Особенности поведения решений RC-генератора с запаздывающей обратной связью в случае двухчастотного параметрического резонанса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Радиофизика

Вестник нижегородсжого университета им. Н.И. Лобачевсгаго, 2013, № 1 (3), с. 190-195

УДК 517.994

ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ РЕШЕНИЙ ЯС-ГЕНЕРАТОРА С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ В СЛУЧАЕ ДВУХЧАСТОТНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА

© 2013 г. А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин

Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

kubysh@uшyar. ac.ru

Поступила в редакцию 30.11.2012

Параметрическое возбуждение колебаний, наступающее в колебательной системе в результате периодического изменения одного из параметров, широко используется в генераторах электромагнитных колебаний. При этом одновременно происходит усиление амплитуды колебаний по сравнению с амплитудой периодического воздействия, обусловленное резонансностью воздействия. В настоящей работе показано, что двухчастотное изменение емкости RC-генератора с запаздыванием может при определенных условиях приводить к генерации как двухчастотных колебательных, так и хаотических колебаний. При этом также происходит усиление амплитуды колебаний.

Ключевые слова: генератор электромагнитных колебаний, параметрический резонанс, двухчастотные и хаотические колебания.

1. Математическая модель RC-генератора

Рассматривается RC-генератор, схема которого изображена на рис. 1.

Генератор состоит из RC-четырехполюсника, электронного усилителя с коэффициентом усиления G < 0, ограничителя с нелинейной характеристикой и элемента задержки, вносящего временную задержку H > 0. Мгновенные напряжения на соответствующих элементах генератора обозначим u.(t) (j = 1,2,...,5). Связь

между напряжениями определяется соотношениями:

u2 (t) = u (t - H),

[ Red + Ц u3(t) = u2(t),

u4 (t) = Gu3 (t), u5 (t) = f (u4 (t)), u5(t) = ux(t),

где f (u) - характеристика ограничителя, которую, как правило, аппроксимируют многочле-

ном третьей степени

/(и) = ри + р2и2 - р3и3 (р,Рз > 0).

В [1] выявлены условия существования автоколебательных режимов в рассматриваемом генераторе.

Ниже изучаются условия возникновения в рассматриваемом генераторе колебательных режимов за счет двухчастотного изменения емкости

С(() = С0 (1 + а + Р\) + а2 оо$(Ю + Д2)).

Нормируем ? ^ ? • ЯС0, ^ ю / (ЯС0)

(] = 1,2) и положим к = Н / (ЯС0), р = р2 х х{рр)-1П , к = -р& х(Г) = в(р3 /рУ2и3(1).

В результате получим дифференциальное уравнение

х(?) + (1 + ах сое(ю/ + Д) + а, со$(со4 + Д ))-1 х ^ х[х(?) + к(х^ - к) + рх2 ((- к) - х3 ^ - к))] = 0 в безразмерных переменных, которое является математической моделью рассматриваемого RC-генератора.

u, U2 R _L~ “1 Усилитель u4 Ограничитель U5

_x G m

Рис. 1

Pa6oma выnoлcиca прк тддиржки Фидиpaльcoс циливoс npoгpaммы “Нaучcыи к caучco-nидaгoгкчинкки шдры kc-coвaцкoccoс Рoннкк ” ca 2009-2013 гг., ^cmpa^m №14.В37.21.0247.

2. Анализ устойчивости нулевого решения уравнения

В уравнении (1) положим а. = 0(у = 1,2) и рассмотрим его линейную часть

х(() + х(() + кх(( - к) = 0. (2)

Поведение решений уравнения (2) определяется расположением корней характеристического уравнения

Р(Л) = Л +1 + к exp(—Лк) = 0 (3)

уравнения (2).

Изучим расположение корней уравнения (3). Воспользуемся для этого методом D-разбиений [2]. Положим в (3) Л = га (а> 0) и выделим вещественную и мнимую части

1 + к cos(ак) = 0, а - к $т(ак) = 0. (4)

Минимальное к = к0, при котором система уравнений (4) имеет решение, определяется равенством к0 = а0 / 8т(ст0к), где а - корень уравнения -а = tg(а0к), принадлежащий интервалу (л / (2к); л / к). При этом к0 > 1 и

а0 = \1к0 - 1 .

Положим к = к0 + екг, где 0 <е<е0 (е0 -мало) и рассмотрим поведение корней Л(е) ,

Л(е) (Л(е) = га0+еЛ +..., г = >/-1) характеристического уравнения

Р(Л; е) = Л +1 +(к0 +е1^) exp(—Лк) = 0 . Отметим, что Л(е) аналитически зависят от е при малых е. Отметим также, что остальные корни характеристического уравнения при малых е будут находиться в левой открытой комплексной полуплоскости. Из тождества Р(Л(е),е) = 0 имеем

Л = ^ + га =

= к (1 + кк\ + гф0 -1) / [К (1 + 2к + к20к2)].

Из (5) следует, что при кх > 0 корни характеристического уравнения Л(е), Л(е), переходят из левой комплексной полуплоскости в правую. При этом, как показано в [1], происходит рождение устойчивого цикла (бифуркация Хопфа).

В дальнейшем считаем, что к < 0. Пусть теперь а ' ф 0, (у = 1,2). Пронормируем а = еа ' и положим ю = 2а (1 + е81) (а. ~1, в даль-

нейшем штрих опустим), т.е. рассмотрим случай параметрического резонанса. В соответствии с терминологией [3], рассматриваемый резонанс является вырожденным. Случай, когда

Ю ~ 2а ,ю2 ф 2а (Ю ф 2а ,ю ~ 2а), называется невырожденным. В работе [4] показано, что в пространстве параметров (^ ,32) в случае вырожденного резонанса может существовать счетное число областей устойчивости и неустойчивости линейной части уравнения (1). В настоящей работе эта задача изучается в нелинейной постановке. В частном случае эта задача рассматривалась в работе [5].

3. Построение нормальной формы

Перейдем от уравнения (1) к эквивалентной краевой задаче

ди ди д( дs ’

(6)

ди

дs

= -(1 + еа{ cos(2а (1 + е5х)() +

(5)

+еа2 cos(2а (1 + е32)()) • [и(0, () + (к0 +екх) • (7) •(и(-к, () + ри2 (-к, () - и3 (-к, ?))] =

= и (2а (1 + е5х У, 2а (1 + е32)(, и(,$, t); е) в полосе -к(Р; е) < s < 0, t > 0. Здесь и^, ^ = = х(t +8) .

Фазовым пространством краевой задачи (6)-(7) является пространство С(-к,0). Краевая задача (6), (7) в окрестности нуля фазового пространства имеет локальное двумерное экспоненциально устойчивое интегральное многообразие вида Ф(т1,т2,2,2;,$;е), (ту =ю/;У = 1,2;

2 е С), поведение решений на котором определяет поведение решений краевой задачи (6), (7) в окрестности нуля фазового пространства. Здесь Ф(•) - гладкий по совокупности переменных оператор, 2л -периодический по тх и т2. Систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение траекторий краевой задачи (6), (7) на интегральном многообразии, принято называть нормальной формой краевой задачи (6), (7).

Представим оператор Ф(*) в виде разложения

Ф(тг ,т2,2,2; 8;е) = (и0 ^) + еих (^ ,т2,8) +...) 2 + +(щ ^) + ейг (тх,т2,8) + ...)2 + (и20 ^) + ...)22 + (8)

+(и1-1(Я) + ...)22 + (и02 ^ + ...)22 + ... где и(5) = exp(/а8);и,(*) - гладкие функции по совокупности переменных, 2л -периодические по и т2, которые подлежат определению. Здесь и в дальнейшем точками обозначены сла-

8=0

гаемые, имеющие более высокий порядок малости по соответствующим переменным.

Нормальную форму краевой задачи (6), (7) будем строить в следующем виде:

£ = 1(8)г + е(Д ехрО'^) + А ехр(/'т2))£ +

+й \ 2 \2 2 +... = 2(тх,т2,2,2;е),

1^2а0(1 + е3^и = 1,2\ (Ю)

где А, А, ^ - комплексные постоянные, подлежащие определению. В (9) в явном виде приведены лишь «главные» слагаемые нормальной формы, которые определяют поведение ее решений.

Подставим (8) в краевую задачу (6), (7) с учетом (9), (10). В результате получим тождество

дФ дФ дФ

— = — 2а0(1 + еЗ,) + — 2а0(1 + е32) +

& ^ дт2 (11)

дФ _ дФ — _

+ — 2 (Т1,Т2,2,2,8';е)) + — 2 (Т1,Т2, 2,2,8';е)), д2 02

ди

дя

= и (тх ,т2 ,Ф(тх ,т2,2,2, s;є);є), (12)

для определения функций и коэффициентов, входящих в правые части (8)-(10). Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях е2,е2,22,..., будем на каждом шаге получать для определения соответствующих и (*) краевые задачи вида

рі&0и — іїи, / йя + я (я),

(13)

ди. / д8 |^=0 = -и(0) - к0и(-к) + /, (14)

где р - целое число; ^ (8) и / -

соответственно известная функция и комплексная величина. Если р ф±1 , то краевая задача

(13)-(14) однозначно разрешима. Сформулируем условие разрешимости задачи (13), (14) при р = ±1.

Между функциями х(8) и у(8) , принадлежащими соответственно взаимно сопряженным пространствам С(-к,0) и С(0,к), введем скалярное произведение

< хО), у(8) >=

х(0) у (0) — { \]х(С) у (С —

(я),

где

г(я) =

1, я — 0, 0,0 < я < к,

—кп, я = к.

и* (я) — а ехр(ріа0я) +1ехр(ра0 (я — С)Я* (С)^С ,

0

подставим его в краевое условие (14). В результате получим, что необходимым и достаточным условием разрешимости краевой задачи (13), (14) будет равенство

< Я* 0), к 0) > +/»к0 (0) — 0, (15)

где к О) = ехр(іа0я), 0 < я < к . Условие

< и (я), к О) >= 0 обеспечивает единственность решения и (я), которое достигается выбором величины а .

Приравняем сначала коэффициенты при Є2. В результате получим краевую задачу

дии . ,„ , .

— = Ц,ОИ + і°0ип(я) + дя (16)

+и (я) (А ехр(—Щ) + А ехр(—іт2)),

дип

дя

— —и^і (0, і) — кйи(—к, і) +

3

+к (і&о + І) / к —

—іа0а 1 (ехр(ітх) + ехр(—і^))/ 2 —

—іа0 а 21 (ехр(іт2) + ехр(—іт2))/ 2.

(17)

(18)

Определяя теперь решение краевой задачи (16), (17) в виде

и11 (S, Т1,Т2) = V (я) + V (я) ехР(Щ ) +

+У2 (я) ехр(—ітг) + V (я) ехр(іт2 ) + V (я) ехр(—іт2), получим для определения V. (я) краевые задачи вида (13)-(14), условия разрешимости которых с необходимостью дают \, определённое формулой (5), и

Аі — іа а / (2Р '(і&0;0)),

А — і&0а2 / (2Р '(ш0; 0)).

Для однозначного определения ип(я,^,т2) потребуем выполнения условия

< V ОХ к(я) >= ^ и —1,...,4).

Приравняем коэффициенты при 22,22, 22 . В результате получим краевые задачи вида (13),

(14), которые однозначно разрешимы. При этом

и20(я) = —Р(іа0 + 1)2 / (к0Р(2іа0) ■ ехр(2іа0я),

и1—1(я) =—2Рк0/(1 + к0).

Приравняв теперь коэффициенты при 222, получим краевую задачу вида

и ОМ + і&0и2_х (я) = гіи2_х (я) /

^и2—1 (я) / Ж I—0 = —и2—1 (0)і — к0и2—1 (—к)І + и

Определяя решение уравнения (13) в виде где

я— 0

к V 0

Ґ2і — —(іа0 + 1)[3 + 2Р2(і°0 + 1)2 / (к0Р(2а)) + +2р2к / (1 + к)].

Из условия разрешимости (15) имеем

d — ^ + іі2 — — /21 / Р '(і&0). (19)

Решение и2_ 1 (я) выберем удовлетворяющим условию и2_ г (0) — 0.

4. Анализ нормальной формы краевой задачи

Рассмотрим «главную» часть уравнения (9). Представим А = ІА І ехр(іу), ] = 1,2, и выполним последовательно следующие замены:

2 ^ 2ЄІП ехр(іа0і), і ^ іє—,

2 ^ 2 ехр((іЗхі + у )/ 2) .

В результате получим следующее уравнение:

£ = (Л + 1<т1 + с! | ^ \2)г +

+(\А 1 + 1 Л |ехр(/Л + 7))£,

(20)

у = (Ъ0 зіп(і ґ + у) + <т)х + +(—1 — ь — Ь со$(^і + у))у +

(22)

+(х2 + у 2)(-у + сх).

Здесь Ь1 =\ \ /\ Л \, (у = 1,2), с = а2/\ ^ \,

а = а/\ Л \, у = а/ \ Л \. Заметим, что система уравнений (21), (22) инвариантна относительно замены х^-х, у-^-у.

Отметим, что при Ь = 0 и а = у /2 нулевое состояние равновесия системы (21), (22) является особой точкой типа ротор. При этом два характеристических показателя линейной части системы (21), (22) имеют одинаковые мнимые

части. В окрестности такой точки возможно возникновение хаотических колебаний.

Система уравнений (21), (22) анализировалась численно. Выберем входящие параметры следующим образом: Д = Д = 0, к = 3л /4,

/2 = 0.1, /3 = -1, у = I, к = -1. При этом имеем: а = 1, К ='•12. В результате с учетом (5), (18), (19) и выполненных нормировок система уравнений (21), (22) примет вид

х = (-1 + 1.68^ +1.68(70 со8(?))х +

+(-0.19 + 1.68Л, 8т(?))>'+ (23)

+(х2 +у2)(-х +7.34у), у = (1.68(70 вт(0 + 0.19)х +

+(— 1 —1.68ах — 1.6%а2 со$(і))у +

(24)

где а1 = Л°” -а1 /2,3 = 32 -31,у = у2 -у1.

Отметим, что в соответствие с выполненными заменами, «грубым», т.е. экспоненциально устойчивым (неустойчивым) ненулевым состояниям равновесия уравнения (20) в краевой задаче (6), (7) соответствуют периодические решения того же характера устойчивости; «грубым» периодическим решениям уравнения (20) в краевой задаче (6), (7) соответствуют двухчастотные решения (инвариантные торы) того же характера устойчивости.

Положим в (20) 2 = р(х + гу), где р =

= (Л / ^ )У2 и выполним замену времени ? ^ Л Г1 ? . С учетом того, что \ Л \ •^ < 0 , имеем систему дифференциальных уравнений

х = (-1 + Ь, + соз(г? + у))х +

, (21) +(-а + Ь2§тУ + /))у + (х + у )(-х - су),

+(х:2 + у2)(-у - ТЗ^).

Положим сначала в (23), (24) параметр а2 = 0 и будем изменять параметр а от нуля в сторону возрастания. Это соответствует периодическому воздействию на систему. При а = 0.6069 нулевое состояние равновесия теряет устойчивость, из которого рождаются два ненулевых устойчивых состояния равновесия. Зафиксируем теперь а = 0.8488 и будем изменять а . Из этих ненулевых состояний равновесия одновременно бифурцируют при а2 = 4.244 • 10-3 два устойчивых цикла. Состояния равновесия при этом теряют устойчивость. Дальнейшее увеличение параметра а2 приводит к увеличению амплитуды колебаний периодических решений. На рис. 2 представлены проекции периодических решений на плоскость (х, у) при а = 0.8488,а2 = 0.8488 .

Рис. 2

При а = 11972 оба цикла теряют одновременно устойчивость, неустойчивое многообразие

первого цикла пересекается с устойчивым многообразием второго, и, наоборот, неустойчивое многообразие второго цикла пересекается с устойчивым многообразием первого. Это приводит к образованию странного аттрактора (хаотического режима), проекция которого на плоскость (х, у) для случая а = 0.8488, а = 1.1973 представлена на рис. 3. Для этого случая с помощью программы Tracer были вычислены ляпуновские показатели и ляпуновская размерность:

Д= 0.1932, Л =-2.6211, dL * 1.073.

Рис. З

Дальнейшее увеличение параметра а приводит к исчезновению хаотического аттрактора и образованию периодического решения, проекция которого на плоскость (х, у) представлена на рис. 4 для значений а — 0.8488, а —1.2142.

Рис. 4

Если теперь уменьшать а, то отмеченный выше странный аттрактор возникает из периодического решения через серию бифуркаций удвоения периода.

5. Случай невырожденного параметрического резонанса

Предположим, что о^~2^, о)2Ф 2а (с\ ф 2а,O ~ 2а). Положим о\ = 2а + s8, 8 ~1. Нормальной формой краевой задачи (11), (12) будет система уравнений

Z = (7<70 +sAl)z + sAl exp(/rj) + d | z |2 z +..., fj = 2a0(l + s8), в которой Л, A и d определены согласно (5), (18) и (19).

Представим A =A I exp(a0t) и выполним последовательно следующие нормировки: z ^ zsy2 exp(iat), t ^ ts~l. Перейдя теперь к переменным р,д (z = pexp(ir), р> 0, д = 8t — т), получим следующую систему дифференциальных уравнений:

p = zlp + dlp3+\A\zos{2e + yl)p, (25) в = 8-a -d2p2-1 A I sin(29 + у) (26)

«медленных» переменных.

Каждому экспоненциально устойчивому (неустойчивому) состоянию равновесия (р ,д ) системы (25), (26) в краевой задаче (6), (7) соответствует инвариантный тор, асимптотическая формула которого имеет вид:

Т2 (тт s; s1'2) = SV2P0 (u0(s) exp(iT1) +

+щ (s)exp(—iTj)) + su(t ,T, s;sV2), где u(t,T,s;sV2) - достаточно гладкая по совокупности переменных функция, 2ж -периодическая по т,т2. Уравнения движения на инвариантном торе имеют вид

Г| = а ^ ^ = •

Система уравнений (26)-(27) может иметь одно либо два состояния равновесия, во втором случае одно из состояний равновесия устойчивое, второе неустойчивое. При выполнении условия | A И Т I в плоскости (o,s) существует зона параметрического резонанса вида (2а + s8x, s) ширины ~ s . При этом величина 8 удовлетворяет неравенству [3]:

а —(IAI2 —Т f2 < 8 < а1 +(IAI2 — т2 Г. (27)

При выполнении неравенства (27) система уравнений (25), (26) имеет одно экспоненциаль-

но устойчивое состояние равновесия.

При о\,ю2 ф 2а0 все решения краевой задачи (6), (7) с начальными условиями из некоторого шара фиксированного радиуса фазового пространства стремятся к нулю при t

Список литературы

1. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979. 148 с.

2. Неймарк Ю.И. Структура Б-разбиения пространства квазиполиномов и диаграммы Вышеград-ского и Найквиста // ДАН СССР. 1948. Т. 60. С.1503-

1506.

3. Кубышкин Е.П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1978. С. 43-76.

4. Кащенко С.А., Колесов Ю.С. Раскачивание качелей при помощи двухчастотной силы // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1978. С. 19-25.

5. Казаков Л.Н., Коверга А.Ю., Кубышкин Е.П. и др. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в RC-генераторе с запаздывающей обратной связью // Вестник Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Серия Естественные и технические науки. 2011. №1. С.70-74.

FEATURES OF SOLUTIONS RC-GENERATOR WITH DELAYED FEEDBACK IN CASE OF TWO-FREQUENCY PARAMETRIC RESONANCE

A. Y. Koverga, E.P. Kubyshkin

Parametric excitation of oscillations occurring in an oscillatory system to a periodic change in one of the parameters that are widely used in generators of electromagnetic waves. At the same time there is a strengthening amplitude compared to the amplitude of periodic excitation caused the resonant effect. In this paper we show that two-frequency capacitance change RC-oscillator with delay under certain conditions lead to either a dual-frequency generation vibrational, and to the generation of chaotic oscillations. It also intensifies the oscillation amplitude.

Keywords: generator of electromagnetic oscillations, parametric resonance, dual frequency and chaotic oscillations.