Поперечный удар твердого тела по ортотропной пластинке с учетом распространения упругих волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

J

УДК 539.3

А. А. Локтев

ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКЕ С УЧЕТОМ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН

Решена задача поперечного удара твердого тела по ортотроп-ной пластинке, имеющей цилиндрическую анизотропию. Динамическое поведение пластинки описывается неклассическими уравнениями типа Уфлянда-Миндлина, в которые входят пять перемещений точек мишени. Волновые уравнения позволяют предположить, что продольные и поперечные волны, возникающие после контакта ударника и пластинки, распространяются с конечной скоростью и влияют на деформацию пластинки вне зоны контакта. Для определения перемещений и силы контакта в месте взаимодействия используются преобразование Лапласа и асимптотический метод разложения неизвестных величин в степенной ряд по малому параметру. Соотношение местного смятия и силы в месте контакта выражается при помощи модели Герца для твердого тела со сферическим ударником.

Результаты решения представлены в виде аналитических выражений и графических зависимостей. Исследовано влияние анизотропных свойств материала пластинки на динамический прогиб и контактную силу в месте взаимодействия.

E-mail: prtlokt@yandex.ru

Ключевые слова: ударное воздействие, пластинка Уфлянда-Миндлина,

цилиндрическая анизотропия, контактная сила.

Задачам ударного взаимодействия твердых тел и пластинок посвящено множество работ отечественных и зарубежных ученых [1-12]. Рассматривались классические [1-4] и волновые [2, 5-8] уравнения мишени, для описания контактного процесса использовались модель Герца [1, 2, 5, 9, 10], а также линейно упругая [3, 6], нелинейно упругая [7], вязкоупругая [8] модели. В качестве методов решения применялись асимптотические методы [2, 5-8], метод конечных элементов [11], преобразование Лапласа [8, 13]. Для определения искомых величин использовались разложения в лучевой ряд [5-8], в ряды по функциям Бесселя [2], полиномам Лежандра [13], ряды Фурье [10].

В перечисленных работах определены сила контакта в месте взаимодействия [1-13], динамический прогиб [2, 6, 9, 11, 12], выполнен сравнительный анализ динамических характеристик, полученных для классических и волновых уравнений мишени [2], проведен учет растяжения-сжатия срединной поверхности мишени [5], исследованы анизотропные свойства мишени при нормальном осесимметричном

ударе [6], предложено использование буфера для уменьшения силы взаимодействия в месте контакта ударника и реальной строительной конструкции [7], проведено сравнение различных вариаций лучевого метода с разложением экспоненциальной функции релаксации в степенной ряд и без него при вязкоупругом ударе [8].

Вместе с тем влияние волновых явлений, связанных с распространением волн растяжения-сжатия, поперечного и продольного сдвига при ударе, и анизотропных свойств мишени на динамические характеристики взаимодействия представляется недостаточно изученным.

В данной работе анализируется влияние анизотропных свойств материала мишени на динамические характеристики контакта при поперечном ударе сферического твердого тела по пластинке с учетом распространения в ней пяти волн (растяжения-сжатия, сдвига и кручения).

Постановка задачи. Рассматривается неосесимметричный удар твердого тела по круглой ортотропной пластинке толщиной к, обладающей цилиндрической анизотропией (рис. 1). Ударник при касании мишени имеет скорость У0, которая существенно меньше скоростей упругих волн в пластинке. Это позволяет пренебречь инерцией местного смятия в зоне контакта. Динамическое поведение пластинки описывается в системе цилиндрических координат твг. Координатные оси направлены по осям анизотропии материала, плоскость тв совмещена со срединной плоскостью пластинки.

Задача ударного взаимодействия подразделяется на задачу контакта двух тел и задачу определения перемещений точек соприкасающихся тел вне зоны контакта. Эти две задачи связаны посредством перемещений точек в зоне взаимодействия, которые определяются из

Рис. 1. Схема ударного взаимодействия шара и пластинки:

I — ударник; CA — область контакта; FLWR, FLW0 — фронт квазипродольной волны растяжения-сжатия по направлению осей r и в соответственно; FTRWez, FTRWRZ, FTRWR0 — фронт квазипоперечной волны сдвига в плоскостях вг, вг и гв соответственно; Rc — радиус области взаимодействия ударника и пластинки

1

функционального уравнения [1]

y (t) = Vot - mm f p (t1) (t -11) dti, /

где у (£) = а (£) + (£) — полное перемещение ударника; а(£) — местное смятие материала пластинки в месте контакта; — динамический прогиб пластинки в месте контакта; т — масса ударника; £ — время, отсчитываемое от момента касания ударником мишени; Р(¿1) — сила их взаимодействия; ¿1 — переменная интегрирования.

Для решения уравнения (1) необходимо выразить все неизвестные величины, входящие в него, через одну, в качестве которой обычно используется сила взаимодействия в месте контакта. Зависимость а(£) от Р(¿) определяется из решения контактной задачи, а зависимость от Р(¿) — из решения уравнений типа Уфлянда-Миндлина для ортотропной пластинки, обладающей цилиндрической анизотропией, учитывающих инерцию вращения поперечных сечений и деформацию поперечного сдвига и записанных в безразмерном виде [6]:

д 2р 1 др —- +---- +---

дг2 г дг r2 дв2

1 д2ip 1 С2 С2Gr + C3 д2ф

г2 ci 0\Г

дгдв

12c4 / дт c\ V дг

<Р =

С2 + Сз др С\г2 дв

д 2 р

дт2

+ M; (2)

c4 (д2w др\ c4 ci \ дг2 дг ) ^ V гдг

дт р -г

+ —

c± (

д 2w

дф

ci \ г2дв2 гдв J дт2

д2т

+ qi sin ai; (3)

д 2и 1 ди дг2 г дг

c3 д2и c2 и + —0 —---Ö +

+

c1г2 дв2 ci г2 c2Gr + c3 д2ь c2 + c3 дь

д2и

ci г

дгдв

ci г2 дв дт2

+ qi cos ai cos a2; (4)

c2 д2v + c3

c1г2 дв2 ci \дг2 гдг

д2ь 1 дь v + - ~---0

+

+ Ge + c3 д2и + c2 + c3 ди

д 2 v

c1г дгдв c1г2 дв дт2

+ qi cos ai sin a2; (5)

t

f

г

c3 f д2ф 1 дф ф \ c2 д2ф

Сг \дт2 тдт т2у Сгт2 дв2

+ а в + Сз д 2у + С2 + Сз ду + 12С5 /1 дм — Л _ - д2Ф (6) с1 т дтдв С\Т2 дв С\ \т дв ) дт2'

¿УСТ Ет и' и' V т'

где т _ ——; С\ _ —-—; и _ —; и _ —; V _ —; т _ —;

п (1 — ат ав) р п п п п

Ев Ств КСтг КСвг як

С2 _ Тл-\—; С3 _ -; С4 _ -; С5 _ -; °1 _ -;

(1 — аг ав) р р р р рСт

12дЛ1 еоэ аг 12Яг еоэ аг Л3 Л3

м _ —1- _ —г2—ог; _ то В; вв _ т^ вв;

рпС1 п2 12 12

п3

_ 12 Вк; Сг _ пВг; Св _ пВв; Си _ Ь,Ви; Бтв _ Бт ав + 2Би;

Ег Ев Вг _ --; Вв _ --; Вк _ Ств; Ег аг _ Ев ав; К _ 5/6; Б,

1 — ат ав 1 — ат ав

Бв и Ст, Св — соответственно жесткости изгиба и растяжения-сжатия

для направлений т, в; Бк — жесткость кручения; Ск — жесткость сдвига; Ет, Ев и ат, ав - модули упругости и коэффициенты Пуассона для направлений т, в; Стг, Свг - модули сдвига в плоскостях тг и вг соответственно; и(т, в) — нормальное перемещение срединной плоскости; и(т, в) и v(т, в) — тангенциальные перемещения срединной поверхности соответственно по осям т, в; у(т,в) и ф(т,в) — произвольные искомые функции координат т, в; р — плотность, Н — толщина пластинки; о — нагрузка; аг, а2 — углы направления удара в вертикальной и горизонтальной плоскостях соответственно (в данной работе они принимают значения п/2); Яг — радиус сферического ударника.

В уравнениях (2)-(6) через сг, с2, с3, с4, с5 обозначены квадраты скоростей, индексы 1, 2 соответствуют продольным волнам растяжения-сжатия, распространяющимся в направлениях т и в соответственно, индекс 3 соответствует волне сдвига продольных сечений в плоскости тв; индексы 4, 5 соответствуют поперечным волнам сдвига в плоскостях, перпендикулярных плоскостям тг, вг соответственно. Упругие волны образуются в пластинке после касания ударником мишени и распространяются от границ контактной области.

Метод решения. Для решения функционального уравнения (1) необходимо найти зависимость прогиба пластинки и силы взаимодействия в месте контакта, т.е. решить систему уравнений (2)-(6) относительно и .

Используем преобразование Лапласа по времени, заменив у, ф, и, и, V, ог и М на у, ф, и, и, V, (¡1 и М соответственно, и запишем уравнения (2)-(6) в виде

1 _ 1 _ 1 02 _ c2Gr + 03 -

ip,rr + - + р,ее--2 — р +--ф,ге -

г г2 г2 ci ciг

c2 + c3 - , 12c4 , _ _ о -

-— р,е +--(w—,r - р) = -рр + M (7)

ci г2 ci

c^ / _ 1 _ р 1 _ 1 - \ _2_. /ол

— w,rr - р,г + -w-,r---h w,ee--ф,е = wp + qi sin ai; (8)

ci г г г2 г

1 c3 c2 и-

u,rr + - и-,r +--2 и,ее---2+

г ci г2 ci г2

c2 Gr + c2 + _ 2 , - /m

+---re--— ve = ир + qi cos ai cos a2; (9)

ci г ci г2

c2 c3 1 v-

v , ee +--v , rr + - v ,r--Г +

,ee ,rr ,r

c1г2 ci \ г г2

Ge + c3 c2 + c3 2

- -ил n = ""2

ci г ci г2

e 3 2 3 2

+--u,re +--— и,е = vp + -i cos ai sin a2; (10)

Сэ ( 7 . 17 ф V С2 7 ( + Сэ _ ,

— фгг + - фг--- +--- ф,00 +--(р>гв+

С^ \ Г Г2 у С1Г2 С1Г

С2 + С3 _ 12С5 /1 _ Л 7 2

+--^ <7,0 +--- ф = -ф7^ , (11)

С1 Г2 С1 Г

где р — параметр преобразования; индексы г и 0, стоящие после запятой, обозначают частную производную по указанным переменным.

Из уравнения (11) выразим переменную г7 и подставим ее в выражения (7) и (8), в результате получим систему уравнений относительно

< и ф

Л (С1 70 + Сэ) сЛ 1_ Л (С2 + Сэ) сЛ , 1_

<Р,ттв 1--+ - <7,т0 1--+ ""2 <7,000 +

V С1С5 ) Г \ С1С5 ) Г2

, _ / о (С2 + Сэ) С4 С2 12сЛ

+ <7,0 Р +-2---2--+

\ С1С5 Г2 С1Г2 С1 )

1 7 ( С27т + Сэ С2СЛ 1 С2 + Сэ _ + ~ Ф,т00\-----2-<7,00 +

Г С1 С1 С5 Г2 С1

+ /12^ - р^ + / + ф\ -

V С1 С5 С1С5Г) V ' Г )

СэС4Г (27 П С2С4 7 пол

- ~ф,тт + Ф,ттт) +--2 ф,00 = мл00; (12)

С1С5 \Г / С1С5Г2

^ 2 C\Qe + Сз С4 + (С2 + Сз) сЛ f_ + <f£" +

уР 12c5 ci 12cic5r2 ) у_'гв r '

+ф,

+ф,

c4 i c3 - c2 p2c^ + p2c2 c1 \ 12c5r3 12c5r) 12c5r c4 / c3 ,p2c1r\ p2c3r ci \ - 12c5r - 12c5 ) + 12c5 ci А _ c3 _ 3p2cA + p2c3

+ +

_d \ 12c5r2 12c^ 12c

(c2 + c3) c4 f _ , _,ввв \ _/ c3 p2ciA / c4 1

2 2cic5r + +^r + ^ - T^J - pJ -

c2c4 _ c3c4 fr _ _ \ (cia0 + c2 + 2c3) c4 _

77;-ф,вввв - l ~;ф)тттт + ф,ттт--—-_,ттв —

12c1 c5r 3c1c5 V4 / 12c1c5r

(ciGe + c3) c4 f _

--+ r_;rrrej = qie sinab (13)

12стс5т v т

Решение системы уравнений (11), (12) будем искать в виде разложения в ряды по полиномам Лежандра [13]:

<_ = ^ ^ Ф 2n+m^2n+1 (cOS 2R) COS (шв) ; (14)

n=0 m=0 те те

ф = ^ ^ ф 2n+mP2n+1 ^COS COS (шв) ; (15)

n=0 m=0 те те

W = ^ W2n+mP2n+1 (COS 2R- J COS (шв) , (16)

2Л/

п=0 т=0

где Л — радиус пластинки.

Нагрузку о(£, т, в) от сосредоточенной силы взаимодействия в месте контакта Р (¿) также представим в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра [13]

/ N те те

Р (р) тг-^ / ПТг \ ( ПТ\

ог _ "Пв2^^( +3) р2п+1 (чСОй ^Ё) р2"+1 гОЙ 2я)СОЙ (тв),

с п=0 т=0

(17)

где т1 — координата точки в которой происходит динамический контакт.

Подставляя выражения (14) и (15) в уравнения (12), (13) и используя свойство ортогональности системы косинусов на отрезке [—п,п], получаем следующие уравнения:

— ш (1 — (-)- ) ^те ф2п+тР2п+1,\

V cic5 У ^

п=0

1 / ,р 2n+mP2n+i,r + + 2 7 . р2п+,шР2п+1

2

г \ cic5 у г2

4 ' n=0 n=0

( 2 , (°2 + c3) c4 c2 12сЛ ^

- dp +--2---2--У p2n+mP2n+1-

\ cicъг2 c1г2 ci ^

4 ' n=0

2 / \ OO 2 °°

m2 Zc2Gr + c3 m2 С2+Сэ^ p ,

7 , 'V2n+mP2n+1,r + 2 / р2п+шр2п+1 +

V ci ciQsJ^ г2 ci ^

4 7 n=0 n=0

/12^^ г pp2 г c^. c3 c^ f 1 \

+----1--/ ф2n+mP2n+1,r +--/ ф2n+mP2n+1 -

V c1 С5 С1С5г) \n=0 г n=o )

с3с4г l 2

, / Ф2п+шР2п+1,гг Ф2п+ш P2n+1,rrr +

cic5 \ г ^ ^ I

n=0 n=0

oo

+

2У уф2n+mP2n+1 = 2

c1c5г2 n=0

_ m 12R1cos aiP (p) V u„ + 3) P fcos пгЛ P ;

= -m-h2-^Rftl^ (4n + 3) P2n+1 Vcos 2R) P2n+1;

h2 nR2 ^ 2 \ 2R)

n= (18)

2 ciGe + c3 С4 + (c2 + c3) c4' ^

12c5 c1 12с1с5г2

oo oo

m

x I — m

m2

n=0 n=0

С4 i c3 - c2 p2ci\ + p2c2

"У^^ p2n+mP2n+1,r--г р2п+гпР2п+1 J -

oo

^^ Ф2п+гп P2n+1 +

+

+

c^ V 12С5Г3 12с5г/ 12С5Г

n=0

/ 2 \ 2 1 O

f c3 p2ciЛ , p2c3г sr^ , p

v - üöT - T^J +Т2С5 ^ ф2n+mP2n+1,rr+

n=0 oo

^у ] ф2п+шр2п+1,г -

С4 С3 _ 3p2сЛ + p2c3

сД 12с5г2 12с5 12с

n=0

(c2 + С3) С4 ( 2 ^ , р . m3 V"4 Р 1 I

—12- I -m 2_^Ф 2n+m P2n+1,rr +--2 ¿-^ р 2n+mp2n+1 +

С1°5г \ n=0 г n=0

. ( . С3 ¿СЛ / С4 1 Л ^ . р

+ ^ - l^j ^ - Ф 2n+mP2n+1-

4 о

c2c4m4

- — / ф2n+mP2n+1-

12с105г ^

n=0

те

C3C4 I r

--1 _ ^ ^2n+mP2n+i,rrrr + ^ ] Ф2n+mP2n+i,'..... 1 —

3cic5 \ 4

1 5 v n=0 n=0

(cia0 + сз) C4 m3 ^ ^ \

ГГ > / ^2n+mP2n+1,r + mr 7 Ф 2n+mP2n+i,rrr +

12CiC5 r I r ^ ^ /

n=0 n=0

(d^ + C2 + 2сз) C4m ^л _

+ 12 / J^ 2n+mP2n+i,rr —

12cic5r

= -msinai—Rp^ (4n + 3) P2n+i (cos — J P2n+i.

c n=0

Для решения системы уравнений (18) представим неизвестные величины в виде

001 12233

^2n+rn = ^2n+m£ + ^2n+m£ + ф2n+m£ + ф2n+m£ ;

2 0 1 1 2 2 2 3 (19)

^2n+rn = Ф'Оп+m£ + Ф2п+ш£ + ф2n+m£ + фЗп+г£ ,

где £ = p 2.

Подставляя соотношения (19) в уравнения (18), используя выражения для упрощения отношений полиномов Лежандра [14] и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях £, получаем набор систем уравнений относительно Ф%2п+гп и ф2п+ш, в которых индекс i соответствует показателю степени £.

Решая системы линейных алгебраических уравнений, начиная со старшей степени £, получаем следующие соотношения:

' c1 R1 cos a1

n=0

те

C4 A3 Ps> '

Ä+m — P (P) Ps, ^n+m — P (P) (

l2 Л гл B3 ^ \ P (p) Ri cos ai Ci „ C+m — P (P) Ps У1 + Di ^ A3 - D2) - "^3-"Di;

B 3

^2n+m — P (p) A3 Ps

D3

-2 - A3 + D2

+

+ P (p) Ri cos a i Ci Л + D3 + A3 C4 V+ AV

P(p)^(A3 - A3Ri cos ai) - Ä+m(A3A2 - A3A2)-

C4

ihl 2n+m

- ^2+im(AiB2 - A2B2) - mBi

^2n+rn a 3

P (p) R1 cos a1 C1

(B3Ai - B3A3);

(20)

A31 C4

B3 ^ P (P) (A3 - A3Ri cos ai) -

A3 (B3A3 - B3A3)

C4 A3

где

р12а+т[ A1A2 A3A1 + )

-Ф2+п1т( AB - A3B2 + B3) - Ф2+1тА3в1

B2

A1

_ c1 A\ - A33R1 cos a1

Ps -

c4

B3A1 - B3A3

3 c1 c1 Ge + c3 Ai = - m (---

1 c4 c5

3

m3 c1 + —- -

г3 c4

P

2n+1,rr P2n+1

С2 + С3 С5г2

m г

c2

01 С4

c2 + P2n+1,r

с4г

c5

P

2n+1

m2 c2 + c3

- 12 ) m + —--;

г2 c4

A3 = A2 =

1+

С2 + С3 12с5г2

p

2n+1,r

+ I - +

г

c1 Ge + c2 + 2c3 P2n+1,rr

+--—-m-

m~

P2n+1

С2 + С3 12с5г2

P2:

c1Ge + c3 P2n+1,rrr ,

m +--—-m—---+

12c5

P2

12с5г

P

2n+1

c1Ge + c3 3 P2n+1,r

m3

2n+1

12с5г2

P

2n+1

С2 + С3 3 12с5г3m '

2

f

1

B13 =

P

2n+1,r

P

2n+1

m

c^+C3--сЛ - i 12г + сЛ

С4 С5) \ С5г)

+

2

С2 m2 ло , c3

2 12 +--2

c5 г2 с5г2

2c3 P2n+1,rr

С5 P

2n+1

+

с3г P2n+1,rrr c5 P2n+1

т-,3 P2n+1,r B2 =

P

2n+1

2

C2Gr + С3 - С2\ - f +

C4 C5J V С5г

+

C2m2 ло, c3

2 12 +--2

с5г2 с5г2

, 2c3 P2n+1 ,rr

C5 P

2n+1

+

с3г P2n+1,rrr c5 P2n+1

A2 = A2 =

c1

12c5c4

m

c2 + c3

+ c1 Ge + c3

2 c1 A1 =--m;

1 c4

B22

ci {1 2 , с1г

- 1--m +--

12с5г у с4! 12с5

-1 + °3

c4

Р2

2n+1,rr

Р2

2n+1

+

Ci 12 С5

-3 + °3

Р

2n+1,r

С4 Р2

+

2n+1

- 01 г + 12с5г с4 у 12с5г

г

в2 =

c1r P2

2п+1,т

c5 P

--3; B3 =

2n+1

Di =

A3A2 _ A3 a2 a1a2 a2a1

ВЩ—ВЩ ;

c5

D2 =

r (ci)2; 12c4c5

AjB2 - A2B2 BfA? - B3A2;

D3 = -A? + B3Di; i = 0,1.

Выражения (20) вычисляются для определенной точки мишени, в которой необходимо рассчитать характеристики динамического взаимодействия, т.е. величина т принимает числовое значение. После определения величин <ф и ф из уравнения (11) найдем выражение для прогиба пластинки

W (p) = P (p) Ps KiB3

K0B3

" А?

+ N0 + M0 +

c3 (K0 + S0) Л? cos a3

c4

A?PS

+

+

c? (K3 + C13D1) COS an 2

+ N1 + Mi + -1-1 p-2+

c4

A?PS

+

DiC3B3

" A3

fD2C13+C12-C13+

2 ^3 , ci c3diri cos a?

c4

A31P

p-4-C3p

3„-6

(21)

где

3

C3 =

c3

12c5m

12c5r 1

--1---r

c3 r

P2n+1 ,тт + 1 P2n+1 ,т

P2

2n+1

r P2

2n+1

C2 =

c1r 12c5 m'

K0 = DiD3C3 (D3 - D2) -

DiC3 ((D2)2 - D4D1)

A3

B3C33Di

B23 A3 - B3A2

+ DiC2( D2 - D3

N0 =

+

D4D iC3 (D3 - D2) D4D2D 1C3 в? c3 (b3d 1 - D2)

(A3)2

(D2)3 c3

A3

— в3 D2c3 —

A3

D4D 1С2

+

B3A3 - в 3A2

B2A3C2

+ (D2)2 c2 -

B3A3 - в3A2'

M0 = -c3 -

B3D 1С3 (D3 - D2) , D iB 3 (C2 - C3)

32

(A3 )

+ (1 - D2)

D2C3

A3

+

+ C2 +

A3

B3 C3

B3A3 - B3A2

+

D4D 1C3

S0 = D 1 (C3 - C2) + C3D 1 (D - D 1 I; Ki = C3D i (D3 - D^ - C2D i;

N = D4D iC33 C3 (D )2 + B2C1 D C2;

Ni = A3 - C (D2) + B3A 3 - B3A2 - D2C2;

B3

Mi = -C3 + C2 - Ad iC3 + D2C3; D4 = -b2 + B3D2.

После применения обратного преобразования Лапласа получаем выражение для динамического прогиба как функции времени и двух перемещений:

т) =

(1 /е £ (4n+3)P (т, )P„+1 (cos % lx

c 0 n=0 m=0

X P2n+1 ( cos — ) cos(mi

+

Фо^(т) + Ф i (т - т,) + Ф2(т - т,)3 С3(т - т,)

6 120

¿ть (22)

где

ф„ _ - ^ + N„ + Mo + ^ (K„ + ^ 'C0S a 1 ;

ф 1 = -KiB + N + Mi + (K + c0sa 1;

c( A 1 is

ф_ D 1C1B 1 + 1 + C _1 + c 1 1R 1 cos a 1

ф2 _ A + D2Cl + C - Cl + C( Afp •

Поскольку начальная скорость удара невелика, для определения зависимости местного смятия и контактной силы, входящих в уравнение (1), воспользуемся известным соотношением для модели Герца [1-3]

a _ bP2/1, (23)

где b _ ((9n2(k1 + k)2)/l6R)Vl; ^ _ (1 - ^/.ВД k _ (1 - a2)/.; a1, E1 — коэффициент Пуассона и модуль упругости для ударника соответственно.

После подстановки выражений для прогиба мишени (22) в заданной точке, т.е. при фиксированных значениях координат r, 0, и

местного смятия (23) в уравнение (1), получим нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно контактной силы, которое можно решить, используя итерационную схему [13]

т 2

T = тг, вг = s— + V—т + y— —,

(1 ) h °° °° i w=( - ir) V V V(4n + 3) Pj ((г- j) T )P2n+A cos —^ I x

nR2cEr ^^^ ' ' J/2RJ

c n=0 m=0 j=1

X Pcn+l[ COS 2nR ) cos(mi

+ Ф1((г - j)t) +

Фо^((г - j)t) + Фс((г - j))3 C?((i - j)T)5

6 120

р

а = 8г - рг = (а/Ь)3/2; уг =--1; V = Уг-1 + угт.

т

Результаты численного исследования. Воспользуемся полученными соотношениями и построим графические зависимости динамического прогиба и контактной силы в месте взаимодействия от времени падения ударника по нормали к поверхности при различных значениях модулей упругости и сдвига.

Параметры ударного взаимодействия ударника и пластинки заданы следующими: т = 0,3 кг, Н = 100мм, У0 = 10 м/с, р = 7850 кг/м3.

На рис. 2-5 приведены зависимости безразмерной контактной силы в месте взаимодействия и динамического прогиба мишени от времени для различных значений модулей упругости и сдвига. На рис. 2, 4 у кривых цифрами указаны в ГПа значения соответственно Ег и Ев, модули сдвига Сгв = Сгг = Овг = 70 ГПа. На рис. 3, 5 указаны в ГПа значения Огв, Огг, Овг соответственно.

Из рис. 2 видно, что на максимальную контактную силу и время взаимодействия ударника и мишени большее влияние оказывает модуль упругости Ег, а изменение Ев незначительно уменьшает указанные характеристики.

Как следует из рис. 3, модули сдвига оказывают на контактную силу в месте взаимодействия меньшее влияние, чем модули упругости. Вместе с тем Овг влияет на контактную силу больше, чем Сгв и Сгг. При уменьшении Овг в несколько раз контактная сила увеличивается на 8 %, а время взаимодействия увеличивается в 2-3 раза. При уменьшении модуля сдвига в плоскости мишени контактная сила уменьшается, величина Огв может существенно влиять на продолжительность контакта и максимальное значение силы взаимодействия при ударе.

1.0

0.5

200-2 )0 )-100 0-200

^200-10

(-200 \ ^•100-100

10 15 20 txlO

Рис. 2. Зависимость контактной силы от времени для различных значений Ег и Ев (цифры у кривых)

1.0

0.5

^.70-70 70 -70-30 70-70-7

,70-7-70 7-70-70

0 5 10 15 20 тхЮ

Рис. 3. Зависимость контактной силы от времени для различных значений Сгв, , (цифры у кривых)

На рис. 4 видно, что при уменьшении модулей упругости Ег и Ев максимальное значение динамического прогиба увеличивается, причем Ег оказывает более заметное влияние на прогиб.

При уменьшении значений модулей сдвига прогиб увеличивается, причем, как следует из рис. 5, больше остальных характеристик влияет на динамический прогиб мишени. При уменьшении Огг, максимальный прогиб и время, при котором прогиб будет равен нулю, увеличиваются пропорционально, а при уменьшении Огв время, соответствующее нулевому прогибу, увеличивается интенсивнее, т.е. мишень дольше будет находиться в деформированном состоянии.

Заключение. Полученные графические зависимости позволяют сделать выводы о том, что на динамический прогиб и контактную

200-10 Л 0-200 \ .100- 100 100-200

2 XMOO^^N 200-200

О 15 30 45 60 txlO4

Рис. 4. Зависимость прогиба мишени от времени для различных значений Ег и Ее (цифры у кривых)

»хю2

7-70-70' 70-70-7 Л0-10- Ю

70 -7-70 ^ ^ 70-70-70

о 15 30 45 60 тхЮ4

Рис. 5. Зависимость прогиба мишени от времени для различных значений Gre, Grz, Gez (цифры у кривых)

силу в месте ударного взаимодействия большее влияние оказывает модуль упругости в радиальном направлении и модуль сдвига в тангенциальной плоскости. При увеличении Er контактная сила увеличивается, прогиб уменьшается, а при увеличении Gez эти характеристики взаимодействия тел уменьшаются. Также можно отметить, что уменьшение модуля сдвига в плоскости пластинки приводит к уменьшению контактной силы и времени взаимодействия, а также к увеличению динамического прогиба.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Timoshenko S. P. Zur Frage nach der Wirkung eines Strosse anf einer Balken // Zeitschrift fur mathematische Physik. - 1914. - Vol. 62. - P. 198-209.

2. Филиппов А. П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите // Механика твердого тела. - 1971. - № 6. - С. 102-109.

3. Conway H. D. Impact of an indenter on a large plate / H.D. Conway, H.C. Lee // Transactions of the ASME. J. of Applied Mechanics. - 1970. - Vol. 37. No. 1. -P. 234-235.

4. Phillips J. W., C a l v i t H. H. Impact of a rigid sphere on a viscoelastic plate // Transaction of the ASME, J. of Applied Mechanics. - 1967. - Vol. 34. - No. 4. -P. 873-878.

5. РоссихинЮ. А., ШитиковаМ. В. Удар упругого шара по балке Тимошенко и пластинке Уфлянда-Миндлина с учетом растяжения срединной поверхности // Изв. вузов. Строительство. - 1996. - № 6 - С. 28-34.

6. Л о к т е в А. А. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой ортотропной пластинки // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. -T. 11. - № 4. - С. 478-492.

7. Р о с с и х и н Ю. А., Ш и т и к о в а М. В., Локтев А. А. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия // Изв. вузов. Строительство. - 2004. - № 11. - С. 16-22.

8. Л о к т е в А. А. Удар вязкоупругого тела по упругой изотропной пластинке // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2007. - T. 13. - № 3. -C. 170-178.

9. C h e n P., X i o n g J., S h e n Z. Thickness effect on the contact behavior of a composite laminate indented by a rigid sphere // Mechanics of Materials. - 2008. -V. 40. - P. 183-194.

10. M a l e k z a d e h K., K h a l i l i M. R., M i 11 a l R. K. Response of composite sandwich panels with transversely flexible core to low-velocity transverse impact: A new dynamic model // Int. J. of Impact Engineering. - 2007. - V. 34. - P. 522-543.

11. C h o i I. H., L i m C. H. Low-velocity impact analysis of composite laminates using linearized contact law // Composite Structures. - 2004. - V. 66. - P. 125-132.

12. Динамика удара: Пер. с англ. / Зукас Д.А. и др. - М.: Мир, 1985. - 296 с.

13. Бирюков Д. Г., Кадомцев И. Г. Динамический упругопластический контакт ударника и сферической оболочки // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - Т. 43. - № 5. - C. 171-175.

14. НикабадзеМ.У Вариант системы уравнений теории тонких тел // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика и механика. - 2006. - № 1. - С. 30-35.

Статья поступила в редакцию 11.03.2010

Алексей Алексеевич Локтев в 2001г. окончил Воронежский государственный архитектурно-строительный университет. Канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий кафедрой Московской финансово-юридической академии. Автор 59 научных работ в области механики контактного взаимодействия, теории упругости, волновых процессов в телах, математического моделирования в механике и информационных технологиях.

А.А. Loktev graduated from the Voronezh State University for Architecture and Civil Engineering in 2001. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor, head of department of the Moscow Academy of Finance and Law. Author of 59 publications in the field of mechanics of contact interaction, theory of elasticity, wave processes in solids, mathematical simulation in mechanics and information technologies.