Напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины, ослабленной отверстием Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ОТВЕРСТИЕМ

Д.Н. НИЗОМОВ*, д-р. техн. наук, проф., А.А. ХОДЖИБОЕВ**, канд. техн. наук, О.А. ХОДЖИБОЕВ*, инж.

*Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан, 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни 267, эл. -почта: tiees@mail ru

**Таджикский технический университет имени академика М.С. Осими, 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджа-бовых 10, эл.-почта: hojiboev@mail.ru

В работе исследуется концентрация напряжений на контурах отверстий анизотропного тела в условиях плоской деформации.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: - численные методы - анизотропная пластина - незакрепленная выработка - граничные интегральные уравнения - отверстие - функция напряжений - характеристическое уравнение.

В последние годы в практике научных исследований и инженерных расчетов в области прочности все чаще прибегают к использованию численных методов решения задач теории упругости и пластичности. Использование численных методов приобретают особенное значение в связи с развитием вычислительной техники и технологии.

Как известно, линейная теория упругости основана на предположении, что шесть компонент тензора напряжений (о- = о-) линейно связаны с шестью компонентами тензора деформаций (в- = е-,)

{е} = ИМ, (1)

где матрица упругих постоянных [а] и векторы деформации и напряжений записываются в виде

[а] =

а11 а12 а12 а22

а16 а26

а16 а26

а66

= — Е

{е} = (ех еу е2 Уу2 у^ Уху)

' ху>

{а} = (ах Ту2 ТХ2 Тху

)т

у,- — коэффициент Пуассона, выражающий относительную поперечную деформацию в направлении /, вызванную продольной деформацией е- = а,- / Е-в направлении у, Е- — модуль упругости, соответствующий у — тому главному

направлению.

Следующие три соотношения

у12 = У21 У23 = У32 У31 = Уз Е2 Е1 Е3 Е2 Е1 Е3 определяют взаимосвязь поперечных деформаций в ортотропном материале.

Максимальное число независимых упругих постоянных с учетом симметрии для любого материала, обладающего наиболее общей формой упругой анизотропии, равно 21. Многие реальные материалы обладают той или иной структурной симметрией, поэтому число упругих постоянных для них значительно сокращается. Например, ортотропный материал имеет девять независимых упругих постоянных, а трансверсально-изотропный - пять.

Рассмотрим однородное упругое тело с анизотропией общего вида, ограниченной цилиндрической поверхности и нагруженное поверхностными и объемными силами, которые не меняются вдоль образующей. Ось г системы декартовых координат направим параллельно образующей, а оси х и у - произвольно. Проекция усилий, приложенных к цилиндрической поверхности на единицу площади, обозначим через Хп, У п . Будем считать, что длина тела бесконечна или значительно больше характерного размера отверстия, область поперечного сечения - произвольной, конечной или бесконечной, односвязной или многосвязной. В теле с анизотропией общего вида плоская деформация в смысле изотропного тела, где все поперечные сечения остаются плоскими, становится невозможным. Можно лишь утверждать, что все составляющие напряжений и перемещений не будут зависит от г, т.е. имеет место обобщенная плоская деформация [3]. Далее предполагаем, что цилиндр бесконечной длины имеет в каждой точке плоскость упругой симметрии, нормальную к образующей. В этом

1

аи =

т

случае мы будем иметь чисто плоскую деформацию, полагая ^ = м>о и считая перемещения ux, Пу функциями только х и у . При этом Уу2 = ух1 = е2 = 0, и вследствие этого

ТХ2 =Ту2 = ^ (2)

=--— (а13ах + а23ау + а36тху) . (3)

а33

Уравнения равновесия плоской задачи с учетом объемных сил

да дтп, дтп, -ау

+ + Х = 0, —^ + + У = 0, (4)

дх ду дх ду

закон Гука (1) с учетом (2)

£х = а11ах + а12ау + а13а2 + а16тху ,

£у = а12ах + а22ау + а23а 1 + а26тху , (5)

Уху = а16ах + а26ау + а36а1 + а66тху ,

и уравнение неразрывности деформаций

д28х д2Су д2Уху

-ух+#=1X57 • (6)

позволяют записать решение плоской задачи в виде одного уравнения относительно функции напряжений. Представим напряжения через функцию напряжений Ф( х, у)

д2Ф — д2Ф — д2Ф

ах = 1?+и а Ъ =-Х-У • <7)

где X = -ди / дх , У = -ди / ду, и - потенциал объемных сил. Напряжения в (7) тождественно удовлетворяют (4), внося их в (5) с учетом (3) из (6) получим [4]

д4ф д4ф д4ф $22 4 - 2$26 3 + (2$12 + Рбб)~2Т^ -

дх дх ду дх ду

д4Ф д4ф д4и

-2$6-з + — = -($12 + $22) — - (8)

дхду -у дх

д2и _ „ ч д2и

-($11 + $12) ~2 + ($16 + $26).. ,

-у2 -х-у

где общее выражение для функции Ф( х, у) зависит от комплексных корней характеристического уравнения

$11/ - 2$16^3 + (2$12 + $66)И2 - 2$26М + $22 = 0, (9)

здесь $у = ац - а^а^ 3 / азз - приведенные коэффициенты деформации, /, 7 = 1,2,...,6.

Если анизотропное тело обладает тремя плоскостями симметрии (орто-тропное тело), то $16 = $26 = 0 , и характеристическое уравнение (9) приобретает вид

$11 И4 + (2$12 + $66)И2 + $22 = 0, (10)

гДе $11 = «11 - °123 / а33 ; $12 = а12 - а13а23 / а33 ; $22 = а22 - а23 / а33 ; $бб = <

При замене ц на 1у, / = V-1, из (10) получим

А1Х4 - (2$ + $бб)Г2 + $22 = 0.

(11)

^2$12 + $66 ±а/(2$12 + $бб)2 -4$$ . (12)

откуда х12 = л/2$ +

Как следует из (12) для решения задачи ортотропного тела в условиях плоской деформации необходимы семь упругих постоянных

(Е1, ^12, ^^ Е3,У23А2) : а11 = 1/ ЕЪ а12 = -у12 / Е2 , а13 = -у13 / E3, а22 = 1/ E2, а23 = -у23 / Е3, азз = 1/ Е3 , абб = 1/ . Далее будет строить алгоритм численного решения задачи плоской деформации на основе метода граничных уравнений. Закон Гука (1) для ортотропного материала с учетом а^ = а2б = а3б = 0, а также (3) представляется в обратной форме

Ь11 Ь12 0 1

¿12 Ь22 0 I £у \, (13)

_ 0 0 Ьбб \[Гзу

^у . =

тху

Ь11 = $22 /b0, Ь12 = -$12 /b0, Ь22 = $11 /b0, Ьбб = 1/абб = Сху Из уравнений (13) находим:

дст

¿0 = $11$22 -$122.

ах

дт

= ь

11-

д\ дх 2

+ ¿12

д2иу

дудх

(

ху

ду

=ь

'бб

д и.

д2и

Л

- + -

ду2 дхду

да. _>

ду дт

= ь

12

д\ дхду

+ ь

д2и

22

(

ху

дх

=ь

бб

д и.

ду 2

д2и

+

дхду дх2

(14)

Внося (14) в (4), получим систему уравнений в перемещениях:

11

д2их дх 2

д2и

бб

ь

д 2иу

22

+ (Ь12 + ьбб)^т~ + ь дхду

и 1 ч д2их ,

■+(¿12 + Ьбб)^г+Ь

д2их ду 2

- + X = 0.

д2иу

бб

+ Y = 0.

(15)

ду2 ~~ дхду дх2

Пусть в точке Е двумерного анизотропного пространства действует сосредоточенная сила X = 3(, направленная параллельно оси х^ . Решение задачи о сосредоточенной силе в ортотропной среде дано в работе [9], где даны фундаментальные решения, соответствующие решению дифференциальных уравнений

я2 * я2 * д их д их Ь11—х + Ьб

дх

о *

д 2и

бб

22

ду

2у + Ьбб

ду

д2иу

дх2

2* д иу

-+(¿12 + Ьбб = -5 (х, ЕК,

■ + (Ь12 + ¿бб)

дхду

2* д их

дхду

(1б)

= -8( х,Е)ех,

где 5(х,£) - дельта функция, ех, еу - единичные векторы, направленные соответ-

ственно по осям х и у; их = и тальных перемещений.

хх + иху '

и у = иуу + иух - компоненты фундамен-

На основе фундаментальных решений, которые удовлетворяют (16), строится система сингулярных граничных интегральных уравнений.

Например, для первой основной задачи теории упругости, в которой на поверхности задаются напряжения, система граничных интегральных уравнений записывается в тензорной форме

с*]и] +1Рци^ = I. (17)

*

где Ру - компоненты фундаментальных напряжений.

Проведя сплайновую аппроксимацию граничных параметров по контуру отверстия, из (17) получим систему алгебраических уравнений. В результате решения этой системы получим вектор искомых перемещений. Затем вычисляются относительные деформации и на последнем этапе определяются компоненты напряжений.

На основе предлагаемого алгоритма и разработанной программы получено численное решение задачи в условиях плоской деформации при следующих данных:

Е = 6105 кгс/см2; Е2 = 1.7^05 кгс/см2; Е3 = Е1, Gl2 = 0.81105 кгс/см2; ) = 2.5, v1 = 0.2, v13 = V1, у12 = 0.057, к = 40 см, у32 =у12, 5 = 0.003 см. (18)

Механические характеристики имеют следующие интерпретации и определяются по методике, приведенной в [5]: Е1 - модуль деформации материала ненарушенной породы; Е2 = Е1 / (1 + )) - модуль деформации твердой среды в перпендикулярной плоскости слоистости; г) = 3 / - коэффициент, зависящий от 3 - ширины раскрытия трещины, к - толщины ненарушенного слоя (расстояние между трещинами); % = 3 -10-4 - постоянный коэффициент, зависящий от относительной площади скальных контактов; Е3 - модуль деформации в плоскости изотропии; Gl2 - модуль сдвига, определяемый по формуле Gl2 = Е /2(1 + V! + )); V! - коэффициент Пуассона материала ненарушенной породы; у12 = ^/(1 + )).

Таблица 1. Сопоставление результатов при различных разбиениях контура отверстия

Число разбиений Перемещение ип-105 Напряжение <

1 2 3 1 2 3

2 -0.4845 -0.1384 0.2177 -0.4709 0.7834 4.391

4 -0.5095 -0.1305 0.2588 -0.4731 0.7276 4.333

8 -0.5238 -0.1254 0.2766 -0.4926 0.7374 4.252

16 -0.5319 -0.1233 0.2863 -0.5068 0.7386 4.225

32 -0.5363 -0.1224 0.2917 -0.5154 0.7384 4.227

С целью проверки сходимости численного решения были получены результаты (нормальные перемещения и тангенциальные напряжения) при разбиении четверти контура кругового отверстия на п = 2, 4, 8, 16, 32 постоянных элементов (табл. 1). Эти результаты соответствуют растяжению анизотропной среды вдоль волокон (рис. 1, а). Можно заметить, как по перемещениям, так и по напряжениям в контрольных точках контура круглого отверстия, имеет место хорошая сходимость.

В табл. 2 результаты расчета по данным (18) сопоставляются с аналитическим решением задачи Кирша [7, 2] для изотропной среды (знаменатель) при Е = 6105 кгс/см2, V = 0.2 . С целью сравнения в х последней строке табл. 2 приво-26

дятся результаты численного решения задачи Кирша при разбиении четверти контура отверстия на 1б граничных элементов.

Сравнение результатов (табл. 2) показывает, что коэффициент концентрации напряжений увеличивается примерно в 1,5 раза в случае растяжения вдоль волокон по сравнению с изотропией. Нормальное перемещение при растяжении поперек волокон (рис. 2, б) увеличивается почти в 3 раза.

Таблица 2. Сравнение результатов

Вид растяжения Напряжение <s Перемещение un •105

1 2 3 1 2 3

Растяжение -0.4926 0.7374 4.252 -0.5238 -0.1254 0.2766

вдоль волокон -1.000 1.000 3.000 -0.320 -0.100 0.120

Растяжение 2.733 1.248 -1.702 0.268 -0.371 -1.010

поперек волокон 3.000 1.000 -1.000 0.120 -0.100 -0.320

П =1б -1.027 0.9780 2.983 -0.3295 -1.004 0.1286

Р=1

Рис. 1. Концентрация тангенциальных напряжений на контуре незакрепленной выработки: а) при растяжении вдоль трещин; б) при растяжении поперек трещин

Таким образом, разработанный алгоритм численного моделирования на основе метода граничных интегральных уравнений позволяет решать задачи оценки степени концентрации напряжений в анизотропной среде, ослабленной отверстием.

Л и т е р а т у р а

1. Космодамианский А.С. О напряженном состоянии анизотропной пластинки с двумя отверстиями. Изв. АН СССР, ОНТ. Механика и машиностроение, 1961, №1.

2. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: «Мир», 1987, 328 с.

3. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.- М.-Л.: Гостехиздат, 1947, 355 с.

4. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977, 415 с.

5. Руппенейт К.В. Деформируемость массивов трещиноватых горных пород. М.: «Недра», 1975, 223 с.

6. Савин Г.Н. Распределения напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968, 887с.

7. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975, 576 с.

8. Koiter W.T. Stress distribution in an infinite elastic sheet with a double periodic set of equal holes. Boundary problems of different equation. Madison: Univ. Wisconsin Press, 1940.

9. Rizzo F.J, Shippy D.J. A method for stress determination in plane anisotropic bodies, J. Composite Materials 4, 36-61 (1970).

R e f e r e n c e s

1. Kosmodamianskiy, A.S. (1961). On stress state of an anisotropic plate with two openings, Izv. AN SSSR, ONT, Mechanika I mashinostroenie, № 1.

2. Krauch, S, Starfield, A. (1987). The Methods of Boundary Elements in Mechanics of Solid Body, Moscow: "Mir", 328 p.

3. Lehnitskiy, S.G. (1947). Anisotropic Plates, Leningrad: Gostehixdat, 355 p.

4. Lehnitskiy, S.G. (1977). The Theory of Anisotropic Body, Moscow: "Nauka", 415 p.

5. Ruppeneit, K.V. (1975). Deformiruemost massivov treschinovatih gornih porod, Moscow: "Ne-dra", 223 p.

6. Savin,G.N. (1968). The Distribution of Stresses Near the Openings, Kiev: Naukova Dumka, 887 p.

7. Timoshenko, S.P., Gudier, J. (1975). The Theory of Elasticity, Moscow: "Nauka", 576 p.

8. Koiter, W.T. (1940). Stress distribution in an infinite elastic sheet with a double periodic set of equal holes, Boundary problems of different equation, Madison: Univ. Wisconsin Press.

9. Rizzo, F.J, Shippy, D.J. (1970). A method for stress determination in plane anisotropic bodies, J. Composite Materials, 4, 36-61.

STRESS-STRAIN STATE OF ANISOTROPIC PLATE WEAKENED WITH HOLE

J.N. Nizomov, A.A. Hojiboev, O.A. Hojiboev

Institut seysmologii, seysmostoykogo stroitelstva i seysmologii AN Respuliki Tadjikistan, Tadjikskiy ehnicheskiy universitet im. M.S. Osimi, Tadjikistan

The problem has exploring the concentration of stress-strain condition around the contour of the hole in terms of flat deformation. In accordance to expanding of using of anisotropic materials in different kind of technique, the important question is influences of anisotropic materials to concentration of stress.

KEY WORDS: numerical method, anisotropic plate, weakened mine, boundary integral equation, hole, stress function, characteristic equation.