к3 = (3 - в случае плос-

кого напряженного состояния, д - плотность материала кольца ^ , р], - его модуль сдвига и коэффициент Пуассона соответственно, % V - компонента! вектора перемещений. В дальнейшем индекс ^ обозначающий принадлежность к области 55], опускается и используется лишь при необходимости.

2. Решение уравнения (1) ищем в виде [2]

и=Ьтит, (2)

т-0

где е = рш2Н2/2С - безразмерный параметр, Н - характерный размер области.

Подставив ряд (2) в уравнение (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях параметра е, получим последовательность уравнений

• (з,

к -1 дzдz к -1

2к д2ит 2 д2Т1т и. ...

--—--= —, т> О . (4)

к-1 Ъгдг к-1 эг2 Н2

В нулевом приближении имеем статическую задачу, решение которой выражается через неизвестные комплексные потенциалы ср(г) и

и0= . (5)

Частные решения уравнений (4) будем искать в виде

ит =---т>0. (6)

2(1 + к)Н

3. Комплексные потенциалы каждого слоя примем в виде [5], [6]:

ф(г) = Ъап1п + Е спг~п , = 2Лгп + • (7)

п=0 п=1 п=0 п=1

Здесь ап, Ьп, сп, <1п - постоянные дня каждого слоя, подлежащие определению.

Подставив выражения (7) в равенства (5) и (6), а затем в (2), получим выражение дня комплекснозначной функции перемещений

оо оо — т „т+п —т+п-1 т+1

оо оо т+п+1 ^т+п

п=0 т=0 У.т Ч* *ю+\,п т,п

оо л-1 — т т-п —т-п-1 „т+1

и=1 т=0 »»! 6т,„ йя-и +

г" , . Г' _ _ 1

0.-1.» . (« + 1)! 6„- 1,л

00 —»1

х -(1П - - <5£и)и+1) -

—т-п-1 т+1

оо п-2 _)я-и+1 —т-п т

»=1 т=0 («-0! е,+1,И От,п т-

е"'1 _ 2 й'2 . _ _ 2ИЧГ' 1

+7^— (СяЧ ——1пг?-£>,,_, ——) +

ей» (я-2)! -чя-ог еи„

00 7Л-Л+1

—т-п т

Здесь

^ = . Вт = . Ао=к,В0=1,

Ст =*Ст_1+От_1 , Ът =кОт_] +Ст_1 ,^ = 0,00 = 1, (9) Р - ип <п\-(т + п>! Р -1 V 1

Рт,п - ПО + п) - —¿у—, Р-1,п - 5т -О,

(10)

1=7 (п-т-1)! п

Граничные условия на контурах Ьт (т = О, К) имеют вид:

-¿у-«¿»ж-

= 1\(Х(п0)+1У(п0))й8 на (11)

I](а<х» -о<»-2Н<»)<Гг =

¿0 Г 20

20 х у 20 У х ХУ

и(/) = и()+1) на ¿ = 1;, } = ; (12)

20 * 2 0 * ■у

= 1\(Х(пК) +1У(пК)№ на 1 = (13)

о

где Хп,Уп - проекции внешних усилий, приложенных к контурам, на оси декартовой системы координат, в - дуга контура отверстия.

Подставив выражения для напряжений и перемещений в формулы (11) - (13) и проинтегрировав, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов ап®, Ьпй), СпО), с^О).

4. Численные исследования проведены для пластинок, состоящих из двух колец. Материал области 81 - сталь имеет характеристики: в = 0,8-Ю5 МПа, V = 0,25, р = 7800 кг/м3, а области - медь: в = 0,4-105 мПа, V = 0,33, р = = 8900 кг/м3. Радиусы колец равны Яо/Н = 1; Я^Н = 0,8; Я^Н = 0,6. К контуру Ьо приложена нагрузка, интенсивность которой изменяется по закону

Г.,

\р0со$[%(§-%/д)/2&0], к/д-Вд <&<п/д,

т.е. отсутствует при 9е[0;71/ц-8о], затем возрастает по закону косинуса, достигая максимального значения ро на оси симметрии, и далее симметрично. Внутренний контур Ьз - свободен от нагружения. Здесь 9о - половинный угол приложения нагрузки. Для данных расчетов принято 0о = 10° и д = 4.

2000 4000 6000 8000 Частота колебаний

сплошная кривая - составная, пунктирная - стальная пластинка Рис. 1. Зависимость энергии деформаций от частоты нагружения.

На рис. 1 показаны зависимости удельной энергии деформаций ■^О^о2, возникающих в точках контура Ьо при 0 = я/я, от частоты колебаний. Для Ю1« 5560 с-1 и я 6920 с1 наблюдается резкий рост удельной энергии деформаций составной пластинки, характеризующий появление резонанса. Характер изменения удельной энергии деформаций для стальной пластинки

такой же, однако собственные частоты колебаний больше по сравнению с аналогичной составной пластинкой - ®i » 6700 с1. Для аналогичной пластинки, выполненной из меди, собственные частоты колебаний меньше по сравнению с составной пластинкой (coi» 4720 с-1 и юг « 6600 с1 ).

Текущий угол, град

Рис. 2. Распределение энергии деформаций по дуговой координате. 1 - точки контура Ьг, 2 - точки контура 1л области 8ь 3 - точки контура Ь2 области Бг, 4 -точки контура Ьо.

На рис. 2 приведены графики распределения удельной энергии деформаций \У-201/ро2 по дуговой координате составной пластинки, когда частота нагружения © = 2000 с-1 . Характер изменения удельной энергии деформаций для каждого контура различен. Максимальное значение в данном случае достигается на контуре Ьо при 0= яЛ}, в общем случае, расположение точки с изменяется с изменением частоты нагружения.

Рассмотрены составные пластинки, у которых материал области 81 -сталь, а модуль сдвига материала области Бг может принимать различные

Рис. 3. Зависимость удельной энергии деформаций от отношения ОгЮ\.

значения. На рис. 3 представлена зависимость удельной энергии деформаций Ш-2С1/ро2 в точке контура Ьо при 8 = яЛ} и частоте нагружения ш = 4000 с1 от отношения Сг№\. Увеличение отношения СтЮх приводит к уменьшению уровня энергии, однако для больших значений СтЮх спад замедляется. Так при изменении от ОгЛ-п = 1 до ОгД-п = 2 удельная энергия деформаций уменьшилась на 35,4%, от СЬЮ! = 2 до СгЮг = 3 - на 9,9%, а от (Зг/СЬ = 3 до ОгЮ! = 4 -на 4,6% по отношению к уровню энергии для пластинки из одного материала.

6,4

/

'I

I

0,4

0 ОД 0,4 0,6 0,8 Радиус внутренней окружности

Рис. 4. Зависимость удельной энергии деформаций от отношения Яг/Яо-сплошная кривая - составная, пунктирная - стальная пластинка

Рассмотрены составные пластинки, у которых область 81, выполненная из стали, - неизменна, а у области 82, выполненной из меди изменяется радиус Яг. На рис. 4 показана зависимость удельной энергии деформаций \У-20]/ро2 в точке контура Ьо при 0 = яЛ{ и частоте нагружения со = 4000 с1 от параметра Яг/Яо. Увеличение параметра Яг/Яо приводит к увеличению а также к сближению значений энергии пластинок.

1. Голоечан В. Т. О решении граничных задач установившихся колебаний для конечной многосвязной области // Прикл. механика,-1967.-Т.З.-ЫЗ.-С.20-25.

2. Космодам1анський О. С. Цшипчш коливання багатозв'язкових тш // Вюн. АН yPCP.-1988.-N4.-C. 12-26.

3. Гофман М.Н., Космодамианский АС., Кравцов А.М. Продольные колебания составной изотропной пластинки // Теорет. и прикл. механика.-1989,-Вып.20,- С.63-67.

4. Космодамианский А.С., Гофман М.Н. Установившиеся продольные колебания составных плоских пластинок с большим числом составляющих их колец // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. -1989. -1Ч 9. -

5. Мусхелииыили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.-М.:Наука, 1975.-707 с.

6. Космодамианский А. С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами, выступами. -К.:Вища школа,1975.-228 с.

Перечень ссылок

С. 46-50.