К решению задачи об установившихся продольных колебаниях составных цилиндрически анизотропных пластинок Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.3:534.121.1

Гофман М.Н., Графов В.В.

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СОСТАВНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК

В статье [1] предложен приближенный метод, дающий возможность изучать напряженное состояние пластинок при их циклических нагружениях. Этим методом в статье [2] приводится решение задачи об установившихся продольных колебаниях однородных составных цилиндрически анизотропных пластинок. Известно [3] решение поставленной задачи с привлечением функций Бесселя. Целью настоящей статьи является сравнение полученных решений для фактического обоснования приближенного метода в рассматриваемом классе задач.

Рассмотрим составную пластинку, поперечное сечение которой состоит из круговых колец = 1, К), ограниченных контурами 0 = О, К). Области изготовлены из различных материалов, обладающих цилиндрической анизотропией. Они спаяны или склеены по соответствующим поверхностям без предварительного натяга. Пластина нагружена по внешнему и внутреннему контурам продольной нагрузкой интенсивности р, пульсирующей с частотой ©.

В осесимметричном случае уравнение установившихся колебаний в полярной системе координат для каждой из областей имеет вид

0)

&3 Г » г2 Щ(1) '

Здесь р, - плотность материала кольца в;, ц2ш = Бед /Е^ = уед) Ы^ , Еед , Е^ , - танген-

циальные в радиальные модули Юнга н коэффициенты Пуассона соответственно. В дальнейшем индекс обозначающий принадлежность к области / опускается и используется лишь при необходимости.

В статье [2] решение уравнения (1) шцем в виде [1]

«= 5>ИЧ,> <2>

1И=0

где б = рю2(^ - у2е)Н2/Ее - безразмерный параметр, Н - характерный размер области.

Подставив разложение (2) в уравнение (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях параметра б , получим рекуррентную последовательность уравнений, причем в нулевом приближении имеем статическую задачу. Решив эти уравнения и подставив решения в ряд (2), получим [2]:

£ £ (~ег2 Л4Н2)т (3>

т!ПГ* + «Г- т=<> m/n(i-g) 1=1 ¡=1

Здесь А и В - постоянные для каждого слоя, подлежащие определению.

Выражение (3) может быть преобразовано, учитывая известные представления функций Бесселя 1-го рода в виде рядов [4]. Тогда получим

«=лф*г<1 + + вф-'го - (4)

Здесь Г(х) - гамма-функция.

Таким образом, решение уравнения (1) с точностью до постоянных совпало с известным решением, заво$£анньгм с использованием функций Бесселя.

РаёСЙ^^Мм важный частный спутай, когда % = п - целое число. В этом случае, используя разлояешие(2) и применяя метод, изложенный в [2], решение уравнения (1) получим в виде

_-2 / атт2 \ т

п ™ (-ег* / 4Н ) (~ег ' 4И* )т и~Аг У 1--— + Вг п[ у —-—^— +

' т *—' м

(5)

т=0 ж/По+*) т=0 т!П(*-»)

Л=1 Ы1

, " - (~ег2 / 4Н2)т (1п(4~вг / 2Н) - у(£п+1)

п-1 1

т=я т!(т-п)!Ц(1~п)

1=7

Здесь

ГР**-*Р 2р(р + п) ' Г1 Л

Преобразуем выражение (5), используя представления функций Бесселя 1-го рода 1п(х) и 2-го рода К(х) в виде рядов. Выражение при А, как и в предыдущем случае, с точностью до константы совпадает с функцией Бесселя 1-го рода. Выражение при В можно представить в виде некоторой функции Мп(х), которая имеет вид :

М„(х) = 27п(х)1п-- £ -(п-т - 1)!-

2 т! (7)

(~1)т(х/2)2т+п ,п) т!(т + п)! 7 т+1 ' Эта функция удовлетворяет уравнению (1) при % — п, но не удовлетворяет рекуррентным соотношениям Бесселевых функций. С функцией Ы„(х) она связана соотношением:

М„(х> = - 2 £ <>}

т=0 М!(т + П)! 2 р=1 Р

Здесь С - эйлерова постоянная.

Таким образом, решение уравнения (1) для случая % = п можно записать в виде

Неизвестные коэффициенты А,, В, ^ = 1, К) найдем из граничных условий на контурах Ыт = 0,К): ,

су(г2)=Ро при * = ст(гК)=рк при Д = '

а(г»=*(/+1>, и<»=и(>+1> при Л = /=2^2,

где ро> Рк ■ интенсивность нагрузки, приложенной к соответствующим контурам.

Подставив выражения для напряжений й перемещений в формулы (10), получим систему 2К линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов А^ В, 0 = 1, К). В случае, когда число составляющих пластинку колец велико, можно использовать метод функций податливости [2].

Численные исследования проведены для пластинок, состоящих из двух колец по приведенным формулам и с использованием известного решения через функции Бесселя. Материал обласга Б* имеет характеристики: Ее = 0,9-104 МПа, у9 = 0,0544, р = 600 кг/м3, а для области Б2 - Ее = 1,2-Ю4 МПа, у0 = 0,0355, р = 650 кг/м3 . Значения п материалов областей принимались одинаковыми. Радиусы колец равны Ло/Н = 1; Л^/Ко = 0,7; Я2/Ко = 0,5. К внешнему контуру Ьо приложена нагрузка интенсивности р, а внутренний контур Ьг - свободен от нагружения.

На рис:1 показаны, зависимости максимальной удельной энергии деформации Wttlвt•2E6(l)ф^ возникающих в точках контура Ь2, от частоты колебаний о. Кривая 1

кривая 1 - изотропный материал ; кривая 2 - постоянная анизотропии п = 2; криваяЗ - постоянная анизотропии п. = 4

Рис. 1 - Зависимость максимальной удельной энергии деформации от частоты, соответствует случаю, когда постоянная, характеризующая анизотропность материала равна п= 1 для всех областей (изотропный материал), кривая 2 - случаю п = 2, а кривая 3 - п = 4. Для © < 4000 с"1 результаты, полученные обоими методами полностью совпадают, для © < 8000 с"1 расхождение не превышает 10%. Для всех значений п при ш ~ 5^00 с'1 наблюдается резкий рост удельной потенциальной энергии деформации, соответствующий появлению резонанса, причем с увеличением п собственная частота уменьшается.

На рис.2 приведены графики распределения удельной энергии деформации

Текущий радиус

кривая 1 - изотропный материал; кривая "2 - постоянная анизотропии п = 2

Рис.2 - Распределение удельной энергии деформаций по радиусу пластинки.

"\У-2Ев(1)/р2, вдоль радиуса пластины, когда частота натр ужения © = 4000 с". В обоих случаях

наблюдается рост удельной энергии деформаций при приближении к внутреннему контуру, хотя характер роста различен.

На рис.3 показаны зависимости собственной частоты колебаний составной пластинки от постоянной п, характеризующей анизотропию материала. Сплошная кривая соответствует предложенному методу, штриховая кривая - методу

Постоянная анизотропии

сплошная кривая - предложенный метод, штриховая - метод функций Бесселя Рис. 3 - Зависимость собственной частоты колебаний от постоянной анизотропии.

с использованием функций Бесселя. Для значений п < 5 результаты практически совпадают: расхождение составляет менее 0,5%. С увеличением значения п погрешность увеличивается. Так при п = 5 расхождение составляет 1,7%, а при л = 6 - уже 4,7%. При п > 6 использование

предложенного метода в таком виде дает неудовлетворительные результаты.

Таким образом, предложенный метод решения задач установившихся продольных колебаний цилиндрически анизотропных пластинок дает хорошее совпадение с точным решением и может быть использован для исследования напряженного состояния составных тел при их колебаниях и приближенного определения собственных частот.

Перечегъ ссылок

1. Космодамгансъкий О.С. Цикл ¡чьи коливання багатозв'язкових тш // BicH. АН УРСР.-1988,-N4.-C. 12-26.

2. ГофманМ.Н., Космодамианский A.C. Установившиеся продольные колебания составных цилиндрически анизотропных пластин // Теорет. иприкл. механика.-1991.-Вып.22,-С.30-34.

3 .ГузъА.Н., Кубенко В. А., Черевко М. А. Дифракция упругих волн.-К.:Наук. думка, 1978.-307 с. 4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М: Физматгиз, 1962. -1100 с.