Локальная динамика систем разностных и дифференциально-разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛОКАЛЬНАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

И. С. Кащенко1, С. А. Кащенко1'2

1 Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова 2 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Исследуется локальная - в окрестности нулевого состояния равновесия - динамика разностных и сингулярно возмущенных дифференциально-разностных систем уравнений. Критические случаи в задаче об устойчивости этого состояния равновесия имеют бесконечную размерность. Построены специальные нелинейные эволюционные уравнения, которые играют роль нормальной формы. Показано, что их динамика определяет поведение решений исходной системы.

Ключевые слова: Квазинормальная форма, запаздывание, разностное уравнение, дифференциально-разностное уравнение.

1. Введение

Нелинейные разностные и дифференциально-разностные системы уравнений служат математическими моделями многих прикладных задач. В этом плане особо можно отметить модели в областях радиоэлектроники, нейронных сетей, клеточных автоматов и т. д. Одним из базовых объектов в теории разностных систем уравнений являются системы вида

и.п = (А + еВ)и„,-1 + F (Пи-1). (1)

Здесь п = 0,1,...; ип € Яг, А и В - г х г матрицы, е > 0 - малый параметр: 0 < е ^ 1, вектор-функция Е(и) достаточно гладкая и имеет в нуле порядок малости не ниже второго. Удобно считать, что Е(и) = Е2(и, и) + Е3(и,и,и) + ..., где Е(и,..., и) - линейны по каждому аргументу. Предполагается, что реализуется критический в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия случай, когда матрица А имеет т собственных значений, равных по модулю 1, а все остальные ее собственные значения по модулю меньше, чем 1. Известно, что при этих условиях

система (1) имеет в окрестности состояние равновесия и = 0 локальное инвариантное интегральное многообразие размерности т, на котором (1) можно представить в форме специальной системы размерности т нелинейных уравнений - нормальной форме. Отметим, что общая теория одномерных отображений достаточно хорошо изучена в [1]. Обратим внимание на построенную в [2] специальную теорию кусочно-линейных непрерывных, а в [3] - кусочно-линейных разрывных отображений. Завершенной теории даже для двумерного случая не существует, однако для различных классов нелинейностей получено много интересных результатов (см., например, [4]).

В настоящее время хорошо разработана общая методика исследования локальной - в некоторой достаточно малой окрестности нулевого состояния равновесия -динамики систем вида (1). Здесь будут существенно использованы результаты работы [5] об устойчивости нулевого состояния равновесия в различных критических случаях. Суть их состоит в том, что нормальные формы для разностных систем пред-ставимы в виде специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений для медленно меняющихся (в непрерывном времени Ь) амплитуд при гармониках линейной части (1).

Вместе с (1) рассмотрим в Кг систему с непрерывным временем

и(Ь) = (А + еБ)и(Ь - 1)+ F(и(Ь - 1)). (2)

Эта система уравнений принадлежит к классу систем уравнений нейтрального типа нулевого порядка. Её решения с кусочно-непрерывной начальной при Ь = Ьо вектор-функцией тоже будут при Ь > Ьо кусочно-непрерывными.

Условие непрерывности решений (2) с начальной функцией и(в + Ь0) = ф(з) € € С[_1;о](^г) состоит в требовании выполнения условия согласования

Ф(0) = (А + еБ)ф(-1) + F (ф(-1)). (3)

Здесь будут рассмотрены вопросы о локальной динамике решений системы уравнений (3) с кусочно-непрерывными и непрерывными с условиями согласования начальными функциями. Соответственно, установившиеся решения будут либо кусочно-непрерывными, либо стремящиеся при Ь ^ ж к кусочно-непрерывным функциям.

Отметим, что характеристический квазиполином линейной части (2) при е = 0 имеет вид

|ехр А - 11 =0. (4)

Обозначим через щ,..., хт все собственные значения матрицы А, равные по модулю 1. Тогда fЛj = ехр(гш,) (0 < ш, < 2п) и корни (4) составляют бесконечную совокупность

, = г [ш, + 2пк] , ] = 1, ..., т; к = 0, ±1, ±2,... . (5)

Таким образом, для (2) реализуется критический в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия случай бесконечной размерности. Как следствие этого факта для системы (2) характерно наличие бесконечных множеств различных локальных разрывных динамических режимов. Введем затем в рассмотрение эквивалентную системе (2) систему уравнений

и(Ь + ц) = (А + еБ)и(Ь - 1) + F(и(Ь - 1)), (6)

где

0 < ц < 1 (7)

- еще один малый параметр. Эта система получается из (2) путем простых преобразований и переобозначений. Решение (6) с начальной функцией и(в) = ф(з) € € 0](КГ) будет тоже п-раз непрерывно дифференцируемым, если выполнены условия согласования

№

<р>(ц) = (А + еВ)ц>^(-1) + Е(Ф(5 - 1))

(3 =0, ..., п).

«=0

Вместе с изучением динамики непрерывно дифференцируемых и дважды непрерывно дифференцируемых решений (2) естественным образом возникает задача изучения локальной динамики следующих двух систем уравнений

ци(г) + и(Ь) = (А + еВ)и(Ь - 1) + Е(и(Ь - 1)) (8)

1 ц2и(ь) + ци(ь) + и(ь) = (А + еВ)и(ь -1) + е(и(г -1)). (9)

Каждая из этих двух систем является системой с запаздывающим аргументом, а значит для гладкости решений (при всех Ь больше некоторого ¿о) не нужны условия согласования начальных функций. В силу (7), системы (8) и (9) являются сингулярно возмущенными.

Поставим задачу сравнительного локального анализа динамики систем (2), (8) и (9) (при достаточно малых значениях е и ц).

Характеристические квазиполиномы линеаризованных в нуле систем (2), (8) и (9) имеют бесконечно много корней, вещественные части которых стремятся к нулю при е, ц ^ 0. Тем самым и для этих систем реализуется критический в задаче об устойчивости нуля случай бесконечной размерности.

Стандартные методы локального анализа, основанные на применении методов инвариантных интегральных многообразий [6, 7] и метода нормальных форм (см., например, [8]), вообще говоря, здесь неприменимы, однако формализм метода нормальных форм существенно используется. Для изучения динамики при сформулированных условиях в [9] разработаны методы построения специальных нелинейных эволюционных систем, нелокальная динамика которых определяет локальные динамические свойства исходных систем соответственно (2), (8) и (9). Эти методы базируются на использовании некоторых формальных (бесконечных) рядов, в которых фигурируют неизвестные медленно меняющиеся по времени амплитуды-коэффициенты при гармонических решениях линейных (вырожденных) систем (2), (8), (9). Подставляя эти ряды в исходные системы и собирая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получим бесконечную систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как оказывается, эту бесконечную систему удается «свернуть», то есть записать в виде нелинейного уравнения с частными производными - в виде так называемой квазинормальной формы (КНФ). Важно отметить, что получены явные формулы, которые позволяют перейти от решений построенных эволюционных уравнений (КНФ) к решениям исходных

и

систем. По решениям КНФ будут построены главные приближения асимптотических по невязке решений (2), (8) и (9).

В настоящей работе ограничимся рассмотрением трех наиболее важных и интересных случаев, когда т = 1 и к1 = 1, когда т = 1 и к1 = -1 и когда т = 2 и ^ 1,2 = -1; 1.

Во втором разделе приведены результаты для наиболее простого случая, когда Ао имеет на единичной окружности одно простое - единичное - собственное значение. Отметим, что полученные для (2) и (8) в этом случае результаты довольно просты, а для (9) являются новыми. В третьем разделе рассмотрен существенно более интересный случай, когда т = 1 и матрица А имеет собственное значение -1. В частности, будет показано, что динамика всех трех систем (2), (8) и (9) может принципиально отличаться. Наконец, в четвертом разделе рассмотрены ситуации, когда т = 2 и 2 = 1; -1. Особый интерес здесь представляет рассмотрение

п 2п

резонансных случаев Ш1,2 = ±— и Ш1,2 = ±—.

2 3

Будут выявлены сходства и различия динамических свойств уравнений с дискретным и с непрерывным «временем", а также разрывных и гладких решений исходных систем уравнений.

Замечание 1.1. Из приведенных ниже результатов можно сделать вывод о том,

что использование систем вида (9) с более старшими производными (— ц3 и и т. д.)

6

интереса не представляет.

В плане обсуждения поставленной задачи обратим особое внимание на важность вывода систем уравнений с запаздыванием (8) и (9) из системы (6). Поясним сказанное. Для этого рассмотрим систему уравнений нейтрального типа в форме

Си(Ь) = Би(г - 1) + F(и(Ь - 1)).

Согласно идеологии вывода систем (8) и (9) здесь возникают системы уравнений

цСи(Ь) + Си(Ь) = Би(г - 1) + F(и(Ь - 1))

и

1 ц2Си(Ь) + цСи(Ь) = Би(г - 1) + F(и(Ь - 1)).

Эти системы уравнений нейтрального типа и сингулярно возмущенные системы с запаздыванием сводятся, очевидно, к системам вида (2), (8) и (9), соответственно. Если же вместо последних двух систем рассматривать системы

ци(Ь) + Си(Ь) = Би(г - 1) + F(и(Ь - 1))

и

2 ц2и(Ь) + ци(Ь) + Си(Ь) = Би(г - 1) + F(и(Ь - 1)),

то, вообще говоря, задачи о динамике решений уравнений с малым параметром ц могут не иметь ничего общего с уравнением нейтрального типа (при ц = 0).

Замечание 1.2. Обратим внимание еще на одно обстоятельство, подчеркивающее важность вывода систем (8), (9) из системы (6). Для этого рассмотрим две системы дифференциально-разностных уравнений

и(Ь) + и(Ь) = (А + еБ)и(Ь - т) + F(и(Ь - т))

и

и(Ь) + аи(Ь) + и(Ь) = (А + еБ)и(Ь - т) + Е(и(Ь - т)) (а > 0).

Будем предполагать, что запаздывание т достаточно велико: т = ц-1, 0 < ц ^ 1. Тогда в результате замены времени Ь ^ тЬ приходим к системам

ций(^) + и(Ь) = (А + еБ)и(Ь - 1) + Е(и(Ь - 1))

и

ц2й(£) + аци(Ь) + и(Ь) = (А + еБ)и(Ь - 1) + Е(и(Ь - 1)).

Первая из этих систем совпадает с (8), а вторая отличается от (9) параметрами левой части. Ниже будет показано, что в последнем случае динамика может существенно отличаться от динамики системы (9).

2. Случай простого единичного собственного значения матрицы А

2.1. Здесь считаем, что т = 1 и = 1 (ю1 = 0). Отметим, что модельный -в случае, когда размерность г = 1 - вид системы (1) такой

уп = Уи-1 + еЬоУи-1 + су2п-1 + о(е2 + \vn-if + еуЩ-1).

При выполнении условий невырожденности Ьо = 0 и с = 0 локальная динамика этого уравнения определяется динамикой укороченного уравнения

Уи = (1 + еЬо)Уи-1 + су2п-1.

Очевидно, имеется ровно два состояния равновесия, устойчивость которых определяется просто.

2.2. Рассмотрим систему (2) при т = 1; к1 = 1. Обозначим через а собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению = 1, а через Ь - собственный вектор сопряженной к ней матрицы А*, отвечающий такому же собственному значению. Удобно нормировать а и Ь так, чтобы (а, Ь) = 1. Напомним, что характеристическое уравнение (4) имеет корни = 2тк (к = 0, ±1, ±2, ...), а все остальные его корни имеют отрицательные вещественные части.

Согласно методу КНФ [9,10], введем в рассмотрение формальный ряд

те

и(Ь, е) = е ^ рк(т) ехр(2лгк£)а + е2и2(т, Ь) + ... , (10)

к=-те

где т = еЬ - медленное время; рк (т) - неизвестные, медленно меняющиеся «амплитуды» при периодических гармониках-решениях линейной (при е = 0) системы (2); вектор-функции и(т, Ь) периодичны по Ь с периодом 1. Подставляя (10) в (2) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях е, на втором шаге получим уравнение

те

для определения выражения р(т, х) = ^ Рк(т) ехр(2лгкх)

к=-те

др = Ьор + ср2, р(т,х + 1) = р(т,х). (11)

Здесь b0 = (Ba, b), c = (F2(a, a),b) и использовано соотношение Р(т — e, x) =

= S(T,x) — еЦТТХ1 + o(e2).

Заметим, что эта КНФ - обыкновенное дифференциальное уравнение с периодически меняющимся параметром x - анализируется тривиально.

2.3. Построение КНФ для системы (8). Сначала дополнительно предполагаем, что параметры e и ц связаны соотношением

ц = ge1, (12)

где значение параметра g > 0 как-то фиксировано.

Подставляя ряд (10) в (8) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях e, на втором шаге получим КНФ - параболическую краевую задачу для определения

1(т,х)

дР g2 г)2р ЯР

дТ = -29x2+g'2i+b»P+cp2' Р(т'х+1)-Р(т'х)- (13)

Определенное при всех т > то решение этой краевой задачи позволяют определить асимптотическое по невязке решение (8) с помощью формулы

u(t,e) = e P(et, t)a + o(e3).

Предположим затем, что выполнено соотношение

ц = gea (а > 0).

Тем самым к краевой задаче (13) сводится случай а = 2. Динамика (в главном) при

0 < а < 2 тривиальна: снова приходим к (13), но при bo = 0.

2.4. Существенно более интересен случай, когда

а > 1. (14)

Здесь используем результаты из [11]. Введем несколько обозначений. Фиксируем произвольное значение z = 0 и через 6 = 0(e, z) € (0, 1] обозначим такую величину, для которой значение ze 2-а + 6 является целым. Рассмотрим параболическую краевую задачу

de = Z~f 0 + boP + cP2, Р(т, У + 1) - Р(т, y). (15)

Определенное при всех т > So и ограниченное при т ^ то решение этой краевой задачи доставляет асимптотическое по невязке решение u(t, e) уравнения (8) с помощью формулы

u = ep(et, (ze2-а + 6)t) + o(e).

Таким образом, в качестве квазинормальной формы выступает однопараметрическое семейство (зависящее от параметра z) краевых задач (15).

При условии (14) роль квазинормальныхх форм играют и существенно более сложные краевые задачи [11]. Опишем их структуру. Фиксируем произвольно целое

п > 1 и рассмотрим произвольный набор чисел гг, .., гп (г- = 0). Через 0- = = 0- (г-, е) € (0, 1] обозначим значение, для которого выражение г-е2-а + 0-является целым. Рассмотрим краевую задачу

дт = 1Т (г! дт + - + гпдг) ' ? + Ъо? + с ?2 (16)

дт 2 \ дуг дуп)

с 1-периодическими по каждому из у- краевыми условиями. Главный вывод заключается в том, что по ограниченному при т ^ то решению ?(т, у, ..., уп) этой краевой задачи восстанавливаем асимптотическое по невязке решение уравнения (8). Сформулируем соответствующее утверждение более точно.

Теорема 1. Фиксируем произвольно натуральное п и произвольный набор вещественных чисел гг, ..., гп (г- = 0). Пусть уравнение (16) имеет ограниченное

д2? -ду2

всем уг, ..., уп решение ?(т, уг, .., уп). Тогда система уравнений (8) имеет асимптотическое по невязке решение и(Ь, е), для которого

по т при т ^ то вместе с производными (г = 1,... ,п) и 1-периодическое по

и(Ь,е) = е?(еЬ, (гге2-а + 0г)^, ..., (гпе2-а + 0п)Ь) + о(е).

Отметим, что устойчивым решением краевой задачи (15) может быть только состояние равновесия. По-видимому, этот же вывод справедлив и для (16).

2.5. Рассмотрим вопрос о поведении решений уравнения второго порядка с запаздыванием (9). Сначала остановимся на наиболее интересном случае, когда

Ц = де3. (17)

Рассмотрим характеристический квазиполином линеаризованного в нуле уравнения (9)

1 2 1

2д2езX2 + дезX + 1 = (1 + еЪо) ехр(—X). (18)

Вещественные части бесконечно многих корней Хк (е) уравнения (18) стремятся к нулю при е ^ 0 и нет корней, вещественные части которых положительны и отделены от нуля при е ^ 0. Асимптотическое разложение для Хк (е) имеет вид

Ъо + д3 ^ 1(2пк)3г + 2лкг^

4

+ о(ез). (19)

Хк(е) = 2пкг — е3 д2пкг + е3 д 2пкг — е Введем в рассмотрение формальный ряд

те

и(Ь,е) = е ^ Тк (т) ехр 2лк^1 — е3 д + е2 д2^ Ь +е2п2(Ь, т) + ..., т = еЬ. (20)

к=-те

Подставляя (20) в (9) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях е, на втором шаге получаем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для Тк (т). Как оказывается, эта система уравнений представима в виде одного

те

уравнения для ?(т, х) = ^ ек(т) ехр(2пкгх)

к=-те

§=д310—д31+ъот+* (21)

с периодическими краевыми условиями

р(т, х + 1)= р(т, х). (22)

Очевидно, краевая задача (21), (22) имеет два однородных состояния равновесия р = 0 и р = —Ьос-1. Первое устойчиво при Ьо < 0, а второе - при Ьо > 0 (с = 0). Для этой же краевой задачи просто строятся бегущие волны - 1-периодические решения вида р(у), где у = шпт + пх (п = 0, ±1, ±2, ...). Для р(у) тогда получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

1 3 3 д3р , 3 лдр

6ду3 — + д3п) ду

гУП37Г^ - (®п + Уп)^т + ЬоР + ср2 = 0. (23)

Положим здесь шп = —д п--д п — (-д п ) 1о и V = (-д п ) 1. Опуская

3 6 6

индекс п, из (23) приходим к уравнению

В +4п2(-+ I

+ 4п2(1 + v(Ьоe + с р2)=0. (24)

При каждом фиксированном о и при достаточно малых значениях параметра V это уравнение имеет периодическое решение периода Т(V) = 1 + о(V) и

Ро(у1, е) = ^2Ьо(2с)-1 ео8 2лу1 — Ьо(2с)-1 + o(v),

где у1 = (1 + о^))у. Распорядиться фигурирующим в (24) параметром о = о^) можно так, чтобы Т(V) = 1. Таким образом при всех достаточно малых V или, что то же самое, при всех достаточно больших значениях п краевая задача (21), (22) имеет периодическое решение

Р(т, х) = Ро —

2я2

д3п + — д3п3 + vn0(vn)

т + пх) (vn = (1 д3п3)-1).

Исследование устойчивости рп(т, х) сводится, очевидно, к определению асимптотики при V ^ 0 таких собственных значений А = А^) периодической краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

г]3р яр

-ф + 4п2(1 + o(v2))Л + Ьо + 2ср(т, х)р = А?

(25)

которые стремятся к нулю при V ^ 0. Таковых, очевидно, три. Одно из них, конечно, нулевое, а два других А^) и А2^) вещественны, таковы, что А^ (V) = vАj1 + о^2) (] = 1, 2) и А11А21 < 0. Тем самым одно из Аj (V) положительно, а значит все периодические решения рп(т, х) при достаточно больших п неустойчивы.

2.6. О некоторых распространениях полученных утверждений.

2.6.1. Пусть в системе (9) для параметра ^ выполнено условие ^ = деа, где

1

а > з.

Соответствующие квазинормальные формы получаются из краевой задачи (21), (22)

д id д

заменой в ней оператора ——^ на оператор Х1 —--+ • • • + хп——

дх3 \ ох\ дхп

2.6.2. В том случае, когда в (11), (13), (21) выполнено равенство с = 0, следует, очевидно, перейти к рассмотрению кубической нелинейности с1и3(Ь - 1). В результате приходим к нормализованным краевым задачам вида (11), (13), (21), в которых слагаемое с I2 следует заменить на й I3. Установившиеся режимы здесь имеют амплитуды порядка е 2. Для нахождения бегущих волн соответствующего уравнения приходим к задаче определения 1-периодических решений обыкновенного дифференциального уравнения-аналога (24)

+4п2(1+ vo) dy3 dy

—3 +4п2(1 + vo) —- + v(boe + dr) = 0, 0 < v < 1.

При условии bo > 0 и d < 0 (и при подходящем выборе функции o = o(v)) это уравнение имеет состояния равновесия l = 0, l = ±l0, где l0 = (—b0d-1) 2 и 1-периодические решения

2

Ыу, v) = I0 cos 2ny + o(v)

и

ll,2(y, v) = lo + I0 cos 2ny + o(v).

Тем самым исходное уравнение имеет неустойчивое состояние равновесия u = 0, два устойчивых однородных состояния равновесия u1;2 = ±е 210 + о(е) и - при достаточно больших п - три семейства периодических решений uin, U2,n, из,п, причем

ui,2,n(t, е) = ±^0

+ cos(^n(l + vnO(vn))et + пж) + о(1)

u3,n(t, е) = е210

2

^ cos(wn(1 + vnO(vn))et + пж) + о(1) _ V3

Все решения и\пп{Ь, е) и и2>п(Ь, е) неустойчивы, а все решения и3п(Ь, е) орбитально асимптотически устойчивы.

Замечание 2.1. В этом и следующих параграфах фигурируют краевые задачи, содержащие произвольный параметр х (формула (15)). После замены х — хх получаем параболическое уравнение без параметра, а параметр входит только в краевые условия. Тем самым речь идет о построении решений параболического уравнения с произвольным периодом по пространственной переменной. В этой связи актуальной становится задача о решениях уравнения вообще без краевых условий. Тогда для уравнения из (15) применима, например, известная методика Колгомогорова-Петровского-Пискунова [12].

2.7. Квазинормальные формы для системы уравнений

рр,2и(£) + Цй(г) + и(г) = (НА + еВ)u(í - 1) + си2(г - 1) + du3(í - 1) + ... . (26)

Эта система является несколько более общей, по сравнению с (9). В ней присутствуют два новых параметра р > 0 и Н. Система (26) переходит в (9) при р = ^ и

Н = 1. Здесь коротко остановимся на описании локальной динамики (26). Подробно соответствующие результаты приведены в [13].

Предположим сначала, что выполнены условия

0 < р < 1 (27)

и

ц = деа и а = 2 • (28)

Тогда при 0 < \Н\ < 1 и при достаточно малых е и ц все решения (9) из некоторой (достаточно малой и независящей от е и ц) окрестности и = 0 стремятся к нулю при Ь ^ <х>. Если же \Н\ > 1, то характеристический квазиполином

рц2А2 + цА + 1 = Ь ехр(-А) (29)

имеет корень с положительной (и отделенной от нуля при малых е и ц) вещественной частью. При условии \Ь\ = 1 бесконечно много корней (29) стремятся к мнимой оси

при е, ц ^ 0. В этом случае динамика (9) описывается [13] при а = 2 поведением решений КНФ

дЪ /1 N г)2р

Жх = д\2 - ^ д^ + - (* + с2)^3' У + 1) = У), (30)

а связь (30) и (9) устанавливает соотношение

и(Ь, е) = е11(еЬ, Ь + /ед(1 + о(е1 ))Ь) + о(е).

1

При а > — ситуация в основе своей повторяет построения, приведенные

2 д2

выше в п. 2.4: оператор заменяется на вырожденный параболический

ду2

д д )2 . .

21 —--+ ... + ,п—— , решение и(Ь, е) становится быстро осциллирующим по

дуг дуп)

«пространственной» переменной:

и(

ь(г, е) = /еЪ (еЬ, (гге1 "а + Ь + /едг^ + о(1))Ь, ...,

... ,е1 "а + Ь + /едхп(1 + о(1))^ + о(е).

Если же

Р > 1, (31)

то ситуация существенно сложнее [13]. Введем в рассмотрение функцию

Н(р) =

(2Р2Г(2р - 2)

2

При условии (31) эта функция положительна, монотонно возрастает и Н(—) = 1. Тогда при 0 < \Н\ < Н(р) все корни (29) имеют отрицательные вещественные части, отделенные от нуля при малых е и При \Н\ > Н(р) имеется корень квазиполинома (29) с положительной (и отделимой от нуля при 0 < е, ^ ^ 1) вещественной частью. Таким образом, в изучении нуждается только случай, когда в (9)

\Н\ = Н(р). В [13] показано, что при а = ^ динамика (9) определяется тогда поведением решений параболической краевой задачи для комплексной функции ?(т, у) с 2п-периодическими краевыми условиями

дт = в1 Й + дт + вз? + в4 № ? дт ду2 ду

Значения вcех комплексных коэффициентов в 1, ..., Р4 приведены в [13]. Таким образом динамика (9) в случае (31) существенно сложнее, чем в случае (27). Отметим,

1 д2 ( о о 4 2

что при а > -, как и выше, оператор 7—2 заменяется на 21 —--+ ... + г.

2' .....' ""ду2 .............. У'ду1 .....""пду,

И дуп

Решение и(г, е) связано с ?(т, у1, ..., уп) формулой

^ур—1 (ре)_1(1+о(1))г т (ег, (^е1 -а+61 + /едгх+о(/£)) г,

и(г, е) = \[е ехр

. (,гпе1 -а + 6 п

ехр

р - 2 (ре)_1(1 + о(1))г Т (ег, (г1е1 -а + 61 + /едг1 + о(/£)) г,..., ... (п1 -а + 6п + /едг1 + о(/£)) г) + о(/е).

3. Случай простого собственного значения к1 = —1 матрицы А

3.1. Этот случай существенно более содержателен по сравнению с предыдущим.

Отметим, что простейшим модельным уравнением здесь служит уравнение

ип = (—1 + еЬо )ип-1 + сип-1 + йип-1 + ....

Характеристическое уравнение (4) имеет на единичной окружности корни

и = ехр[(2к + 1)яг], к = 0, ±1, ±2,....

Пусть Аа = —а, А*Ь = —Ь и (а, Ь) = 1. Ниже предполагаем, что выполнены условия невырожденности

Ьо = 0, й + с2 = 0.

Для исследования системы уравнений (2) введем в рассмотрение формальный ряд

те

и(г, е) = е 2 а ?к (т)ехр[г(2к + 1)пг] + еи2(г, т) + е 2 и3 (г, т) + ..., (32)

к=—оо

в котором т = et, pk (т) - неизвестные «амплитуды» при соответствующих гармониках, зависимость функций Uj (t, т) от первого аргумента является 2-периодической. Подставляя (32) в (2) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях e,

3

на третьем шаге (то есть собирая коэффициенты при e2) из условий разрешимости

те

уравнений относительно u3(t, т) получаем уравнение для р(т, x) = Pk(т) х

k=—^о

х exp(i(2fc + 1)nx) др

дт = bop - (d + с2)р3, р(т, x + 1) = -р(т, x). (33)

Отметим, что при b0 > 0 и (d + с2) < 0 и при каждом x € [0, 2п] краевая задача (33) имеет множество разрывных периодических решений, которые принимают два значения: р0 = ±[b0(d + с2)—*] 2.

3.2. Рассмотрим вопрос о построении гладких асимптотических по невязке решений системы (8). Предположим сначала, что для некоторой постоянной g > 0 малые параметры ц и e связаны соотношением

Ц = gVe- (34)

Тогда локальная динамика системы уравнений (8) определяется [9] (нелокальным) поведением решений параболической краевой задачи

яр i д 2р дР

дт = 2g2ёф + g2Ъу + boP - (d + с2)Р3, Р(т> y + 1) - -Р(т, y). (35)

Решения системы (8) и (35) связаны асимптотическим равенством

u(t, e) = Veap(et, t + /eg(1 + o(1))t) + eu2(et, t + e2(g + o(1))t) + ....

Таким образом при условии (34) получаем асимптотическое представление для гладких решений системы уравнений (8). Отметим, что при условии

ц = gea (36)

и при 0 < a < ^ получаем краевую задачу (35) при b0 = 0. Тем самым этот случай интереса не представляет.

3.3. Быстро осциллирующие решения (8). Пусть в (36) для параметра a верно неравенство

a > 1. (37)

Как и выше, через z будем обозначать произвольную постоянную, а через 6 = = 6(z, e) € (0, 1] такую величину, которая дополняет выражение ze1/2—a до целого. Пусть р(т, у) - ограниченное при т ^ то решение краевой задачи

Яр 1 Я2р

дт = 2g2z2ду* + Ьор - (d + с2)р3, р(т, у + 1) - р(т, у). (38)

Тогда формулой

u(t, e) = л/ёр(бЬ, t(ze1 —a + 6) + gz(1 + o(1))/et)

доставляется асимптотическое с точностью до о(е) решение системы уравнений (8). В более общей ситуации функция ?(т, у\, ..., уп) - решение уравнения

1 = 1 (*1 дУт + ••• + ¿п дУ-У I + ЬоЧ - V + с2)?3.

дт 2 \ дут дуп

Рассматриваются либо 2-периодические, либо 1-антипериодические условия по каждой из переменных ут, ..., уп, причем количество 1-антипериодических условий обязательно нечетно.

Для решения ?(т, ут, ..., уп) этого уравнения с соответствующими краевыми условиями имеет место утверждение теоремы и асимптотическая формула для решения и(г, е) системы (8)

п(г, е) = /е? (ег, (¿те1 "а + г + /едг1(1 + о(1))г, ...,

... (ъ,е1 "а + 6п) г + /~едхп(1 + о(1))г) + о(е1).

Заметим, что функция г(т, гду) = ?(т, у, ..., у), где г = (г1 + • • • + гп) является решением уравнения

дг д2г . , 2. 3

дт = ду2 + ^ - + с2)г3. 3.4. Построение КНФ для системы уравнений (9). Пусть сначала выполнено условие

и = де1/3.

Подставляя формальный ряд (32) в (9) и собирая коэффициенты при одинаковых

1

степенях е з, приходим на третьем шаге к КНФ

I=1 д30 - д31+«- с+<2>?•■ (39)

?(т, у + 1) з -?(т, у), (40)

где т = ег, у = г - е1/3дг + е2/3д2г. Напомним, что решения этой краевой задачи и системы (9) связаны соотношением

и(г, е) = е2а?(ег, г - е1/3дг + е2/3д2г) + о(е2).

Если же ц = деа и а > 3, то, как и во втором разделе, соответствующие совокупности семейств КНФ получаются из (39), (40) путем замены там оператора

3 Т1 д3 д \ 1 3 Т д д 4 3

д »6ду3- ду) наоператоры 6д ^ дуг + ••• + гкЩк

д? =1 д3 (*1 дд;+•••+3+ьо? - ('+с2)?3. (41)

Следует рассматривать такие краевые условия для (41), которые по каждому из у у , (] = 1, ..., к) либо 2-периодичны, либо 1-антипериодичны, но количество переменных с антипериодическими краевыми условиями должно быть обязательно нечетным. Сформулируем итоговое утверждение.

Теорема 2. Пусть для некоторого натурального к и для некоторой совокупности вещественных (ненулевых) чисел г1, ..., гк уравнение (41) с соответствующими

°у|

(г = 1,... ,к) решение ?о(т, у1, ..., ук). Тогда система уравнений (9) имеет асимптотическое по невязке решение и(г, е), для которого

краевыми условиями имеет ограниченное при т ^ ж> вместе с производными

и(г,е) = е1 а?0 (ег, (г1е1 а + 61 — е1 дг1 + е 3 д2г^)г,...,

... (гке1 -а + 6к — е3дгк + е3д2г2к)^ + о(е1).

Замечание 3.1. Как и в п.2 из второго раздела для КНФ (39), (40) и (41) можно довольно просто конструировать, используя бифуркационный метод Андронова-Хопфа, бесконечные семейства периодических бегущих волн вида Тп = ?п(«пт + п(2п + 1)у).

Замечание 3.2. Пусть функция ?(т, у1, ..., ук) являются решением уравнения (41). Тогда функция п(т, у) = ?(т, Ьу, ..., Ьу), где 8 = (г1 + ... + гк)до- з является решением уравнения

^ = ъуЗз + Ьоп — (й+с2)л3.

3.5. О квазилинейных разностных и дифференциально-разностных уравнениях. Изложенный выше подход распространяется, очевидно, и на квазилинейные разностные уравнения. Пусть, для примера, имеем квазилинейную разностную систему

и(г) = —и(г — 1) + е/ (и(г — 1)), 0 < е < 1 (42)

или квазилинейную дифференциально-разностную систему

ци(г) + и(г) = —и(г — 1) + е/(и(г — 1)), 0 <е, ц < 1. (43)

Динамика (42) в главном тогда описывается КНФ-уравнением для 1-антипериоди-ческой по второму аргументу «амплитуды» ?(т, х) (?(т, х + 1) = —?(т, х))

-1

^ = /о(Т), где т = ег, /о(Т) = - (/(—?) — /(?)). (44)

При ц = де 1 динамика (43) описывается квазинормальной формой

от 1 О 2?

I = 2д2Ш + /о(Т), х + 1) - —х). (45)

Функция и(г,е) в (42) и (43) связана с ?(т,х) равенством и(г,е) = ?(ег, г) + О(е). В [9, 10] отмечалось, что динамические свойства уравнений (44) и (45), а значит и (42) и (43), могут существенно отличаться. Поясним сказанное. Пусть, для примера, уравнение /о(?) = 0 имеет корни То = 0, ?1, —?ь ..., ?т, —?т и 0 < < • • • < ?т. Пусть, далее, (—1)-7'/'(?) > 0. Тогда уравнение (44) при каждом

х имеет (неустойчивое) однородное состояние равновесия р = 0 и неоднородные состояния равновесия (1-антипериодические по х), принимающие только два значения ^ и , устойчивость которых чередуется. В этих условиях относительно краевой задачи (45) заключаем, что она может иметь только состояния равновесия, близкие при каждом фиксированном х и при ^ ^ 0 либо к р1, либо к —рь

4. Динамика систем (2), (8) и (9) в случае, когда матрица А имеет два собственных значения 2 = ехр ±гю

Пусть Аа = к1а, А*Ь = и2Ь и (а, Ь) = 1.

4.1. Динамика при выполнении условия отсутствия главных резонансов. Здесь

я 2я

предполагаем, что 0 < ю < 2я и ю = —, ю = я, ю = —.

2 3

Отметим, что простейшие резонансные случаи ю = 0 и ю = я рассмотрены я 2я

выше, а случаи ю = — и ю = — будут рассмотрены ниже. 23

При сформулированных условиях характеристический квазиполином (4) имеет бесконечно много корней Х+ и Х— (к = 0, ±1,...), лежащих на мнимой оси,

Х± = ±г(ю + 2кя). Введем в рассмотрение формальный ряд

и(Ь, е) = е 1 (р(т, х) ехр(гюЬ)а + р(т, х) ехр(—гюЬ)а) + еи2(Ь, т) + ези3(Ь, т) + ... ,

(46)

те

где т = еЬ, х = Ь, р(т, х) = ^ (т) ехр(2ягкх), а зависимость от первого аргу-

к=—те

мента функции щ (Ь, х) является 1-периодической.

Подставим (46) в (2) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях е. Функцию р(т, х) предполагаем достаточно гладкой по т. На втором шаге тогда находим, что

и2(Ь, т) = |р|2Ь1 + рЬ ехр(2гюЬ) +12 Ь2 ехр—2гюЬ), а для векторов Ь1 и Ь2 верны равенства

Ь1 = (I — А)-1 (^(а, а) + *2(а, а)), Ь2 = (ехр(2гю)1 — А)-1 ехр(—2гю)Е2(а, а).

3

На третьем шаге, собирая коэффициенты при е 2, из условия разрешимости получающейся системы относительно и3(Ь, т) приходим к комплексному уравнению (КНФ) для нахождения неизвестной амплитуды р(т, х)

др

дт = У? + б|Р|2Р, р(т, х + 1) = р(т, х).

Здесь у = ехр(—гю)(А1а, Ь), б = ехр(—гю) ((Е3(а, а, а) + Е3(а, а, а) + Е3(а, а, а) + +^г(Ь1, а) + ^(а, Ь1) + ^2(Ь2, а) + *2(а, Ь2)), Ь).

Приведем квазинормальные формы для двух систем уравнений (8) и (9). Ограничимся только рассмотрением в некотором смысле основного случая, когда в (8) ^ = де2, а в (9) - ^ = де з. Другие соотношения, связывающие малые параметры е и (1 исследуются по аналогии с изложенным выше.

Для корней (е) и Хк(е) (к = 0, ±1, ±2, ...) характеристического квазиполинома, отвечающего линейной части (8), верны асимптотические формулы

(е) = г(ш + 2кп) — е 2 дг(т + 2кп) +

—1 д2(4п2к2) — 2д2шкл + гд2кп — ^ д2ш2 + гд2ш + у

+ е

Рассмотрим решение (8) в виде формального ряда

+

и(Ь, е) = е2 (Ъ(т, у) ехр[гш(1 — е2д)Ь]а + Ъ(т, у) ехр[—гш(1 — е2д)Ь]а) +

+ еп2(Ь, т) + е2п3(Ь, т) + ..., (47)

где у = £ — е2 д£, т = е^ Для нахождения неизвестной амплитуды Ъ(т, у) получаем квазинормальную форму - комплексное параболическое уравнение типа Гинзбурга-Ландау

дЪ 1 дЪ 1

дт = 2д2^ + д2(1 + г®)^ + (у+д2®(г — 2-))Ъ+¿1Ъ|2Ъ, Ъ(т,у + 1) = Ъ(т,у). (48)

Для корней соответствующего характеристического квазиполинома для уравнения (9) верна асимптотическая формула

(е) = г(ш + 2пк) — е з дг(ш + 2пк) + е з д2г(ш + 2пк)+

+ . . . ,

—1 гд3(ш + 2пк)3 — гд3(ш + 2пк) + у 6

+е

а аналог формулы (6) имеет вид

и = е2 (р(т, у) ехр[гш(1 — е2д + езд2)£]а+

+ !(т, у)ехр[—гю(1 — е3д + е3д2)£]а) + еи2(£, т) + ... , (49)

12 2 . . где у = £ — е з д£ + е з д2£, т = е£. Для нахождения Ъ(т, у) получаем квазинормальную

форму - краевую задачу

др д3 д3Ъ шд3 д2Ъ 3 / 1 ^ др

дт 6 ду3 + 2 ду2 д \ + 2 ® ) ду +

+

(1+2 -2)

Ъ + ^|р|2Ъ, Ъ(т, у + 1) = ъ(т, у). (50)

гд3®3 . 3

У--«--гд ®

6

Основной результат состоит в том, что с помощью формул (47), (49) по решениям квазинормальных форм (48), (50) определяются асимптотические по невязке решения систем уравнений (8), (9), соответственно.

Отметим, что в (48) и (50) просто определяются бегущие волны - решения вида pn = рп exp(iox + 2nniy). Для (48) таких решений всегда конечное число, а для уравнения (50), например, при условиях Re y > 0 и Re d < 0 их бесконечно много и у всех у них одинаковая амплитуда pn = ро = [—(Re y)(Re d)-1] 2. Используя приведенные выше построения, можно исследовать вопросы о существовании, асимптотике и устойчивости решений краевой задачи (50) более сложной, по сравнению с бегущими волнами, структуры.

4.2. Нормальные и квазинормальные формы в случае резонансного соотноше-п

ния ю = —.

2

п

При условии ю = 2 подставим формальный ряд (46) в (2). Собирая коэффициенты при одинаковых степенях е, на третьем шаге получим уравнение для p(x, x)

dp

дТ = Y? + d|p|2p + pexp(—2nix)p , p(x, x + 1) = p(x, x). (51)

Параметры y и d те же, что и выше, а

p = (—i)[(F3(a, а, а) + F2(b2, а) + b2), b)] .

Отметим, что при p = 0 и при условиях Re Y > 0, Re d > 0 уравнение (51) имеет простейшее периодическое решение - бегущую волну Ро(х) = = [—(Re y)(Red) ] 2 exp(irnox), где юо = Im Y + (Im d)[—(Re Y)(Re d)-1]. При p = 0 решений вида const exp(iox) (o = 0) не существует.

Рассмотрим вопрос о состоянии равновесия уравнения (51). Положим p = р exp^), где р > 0. Тогда для нахождения р и ф приходим у системе уравнений

|Y + dр2|2 = р2|р|2, (52)

p exp[—i(4ф + 2nx)] = —(y + р2d)р-2. (53)

Первое из этих двух уравнений представляет собой вещественное уравнение второго порядка относительно р2. Если |p|2 > |d|2, то значение р2 из (52) определяется единственным образом. Если же 0 < |p|2 < |d|2, то условия существования положительного корня, а их тогда обязательно два, формулируется в виде неравенства

yd + yd < 0.

Определив положительный корень из (52), из (53) находим соответственно 4, если этот корень один, и 8, если таких корней два, значений величин ф = ф-. Важно подчеркнуть, что все ф- = ф- (x) представимы в виде ф- = ф-о + Пx, где ф-о не зависят от x. Таким образом уравнение (51) не может иметь ненулевого непрерывно зависящего от x 1-периодического состояния равновесия. Разрывных и 1-периодических по x состояний равновесия можно, очевидно, компоновать множеством способов.

Сформулируем результаты об устойчивости состояний равновесия уравнения (51) при каждом фиксированном x. Для определенности условимся считать, что при наличии двух положительных корней р12 и р22 у уравнения (52) выполнено неравенство 0 < р2 < р2.

Лемма 1. Пусть |р|2 > Щ2. Тогда уравнение (51) имеет четыре ненулевых состояния равновесия ^ = р1 ехр (] = 1, ..., 4), причем все они неустойчивые.

Лемма 2. Пусть 0 < |р|2 < |Щ|2. Тогда уравнение (51) имеет 8 состояний равновесия 5 = р1 ехр Щj (] = 1, ..., 4) и 5 = р2 ехр Щj (] = 5, ..., 8). Состояния равновесия 51, ..., 54 неустойчивы, а , ..., 58 - асимптотически устойчивы.

Простые доказательства этих утверждений опустим.

При рассмотрении системы уравнений (8) для нахождения 5(т, у), где т = еЬ, у = Ь — е 2 дЬ, приходим к параболической краевой задаче

I =1 д2 0+д2(1+|++д2Ч'—2")) 5+«|2р+

+ рехр(—2пг(у + е-1/2дЬ))%3, 5(т, у + 1) = 5(т, у). (54)

Последнее слагаемое в уравнении (54) является быстро осциллирующим по времени т, поэтому можно воспользоваться известным (см., например, [14]) принципом усреднения. В результате для нахождения главного члена асимптотики функции 5(т, у) приходим опять к краевой задаче (48). Таким образом в нормальной фор-

п

ме (51) влияние резонансного соотношения ю = 2 существенно, а в квазинормальной форме (54) им можно пренебречь.

При рассмотрении системы уравнений (9) в случае ^ = де1/3 для 5(т, у) получаем краевую задачу, которая отличается от (50) только тем, что в правую часть добавляется слагаемое рехр—2пг(у + е-1/2дт))5 .

3.3. Нормальные и квазинормальные формы в случае резонансного соотноше-2п

ния ю = —.

3

п

В отличие от предыдущих случаев, когда ю = п или ю = 2, нормализованное

уравнение здесь будет содержать и квадратичное и кубическое слагаемые. Тем самым амплитуду и саму зависимость от времени нельзя пронормировать так, чтобы исключить из уравнения малый параметр е. Поэтому в качестве аналога формального ряда (46) имеем

и(Ь, е) = т) ехр(гюЬ)а + х) ехр(—шЬ)а + и2(Ь, х) + ... , (55)

причем по первому аргументу функции в правой части (55) являются медленно (при е ^ 0) меняющимися, по второму аргументу они 1-периодичны, амплитуда 5(т, х) достаточно мала (при е ^ 0) и каждое последующее слагаемое в (55) имеет более высокий порядок малости по сравнению с предыдущим. Подставляя (55) в (2) при х = Ь и производя стандартные действия, приходим к уравнению для 5(т, х) с точностью до о(е) и 0(|5|4)

дь = еу5 + Щ\Е\25 + д ехр—2пгх)5 , 5(т, х + 1) = 5(т, х), (56)

где д = ехр—43П) (^(а, а), Ь).

При рассмотрении системы уравнений (8) в случае ц = де 2 получаем краевую задачу параболического типа для нахождения достаточно гладких асимптотических по невязке решений

I = + ^ + »>I + е^ + д2» (< + 2») ) 5 + ^|25+

1 —2

+ дехр(—2лг(у + е2*))5 , 5(4, у + 1) = 5*1, у). (57) Соответственно, в случае уравнения (9) для ц = де з приходим к краевой задаче

dp g3 д3p g3 д2p 3 / 1 Л dp Г д3ю3 3

Si = 4 ду3 + е'ю 2 dy2 — eg3(.1 + 2^J дУ + е " '

y — i—z— ig ю 6

p+

+ d|p|*p + qexp[—2ni(y + е2t)]p', p(t, y + 1) = p(t, y). (58)

Сделаем несколько важных замечаний.

Во-первых, при выполнении условий невырожденности у = 0, д = 0 и при каждом фиксированном у уравнение (56) имеет три ненулевых состояния равновесия

p- = е| yq 11 (1 + о(1)) exp

2

^ф- + з ny) + 0(е)

(j = 1, 2, 3),

где ф- не зависят от y. Тем самым это уравнение не может иметь ненулевых непрерывно зависящих от y и 1-периодических по y состояний равновесия. Простой анализ показывает, что все состояния равновесия p- при каждом y неустойчивы.

Во-вторых, краевые задачи (57) и (58) содержат быстро осциллирующие (причем с нулевым средним) по времени т (x = et) слагаемые. Это открывает путь к применению известного метода усреднения [14].

В-третьих, ситуации, когда ^ = gea (при а > — в случае (8) и а > — в

23 случае (9)) рассматриваются так же, как и выше, поэтому соответствующие квазинормальные формы здесь не приводим.

4.4. Системы с малым внешним воздействием.

Коротко остановимся на рассмотрении системы двух уравнений с малым внешним периодическим воздействием

u(t) = (Ао + eAi + e(cosQt)B)u(t — 1) + F2(u(t — 1), u(t — 1)) + ... . (59)

Ограничимся изучением наиболее простого и интересного случая, когда матрица Ао имеет два собственных значения И1, 2 = exp(±^) и 0 < ю < п. Пусть Q = 2пп (n = 0, 1, ...) и Q = 2ю. Повторяя предыдущие построения, для нахождения p(x, x) получим те же, что и выше, уравнения. Если же Q = 2ю, то в правую часть соответствующего уравнения добавляется слагаемое

1 exp(—iQ)(Ba, a) p(x, x),

а при выполнении для некоторого по = 0 соотношения Q = 2ппо в правую часть добавляется лишь слагаемое (cos 2пn0x) exp(—iю)(Ba, b)p(x, x).

Выводы

1. Выше речь шла только о нахождении главных членов асимптотических по невязке решений исходных систем уравнений. После этого, применяя стандартные методы асимптотических разложений, можно строить и более высокие по порядку приближения таких решений. Это, в свою очередь, открывает возможность получать результаты о существовании точных решений, близким к асимптотическим по невязке. Отсюда уже решается вопрос о наследовании свойств устойчивости решений квазинормальной формы и соответствующих им решений исходной системы.

2. Построенные квазинормальные формы, как правило, являются нелинейными уравнениями с частными производными. Динамические свойства такого типа уравнений могут быть достаточно сложны и разнообразны (см., например, [15]). Тем самым можно сделать вывод о том, что для исходных систем уравнений (8) и (9) характерна сложная динамика.

3. В ряде наиболее интересных ситуаций квазинормальные формы представляют собой семейства краевых задач, зависящих от «континуальных» параметров. Каждому решению каждого из представителей этих семейств отвечает решение исходной системы. Отсюда заключаем, что для рассмотренных задач характерно явление гипермультистабильности, когда происходит резкое и неограниченное увеличение количества установившихся режимов при стремлении к нулю малого параметра.

4. Некоторые квазинормальные формы содержат в качестве параметра определенную выше величину 9 = 0(e), причем 9(e) при е ^ 0 бесконечно много раз пробегает значения от 0 до 1. Для различных значений 0 динамика соответствующих краевых задач может быть различна. Отсюда следует, что при е ^ 0 возможен неограниченный процесс чередования «рождения» и «гибели» установившихся решений в исходной системе уравнений.

5. Может показаться, что численное исследование динамики квазинормальных форм является более трудной задачей по сравнению с задачей численного анализа исходной системы. Однако это не так. Во-первых, решения исходных систем устроены так, что их главные приближения являются решениями квазинормальных форм. Во-вторых, квазинормальные формы не содержат сингулярностей, поэтому проблем с организацией численного исследования не возникает, а для исходных систем такие исследования весьма затруднительны.

Работа выполнена при поддержке проекта № 984 в рамках базовой части государственного задания на НИР ЯрГУ и гранта Президента РФ (соглашение №14.124.13.5948-МК).

Библиографический список

1. Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Н., Шарковский А.Н.Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1986

2. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Chua L.O. Cycles of chaotic intervals in a time-delayed Chua's circuit // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, № 6. P. 1557.

3. Кащенко Д.С. Динамика простейших кусочно-линейных разрывных отображений // Модел. и анализ информ. систем. 2012. Vol. 19, № 3. P. 73.

4. Kulenovic M. R.S., Ladas G. Dynamics of second order rational difference equations with open problems and conjectures. Chapman & Hall/CRC. 2002

5. Шноль Э.Э. Об устойчивости неподвижных точек двумерных отображений // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, № 7. С. 1156.

6. Kuramoto Y., Tsuzudi T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems// Progr. Theor. Phys. 1975. Vol. 54, № 3. P. 687.

7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

8. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

9. Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Диф. уравнения. 1989. T. 25, № 8. С. 1448.

10. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // Int. J. of Bifurcations and chaos. 1996. Vol. 6, №7. P. 10939.

11. Кащенко И.С. Асимптотический анализ поведения решений уравнения с большим запаздыванием // Доклады Академии Наук. 2008. Т. 421, № 5. С. 586.

12. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Математика и механика. 1937. Т. 1, № 6. С. 1.

13. Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга-Ландау - нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал Вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 3. С. 457.

14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1974.

15. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. пробл. матем. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1986. T. 28. C. 207.

Поступила в редакцию 29.11.2013

LOCAL DYNAMICS OF DIFFERENCE AND DIFFERENCE-DIFFERENTIAL EQUATIONS

I.S. Kaschenko,1 S.A. Kaschenko1 ' 2

1 P.G. Demidov Yaroslavl State University 2 National Research Nuclear University «MEPhI»

We study local dynamics of difference and singular perturbed difference-differential systems in the neighborhood of zero equilibrium state. All critical cases in this problem have infinite dimension. We construct special nonlinear equations that play the role of normal form. Their nonlocal dynamics describes the behavior of solution of initial system.

Keywords: Quasi-normal form, delay, difference equation, difference-differential equation.

Кащенко Илья Сергеевич - родился в Ярославле (1982), окончил Ярославский государственный университет (2004). После окончания ЯрГУ работает там же. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в ЯрГУ (2006) в области нелинейной динамики уравнений с запаздыванием. Является автором 35 научных и научно-методических трудов.

150000 Ярославль, ул. Советская, д. 14

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова E-mail: iliyask@uniyar.ac.ru

Кащенко Сергей Александрович - родился в Ярославле (1953), окончил Ярославский государственный университет (1975). После окончания ЯрГУ работает там же. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в ННГУ (1976) и доктора физико-математических наук в МГУ (1990) в области теории нелинейных колебаний. Автор пяти монографий. Опубликовал 230 научных статей по направлению, указанному выше.

150000 Ярославль, ул. Советская, д. 14

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова 115409 Москва, Каширское шоссе, 31

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: kasch@uniyar.ac.ru