CC BY
5
ВЕСТЦИК
ПРИАЗОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Вып.№9
2000 г.
Ф13ИКО-МАТЕМАТИЧН1 НАУКИ
УДК 539.3
Гофман М.Н.*
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНОСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ИЗОТРОПНЫХ СФЕР
Используя преобразование Лапласа и метод разложения в ряд по параметру, предложено решение задачи о произвольных центральносимметричных колебаниях изотропных сфер. Проведено сравнение с решением, полученным для установившихся колебаний.
В статье [1] методом разложения в ряд по параметру [2| решена задача об установившихся центральносимметричных колебаниях изотропных сфер. В статье [3] показано, что в полученном решении удается перейти от бесконечных сумм к элементарным функциям. В данной работе предлагается использовать метод разложения в ряд для случая произвольного по времени центральносимметричного нагружения изотропных сфер.
Рассмотрим сферу, ограниченную радиусами Яо и Я | и изготовленную из однородного изотропного материала. Поверхности сферы нагружены произвольной взаимно уравновешенной нагрузкой.
В центральносимметричном случае уравнение движения в перемещениях в сферической системе координат имеет вид
д2и 2 ди и р д2и
+ -2— = —^----, (1)
дг^ Г ог г * Х + 2/л сл2
где /I и ц - упругие постоянные материала слоя, р - плотность материала.
В случае произвольной зависимости нагружения от времени, применим к уравнению (1) преобразование Лапласа. Считая начальные условия нулевыми, получим следующее уравнение в изображениях:
= (2) г дг г2 Л+ 2^1
Здесь и - изображение перемещения, р - параметр преобразования Лапласа. Решение уравнения (2) ищем в виде аналогично [1,2]:
СО
и=Х£Пи»> (3)
п=0
где е = рр2Н2/(Л + 2/.1) - безразмерный параметр, Н - характерный размер области.
Подставив разложение (3) в уравнение (2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях параметра е, получим рекуррентную последовательность уравнений. Решив эту систе-
* ПГТУ, канд. физ.-мат. наук, доц.
му и подставив полученные выражения в разложение (3), получим аналогично [1]:
" . (4)
^0(2п + 1)!(2п + 3)
и=. а
s + 2
2 ^(sr2/H2f „2
Н2 ^0(2п)!(п + })
Здесь а и Ь - константы, подлежащие определению..
Равенство (4) может быть упрощено, так как в нем можно перейти от бесконечных сумм к гиперболическим функциям. Учитывая известные разложения для вЦх) и сЬ(х), получим
и = ——— {сИх - ххИх) + —~ (хсИх - ьИх) • 2 + е х5
Здесь
х = гу[£/Н = кгр> к - т]р/(Л + 2ц) ■ (6)
Неизвестные коэффициенты а и Ь найдем из граничных условий на внешнем и на внутреннем поверхностях сферы, которые имеют вид
стг = ГоО) ПРИ Г = Я0 , а, = /¡(О при г = Я] ■ (?)
Учитывая связь между напряжениями и перемещениями, из равенств (5) и (7), получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов а и Ь. Решая ее и подставляя полученные выражения в (5), для перемещения в области изображений получим
II = (/оЯ* - хI )\4цх1х -х2(Л + 2ц) - 4//]+ сИ(х - х, 4ц + х2(Л + 2ц)]~ 4цх} |-- /¡Л} \>Ь( х- х0 ,)[4цхх0 - Хд(Х + 2ц)- 4ц\+ сИ( х-х0 ,)[*:/¥// + хЦ(Л + 2ц)] - 4цх0
'А(р) где
А (р)-4ц(х0 - х1 )[(Л + 2ц)х1х0 -4 ц ] сИ(х0 -х1) +
+ зк(х0 - х 1 )[(х2(Л + 2ц) + 4ц)(х$(Л + 2ц) + 4ц)- 16 ц 2х1х0 ] . Для определения оригинала первого слагаемого перемещения сначала найдем оригинал функции
ф (р) хт ~Х»,(Я + 2и)- 4ц[+ ск(х - хт )[х[4ц + х^(Л + 2ц)] - 4цхп
(9)
.(10)
(Н)
рЦр)
Известно, что корни " УРавнения
2 2 2 2 2
*т$[(4ц--4 R° (Л + 2ц))(4ц--4 Rl (Л + 2ц)) + 16ц2 ЛЫ°—] -
(Ro-RO2 (Ro -Ri) (Ro-Ri)
-4ц%[(Л + 2ц) * RlR° ,+4ц]соя£ = 0. (R0 ~Rl)
все действительные и их значения могут быть получены графически построением кривых
2 2 2 2 2 у = tgS[(4M - 4 R° (Л + 2ц))(4ц--^--(Л + 2ц)) + 16ц2 4 RlR° ] »
(Ro-Ri)2 (Ro - Ri) (Ro-Ri)
у = 4ц$[(Л + 2ц) 4 R]R° +4ц] cos $ ■ О2)
(Ro-Ri)
Таким образом, корни знаменателя выражения (10) будут
pk(R0-R1) = ±i$r ±it2>-' и подынтегральная функция, будучи однозначной функцией переменного р, имеет полюсы в точке
р = О полюс второго порядка и простые полюсы в точках р = i i/[k(Ro - RO], i 2/[k(Ro - R-i)]> ■ • • Вычислим вычеты этой функции: в точке р = 0
К /л , 4^Г(Г - R™ )Rm +(r3~ RÍ )1 + 4<X + 2»>Rm
Yt\y / 2 2
4/л{(Л + 2ft)(R¡ - R¡ )- 4/uRjRq (R0 - Л7)} Rm [4цг(г — Rm ) + (Л + 2n)Rj ](R¡ - R¡ )(ЗЛ + 2ц)
4ц{(Л + 2fi)(R¡ -R3¡)- 4/ÍRjR()(R0 -R¡)}2 в точках pn = ±i^n/[k(Ro - Ri)] (n = 1, 2, ...)
Vm(^) = \sin
tn(r-Rm)
Rn — Rr
2r>2
(X + 2M)^R¡ (Ro-Rj)1
4M(-
12R r
bn m_
(Ro~Ri):
■ + 1)
+ cos^n(r~Rm) X
R0-R
4
Rn-R
4/u(r-Rm)-
(R0 -R,)2
1 f
1 sin£n 16 ц2 i+d
J \
+ 4ц(Л + 2ц),2 + ГЯ + 2»? £ ^ + 4>«íR*
l
R/j+Rj +R]R0^
(Ro-Ri)
+ eos X
(15)
(Ro -Ri)'
4;яц*а+2му , _ _ 4и(Х+2м)-
(Ro-R¡)4 (R0-R¡)2 t (Ro-Hil:
Используя вторую теорему разложения [4], находим оригинал функции (10):
R0 - R} У
ti(4R¡R0 +Ro +RÍ)
<Pm(t) = Vm(0) + 2fym(!;n)cos
Rn-R,
(16)
, — Л /
Окончательное выражение для перемещения найдем проделав аналогичные выкладки для второго слагаемого равенства (8) и используя интеграл Дюамеля [4]:
fo(t)R30V¡(0) - f¡( í)RjVq(O)
R3oVi(Sn)fo(t) - RjV0(^fl )fj(t)
Yl—1
-\{R3oVl(^n )fo(r) - R'v0an )f!(T)]sm^t-:-^dr .
(17)
(Rq ~~R\)r¿ % " ' ' Ro'Ri
Рассмотрим случай, когда к поверхностям сферы приложено нагружение, соответствующее установившимся колебаниям, т.е.
о-,. = А0еш ПРИ г = Rg> ar = A,eUút ПР» г = R¡ ■ <18)
Здесь Ат (т = 0, I) - известные постоянные величины.
В этом случае изображение перемещения примет вид
U = j^(-l)m+lAl-™RlmU™(P) , (19)
т=0 Г2 ( p-ÍO))A( р) где ,
Um (Р) = sh(x - хт ){4ц(хтх~ 1) - х;, (Л + 2/1))+ ch(x - хт )(х2,х(Л + 2ц) + 4ц(х - хт ))■ (20) Функция U(r, р) имеет простые полюсы в точках р = 0. р = ico, pn = ±i^n/[k(Ro - R,)L n =1, 2, ... . Оригинал u(r , t) для изображения U(r, р) находим по теореме разложения [4]:
т=0
т+1
^!-ni R]
Um(P)
+
vm(p)
J>t
П=1 {(p- Ш)А(pj)
{(p-ico)A(p))
P=i$„/[k( Ro-Rj)
,P<
Um(p)
p=0
(( p - icú)A( p))
p-ico
(21)
Подставляя в это равенство значения функций Um(p) и Д(р) в полюсах, получаем
u(r, t) = ¿ (-1)m+lAl-™Rl->n [,wf2 _ }[z2m (X + 2M) _ 4ju(ZmZ + }))+
m=0 r
í 7 \еш ^ е'г»{ r
+ cos( z - zm z-zm)-z/mz(X + + 2ReZj ~YrÍn( Pn ~ Pn'm ) X (22)
n=l n
M
(Л + 2/л) - 4p(p„ „, pn +J))+ cosf p
n Pn,m n -Pn m
pn(X +
Здесь
Z = sin(zf) -zl^4p-z20(X + 2p))(4p-z21(X + 2p)) + 16p2z1z0\- (23)
-4p(z0 — Zj ) cos( Zq -z1)[(X + 2p)z1z0 +4p] , Zn = eos \l6M2(pnlpn0 -1)- 4p(X + 2p)(pl0 + 4pn ipn Q + p2n>1 ) + (X + 2p)2 PnflPn.l ~
- — \l6p2pn 1Рп 0-4p(X + 2p)(p20 + 3P lP o + p2 ¡ ) + (X + 2p)2 p2fipÍ¡ |+ sin x Yn
x^6M2(J + 3pnlp„0 +^2) + 4p(X + 2p)(^2pnJpnfi-3p2nfi ~3ph) + 5(X + 2p)2pIqpIj -\4p(X^2p)(^2pn¡1pnfi-2pl0-2pl1) + 16p2(¿;2+2pntlpni()) + 4(X + 2p)2p2nflpll\
со Yn
£
У" = 77Р " D .' Pn = Y„r' Pn,m = ГА ' z = krco-
Из сравнения приведенного решения с результатами работы [1,3] следует, что первое слагаемое (22), соответствующее установившемуся нагружению полностью совпадает. Второе слагаемое выражения (22) для n = 1, 2, ..., соответствующее высшим формам колебаний не оказывает существенного влияния на суммарное значение перемещения.
Выводы
Предложенный метод решения задач установившихся колебаний может быть распространен на случай произвольных по времени колебаний тел. Получено выражение для перемещения при центральносимметричных колебаниях сферы для произвольного закона нагружения. Сравнение с частным случаем установившегося нагружения позволяет выяснить смысл слагаемых полученного решения.
Перечень ссыпок
1. Гофман М.Н., Космодамианский A.C. Установившиеся центральносимметричные колебания многослойной сферы // Прикл. пробл. прочн. и пластичн: Всес. межвуз. сб.-1991.- Вып. 47 -С. 82-85.
2. Космодамгансъкий О.С. Циктчш коливання багатозв'язкових Tin // Вюн. АН УРСР.-1988,-N4.-C. 12-26.
3. Гофман М.Н., Космодамианский A.C., Урбанский P.E. Установившиеся колебания неоднородной многослойной сферы // Доклады АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки,- 1991.-N4.-С. 37-41,
4. Мартыненко B.C. Операционное исчисление. - Киев: Вища школа, 1990.-359 с.
5. Карслоу X., ЕгерД. Операционные методы в прикладной математике,- М.: Гизинлит, 1948,-291 с.
Гофман Михаил Наумович. Канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой теоретической и прикладной механики, окончил Днепропетровский государственный университет в 1980 году. Основные направления исследований - разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния составных тел при их колебаниях; разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния составных валов сложного поперечного сечения.
