Неустановившиеся крутильные колебания валов под действием равномерной боковой нагрузки и линейной на торцах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3: 534.1

Гофман М.Н., Широченко П.П.

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОЙ БОКОВОЙ НАГРУЗКИ И ЛИНЕЙНОЙ НА ТОРЦАХ

Нагрузки, действующие на детали металлургического оборудования носят, как правило, динамический характер. Очень часто, в особенности в прокатных станах, эти нагрузки носят колебательный характер.

В статье [1] предложен приближенный метод, дающий возможность исследовать напряженное состояние тел при циклических нагружениях. На основании этого метода в работе [2] проведены исследования крутильных колебаний изотропного вала под действием равномерной боковой нагрузки и линейной на торцах, а затем в работе [3] для составных валов, слои которого выполнены из цилиндрически ортотропных материалов, под действием касательных усилий произвольно распределенных по боковой поверхности, используя точные решения указанных задач в статическом случае [4,5].

В статье [6] на примере сферических тел предложено использование метода [1] для случая неустановившихся колебаний тел. Ниже предлагается решение задачи о неустановившихся колебаниях изотропных цилиндрических валов, совершающих крутильные колебания под действием равномерной боковой нагрузки и линейной на торцах, являющееся обобщением работы [2].

Рассмотрим цилиндрический вал длиной L, поперечное сечение которого кольцо, ограниченное радиусами Ri и R2. Материал вала обладает изотропными свойствами. Вал нагружен по внешней и внутренней поверхностям произвольными нагрузками pi(t) и p2(t), вызывающими его неустановившиеся колебания.

Уравнение колебаний вала в полярной системе координат имеет вид д2Ч 5 д2у¥ р д2х¥ Ъг2 + Г дг + dz2 ~ G dt2

Здесь ¥ = v/r - функция перемещений, р - плотность материала, G - модуль сдвига.

Пусть внешнее нагружение допускает разложение в ряд Фурье:

р(0= I р(т)еШ(й'. (2)

т=0

• - Тогда функцию перемещений будем искать в виде аналогичного ряда. При этом уравнение (1) примет вид

д2Шт ЗдУт д2Чт р(о2т2 — ...

-+--+-= —Чщ , т = 0,00. (3)

дг2 г дг dz2 G т

Решение уравнений (3) будем искать в виде

= i е^тл , (4)

п-0

где е = pcö2m2H2/G - безразмерный малый параметр, Н - характерный размер области.

Подставляя разложение (4) в уравнения (3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра б, получим

дг2 г дг dz2

Зд¥тп д2Ч>тп 4>тп,

_тп . _тп . _тп тп~I

Решение уравнений (5) имеет вид [4]

^Л.+^ + О^+А^-О.Зг2). (7)

Здесь Ат, Вт, Ст, От - неизвестные постоянные, подлежащие определению. Частные решения уравнений (6) можно представить так:

+ йтп^+Етпг^. .(8)

Подставив равенство (8) в уравнения (6), для коэффициентов

Ант, бтп,

Ста, Отп, Етп получим следующие выражения

л (-У4. л _ Н)Х п = «НГА»

тл /<» . \ I гт5» ' тя У»» . <4 1 П' тп

(2п)!Я2"' и" (2и + 1)!Я2"' "" (2п + 2)!Я2и '

С НГ'А,

"" (2Я)2"И!(и-1)! ' "" (2Я)2"(«+1)!(И + 2)! '

Гп = + , и> 1, Г1 = 0 • (9)

1 П /2—1

Подставив выражения (9) в (8), а затем вместе с (7) в равенство (4), будем иметь

^^ т +ВтЪ (2л+1)! +

^о (2и + 2)! ^ (Й + 1)!(Й + 2)!

Равенство (10) может быть значительно упрощено, так как, перейдя от бесконечных сумм к элементарным функциям и функциям Бесселя, получим

=соз( д>)+4= д>)+^[(2с -

Здесь С - постоянная Эйлера, Ji(x), Ni(x) - функции Бесселя первого порядка первого и второго рода соответственно,

e=s/H2. (12)

Тогда выражения для компонент тензора напряжений примут вид

т(л|) s 8 D

~^r = Cm [nN2 ( Д>) - (2С - 1)У2 (Д>)] - ^ У2 (Д/);

С/ 2

r(m) 4D

= /•{£„, eos (Дг)-4Д" sin (Дг) + sin( Д>)}. (13)

Для сплошного вала напряжения на оси вала равны нулю, следователь-

7X0

НО, Ст = 0. Считая точку г = 0 и г = 0 закрепленной, получим Ага = 0. Для этих случаев формулы (11) и (13) упрощаются.

Рассмотрим следующие частные случаи:

а) Крутильные колебания сплошного вала нагрузкой, приложенной на торце по линейному закону.

Считая, что боковая поверхность вала свободна от нагружения, то есть 1у(т)(К-ь 2) = о, имеем От = 0.

Пусть скручивающий момент Т(0 изменяется по закону

I , при 0 < Г < п / 2 ; я--г,при п!1<,1<ЪпЯ\ (14)

\t-2n, при Ъп\2<1<2к. .

Функция (14) может быть представлена рядом Фурье

л £ (2т -1)

На торце г = Ь выполняется условие

Т{т)^\\гг^(г,ЩР. (16)

р

Удовлетворяя условию (16), окончательно получим следующие выражения для напряжений и функции перемещений:

8Ъ у. $т(2т -1)?

Я2Я? (2т -1)

2 '

Т- 87 У ьт(2т -

(2т — I)2

б) Крутильные колебания сплошного вала нагрузкой, приложенной на торце по линейному закону и равномерно по боковой поверхности.

На торце г - 0 выполняется условие

. (18)

Удовлетворяя условию (18), найдем

2 т(т)

<19>

Считая, торец г - Ь свободным от нагружения, то есть т^^г, Ь) = 0, получим

Т(т) [е~

(20)

Окончательно дня напряжений и функции перемещений получим следующие выражения:

X = 16Т 2 (yj*2m-lr)ctS(л/е2m-lL) sin(2m - l)t . vr K2 Rj m=l 4*2m-l (2m- l)2

x 8Tr | sin(Vг2т-1 (L~z)) sin(2m - l)t .

Щ %2Rj m=l cos(^z2m-lL) (2m-1)2

8T | sin(2m-l)t GTZ2R4jm=l (2m-1)2

x cos( л/е2m-l (L-z))-2Jj( yle2m-l r)cos( *J*2m-1L) / ( 4z2m-l rÀ

L)

в) Крутильные колебания полого вала нагрузкой, приложенной на торце по линейному закону и равномерно по боковым поверхностям.

На торце z = О выполняется условие = 0, откуда Вт = 0, а на торце z = L выполняется условие (16). Кроме этого, имеем граничные условия, характеризующие нагружение внешней и внутренней поверхностей вала:

^ = Р(1т) при ' = ^ = р(2т) ПРИ r=R2 (22)

Подставляя выражения (13) в равенства (16) и (22), получим систему для определения постоянных Ст и Dm. Одно из этих условий является связью между амплитудами нагрузок для их уравновешивания.

Таким образом, для различных случаев приложения касательных усилий к валу получены расчетные формулы, позволяющие исследовать напряженное состояние в случае его неустановивишихся крутильных колебаний.

Перечень ссылок

1. Космодам1анський О.С. Циюпчш коливання багатозв'язкових тш // Bîch АН yPCP.-1988.-N4.-C. 12-26.

2. Гофман М.Н., Космодамианский А.С. Крутильные колебания кольцевого цилиндрического стержня, скручиваемого боковой нагрузкой. // Сопротивление матер, и теория сооруж. ,-1991.-Вып.58.-С. 24-27.

3. Гофман М.Н., Космодамианский А. С. Об установившихся крутильных колебаниях многослойного ортотропного вала касательными усилия, распределенными по боковой поверхности //Прикл. механика.-1993.-29,- N11,-С.35-41.

4. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз.- 1963,-688 с.

5. Недорезое П.Ф. Кручение многослойного полого вала касательными усилиями, распределенными по боковой поверхности (точное решение). И Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений, равновесии и колебаниях упругих тел.-1964.-С. 75-87.

6. Гофман М.Н., Космодамианский А.С. Неустановившиеся колебания многослойной сферы // Докл. НАН Украины,-1995.-N5.-C.43-47.