Анализ колебательных решений одного нелинейного сингулярно возмущённого дифференциально-разностного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

© 2012 г. Е.П. Кубышкин, А.Ю. Назаров

Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

киЬу8Ь@ишуаг. ac.ru

Поступила в редакцию 10.09.2012

Предложен новый метод построения асимптотики периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и малым параметром при производной. Метод основан на равномерной по параметрам нормализации дифференциального уравнения, позволяющей свести задачу нахождения периодических решений к построению ненулевых решений некоторой нелинейной бесконечномерной системы алгебраических уравнений. Исследованы условия устойчивости периодических решений. Проведен сравнительный анализ с результатами прямого численного интегрирования дифференциального уравнения.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом и малым параметром при производной, асимптотическое разложение периодического решения, нормальная форма дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом, устойчивость периодического решения.

1. Постановка задачи

Рассматривается дифференциально-разностное уравнение вида

г1х(!) + х^) + /(х^-1)) = 0, (1)

где 0 < 8Х «1, /(х) = -/(-х) - гладкая нелинейная функция f (л-) = + /ъхъ + о(| х |3)

(|х|<^0,£ >0,/3<0). Уравнения вида (1) возникают при изучении многих прикладных задач. В частности, таким уравнением описывается работа RC-генератора с запаздывающей связью [1], такой вид имеет уравнение Мэкки - Гласса, предложенное в качестве математической модели механизма кроветворения [2].

Ниже изучаются периодические решения уравнения (1), возникающие из нулевого состояния при изменении параметров и принадлежащие некоторой фиксированной окрестности нулевого решения. Изучаются условия их возникновения, строятся асимптотические формулы.

2. Анализ устойчивости нулевого решения уравнения (1)

Рассмотрим линейную часть уравнения (1) г1х^) + х^) + /1х^-Х) = 0. (2)

Поведение решений уравнения (2) определя-

ется расположением корней его характеристического уравнения

Р(А481) = 81А, + 1+^ехр(-А,) = 0. (3)

Уравнение (3) при фиксированном /¡>1 и малых 81 имеет корни, вещественные части которых положительны, а при фиксированных <1 и малых Б] все корни уравнения (4) лежат в левой комплексной полуплоскости [3].

Рассмотрим случай / =1 + в2, где I е21 « 1, и изучим расположение корней характеристического уравнения (3) при | е | < е0 (е =

= (8^82),! е|=(в12 + 82)1/2). Заметим, что в рассматриваемом случае характеристическое уравнение (3) не имеет корней, лежащих на вещественной оси.

Запишем (3) в виде уравнения

ехр(А-)(81А, +1) = -(1 + е2), которое эквивалентно следующей последовательности уравнений

ехр(л + 1п(1 + 8, /.)) = ехр(1п(1 + 82 )) + /ТО?

(п - ±1,±3,± 5,...), (4)

где 1п(г) = 1п(| г |) + /' аг£(г). С учетом сказанного выше, достаточно рассмотреть последовательность уравнений:

А, -ь 1п(1 -ь е1А,) = 1п(1 + 82) + /7Ш (п = 1,3,5,...) (5) для определения корней уравнения (3), лежащих в верхней комплексной полуплоскости.

(6)

Рассмотрим уравнение

X + ln(1 + SjA,) = w, считая

X е {Im X > y0 > 0}, w e {xj < Re w < x2,

Im w > n, x1 < 0, x2 > 0}.

Для нахождения решения X = A(w; s1 ) (0 < s < s0)

уравнения (6) построим итерационный процесс

Xk + ln(1 + S1Xk-1) = w, X0 - w (k = 1 2, ...). (7) Заметим, что

Xk+1 - Xk = -S1 /(1 + S1 Xk )(Xk - Xk-1 ), (8)

л *

где Xk находится на прямой, соединяющей точки Xk и Xk-1. Из вида уравнения (6) и равенства (8) следует существование таких x1, x2, y0 и s0, что при Im X > y0 и 0 <ех <s0 последовательность аналитических функций Xk(w, s1) равномерно относительно w и s1 сходится к некоторой аналитической в указанных областях изменения w и s1 функции X(w, s1) = w + X (w, s1), где

X1(w; S1) - (9)

- -ln(1 + S1(w - ln(1 + S1(w - ln(1 + S1(w -...)))))). Отметим следующее

X( w; s) - X1 (w; s) = - ln(1 + s1 w*) + ln(1 + s1 w) =

= Sj2(1 + s1X*)-1 ln(1 + s1w*), (10)

где согласно (7), (9) X1 (w; s) = w - ln(1 + s1 w),

w* = w - ln(1 + s1(w - ln(1 + s1(w -...)))), точка X* находится на прямой, соединяющей точки w и w . С учетом того, что выражение (1 + s1X*)-1 х х ln(1 + s1w*) ограничено равномерно относительно w и s1 из рассматриваемых областей, имеем оценку

| X(w; s)-X1(w; s)|< Ks1 (K > 0). (11)

Отсюда согласно (5), (6) при 0 < | s | <S0 множество корней характеристического уравнения (3) может быть записано в виде

Xn (s) = inn + ln(1 + s2 ) + X1 (inn + ln(1 + s2 ); s1),

X-n(S) = Xn(s) (n = 1,3,5,...), (12)

при этом на основании (11) равномерно относи-

тельно n

X n (s) = inn + ln(1 + s2) -

тями (12). Функции gn (е) являются аналитическими в точке е = 0 и имеют радиус сходимости соответствующих рядов равный гп = 0(п-1). При этом

gn (е) = е2 -е2(пп)2/2 — е1е2 - е2/2 + о(1 е|3). (14)

Из (14) следует, что при малых е и выполнении неравенства е2 > (пп)2/2е2 п-й корень характеристического уравнения (3) имеет положительную вещественную часть.

Опишем теперь поведение решений уравнения (2). Фазовым пространством уравнения (2) является пространство непрерывных функций С (-1,0). Перейдем от уравнения (2) к эквивалентной краевой задаче в полосе -1<5<0, t > 0, положив и(5, t) = X(? + 5) : ди ди

дt д5 ’

(15)

ди

ds

= -и (0, t) - (1 + s2 )u (-1, t).

(16)

s=0

Производящим оператором полугруппы линейных операторов !’(?), действующих в С (-1,0), и порожденной краевой задачей (15)-

(16), будет оператор

{^1 ds, -1 < 5 < 0,

Л(в)у = ^ , (17)

1-8-1(у(0) + (1 + В2М-1)), 5 = 0,

с областью определения В(Л)={у(5)єС'(-1,0), в/(0) + у(0) + (1 + є2М-1) = 0}.

Собственными значениями оператора А(в) будут величины Хп = Хп (в), а собственными функциями будут функции

ип (в) = ехр(Х„(в) 5) /(1 + в1 + в!Х„)1/2, где Х1/2 =| Х |1/2 ехр(/аг§(Х)/2).

Наряду с (17) введем в рассмотрение опера-

тор

A*(s)h =

["-dh / ds, 0 < s < 1,

[-s-1 (h(0) +(1 + s2 жщ s =0,

(18)

-ln(1 + S1(inn + ln(1 + s2))) + o(| S |). (13)

Таким образом, вопрос устойчивости решений уравнения (2) сводится к анализу поведения функций

gn (s) = ln(1 + s2) + Re X1(inn + ln(1 + s2); s1), n = 1,3,5,..., являющихся вещественными час-

действующий в С(0,1), с областью определения

Б(А*) = {Н{з) є С1 (0,1),

-в1Н (0) + к(0) + (1 + в2)^(1) = 0} .

Оператор (18) является сопряженным с (17) в смысле скалярного произведения С.Н. Шимано-ва [4], которое для краевой задачи (15)-(16) принимает вид

<4 5), ¿(5-)) = в^(0) ¿(0) -

-(1+ S2) j h(^ + 1)v(^)d

Заметим, что собственными значениями ди

* в,

оператора А (в) являются величины Хп (в), а йу

= -и (0, і) - / (и(1, і); В2) (22)

К = К (?; в) = ехр(-Хп (в)?)/(1 + в1 +в1 Хп )1/2). Между функциями ип (?; в) и Кп (?; в) выпол-

соответствующими собственными функциями в полосе -1 < 5 < 0, t > 0, положив и(5, t) =

уду = х(t + 5), /(и;е2) = (1 + е2)и + /3и3 + о(| и |5).

Структура решений линейной части (21)-(22)

построена в п. 2. Обозначим через 5*(Д^) мно-

нены следующие условия ортогональности: -

^ ^ ^ гообразие начальных условий краевой задачи

<ип1(5;еХ\(5;е)>= §п1п2, (19) (21)-(22) вида {и(5)еС1(-1,0), ^'(0) = -и(0)-

где ^пп - символ Кронекера. Отметим, что - у (и(-1); е2), || и (5)|^1 < Д0} и изучим струк-

Б(А) замкнутое в С1 (—1,0) линейное подпро- туру периодических решений краевой задачи

странство. Оно может быть получено замы- (21)-(22) с начальными условиями из этого

канием в норме пространства С (-1,0) многообразия. Через 5(г0) обозначим шар ради-

множества функций вида уса г0 пространства 4. Введем в рассмотрение

г(5) = Е-іЛ Хп (в)ип (5; в), гп , г-п = гп

- N

п = 1,3,5,...

функцию (оператор)

и( г; в) = и(5, г; в) = Е^А (5 в) + и3 (?, г, г; в),

Совокупность последовательностей _ «>

7 = ( 73, 75,...) и 3(5, ^ ^е) = 1^ гпз ищп2пз(5'; е), (23)

-ОТ

образует в комплексном пространстве /2 ли- , , „т, ,

2 действующую из 5(г0) © {| е |<е0} в С (-1,0),

нейное подпространство, которое обозначим 12. гладкую по совокупности переменных, и

Отметим, что для и(5) е И(А) величина систему дифференциальных уравнений в /2

<и(5),и(-5)>< от. С учетом этого и равенст- вида

ва (19) для 7 е 4 справедливо неравенство ^&п = хп(е) 7п + 2 3( ^ 7;е) = 2п(^ 7;еХ

X!=01 7пХп(е) |2< * . Отсюда следует что функ- 2\г,7;е) = ^п1п2п3 (е) \ 7п2 Zn3, (24)

ция и0 (?) є Б(А) может быть представлена сходящимся в С1 (—1,0) рядом

(п1п2п3)є°п

в ЕЮТОрЬГС г-п = гп , г є 5(Г0) , ^п1 -

п2-пз dnln2nз ,

«0(.) = Ц < -0ЄХ К (5; в)> и, (5, в). ^ - пз = ипппз • ('< = ¿¡-О. 14^

Таким образом, справедливо ^п ={(п1,п2,п3):п;. = ±1,±3...,п = п1 + п2 + п3}.

утверждение 1. Решение и(5,і; в) краевой Функции ип1п2п3(5; в) и dnln2n3(в) подлежат опре-задачи (15)—(16) с начальным условием

делению.

и0(5)єи(А) может быть записано в виде г> г

04 7 4 7 Рассмотрим выражение (23) как преобра-

и (?, і; в) = и (?, г; в) = Е^А (?; в),

-!

= Хп(вК, гп(0;в)=<uo(s),Кп(?;в)>

(п = ±1, ±3, ±5,...). (20)

зование краевой задачи (21)-(22) в систему уравнений (24). Условие принадлежности траекторий (24) в силу (23) краевой задачи (21)-(22) примет вид

= -и(0, г; в) - /(и (-1, г; в); в2). (26)

5=0

^ ди(5,7; е) \_ди(5,7; е)

Отметим, что согласно (9), (12) можно X— ---------2п(^е)------------’ (2 ^

говорить лишь о непрерывной зависимости -ш п

и(5, V, е) от е,. е ди(5,7; е)

е

д5

3. Нормализующее преобразование Соотношения (25)-(26) определяют тождества,

уравнения (1) которые должны равномерно по е выполнятся с

Перейдем от уравнения (1) к эквивалентной точностью до велич™ шрядка о^ф. Они краевой задаче позволяют последовательно определять функ-

ди = 8^ (21) ции и*(5, е) и коэффициенты ^*(е), входящие в

дt д5 (23) и (24), приравнивая коэффициенты при

одинаковых степенях: хп. Приравняв коэффи- ратор, действующий из 4 в 4, а и3(г, г; в) =

циенты при первых степенях ^, получим ^ и3 (5, г,~2;в) кубическая форма в 4, прини-

равенства в силу выбора Хп(в) и ип(5;в). „ь . т

п п мающая значения в С (-1,0) при | в |<в0.

Приравняем коэффициенты в тождествах „

Отметим, что условие равномерной относи-(22)—(23) при 2 2 2 (п1 + п2 + п3 = п). В ре- | |

п1 п2 п3 1 2 3 тельно 0 < | в | <в0 разрешимости краевой задачи

зультате получим краевую задачу (27)—(28) имеет вид

ип (5; в) ^^п1п2п3(в) + (Хп1(в) + Хп2(в) + < ип (5; вК№п3 (в), Кп (5; в) > + р/зиПх (-1; в) х

+Х„,(в))и„1„2„!(5,в). dUn'И‘d5^,в). (27) хи„2(- 1;s)u„з(-1,в)К„(0;6).0, (31)

из которого с учетом (19) также следует фор-

; ) = -ип1п2п3(0;в) - (1 + в2)ип1п2п3(1,1) - мулса(30). „ ( ) „ б

аз ^ 0 123 123 Систему уравнений (24) в дальнейшем будем

/ (1) (1) (1) (2 8) называть нормальной формой краевой задачи

1; в)ип2( 1; в)ип3( 1; в) (28) (21), (22) (уравнения (1)).

для определения dn1n2n3 (в) и ип1п2п3 (в) , где Р —

целое число, принимающее значения 1, 3, 6 в за- 4 Анализ н<>Рмальной (|)ормы

висимости от количества соответствующих краевой задачи )21)> )22)

резонансных соотношений. Сформулируем следующую гипотезу, которая при построении Перейдем в (24) к полярным координатам,

конкретн^іх решений будет проверяться чис- положив 2п = рп ехр(/Тп) (рп > 0) . В результате

ленно. получим систему уравнений вида:

Будем предполагать, что при |в |<в0 рп = уп (в)рп + Яп (р, т;в), (32)

резонансные соотношения вида Хп(в) = Хп (в) + . , ч ^ ч

Р п п1 тп = пп + Стп (в) + Тп (р, т; в), (33)

+Хп (в) + Х" (в) (п1, п2, п3 = ±1, ±3, ±5,к) могут і о г /чпл/ч

п2ч/ щу ' у ^ 2> 3 ’ ’ ’ ' з где п = 1,3,5,к, уп(в) = Яе Хп(в), пп + стп(в) =

выполняться лишь при в = 0. _ Т л /ч „ — „ \ „ — _ \

т~, ~ г г Хп(в), р (р1,р3,р5,к), т (т1,т3,т5,к),

В дальнейшем будем использовать обозначение Хппп (в) = Хп (в) + Хп (в) + Хп (в). Общее фу™оналы К(р,т;в), (р,т;в) — 2п-пери-

123 1 2 3

.,-,-,4 одические по т . =1,3,5,.).

решение уравнения (27) имеет вид ■>

и (5;в) = ехр(Хп1п2п3 (в)5)[с + dnln2n3 (в) X Структура системы (29), (30) позволяет ввес-

ти одну «быструю» переменную и счетное

х(1 - ехр(Хп (в) - Хп1п2п3 (в)5)) х число «медленных» переменных. Как это сде-

х(Хп(в)-Х"1П2П3(в))/(1 + в1 +в1Хп(в))1/2], (29) лать, пРодемоПстРируем на4пр11мере0 «з^сечен-

1 2 3 ных» систем. Положим в (24) хп = 0, п = ±5,

где с — произвольная постоянная. Подставим в _

(29) краевое условие (28). В результате с ±7,— В результате с учетом равенства і, = 2п

необходимостью имеем с = 0 и имеем

dn1n2n3 (в) = [в1 + (1 + в2) ехр(-Хп1п2п3 (в)) х ^ = Х1 (в)г1 + ^1-1 (в) | г1 | г1 +

х(1-ехр(Хп1п2п3 (в)-Хп(в))/(Хп1п2„3 (в)-Хп(в))]-1 х +dlз-з(в) | ^312 ^ + d-1-1з(в)Я ^ (34)

хр/3 ехр( Х"1п2 п3 (в))(1 + в, + в1Хп )1/2 X 2з = Хз(в)гз + "'н3^1 |2 2з +

х(1 + в1 +в1 Хп ) 1/2(1 + в1 +в1 Хп ) 1/2 х

4 1 1 п1; к 1 1 п2; Обозначим

-1/2

+^33-3(в)| 2з | 2з + dш(в)21 . (35)

х(1 + в1 +в1Хпз) . (30) d*(в) = а*(в) + іЬ*(в), А*(в) = (^(в) + Ь2(в))ш,

Тем самым ипхп1пъ (5; в) определяются однознач- р*(в) = агсів (Ь*(в)/а*(в))

но. При этом ^(в) и ип1п2пз(5;в) ограниче- и перейдем в (34), (35) к переменным р1,р3,01 = тге при | в-1 <5< ^ n,nl,nl,пз = ±1, = -3т1 +т3, т1. В результате получим систему

±3,±5,к, функции. В этом легко убедиться, уравнений:

подставив в (29), (30) Хп.(в) согласно (13). От- р1 = (у1 (в) + аП-1 (в)р2 + а13-3(в)р2)р1 +

сюда следует, что Z"(\z,я;в) кубический опе- + А-1-13(в)со8(01 + Р-1-13(в))р12р3, (36)

Р 3 = (13 (е) + «1-13(е)Р12 + «33-3 (е)Рз )Р3 +

+Аш(е)СО8(-01 +Рш(е))р3, (37)

01 = §1(е) + (Ъ1-1з(е) - 3Ъ1 1-1 (е))Р12 +

+(Ъ33-3 (е) - 3Ъ13-3(е))Р3 +

+А111 (е) ( 01 +Рш(е))Р3/Р3 -

-3 А-1-13(Ф1п(01 +P-l-lз(е))PlPз, (38) «медленных» переменных и уравнение для «быстрой» переменной

&1 = п + Ъ11-1(е)Р12 + Ъ13—3 (е)Рз +

+А-1-13(е)81п(01 +P-l-lз(е))PlPз, (39)

которое отщепляется от (36), (38). В уравнении

(38) §1(е) = ^з(е) - 3СТ1(е).

Структура уравнений (24) ((32)-(33)) позволяет ввести по аналогии с системами (34), (35) взамен 2п (п = ±1,±3,±5,к) «медленные» переменные р = (Р1,Рз,Р5,..), 0 = (01,0з,05,к.) и одну «быструю» переменную т2 . Ввести переменные 0п можно неединственным способом. Любой другой способ является линейной комбинацией введенных переменных. В качестве одного из возможных способов введения переменных 0п может быть предложен следующий. Введем совокупность (п1, п2, п3), удовлетворяющих условию п2 + п2 + п3 =1 (п1, п2, п3 = -1, ±3, ±5,...). По ним построим переменные 0п (п = 1,3,...), последовательно полагая 0п =81§п(п1)тп1 + 81§П(п2)Тп2 + 81§п(пз)тпз -Tl,

исключая при этом те из них, которые являются линейными комбинациями предыдущих. В результате получим систему уравнений вида:

р п = у п (е)Рп + Дп (p, 0;е), (40)

0п = §п(е) + ©п(р,0;е), п = 2,3,5,.., (41)

где 8п (е), (8п (0) = 0) - линейная комбинация из трех стп (е), определяемая соответствующим резонансом; функционалы Яп (р, 0; е) и 0п (р, 0; е) имеют структуру, аналогичную правым частям (36), (38), 2п-периодические по каждому 0,(] = 1,3,5,...).

Уравнение для «быстрой» переменной т2 имеет вид

т, = п + ст,(е) + Т (р, 0; е), (42)

где функционал Т(р, 0; е) - 2п-периодический по 0(]' = 2,3,.) и имеет структуру аналогичную (39).

Предположим, что в области | е | < е0 имеется

подобласть П(е0), примыкающая к точке е = 0, при значениях е из которой система уравнений (40)-(41) имеет состояние равновесия (р*(е), 0*(е)), (р*(е) — 0, 0*(е) —— 0*(0) е[0;2п) при

е — ° Р*(е) е /2).

Обозначим через

( “ ^1/2

р=р(е)=у р*(е)||/1= !р*;2(е)| ^](е)|2 (4з)

I ]=2

и нормируем в (40), (42) рп = £,пр. В результате, учитывая структуру функций Яп (*), ©п (*), получим систему уравнений

&п = У п (е)^п + р2Д & 0; е), (44)

0п =п (е) + Р2©п&0;е), п = 2,3,5,к . (45)

Точка ^*(е) = р*(е)/р, 0*(е) (| ^*(е)||/1 = 2) бу-

2

дет состоянием равновесия системы уравнений

(44), (45).

Введем в рассмотрение матрицу частных производных по ^] и 0] (] = 2,2...) правых

частей системы дифференциальных уравнений (44)-(45) (матрицу Якоби), вычисленную в точке (£,*(е), 0*(е)). Эту матрицу можно записать в виде р2В(е), где

В(в) = •

|г";1}(в)

(в) |

0(п1}(в) 0"^}(в)|

п = 1,3,...

(46)

Здесь

гп(;}(в) = эяп \ Э5, | * *

п] п 1 (5 (в),0 (в))

(п * і),

гЩ)(в) = дЯп \ д0

і '(5*(в),0*(в))’

0"1/)(в) = д©п \ Э5 \ * * ,

щ п 1 (5 (є),0 (є))

0<*)(в) = Э©п \ Э0, | * * .

п1 п 1 (5 (в),0 (в))

Для определения г"1, (в) представим Яп (5,0;в) в виде Яп(5,0;в) = я"1}(5,0;в)5п + я"2)(5,0;в), где Яп2)(*) не зависящий от 5п функционал. Тогда г"')(в) = дяп1 \Э5п5п + Я"2)/5п)|(5*(в)0*(в)).

(5 (є).0 (в))

Выразим т = (т',т3,т5,к) через 0 = (0',03,...) в обратном порядке. В результате для определения тп (і) на состоянии равновесия (р*(в), 0*(в)) с учетом (33) получим систему уравнений вида

тп = пп+стп(в) + р*(в)2 тп (5*, 0*;в) =

^ пп + Стп (в) + р*(в)2 Стп2 (в) =

= пп + СТп(р*(в);в), п = 1,3,5,к . (47)

Здесь постоянная Тп (Е,*, 0*; е) получена с учетом (33) и выполненных замен. Отметим также, что между правыми частями (47) выполнены условия синхронизации, определяемые видом 0п. В связи с этим с учетом вида (42), (47) справедливы равенства тп = пт1 + ап (е) (п = 2, 3,...), где функции ап(е) определяют фазу

синхронизации. Отсюда следует, что система уравнений (24) имеет периодическое решение

¿‘п (?; е) периода Т (е) = 2(1 + ст1(р*(е);е)/п)-1

вида

г°п (?;е)=р*(Ф*(т1;е)=

= Р(е)С (е)ехР(/(пт1 +ап (е))),

Т1 = тс + ст! (р*(е);е) п = ±1,±3,. (48)

Справедливо следующее

Утверждение 3. Пусть при ееП(е0) для некоторого е0 вещественные части собственных значений матрицы (46) меньше некоторого т <0. Тогда при указанных е краевая задача (21)-(22) имеет асимптотически орбитально устойчивый предельный цикл, период которого Т(е) — 2 при е —— 0 и имеющий следующую асимптотическую формулу

и^, Р; е) = рм*( 5, Т1; е) + р3М3* (5, Т1; Р, е), т1 = п + ст1 (е) + Р2ст2 (Р, е), Р = Р(еХ

ОТ

и* (л т1;е) = Хип(5;е) (т1;е)), (49)

—ад

где функции и*(5, т1; р, е) = и*(5, т1 + 2п; р, е) и ст2 (р, е) непрерывны по совокупности переменных и бесконечно дифференцируемы по 5, т1, р .

Для доказательства утверждения 3 введем сначала два функциональных пространства. Обозначим через П1 пространство вещественных бесконечно дифференцируемых функций / (т) = / (т + 2п), через П 2 обозначим пространство вещественных бесконечно дифференцируемых функций вида /(5, т) = /(5, т + 2п) (—1 <

< 5 < 0). Считаем, что нормы в П^ =1,2) индуцированы соответствующими пространствами С. Подставим (49) в краевую задачу (21)-(22), считая и*(*) и ст2(*) искомыми величинами, предварительно перейдя к новому времени т1 . В результате с учетом тождества (25), (26) и схемы построения уравнений (24) получим для определения и3(*) и ст2(*) следующую краевую задачу:

р2и*ст2 + и*т1 (л т1; е)ст2 + и*т1(п+ст1 (е))=и*5, (50)

и3* и=—и*(0, т1;е) — (1+ е2)и*(—1 т1;е) —

—р2 3/3Щ2 (— 1, Т1; е)и*(—1, Т1; е) +

+р4Р(и* (— 1, Т1), Т1; р, е) — /-и* (—1, Т1; е), (51)

где Р (и*(—1, тД Т1; р, е) = Р (и* (— 1, тД Т1 + 2п; р, е)

- нелинейный бесконечно дифференцируемый (здесь и в дальнейшем по Фреше) действующий из П2 в П1 оператор, непрерывный по совокупности переменных и бесконечно дифференцируемый по параметру р.

Рассмотрим линейную краевую задачу

р2ист2 +и*Т1 (л т1; е)ст2 +иТ1 (п+р2 ст1 (е))=и5, (52)

и5 I=0= —и (0, т1) — (1 + е 2)и (—1 т1) —

—р2 2 м*2 (—1, т1; е)и (—1, т1) + / (т1), (53) где /(т1) еП1. При р = 0 однородная часть краевой задачи (52)-(53) имеет 2п-периодичес-кое решение и1(5,т1;е)еП2, непрерывно зависящее от е. При этом необходимым и достаточным условием существования 2п-периоди-ческого решения в краевой задаче (52)-(53) является выполнение условия

2п

| (< и1т1 (Х т1; е)ст2, и*(—•^ —т1;е) > —

0

> — / СчН* (0, —т1; е))<^ т1 = 0, (54)

которое выводится непосредственно и является обобщением условия (31). Из условия (54) однозначно определяется ст2 = ст2 (/; е). Выполнение для искомого 2п-периодического решения и (5,т1; е) дополнительного условия и(0, т1; е) = 0 определяет его однозначно. При р^ 0 2п-пе-риодическое решение краевой задачи (52)-(53) строится в виде ряда по р. При этом ст2 строится также в виде разложения по р. Несложно показать, что соответствующие ряды будут сходящимися, используя, например, схему работы [5]. Это определяет нелинейный непрерывный по совокупности переменных и бесконечно дифференцируемый по / е П1

функционал ст2 = ст2(/; р, е), а также нелинейный непрерывный по совокупности переменных действующий из П1 в П2 оператор В: и = = В(/, ст2(/; р, е); р, е), бесконечно дифференцируемый по / е П1 и параметру р.

В результате, определение 2п-периодичес-кого решения краевой задачи (52)-(53) может быть сведено к построению решения операторного уравнения

и* = В(р4 Р (и* (— 1, т1), т1; р, е) — /3м3 (—1, т1; е), ст2 (р4 Р (и3*(—1, тl), т1; Р, е) —

—/3ил(—-1, т1;е); р, е); р, е) (55)

в пространстве П2. При малых р к уравнению (55) применима теорема о неявной функции для операторных уравнений (см., например, [6]), из

которой следует существование и**(5,т1;р,е) с перечисленными свойствами.

Из ограничений, наложенных на собственные значения матрицы (46), следует асимптотическая (экспоненциальная) устойчивость состояния равновесия (р* (е), 0* (е)) системы уравнений (40), (41). Из этого, в силу выполненных замен, следует асимптотическая орбитальная устойчивость периодического решения (48)

уравнения (24), а также функции ри*^, т1; е),

т1 = п + ст1 (р* (е); е), являющейся приближенным периодический решением (с точностью до 0(р3)) краевой задачи (21), (22). Поскольку все

характеристические показатели этого периодического решения, кроме одного, равного нулю, отрицательны и меньше, чем т < 0, то поправка до точного решения, определяемая согласно (49) и имеющая порядок 0(р3), не

может изменить общего характера расположения характеристических показателей точного периодического решения. Отсюда следует асимптотическая орбитальная устойчивость периодического решения (49).

Отметим, что утверждение 3 остается в силе, если предположить, что при е е П(е0) матрица (46) имеет к собственных значений, вещественные части которых больше т1 >0, а остальные собственные значения имеют вещественные части меньше т2 <0. В этом случае существует периодическое решение периода Т(е): (Т(е) — 2 , при е — 0), которое дихото-мично. Размерность его неустойчивого многообразия равна к.

Отметим следующее. Возьмем гладкую кривую е2 = q(е1) (^(0) = 0), лежащую в области П(е0), и рассмотрим функцию р(е1) = = р(е), где е ^е^^)). Несложно заметить, что согласно (12) р(е1) является недифференцируемой при е1 =0 функцией.

5. Результаты численного анализа

Приведем некоторые результаты численного анализа нормальной формы (24) ((40)-(41))

уравнения (1). На рис. 1 приведена картина Б-разбиений [7] плоскости параметров (е1, е2) (е■ > 0, j = 1,2). При значениях ееБ0 корни

характеристического уравнения (3) находятся в левой комплексной полуплоскости. При значениях ее Б2 одна пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (3) находится в правой комплексной полуплоскости, а остальные в левой. При ее Б4 две пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (3) находятся в правой комплексной полуплоскости, а остальные в левой, и т.д. При увеличении е2 указанные

корни остаются в правой полуплоскости. На рис. 1 точечной линией условно обозначены границы последующих областей неустойчивости, характер которых аналогичен приведенным, и которые прижимаются к оси е2 при е1 — 0 .

0.05

0.10 0.15

Рис. 1

0.20 0.25

Вычисление состояний равновесия системы уравнений (40)-(41), которым в соответствии с утверждением 3 отвечают периодические решения краевой задачи (21)-(22), проводится по следующей схеме. Для последовательности «усеченных» систем уравнений, состоящих из двух (система (34)-(35)), трех и т.д. уравнений, строятся по (40)-(41) соответствующие «усеченные» уравнения «медленных» переменных. Для каждого состояния равновесия системы уравнений (40)-(41) при каждом фиксированном е строится последовательность состояний равновесия

р1(еХ р3(еХ р5(е),...,р*п(еХ 03(е), 0;(е),...,0п(е)

«усеченных» уравнений «медленных» переменных. Процесс продолжается до тех пор, пока относительная погрешность величины

Г \т

и

рп (е) =

Ер*2(е)|Х j (е)|2

V j =1

при переходе к очередному шагу не достигнет заданной точности. В приведенных ниже

0

-8

примерах она составляет 10 . Одновременно происходит проверка гипотезы, сформулированной в п. 3. На рис. 2 приведен график функции р(е), построенный для значений

(е1, е2) вдоль кривой, отмеченной пунктирной линией на рис. 1.

0.5

Рис. 2

Видна недифференцируемость функции р(е) при е = 0 .

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и

научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы», госконтракт 14.B37.21.0227.

Список литературы

1. Дмитриев А.С., Кислов В.А. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

2. Гласс Л., Мэкки М. От часов к хаосу: ритмы жизни. М.: Мир, 1991.

3. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

4. Шиманов С.Н. К теории квазилинейных систем с запаздыванием // ПММ. 1959. Т. 23, №5. С. 836-844.

5. Кубышкин Е.П. Параметрический резонанс в линейных периодических системах с последействием // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 43-76.

6. Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

7. Неймарк Ю.И. Структура Б-разбиений пространства квазиполиномов диаграммы Вышерад-ского и Найквиста // ДАН СССР. 1948. Т. 60. С. 1503-1506.

ANALYSIS OF OSCILLATORY SOLUTIONS OF A NONLINEAR SINGULARLY PERTURBED DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATION

E.P. Kubyshkin, A.Yu. Nazarov

A new method is proposed for constructing the asymptotics of periodic solutions of nonlinear delay differential equations with a small parameter in the derivative expansion. The method is based on a uniform (with respect to parameters) normalization of the differential equation, which allows reducing the problem of finding periodic solutions to the construction of nontrivial solutions of some nonlinear infinite system of algebraic equations. The conditions for the stability of periodic solutions have been studied. A comparative analysis with the results of direct numerical integration of the differential equation has been carried out.

Keywords: delay differential equation with a small parameter in the derivative expansion, asymptotic expansion of a periodic solution, normal form for a delay differential equation, stability of a periodic solution.