CC BY
17
В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ
2001р
Вип. N11
УДК 539.3
Гофман М.Н.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ КОЛЬЦЕВОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Используя метод разложения по параметру, предлагается метод решения в перемещениях плоской задачи для тонких ортотропных пластинок. Нулевым приближением служит решение соответствующей изотропной задачи. Для конкретных материалов показано хорошее совпадение результатов с известным решением бесконечной пластинки с отверстием. Исследовано напряженное состояние кольцевой ортотропной пластинки, приведены зависимости распределения напряжений. Проведено сравнение с аналогичной изотропной пластинкой.
В статье [1] предложен новый подход к решению плоской задачи для тонких пластинок, изготовленных из материалов, обладающих ортотропными свойствами. Целью данной статьи является применение этого метода к исследованию напряженного состояния кольцевой пластинки из прямолинейно ортотропного материала. Аналогичная задача для бесконечной пластинки с использованием обобщенных комплексных переменных решена в [2].
Рассмотрим кольцевую пластинку, ограниченную контурами радиусов Я0 и Н/. Она изготовлена из анизотропного материала, причем оси срединной плоскости х и у направлены перпендикулярно плоскостям упругой симметрии. По внешнему и внутреннему контурам пластинки приложена уравновешенная произвольная нагрузка.
Уравнения равновесия плоской теории упругости для плоского напряженного состояния ортотропного тела в перемещениях имеют вид:
Здесь и, V - компоненты вектора перемещений, /:'„ /:',, О, V;. V? - технические постоянные материала, причем Е}, /: - модули Юнга при растяжении части пластинки в направлении осей х, у, О - модуль сдвига для области, параллельной координатной плоскостиху, V/, у? - коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение части пластинки в направлении соответствующих осей при растяжении в направлении оси, перпендикулярной срединной плоскости.
Введем операторы Колосова
и преобразуем систему уравнений (1). Второе из этих уравнений умножим на мнимую единицу, сложим с первым и перейдем в этом выражении к комплексным переменным. Введя комплекс -нозначную фз'нкцию
Е; ,д2и д'\ , „ ,д2и д2у ——(—Г + V, —— —г + —
О)
(2)
полученное уравнение можно преобразовать к виду
ПГТУ, канд. физ.-мат. наук, доц.
дг2 Е} Е{ дгог
Е} £] дгдг к} аг Е1 дг2
Введем обозначения
к.} Л; Е}
а = 2у2+1^> + (5)
Е} Е} Е]
Тогда уравнение (4) можно записать в виде
б2и ад2и е2и гв2и д2и е2и, . ,6>
огдг2 дгдг дг2 дг2
В случае первой основной задачи условия на границах пластинки через функцию перемещений (3) запишутся в виде
II
80(1-V¡V2 )
ООО
А г Ш дй 1 Ш ди ... \г/ди дП ей .. т
* ог ог дг дг •> дг дг дг сг
О О
Для различных анизотропных материалов коэффициенты е и ^являются малыми параметрами, а для изотропных материалов обращаются в нуль. Поэтому для решения задачи применим метод малого параметра [3]. [4] и представим искомые функции в виде рядов по большему из параметров.
Пусть из параметров большим является е. Тогда
п-0
Подставим разложения (&) в выражения (6) и (7) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра ь; считая, что у -- ке7 где к < 1. Тогда получим в нулевом приближении (изотропная пластинка)
д2ип _ б2и.
а•
(9)
дг2 дгдг
х ~. , Г-„- ___
(10)
8а(1-у1у2)' £ дг & £ Ы 0
в (п + ¡)-ом приближении
дг2 № дг2 && дг2 дг2
д2и„
дг2 дгдг
Ьди" дйп
V & дг '
ди„+, ди„+1 ,, , „ *гди„,} _ 1т,ди„ дЬ„ , . г гби„ ди„ , ,дИ,
и1- . . ______, _ ,
1 дг сё * дг дг дг 1 дг (Ш дг
0 ООО
(12)
Известно, что для решения подобных задач необходимо найти аналитические функции в срединной плоскости пластинки <р (г) и у (г), которые можно определить известными методами [3] из граничных условий.
В нулевом приближении решение дается равенством
1)0(г,г) = к<р(г)-гф,(2)-у(г), к - ¡3/а . (13)
В качестве примера рассмотрим осесимметричное нагружение пластинки, В нулевом приближении нмеем известно ю задачу, для которой комплексные потенциалы имеют вид
р0(г) = а0г> щ(г) = Ь0г-1* (14>
где а0 и Ьо - коэффициенты, определяемые из граничных условий. Тогда
и о (г. г) = а0 (к -1 )г - Ь01~] . (15)
Подставив выражение (15) в граничное условие (10), получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов а0 и Ь0.
В первом приближении примем комплексные потенциалы <Р](г), г//;(г) в виде
Находя правую часть уравнения (11) и интегрируя, получим
и{ =к{а(51>г5 '+<,<» г3 + а'/* г + а(_!/г~* л-а(_}>2~3 ] -г[5а(51)г4 +
-а2 г2 г
Для определения коэффициентов комплексных потенциалов подставим выражение (17) в граничное условие (12), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аффиксов точек единичной окружности, получим систему алгебраических уравнений:
а^Я3-а^/Я'1 +Ь(!/Я~3 - ;
з } -I } * 3(р + а)К} ЗД/
За^Н3 +а(1/п+ = *°- + 2а0(к - ¡Ж, :
} } ] } (рла)Я; К; }
а(1>к-3 = М. (18)
-3 ! ЗЯ}-
Здесь К, (/ = 1, 2) - радиусы соответствующих контуров.
Аналогично может быть найдено решение задачи в любом приближении
Проведено сравнение с известным решением [2]. где рассматривается бесконечная орто-тропная пластинка с круговым отверстием, нагруженным равномерно распределенным нормальным давлением интенсивности р по контуру. Согласно работе [2], найдены наибольшие напряжения Од в точках контура, лежащих по вертикали, а также по методике изложенной выше, принимая радиус внешнего конту ра пластинки К,. - / ООЛ].
Полученные результаты показывают достаточно быстрое схождение разложений (7) для материалов, обладающих различной степенью анизотропии. Для материалов, у которых отношение Ег /Е2 < 1,5 (КАСТ-В, полуватман, СТЭР-С-30. ГШ-3), расхождение с известным решением после второго приближения составляет не более 3 %. Для других материалов расхождение больше: например для СВАМ-ИММ отношение Е\ =: 3,92 и погрешность составляет 13 %, для материала СПКН Я; /Е2 = 3,75 и погрешность - 10,6 %. В этих случаях расчет может быть продолжен.
Численные исследования проведены ,аля кольцевой пластинки, изготовленной из СТЭР-С-30: Е, = 3,4910" МПа, Е2 2,55-К)4 МПа, О = 0,80Ю4 МПа, V/ - 0,13, Рассмотрена пластинка, у которой радиус внешнего контура Кг, = I, радиус внутреннего контура - Л/ = 0.5. Пластин-
ка нагружена по внутреннему контура равномерной нагрузкой интенсивности р, а внешний контур - свободен от нагружения. На рис. приведена зависимость тангенциального нормального напряжения сг^р по внутреннему контуру пластинки. Для аналогичной изотропной пластинки (Тд-'р = 1,667 и одинаково во всех точках контура. Для анизотропной пластинки наименьшее значение напряжение достигает при <р — 47,4° и составляет (Тв/р - 1,474. Наибольшее напряжение, возникающее в точках внутреннего контура на вертикальной оси, превышает напряжение в соответствующей изотропной пластинке на 18 %. Характер изменение тангенциального напряжения по внешнему контуру имеет такой же вид.
Текущий угол
Рис. - График зависимости тангенциального нормального напряжения сглр по внутреннему контуру пластинки
Выводы
Предложен метод решения плоской задачи для ортотропных пластинок, основанный на разложении функции перемещений в ряд по параметру. Параметр выбран таким образом, чтобы в нулевом приближении получалась соответствующая задача для изотропной пластинки.
Проведено исследование напряженного состояния ортотропной кольцевой пластинки, изготовленной из материала СТЭР-С-30, и сравнение с аналогичной изотропной пластинкой. Учет ортотропных свойств материала приводит к увеличению наибольших напряжений, возникающих в точках внутреннего контура, на 18 %.
Перечень ссылок.
1. Космодамианский А. С. Новый подход к решению плоской задачи для многосвязной ортотропной пластинки//Теорет. и ирикл. механика.-2000.-Вып. 31.-С. 60-62.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела-М.:Наука,1977.-416 с.
3. Космодамианский А. С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами-Киев: Вища школа, 1975.-227 с.
4. Космодамианский А. С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями.-Киев: Вища школа, 1976.-200 с.
Гофман Михаил Наумович. Канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой теоретической и прикладной механики, окончил Днепропетровский государственный университет в 1980 году. Основные направления исследований - разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния составных тел при их колебаниях; разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния составных валов сложного поперечного сечения.
Статья поступила 04.04.2001.
