К решению задачи об установившихся поперечных осесимметричных колебаниях составных изотропных плит Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК

ПРИАЗОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕ СКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1999г Е!ып.№8

УДК 539.3:534.121.1

Гофман М.Н.1

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ ПОПЕРЕЧНЫХ ОСЕСИММЕГРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СОСТАВНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ

На основе метода разложения в ряд по параметру предложено решение задачи об установившихся поперечных колебаниях: составных изотропных плит. Проведено сравнение с известными решениями, основанными на использовании функций Бесселя. Исследовано влияние частоты нагружения и характер распределения изгибающего момента вдоль радиуса плиты., состоящей из двух областей.

Известно [1] решение задачи об установившихся поперечных колебаниях изотропных плит с привлечением функций Бесселя Однако в приведенном решении невозможно формально выполнить предельный переход® т. с. от задачи колебаний к задаче статического нагружения. Этот вопрос обсуждается в [1] и дается вариант преодоления этого несоответствия. В статье [2] приводится решение задачи об установившихся поперечных колебаниях однородных составных цилиндрически анизотропных плит с использованием приближенного метода [3]. В данной статье получено решение, которое допускает предельный переход к статической задаче и может быть использовано для исследования напряженно-деформированного состояния составных плит.

Рассмотрим составную плиту, поперечное сечение которой состоит из круговых колец Б, 0 = 1, К), ограниченных контурами Ь, 0 = О, К). Области изготовлены из различных изотропных материалов. Они спаяны или склеены по соответствующим поверхностям без предварительного натяга. Плита нагружена поперечной нагрузкой, пульсирующей с частотой е>.

В осесимметричном случае уравнение установившихся колебаний в полярной системе ко ординат для каждой из областей имеет вид

у!г) , г к п)

дг4 г ¿И г2 ¿И г5 дг В(}) йа) '

Здесь - прогиб, - плотность материала кольца Б;, О© = ЕоК712(1 - - изгибные жесткости, Е, V - модули Юнга и коэффициенты Пуассона соответствгнно, Ь - толщины плиты, су(г) - нагрузка, действующая на 8,. В дальнейшем индекс ), обозначающий принадлежность к области , опускается и используется лишь при необходимости. В статье [2] решение уравнения (1) ищем в виде

00

*=Е*ИЧ.. (2)

т=0

где к = р, е/'КН4/ Ба) - безразмерный параметр, Н - характерный размер области.

Подставив разложение (2) в уравнение (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях параметра е , получим рекуррентную последовательность уравнений, причем в нулевом приближении имеем статическую задачу. Решение статической задачи известно и имеет вид

м0 =А + Вг 2 + С 1пг + Г)г 2 1п г (3.)

1 ПГТУ, канд. физ.-мат. наук, доц.

Здесь А, В, С и Б - постоянные для каждого слоя, подлежащие определению. Решение в п - ом приближении будем искать в виде

*>п = Апг4п +Впг

2+4 п

+1

СУп(1пг-ап)^1\г-"4п(1пг--/Зп)

Для определения постоянных Ап , Вп, Сп и Оп подставим выражение (4) в рекуррентную последовательность уравнений. Получим

А „ В ' „ С

В „ -

с.

" (16Н4 )"\(2п)!]2 " (16Н4 )п[(2п + 1)!I2 " (16Н4 )п[(2п)!]2

гл. 2п 1 2п+1 1

°---, =

(5)

(16Н4)п[(2п + 1)1]2 " Подставив выражения (5) в равенства (4), а затем вместе с (3) в ряд (2), получим аналогично [2]:

4 „ / ги 4 ,т

. £ (г4£/ 16Н4)т _ 7 ™ (гце/16Н*)'

т~0

[(2т).'У

т

10 [(2т + 1)!]

(г4е/16Н4)тГ

т~0

[(2т)!}2

2т Л

1пг -

к=1ку

2 £ (г4е/1ЫГ )

4 )Гп

2т+1у^

1пг - У — ^ к

V к=2 К)

(6)

п"и \[2т + 1 )!~\2

Выражение (6) может быть преобразовано, учитывая известные представления функций Бесселя в виде рядов [4]. Тогда получим

,Пег , . .Цёг Л

XV =

+ -

2Н2ВГ

у

Гв

V

Жег Пег Л

+

С

+ -

+ -

2Н2 И

я Пег Пег , Не

—У0(-)-К 0(——)-(С + т----)

2 и Н Н 2Н

Г* ^

+

Га

1 ^ег \ 1 ^ег )

Гег А

Не п Пег Пег !

(1~С -1п---)----Уп(---------) - К0(--)

21/ 2 и Н Н ]

(7)

Таким образом, решение уравнения (1) с точностью до постоянных совпало с известным решением, записанным с использованием функций Бесселя

Полагая в выражении (7) со-»0, т.е. е—»0, получим решение задачи статического изгиба круглых плит (3).

Неизвестные коэффициенты А^ В , С}, Э, (] - 1, К) найдем из граничных условий сопряжения областей и условий на внешнем и на внутреннем контурах плиты. Условия сопряжения областей имеют вид

а) (]+п а/^ дн>{;+!)

Л _ ^ J-r^J ^ -----_--„-^

дг дг

(8)

1Г — 1Г1 г , 11 г —"г ,к" )

Здесь Мг и К - изгибающий момент и поперечная сила соответственно, которые в данном случае имеют вид

Мг =-£>

Е.

Н

А 1~у(

2 г

1н н

Не

+ -

с

Н

, Мег . Т ,Пег .'

I (-----.¡0(----;

' Я Н

+ -

2Н В

г {Г*

у 1 ы л н у

+

+ -

с

1-v

V

"r/J^i-K^)

2 1 H 1 H

н

л Жег Мег )

— Уп (----) + Art (-) I -

К2 ° Н ' Н )

-(С + 1п—) 2Н

1-v

'j/^J/^L)

[н *н

л

tie Н

,ilt:r ifer

hl—r7~)-Jo(—~)

+ ■

2Н D

Ге

(]-C~ln——) ' 2Н

ifs I ifs (т „Гаг

н [Iof H

if.

с г

H

1-v r

И

г s^fe*' ^ r \

Ji(-7r) + h(—-)

+ •

iH

H

V

H u H

1-v

H

iTer

H

Hy^+KjO 2 1 H H

J)

(9)

Il(4^L) + Jl(T£L}

l H 1 H

+-

2H2Bf

v;

.ik

. far . T ,i[ar .

) + K1(

a\

er

tie

Лег

Таг

)-fс+in—j i,{---) + J.( H 2H\'H H

; +

Га

(l-C-ln^ll/^)-

2H'

H

j/^'j H

• // 2 H

(10)

Решая систему уравнений (8), дополненную граничними условиями на внутреннем и внешнем контурах плиты, находим искомые коэффициенты, и, следовательно, прогиб, изгибающий и крутящий моменты и перерезывающие силы.

Численные исследования проведены для плит, состоящих из двух областей по приведенным формулам. Материал области S] - медь имеет характеристики Е = 1,0-10s Ml la. v " 0,33, р = 8900 кг/м3, а для материал области S2 - сталь: Е = 2,0-105 МПа, v -= 0,25, р = 7800 кг/'м*. Радиусы колец равны Ro/H ::: 1; R^R = 0,75; R2/Ro = 0,5. К обеим частям плиты приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивности q. Внешний контур L0 жестко защемлен, а внутренний контур L2 - свободен, т.е. систему уравнений (8), дополним следующими граничными условиями:

w

(I)

= 0.

dw

(1)

дг

0, при г - Rf):

(П)

М(г2) = 0, И(г2) = О при г = К2 .

На рис. 1 показаны зависимости модуля максимального изгибающего момента М,/Т], возникающего в точках контура Ь0, от частоты колебаний <д. Кривая 1 соответствует случаю аналогичной плиты, выполненной из стали, а кривая 2 - случаю выше описанной плиты. В обоих случаях наблюдается резкое увеличение значений изгибающего момента и других характеристик напряженно-деформированного состояния плиты, что соответствует появлению резонанса Для составной плиты резонанс наступает позднее - при (о 687 с1, в то время как для аналогичной стальной плиты при © « 467 с"!.

На рис.2 приведены графики распределения модуля изгибающего момента М/ц вдоль радиуса плиты, когда частота нагружения со = 200 с"1. Кривая 1 соответствует случаю выше описанной составной плиты, а кривая 2 - случаю аналогичной стальной плиты. В обоих случаях наблюдается рост значений изгибающего момента при приближении к внешнему контуру. В

зависимости от частоты иагружеиия более нагруженной может быть составная плита или однородная.

£ «

2 о 5

>5 X

3 2 я о

Г)

10 7,5 5

2,5 0

I

1 А

I /

/

100 300 500 700 900 Частота нагружения

0,3

о 2

| 0,15 2

0,075

«

0 -I

-------

0,5 0.625 0,75 0,875 Текущий радиус

Рис. 1 - Зависимость максимального изгибающего момента от частоты.

кривая 1 - стальная плита; кривая 2 -составная плита.

Рис. 2 - Распределение изгибающего момента по радиусу пластинки.

кривая 1 - составная плита;кривпп 2 - стальная плита.

Выводы

Таким образом, предложенный метод решения задач установившихся поперечных колебаний изотропных плит дает решение, которое с точностью до пост оянных совпало с известным решением, записанным с использованием функций Бесселя. В отличии от классического решение в нем возможен предельный переход к статической задаче Полученные формулы могут быть использованы для исследования напряженного состояния составных тел при их колебаниях и приближенного определения собственных частот.

Перечень ссыпок

1. Коренев Б.Г. Введение в теорию Бесселевых функций.-М.:Наука, 1971.-288с.

2. Гофман М.Н., Космодамианский А С. Осесимметричные поперечные колебания составных тонких круглых плит, обладающих цилиндрической анизотропией // Прикл. механика.-1991.-т.27.-№ 4.-С.57-62.

3. Космодамгансъкий О.С. Циюпчш коливання багатозв'язкових пл // Вюн. АН УРСР.-1988 -N4.-0. 12-26.

4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведен и й-М.:Физматгиз, 1962.-1100 с.

Гофман Михаил Наумович. Канд. физ.-маг. наук, зав. каф1едры теоретической и прикладной механики, окончил Днепропетровский государственный университет в 1980 году. Основные направления исследований - разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния составных тел при их колебаниях с учетом анизотропных, неоднородных и физически нелинейных свойств материалов; разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния составных валов сложного поперечного сечения при кручении и изгибе.