Продольные колебания неоднородных пластинок, состоящих из большого числа колец Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.121.1

М. II. Гофман

ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИНОК, СОСТОЯЩИХ ИЗ БОЛЬШОГО ЧИСЛА КОЛЕЦ

На основе приближенного метода [ \ ] исследования установившихся колебаний многосвязных тел приводится решение задачи об установившихся колебаниях неоднородных составных пластинок. Для однородных пластинок аналогичные исследования приведены в [ 2 ].

Рассмотрим составную пластинку, поперечное сечение которой состоит

из колец ограниченных окружностями радиусов (т = 0. /с).

Области Я: изготовлены из различных материалов, модули сдвига (7 и

коэффициенты Пуассона v которых зависят от координат: G = G0(g{z,z), v= v(z,z) i G0 - некоторая константа/. Они спаяны или

склеены по соответствующим поверхностям без предварительного нагяга. Пластина нагружена по внешнему и внутреннему контурам нагрузкой интенсивности Р , пульсирующей с частотой со.

В случае установившихся колебании, как и в статическом случае [ 3 },

задача сводится к отысканию в каждой из областей функций ui (z, z) = uj +l) (

удовлетворяющих уравнениям

oz\ X~]

(ди ди

— + _

v dz

dz

д ( ди pco "u + dz) 4

( 1)

здесь х ~ О - )/( ) + V ) - в случае плоского напряженного состояния, % ~ 3 - 4 V - в случае плоской деформации и,\' - компоненты вектора перемещении, р -плотность материала. В этом уравнении и в дальнейшем индекс /, обозначающий принадлежность к области , опускается и используется лишь при необходимости.

Для решения уравнения ( I ) применим метод последовательных приближений и перепишем его так:

л- д1 и, 1 дгиг рк>2

х-\ dzdz х-\ dz~

4 G

(2)

Здесь

Jt Gdz

i — U'-

ди r ди

dz dz

" Л 1 dG dur

+ ~ ——» r> 0, 0.

G dz dz

Решение этих уравнений будем искать в виде [ I ]

(3)

где 8 = рсо 2Н2 / 4С0 - безразмерный малый параметр, Я - характерный размер

области.

Подставив разложение ( 4 ) в уравнение ( 2 ) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра г , получим

д- и

гО 1 * иг0 _ ,

—2 — * г-1'

х-\ д2дг х-\ Ы'

д2 г/.

1 ^

ГШ-1

_—=-----/?г>0.

х-1 дгдг х-\ дг" Н*

(5)

(6)

Решения этих уравнений имеют вид

Л.) [Я^^-Я^^-

(7)

(8)

где фДг), и/г- комплексные потенциалы, подлежащие определению

извесшыми методами [ 4 ]. [ 5 ].

Рассмотрим случай, когда модуль сдвига зависит от координат следующим образом:

(9)

где пил - произвольные постоянные.

В случае осесимметричной задачи решение в нулевом приближении получено аналогично [ 2 ] и имеет вид

(10

Здесь

22 ____г

8 [хг)

т-0

т

!(т-1)!

( П )

Зт = +1/т- т>0- А« = 0' С-е(1-х)/Н2(х + 1).

А0 и ¿0 - коэффициенты разложений комплексных потенциалов фДг) и Ц/^Д^),

подлежащие определению.

В первом приближении решение уравнения ( 2 ) с учетом формул ( 4 ) -( 8 ) может быть представлено в виде

м, ^{чЛ + ^В + О)!. ( 12)

Здесь А и В даются формулами ( 11 ), и Ь{ - коэффициенты разложений комплексных потенциалов ф,(г) и \|/, (г)

-Л / Г 2 т

+Ь0е£

к=о

(£22) " (822) ( 2 ,, _ . . . Л

т

(е z z)

----- (|п22-^14к+т - ¿1+к+ш ! +

.'т+п-1 .1т-гп-2/ , \Jiii

х -1 т

( 13)

г де

к (14)

Аналогично ищется решение задачи и в последующих приближениях.

Коэффициенты а/ , ЬГ'] (л' - О, I...../ - 1, А") найдем из условии на

контурах контакта, а также на внешнем и внутреннем контурах. В первом

приближении система уравнений для определения п Щ'' получается

такой.

<2кк +окк = о,

а[л3им + Оц.} - а\

] = Г/Г-Г

Здесь

'Лт

(л!)'

<},„, -е.] +|1 - У г" -

(А. о.:)" Ц.

ХГ1 п ]]

. ъ2 2 и~] ЬЯо» ------7 +----

И.,-! п ,

Выражения для О}1 и О ир не выписаны ввиду их громоздкости. Таким

образом, в каждом приближении имеем систему линейных алгебраических сравнений для определения коэффициентов разложения комплексных потенциалов.

Численное исследование проведено для пластинки, состоящей из пяти круговых областей. Материал областей - медь ((У0 =0,4- 105 МП а,

V - 0,33 . р = 8.9 ■ Ш3 кг/м') , материал областей 5,, , Л5 - сталь 10, = 0.8 Ю* МПа, V = 0,25. р = 7.К ■ кг/м3 ). Радиусы контуров равны

/<,///-!: Л,/^,=0,9; Л,//^,=0,8; /Д, = 0:7; ^ I Я, = 0,6; ^/'^-0,5. Постоянная а принята равней 0,25 для обеих областей, а п может меняться. К внешнему контуру Ц, приложена равномерно распределенная нормальная нагрузка а внутренний контур свободен от нагружения.

Р*

гш

мое

бООО и), с~

Рис.1, Зависимость максимальной удельной энергии деформаций от частоты нагружения

На рис.! показано распределение удельной потенциальной энергии в долях Р212Е} (Е{ - модуль продольной упругости области ), возникающей в точках внулреннего контура в зависимости от частоты колебаний со . Константа п~ 3. Сплошной линией показано решение для однородной пластинки. а штриховой - первое приближение для неоднородной. В обоих случаях наблюдается резкое увеличение удельной энергии, соответстующее явлению резонанса. Резонанс неоднородной пластинки происходит при большем значении <о по сравнению с аналогичной однородной пластинкой.

Рис.2. Зависимость максимальной удельной энергии деформаций от характеристики неоднородности материала.

На рис.2 приведен график зависимостей максимальной удельной энергии Ц/тах2Е1 / Р2 от постоянной п, характеризующей неоднородность материала пластинки при ы = 4000 с '. Для составной неоднородной пластинки наблюдается уменьшение / Р" с >твеличением п.

Библиографический список

J. К > > с ми 0 а. м ¡а и с i> к и й О.С. Цикл! чш кояивання багатозв'язкових ты .//Bich. ДМ У PC Р. 1988. JVq 4. С. 12 -26.

2. Гофман М.Н., Ко с ми оамиански й A.C., Кравцов A.M. Продольные колебания составной изоэнтропной пластинки.//Теорет. и прикл.механика. К., Донецк: 19Я9. Ьып.20. С.63 -67.

3. Мишику М., Теооосиу К. Решение при помощи теории функций комплексного переменного статической плоской задачи теории упругости для неоднородных изоэнтропных тел У/ Прикл.матем. и механика. 1966. Т. 30, вып.2. 0.379 - 387.

4. Мусхелишвти //.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 707 с.

5. Космодамианскии A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. К., 1975, 228 с.