Условия возбуждения и установления синусоидальных автоколебаний в RC-генераторах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.374

УСЛОВИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ И УСТАНОВЛЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ В RC-ГЕНЕРАТОРАХ

Ю.К. Рыбин

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

В литературе по электронике при рассмотрении вопросов возбуждения и установления синусоидальных автоколебаний в RC-ге-нераторах допускаются неточности и явно ошибочные утверждения. В частности, условиями возбуждения синусоидальных колебаний называют условия выполнения в схеме баланса амплитуд и баланса фаз. Некорректность этих утверждений обусловлена тем, что в некоторых схемах при выполнении названных условий синусоидальные автоколебания всё-таки не возбуждаются. Предлагается условия возбуждения и установления амплитуды автоколебаний формулировать в терминах нулей характеристического уравнения колебательной системы генератора.

Введение

В теории нелинейных колебаний вопросы возбуждения автоколебаний изучены достаточно подробно [1, 2]. Но, тем не менее, в литературе по радиотехнике и электронике при рассмотрении вопросов возбуждения и установления синусоидальных автоколебаний в RC-генераторах допускаются некорректные (с точки зрения автора) высказывания, неточности и явно ошибочные утверждения, которые приводят к непониманию и недоразумениям. Плохо то, что многие из этих утверждений вошли в учебники и учебные пособия, по которым учатся будущие инженеры. Так, в курсе лекций [3] условиями возбуждения (возникновения) синусоидальных колебаний названы условия выполнения в схеме баланса амплитуд и баланса фаз. Эти же условия в учебном пособии [4] названы условиями самовозбуждения. Напомним, что условие баланса амплитуд означает равенство единице петлевого усиления (коэффициента передачи по петле обратной связи), а условие баланса фаз - равенство фазового сдвига нулю или 2ип на частоте генерации. Некорректность этих утверждений обусловлена несколькими причинами.

1. При точном выполнении этих условий колебания имеют постоянную амплитуду и частоту, т.е. они уже существуют. В линейной системе амплитуда колебаний определяется начальными условиями, а в нелинейной - не зависит от начальных условий и определяется нелинейными элементами. Частота колебаний задаётся - параметрами частотно-зависимой цепи.

2. Коэффициент передачи по петле обратной связи можно определить лишь в тех случаях, когда элементы петли (усилитель и частотно-зависимая цепь) сами работоспособны и устойчивы при размыкании петли (на этом внимание не акцентируется, хотя во многих случаях его определить невозможно и само понятие - коэффициент усиления - утрачивает всякий смысл).

3. Анализ некоторых схем показывает, что при выполнении названных условий синусоидальных автоколебаний нет (т.е. эти условия ещё не га-

рантируют возбуждение и установление синусоидальных колебаний). 4. Точное выполнение баланса амплитуд и баланса фаз без указания зависимости коэффициента передачи по петле от напряжения не гарантирует и стационарного режима.

Если первая причина связана лишь с неточной фразеологией, то вторая, третья и четвёртая имеют принципиальное значение. Ниже показано, что условий баланса амплитуд и баланса фаз в генераторе для корректного объяснения причин возбуждения и установления стационарного режима автоколебаний в общем случае недостаточно.

Постановка задачи исследований

В работе генератора при формировании периодических колебаний можно выделить несколько режимов:

- возбуждение и нарастание колебаний (переходный режим);

- установление периодических колебаний, их формы, амплитуды и частоты (стационарный режим);

- переключение частоты и амплитуды,

- синхронизация автоколебаний.

Этап возбуждения колебаний возникает при включении напряжения питания и сопровождается возникновением и нарастанием их амплитуды. Этот этап обычно кратковременный и соответствуют нестационарному (переходному) режиму работы генератора. После переходного режима устанавливаются периодические колебания, которые соответствуют основному режиму генератора - режиму стационарных автоколебаний. В этом режиме генератор работает продолжительное время. Именно для этого режима чаще оговариваются основные параметры генерируемых колебаний. Целью исследований в данной работе являются эти два режима.

Колебательная система генератора выполняется с применением элементов, определяющих частоту колебаний, поддерживающих незатухающие колебания и ограничивающих их амплитуду 1.

Конечно, такое разделение функций условное и годится только для колебательных систем, порождающих синусоидальные колебания.

"1

"г

НЭ 1 ЛЧЗЭ 1 АЭ

— Р("э) У > К

ЛЧЗЭ

\ "1

АЭ

Н

<8>-

нэ Р("г)

"г

ЛЧЗЭ У

"1

АНЭ

.Кос

IК | • | 8(и)|= 1,

агё( К -5(и)) = % + у5 = 0.

(3)

Рис. 1. Обобщенные блок-схемы колебательных систем генераторов

Приняв в качестве модели элементов направленные звенья, имеющие вход и выход, и реализовав для упрощения перечисленные функции в отдельных элементах, линейном частотно-зависимом (ЛЧЗЭ), активном элементах (АЭ) и нелинейном (НЭ), из трёх элементов, можно получить две топологически неизоморфные структуры: с последовательным и последовательно-параллельным их включением.

Блок-схемы колебательных систем генераторов, представлены на рис. 1, а и 1, б. Все три элемента в каждой колебательной системе принципиально необходимы для возбуждения и установления автоколебаний. ЛЧЗЭ определяет частоту колебаний, АЭ - компенсирует потери энергии в элементах, а НЭ - задаёт амплитуду колебаний. Часто функции элементов объединяют, например, функции задания частоты и компенсации потерь объединяют в активном частотно зависимом элементе (АЧЗЭ), или функции компенсации потерь и ограничения амплитуды реализуют в активном нелинейном элементе (АНЭ), поэтому обе структуры несложно свести к одной, например, показанной на рис. 1, в, в которой объединены АЭ и НЭ. Каждая из блок-схем представляет автономную (не нуждающуюся во внешнем воздействии) колебательную систему, которая при определённых условиях порождает периодические автоколебания заданной формы, амплитуды и частоты. Условия наличия автоколебаний для этих схем известны в виде уравнений в комплексной форме

1 = Е-у в (и) = К-5 (и), где 5 (и) = Г в (и) (1)

- для схемы на рис.1, а или

1 = (в (и) + г) • К = К • 5 (и) , где 5 (и) = в (и) + у (2)

- для схемы на рис. 1, б, соответственно.

В обоих случаях уравнения распадаются на два других, которые называются уравнениями баланса амплитуд и баланса фаз:

Первое уравнение, как известно, позволяет определить амплитуду, а второе - частоту автоколебаний в стационарном режиме.

Как уже отмечено выше, уравнения типа (1, 2 и 3) в учебной литературе называют условиями возникновения колебаний, хотя из них не следует никаких условий, указывающих на возникновение колебаний и их нарастание. Они не дают представления ни о форме колебаний, ни о характере их изменения при возникновении и нарастании, ни о том, какими они должны быть на частотах, отличных от частоты генерации. Кроме того, как будет показано ниже, они являются необходимыми, но не достаточными условиями наличия автоколебаний, и справедливы только в тех случаях, когда удаётся определить К, у и Д Эти уравнения позволяют найти только параметры стационарного режима: его амплитуду и частоту, но при этом не гарантируют его устойчивость. Поэтому далее проводится конструктивная критика этих условий и предлагается определение условий возбуждения колебаний проводить на основе нулей характеристического уравнения колебательной системы.

Обсуждение результатов

Проведём исследование процессов в колебательных системах RC-генераторов на операционных усилителях (ОУ), т.к. при их рассмотрении наиболее часто допускаются ошибки. Автоколебательные системы RC-генераторов на одном усилителе обычно выполняют по структуре, представленной на рис. 1, б.

ЛЧЗЭ

У

"1

и;

НЭ 1

Р№)

а) 6)

Рис. 2. Блок-схемы колебательных систем генераторов на ОУ

На рис. 2 показаны блок-схемы автоколебательных систем с ОУ в качестве активного элемента. Они содержат операционный усилитель, линейную частотно-зависимую цепь с коэффициентом передачи у и нелинейную цепь частотно-независимой обратной связи с коэффициентом передачи в№), включающую нелинейный элемент (НЭ). Схемы на рис. 2, а и 2, б отличаются тем, что в них у ОУ использованы оба входа (инвертирующий и неинвер-тирующий), причём ЛЧЗЭ включен в первой - на неинвертирующий вход, а НЭ - на инвертирующий вход ОУ, а во второй - наоборот. В схеме на рис. 2, в использован ОУ с одним из входов.

а)

Определим условия, при которых в этих схемах имеют место стационарные автоколебания синусоидальной формы методом комплексных амплитуд. Запишем линеаризованные уравнения для схемы на рис. 2, а, предполагая, наличие слабой нелинейности, которую можно в первом приближении не учитывать:

U2 = (U[ - Ü[) ■ К и U[ = U2 -у, Uf = U2 -ß.

Исключая напряжения, получим

[ = (Y-ß) ■ к.

(4)

Формула (4) отличается от (2) знаком перед в, который появился в результате учёта инверсии сигнала в ОУ.

Для схемы на рис. 2,6и рис. 2, в получим условия 1 = (в-у)-Ки 1 = (в + у)-К. При значениях коэффициента усиления ОУ |Щ >>1, имеем

(5)

- 7 = в - для схем на рис. 2, а и 2, б или

- У = - в - для схемы на рис. 2. в. Уравнения (5) можно назвать уравнениями баланса обратных связей колебательной системы генератора. Из этих уравнений следуют условия:

У 1 = I ß I, Ф7 = ФР, У | =1 ß |, фг = фр ±п

(6)

Y |= ß, q>y = 0, 2п,...

Y 1= в, фу = п, 3п,...

(7)

лением коэффициента усиления усилителя, если он неустойчив при размыкании колебательной системы. Их можно применить и к колебательной системе на рис. 2, а и к системе на рис. 2, б. Дело в том, что применение условий (3) требует знания К*. Но, например, в системе на рис. 2, б обратная связь через цепь в положительная, и ОУ с такой связью вне колебательной системы превращается в пороговое устройство типа триггера, т.е. это уже не усилитель, и определить его коэффициент усиления экспериментально невозможно. Размыкание контура обратных связей в другом месте также может быть связано с неустойчивостью или изменением режима работы усилителя. Следовательно, условия (3) к данной системе применить трудно.

Хотя уравнения (5), также как и уравнения баланса амплитуд и баланса фаз, не объясняют возникновение колебаний, не определяют их форму, но они полезны для синтеза схем новых колебательных систем генераторов. Одинаковое изменение левой и правой части равенства позволяет создать новые схемы. Если, например, в правой и левой части уравнения (5) поменять знак, прибавить или вычесть любое число, например, единицу, то получается равенство

1 - у = 1 = ß или ух = ßi,

(8)

Уравнения (6) устанавливают равенство модулей коэффициентов передач и соотношения фазовых сдвигов цепей у и в на частоте генерации. Их можно назвать уравнениями баланса коэффициентов передач и баланса фаз цепей обратных связей. Они указывают на то, что, на частоте генерации модули коэффициентов передач ЛЧЗЭ и НЭ должны быть равны, а их фазовые сдвиги равны или отличаться на я, т.е. указывают на практическое равенство напряжений на их выходах и близость к нулю их разности. При выполнении условий (6) колебательная система из ЛЧЗЭ, НЭ и ОУ на частоте генерации представляет собой самобалансирующуюся систему. Очевидно, что на других частотах этот баланс должен нарушаться. Отсюда следует, что совместная амплитудно-частотная характеристика ЛЧЗЭ и НЭ должна иметь минимум коэффициента передачи на частоте генерации, т.е. должна быть режекторной.

Вторые равенства (6) для выполнения баланса не ограничивает фазовый сдвиг цепей у и в никакими значениями. Например, если рг = 0, то и (Рв = 0, если р7 = я, то и (рв = я. Более того, если, скажем, (р7 = я/10, то и рв = я/10. Если же пренебречь инерционностью нелинейного элемента, то получаются следующие уравнения:

Величины у и в легко находятся и теоретически, и экспериментально. Они не связаны с опреде-

которому соответствуют условия баланса коэффициентов передач и баланса фаз новой колебательной системы генератора. В ней цепи у и в претерпели изменения, так, если исходная цепь у была избирательной (резонансной), то после преобразования цепь ух становится режекторной.

В качестве частотно зависимых применяют различные RC-цепи. На сегодня известно много схем таких цепей, среди которых есть цепи с фазовым сдвигом 0 и я радиан на частоте возможной генерации. Здесь возникает проблема, которую с помощью метода комплексных амплитуд не разрешить: как включать эти цепи, в контур положительной или отрицательной обратной связи?Уравнения (5) и (6) не дают однозначный ответ на него.

Проиллюстрируем сказанное на примере известной цепи Вина. На частоте а>0 = 1/^С эта цепь имеет фазовый сдвиг, равный нулю градусов, и максимальный коэффициент передачи 1/3. Следовательно, эту цепь надо включать в контур положительной обратной связи.

На рис. 3, а приведена принципиальная схема колебательной системы генератора с цепью Вина. Это классическая схема, которая рассматривается практически во всех учебниках по электронике. Цепочки из последовательно соединённых резистора R и конденсатора С (70 и параллельно соединённых резистора R и конденсатора С (72) совместно с резисторами ^ и R2 образуют плечи моста, в диагонали которого включен ОУ (АЭ). В колебательной системе в стационарном режиме за счёт обратных связей и большого коэффициента усиления ОУ устанавливается практическое равенство

напряжений И'; = и"ь что соответствует известному условию баланса моста, — которое легко получается из условия баланса обратных связей (5) применительно к данной схеме:

'=//=жА

д+Д

Здесь условие баланса обратных связей находит подтверждение для мостовой схемы. Условие баланса обратных связей (5) будет выполняться и в том случае, если выводы каждой из диагоналей моста поменять местами или на основе теоремы взаимности входы ОУ поменять с его выходами. При таком преобразовании получаются новые схемы колебательных систем генераторов, которые показаны на рис.

Я

Я

С

а)

Рис. 3. Схемы колебательных систем генераторов с обычной мостовой схемой Вина (а) и с перевёрнутой (б) Я С Я2

я)

Рис. 4. Варианты схем колебательных систем генераторов, полученные на основе теоремы взаимности

О

о -20 -40

gen_4b.ewb

о

о -20 -40

gen_4b.ewb

100 1К 10К 100К 1И юн

100 1К ЮК 100К 1Н юн

Я о

(О

2-

V -45

№ я

£ -90

\

Я о

и

2-

V -45

«

£ -90

100 1К ЮК 100К 1Н юн

100 1К ЮК 100К 1Н юн

Frequency (Нг) а)

Б^иепсу (Нг) б)

Рис. 5. АЧХи ФЧХцепей обратной связи колебательной системы, показанной на рис. 4, б

а

3, б; 4, а и 4, б. В схемах на рис. 4, а и 4, б - цепь Вина "расчленена" на две цепочки. Именно у таких схем цепи обратных связей могут иметь фазовые сдвиги на частоте генерации, отличающиеся от обычных 0 или п, как и определено равенством (6). Например, на рис. 5 приведены амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные (ФЧХ) цепей обратной связи колебательной системы, показанной на рис. 4, б, при R = 1 кОм, С = 16 нФ, R1 = 1 кОм и R2 = 2 кОм, полученные при моделировании с помощью программы Electronics Workbench 5.12. Баланс обратных связей здесь имеет место на частоте 10 кГц, при этом модули коэффициентов передач равны 0,446, а фазовые сдвиги -26,5°.

Особо обратим внимание на то, что кроме представленных схем, на основании условий баланса обратных связей возможны их варианты, у которых инверсный и неинверсный входы усилителя меняются местами. Назовём эти схемы инверсными. При этом, например, в схеме на рис. 3, а цепь Вина будет включена в контур отрицательной обратной связи, а резистивная цепочка - в контур положительной связи. Таким образом, на основе моста Вина и одного обычного ОУ можно создать несколько колебательных систем генераторов.

Моделирование колебательных систем с идеальным ОУ (коэффициент усиления не зависит от частоты) с помощью программ MathCAD 2001 и Electronics Workbench 5.12 показывает выполнение во всех схемах условий баланса амплитуд и баланса фаз. Эти же условия сохраняются и при учёте частотных свойств ОУ в виде его одной постоянной времени. Нет необходимости доказывать это для схем представленных на рис. 3 и рис. 4. Это хорошо известно. В подтверждение того, что эти же условия выполняются и для инверсных схем на рис. 6 приведены АЧХ и ФЧХ петлевого усиления схемы инверсной по отношение к схеме на рис. 3, а при идеальном ОУ (рис. 6, а) и усилителе LM741 (рис. 6, б). Видно, что в обоих случаях условия баланса амплитуд и баланса фаз выполняются на частоте 10 кГц. Тем не менее, практика показывает, что синусоидальные автоколебания в этой схеме невозможны.

Аналогичные выводы можно распространить и на колебательные системы с другими ¿С-цепями: перекрытой Т-КС-цепью, интегро-дифференцирую-щей цепью, трёхзвенной интегрирующей цепью и др.

Приведённые примеры указывают на ограниченность применения условий баланса амплитуд и баланса фаз для анализа автоколебательной системы генератора. Ответ на вопрос о возможности автоколебаний в той или иной схеме сложно дать только на основе этих условий. Ответить на него позволяет анализ расположения корней характеристического уравнения колебательной системы.

Из теории электрических цепей известно: для того, чтобы в системе возникли колебания синусоидальной формы, необходимо наличие двух комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения системы. Причём, при равенстве нулю их действительной части колебания имеют строго гармоническую форму с постоянной амплитудой. Если действительная часть корней положительная, то амплитуда колебаний нарастает, а если она отрицательная, то амплитуда колебаний уменьшается. Собственно, для возникновения и нарастания колебаний достаточно, чтобы колебательная система имела минимум два комплексно-сопряжённых корня, т.е. была системой второго порядка.

Покажем, что изучение корней даёт однозначный ответ на поставленный вопрос. Определим корни уравнений на примере схем с цепью Вина. Для этого на основе уравнения (4) запишем операторное уравнение для обычной схемы на рис. 3, а, в которой цепь Вина включена в контур положительной обратной связи:

T (p) = 1 - K • [у( p)-в] =

= 1-K •

pz

p У + 3 рт+1

-в

(7)

Из (7) следует характеристическое уравнение

Qi( p) = p V(1+к в) +

+ pr[3 - (K - 3K в)] +1 + к в. (8)

о

8D 6D 40 20

"йй 9D

(D

2- 45 и о £ -45

(5 "90

geninvers.ewb

ID 100 1К 10К 100K 1И ЮН

V

10 100 IK 10K 100K 111 10H

Frequency (Hz)

so 60 40 20

о

<D 4J

90 __ 45

4) 0

й -45

(S "90

geninvers.ewb

10 100 IK 10K 100K 1H 1011

10 100 IK 10K 100K 1И 10H

Frequency (Hz)

а) б)

Рис. 6. Графики АЧХ и ФЧХ петлевого усиления инверсной схемы с мостом Вина с идеальным ОУ (а) и ОУ типа LM741 (б)

Известно, что уравнение (8) при K>>1 имеет два комплексно-сопряжённых корня pu = - а ±у® 1, а решение имеет вид: U1(t) = Um-e^ai-svn(a1t + ф), где а = +(3в- 1)/2вт, ® = у1ю2о-а2, ®0 = 1/т, Um - амплитуда колебаний. Здесь а называют декрементом затухания при а > 0 и инкрементом при а < 0.

В стационарном режиме при 3в - 1 = 0 корни содержат только мнимую часть и колебания имеют строго синусоидальную форму с постоянной амплитудой и частотой ®0 = 1/т.

Теперь проведём анализ инверсной колебательной системы с цепью Вина, включенной в контур отрицательной обратной связи.

Характеристическое уравнение

Q2( p) = p У(1 - K в)+

+ рт[3 + (K - 3K в)] +1 - K в (9)

и в этом случае имеет близкие корни p12 = -а + у®, и обе колебательные системы теоретически идентичны.

При наличии зависимости коэффициента усиления ОУ от частоты с учётом только одной его постоянной времени т1 характеристическое уравнение Q(p) обычной системы с цепью Вина принимает вид

Q(p) = р Vti + р 2(г2(1 + K в) + 3tTi) +

+ р(т[3 - (K - 3K в)] + т1) +1 + K в.

Это уравнение кроме двух комплексно-сопряжённых корней имеет ещё один корень действительный, отрицательный. Колебательный процесс в этой системе содержит две составляющие: синусоидальную и экспоненциальную

U1 (t) = Umeа • sin® + ф) + Uxe-Xt.

Здесь экспоненциальный колебательный процесс, обусловленный появлением третьего корня, с течением времени затухает, и в колебательной системе возбуждаются синусоидальные автоколебания. В то же время инверсная колебательная система (с включением частотно-зависимой цепи Вина в

контур отрицательной обратной связи) при учёте частотной зависимости коэффициента усиления ОУ имеет другое характеристическое уравнение, третий корень которого действительный, положительный. В ней колебательный процесс за счёт этого корня, наоборот, с течением времени нарастает, вводя усилитель в режим насыщения. Такая инверсная колебательная система не позволяет получать синусоидальные автоколебания, несмотря на то, что, как показано выше, баланс амплитуд и баланс фаз в ней выполняются. На рис. 7 представлены осциллограммы возбуждения колебаний в инверсной колебательной системе с идеальным усилителем (рис. 7, а) и ОУ типа LM741 (рис. 7, б) и нелинейными элементами, подключенными параллельно резистору R2 (как показано на рис. 3, а пунктиром), полученные с помощью программы Electronics Workbench 5.12. Видно, что в инверсной схеме с идеальным ОУ (системе второго порядка) колебания нарастают и стационарный режим устанавливается, так же как и в обычной схеме, а в этой же инверсной схеме с реальным ОУ с присущей ему зависимостью коэффициента усиления ОУ от частоты усилитель входит в режим ограничения, и синусоидальных колебаний нет.

В других инверсных системах (они не показаны на рис. 3 и 4) реальные усилители, также входят в режим ограничения.

Таким образом, выполнение условий баланса амплитуд и баланса фаз, равно как и баланса обратных связей, в схемах с реальными ОУ не гарантирует возбуждение и установление устойчивых периодических автоколебаний синусоидальной формы. Эти условия являются лишь необходимыми, но недостаточными.

Разумеется, проведённый анализ можно распространить и на колебательные системы с другими менее известными частотно-зависимыми цепями. В связи с этим, интересно заметить, что при применении в структурах на рис. 2 пассивных RC-це-пей третьего порядка характеристическое уравнение с идеальным ОУ уже имеет третий порядок с двумя комплексно сопряжёнными и одним действительным отрицательным корнями. Поэто-

gen_invers.ewb

-5 -

50.700m

51.100m

51.500m

10

5 -

-5 -

-10

genjnvers.ewb

50.700m

51. 100m

51.500m

Рис. 7. Осциллограммы возбуждения колебаний в инверсной схеме с идеальным усилителем (а) и ОУтипа 1М741 (б)

му во всех них (в том числе и инверсных) также устанавливаются синусоидальные колебания. Но при учёте реальных частотных свойств ОУ порядок характеристического уравнения возрастает, в нём появляется четвёртый корень. Этот корень в зависимости от схемы включения цепи (прямой или инверсной) имеет отрицательную или положительную вещественную часть со всеми вытекающими из этого последствиями.

Таким образом, для правильного включения той или иной частотно-зависимой RC-цепи в состав колебательной системы и возбуждения в ней колебаний недостаточно выполнения условий баланса амплитуд и баланса фаз. Необходимо проанализировать расположение нулей характеристического уравнения с учётом инерционности ОУ. Для возбуждения синусоидальных колебаний линеаризованное характеристическое уравнение колебательной системы должно иметь два комплексно-сопряжённых корня с положительной действительной частью, а все остальные корни должны быть с отрицательной действительной частью.

После возбуждения колебания нарастают по амплитуде, стремясь к своему стационарному значению. Всё большее влияние начинает оказывать нелинейный элемент колебательной системы, ограничивая скорость нарастание амплитуды. Это происходит за счёт уменьшения действительной части корней. При достижении амплитудой стационарного значения Пт дальнейший её рост прекращается. Таким образом, для обеспечения стационарного режима необходимо чтобы Яг р(ит) = 0. Управление расположением корней и осуществляет нелинейный элемент.

Важную роль нелинейный элемент выполняет и для обеспечения устойчивости стационарных автоколебаний. Он изменяет действительную часть корней от нуля в сторону положительных значений, если амплитуду надо увеличить, и в сторону отрицательных значений, если амплитуду надо уменьшить. Таким образом, для обеспечения устойчивости стационарного режима необходимо (но не достаточно) выполнить неравенство йЯв р(ит)/ёи< 0. Это условие является необходимым и достаточным при безынерционных нелинейных элементах. Однако, применение безынер-

ционных нелинейных элементов порождает другую проблему - появление гармонических искажений выходного напряжения. Для их уменьшения применяют инерционные нелинейные элементы или системы автоматической стабилизации амплитуды. В этом случае необходимо проводить дополнительные исследования для определения достаточных условий устойчивости. Этот вопрос выходит за рамки данной работы и здесь не рассматривается.

Итак, все поставленные задачи выполнены. Уточнены условия возбуждения и установления стационарного режима автоколебаний.

В заключении хочется сказать, что сформулированные результаты в той или иной форме встречаются в известной литературе, и автор не претендует на их абсолютную новизну, но собранные вместе, они позволяют грамотно определить и доступно (в рамках известных понятий) объяснить условия возбуждения и установления амплитуды стационарных колебаний в RC-генераторах на ОУ.

Выводы

1. В колебательных системах RC-генераторов выполнение условий баланса амплитуд и баланса фаз не гарантирует ни возбуждение, ни установление амплитуды синусоидальных колебаний.

2. Условия возбуждения синусоидальных колебаний целесообразнее формулировать в терминах нулей характеристического уравнения колебательной системы следующим образом: необходимым условием возбуждения синусоидальных колебаний является наличие в характеристическом уравнении колебательной системы генератора двух комплексно-сопряжённых корней с положительной действительной частью, при этом остальные корни должны иметь отрицательные действительные части.

3. Для установления стационарного режима с амплитудой ит необходимо, чтобы действительная часть комплексно-сопряжённых корней в стационарном режиме была равна нулю

Яг р(ит) = 0.

4. Для обеспечения устойчивости стационарного режима необходимо (но не достаточно) обеспечить йЯг р(ит)/йи < 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — 568 с.

2. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1976. — 384 с.

3. Прянишников В.А. Электроника. Курс лекций. — СПб.: Корона принт, 1998. — 400 с.

4. Лачин В.И., Савелов Н.С. Электроника. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2001. — 448 с.