Мультистабильность в поведении решений одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения первого порядка с малым параметром при производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (3), с. 146-153

УДК 517.9

МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ В ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ

© 2013 г. Е.П. Кубышкин, А.Ю. Назаров

Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

kubysh@uшyar. ac.ru

Пкступилз в редзкцию 16.11.2012

Показана возможность одновременного существования нескольких устойчивых периодических решений. В качестве метода исследования используется метод равномерной нормализации нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом и малым параметром при производной.

Ключевые слквз: дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом и малым параметром при производной, нормальная форма дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом, устойчивость периодического решения.

1. Постановка задачи

Рассматривается дифференциально-разностное уравнение вида

£ х(?) + х(?) + /(х(? — 1)) = 0, (1)

где 0 <£1<< 1, /(х) = —/(-х) - лгладкая нелинейная функция /(х) = /х + /Зх3 + о(| х |3) (| х |< х0, / > 0, /3 < 0). Уравнения вида (1) возникают при изучении многих прикладных задач (см., например, [1, 2]).

Изучается возможность возникновения в уравнении (1) явления мультистабильности -одновременного существования нескольких устойчивых аттракторов, в рассматриваемом случае - периодических решений. В качестве метода исследования используется метод равномерной нормализации [3, 4].

2. Анализ устойчивости нулевого решения уравнения (1)

Рассмотрим линейную часть уравнения (1):

£ х(?) + х(?) + У|х(? — 1) = 0. (2)

Поведение решений уравнения (2) определяется расположением корней его характеристического уравнения

Р (Л;£) = £Л +1 + /ехр(—Л) = 0. (3)

Уравнение (3) при фиксированном / > 1 и малых £ имеет корни, вещественные части которых положительны, а при фиксированных / < 1 и малых £ все корни уравнения (4) лежат в левой комплексной полуплоскости [5].

Рассмотрим случай / = 1 + £, где | £ |<< 1, и

(4)

изучим расположение корней характеристического уравнения (3) при | £ |< £

( £ = (£ ,£ ),| £ |= (£2 + £^)1/2 ). Заметим, что в рассматриваемом случае характеристическое уравнение (3) не имеет корней, лежащих на вещественной оси.

Запишем (3) в виде уравнения

ехр(Л)(£Л + 1) = —(1 + £), которое эквивалентно следующей последовательности уравнений

ехр(Л + 1п(1 + £Л)) = ехр(1п(1 + £ )) + 1яп

(п = +1, +3, +5,...), где 1п(г) = 1п(| г |) +1 аг§(г). С учетом сказанного достаточно рассмотреть последовательность уравнений

Л + 1п(1 + £Л) = 1п(1 + £ ) + 1ЯП (п = 1,3,5,...)

для определения корней уравнения (3), лежащих в верхней комплексной полуплоскости.

В [3] показано, что уравнение Л + 1п(1 + £Л) = ^

при

Л е {1тЛ > _у0 > 0},

< Яе^ < х2, 1т^ >ж, х < 0, х2 > 0} имеет единственное решение

Л(^; £ ) = ^ + Л (№, £ ),

где

Л1(м?;£) = — 1п(1 + £ ^ — 1п(1 +

+£1(М — 1п(1 + £1(Н' — ...))))))

- аналитическая по ^ и непрерывная по 8 (0<£<£) функция.

(5)

(6)

Рзбктз выпклненз при пкддержке Федерзльнкй целевкй пркгрзммы «Нзучные и нзучнк-педзгкгические кздры иннквзцикннкй Ркссии» нз 2009-2013 гг., гксккнтрзкт N 14.В37.21.0225.

(9)

При этом

I Л(М!-;£1) — Л ^; £) |<К£ (К > 0), (7)

где Л (№; £ ) = w — 1п(1 + £ w).

Отсюда, согласно (5), (6), при 0 <| £ |< £0 множество корней характеристического уравнения (3) может быть записано в виде

Лп (£) = 1лп + 1п(1 + £ ) +

+Л1(гжп + 1п(1 + £2);£), (8)

Л—п (£) = Лп (£)(п = 1,3,5,...Х

при этом на основании (7), равномерно относительно п :

Лп (£) = 1лп + 1п(1 + £) —

— 1п(1 + £ (гжп + 1п(1 + £))) + о(| £ |).

Таким образом, вопрос устойчивости решений уравнения (2) сводится к анализу поведения функций

(£) = 1п(1 + £2 ) + Яе Л1 (гпп + 1п(1 + £ ); £ ), п = 1,3,5,...

Функции £л £) являются аналитическими в точке £ = 0, и имеют радиус сходимости соответствующих рядов равный гл = 0(п-1). При этом

£п(£) = £2 — £2(лп)2 / 2 —

—££ — £2 /2 + ^(| £ | ).

Из (10) следует, что при малых £ и выполнении неравенства £ > (лп)2 / 2£2 п-й корень характеристического уравнения (3) имеет положительную вещественную часть.

3. Нормализующее преобразование

Опишем сначала поведение решений уравнения (2). Фазовым пространством уравнения (2) является пространство непрерывных функций С (—1,0). Перейдем от уравнения (2) к эквивалентной краевой задаче в полосе —1 < 5 < 0, ? > 0, положив и(ъ, ?) = х({ + ъ):

(10)

дп дп

дґ дs'

(11)

дп

д

= -ы(0,ґ) — (1 + £2)ы(—1,ґ). (12)

Производящим оператором полугруппы линейных операторов Т (ґ), действующих в

С (-1,0), и порожденной краевой задачей

(11),(12), будет оператор

/ ds, — 1 < 5 < 0,

Л(£)у = •( (13)

\—£ 1(Ч0) + (1 + £>(—1)), 5 = 0,

с областью определения

Б( А) =

= {^(ъ) е С1 (—1,0), £у,(0) + у(0) + (1 + £2 )у(—1) = 0}.

Собственными значениями оператора А£) будут величины Л = Л (£), а собственными функциями будут функции

ип (5;£)=ехР( Лп£) / (1+£1 + £1Лп)1/2,

где

Л1/2 =|Л|1/2ехр(/ агв(Л)/2).

Наряду с (13) введем в рассмотрение оператор

\—йк / йъ, 0 < 5 < 1,

А(£)А = •! , (14)

[—£1-1(й(0) + (1+£2Ж1)),5 = 0,

действующий в С(0,1), с областью определения Б(А*)= {И(ъ) е С1(0,1),

—£к (0) + К(0) + (1 + £2)К(1) = 0} . Оператор (14) является сопряженным с (13) в смысле скалярного произведения С.Н. Шима-нова [6], которое для краевой задачи (11),(12) принимает вид

< у(ъ),К(ъ) >=

_ 0_

= £1 У(0)И(0) — (1 + £2) | И(% + 1>(^

— 1

Заметим, что собственными значениями оператора А £) являются величины Л„ £), а соответствующими собственными функциями будут

К = К (ъ;£) = ехр(—Л„(£»/ (1 + £1 +£1 Л„)1/2). Между функциями ип (ъ;£) и Ьп (ъ;£) выполнены следующие условия ортогональности

< %(ъ;£), \(ъ;£) >= 8пхп2, (15)

где 8 - символ Кронекера. Отметим, что

0( А) - замкнутое в С1(—1,0) линейное

подпространство. Оно может быть получено замыканием в норме пространства С(—1,0) множества функций вида

г Л (£)и (я;£),г ,г = г ,п = 1,3,5,... Совокупность последовательностей г = (г, ^, г5,...), образуют в комплексном пространстве /2 линейное подпространство, которое обозначим 1\. Отметим, что для и(ъ) е 0(А) величина < и(ъ),и(—ъ) > < да. С учетом этого и равенства (15) для г е 1\ справедливо неравенство ^ | гпЛп (£) |2< да . Отсюда

следует, что функция и0 (я) е 0(А) может быть

5=0

представлена сходящимся в С1 (—1,0) рядом

ыо(5) = XI < ыо(s), К (5;£)> ып (5;£).

Таким образом, решение ы(5, ґ;£) краевой задачи (11),(12) с начальным условием Ы (5) є Л(Л) может быть записано в виде

да

ы(5, ґ;£) = ы(5,2\є) = (5;£),

—СО

*„ = А(£)2п> гл(°;£)=<мо(5)А(5;£)> (16) (и = ±1,±3,±5,...).

Перейдем от уравнения (1) к эквивалентной краевой задаче

ды _ дп

дґ д5'

дп £ —

д5 „

в полосе —1 < 5 < 0 , ґ > 0 ,положив

п(5,ґ) = х(ґ + 5) , /(п';£2) = (1 + £2)п + /У + о(| п |5) . Обозначим через ^(^) многообразие начальных условий краевой задачи (17), (18) вида {п(5) є С1 (—1,0), £У(0) = —п(0) — /(п(—1);£2,

|| п(^)|^1 < ^} и изучим структуру периодических решений краевой задачи (17), (18) с начальными условиями из этого многообразия. Через 5(г0) обозначим шар с радиусом г0 пространства ї\. Введем в рассмотрение функцию (оператор)

п(х';£) = п(5,г;£) =

= —п(0, ґ) — / (п(1, ґ );£)

= Х2ппп (5;£)+и 3(s, г г;£)

(и 3(s, z, г; є) =

П п2 п^п^п2^ (S;£)),

= d

п1 п2 п3 п1п2п3

—п —п, —п

траекторий (20) в силу (19) краевой задачи (17),

(18) примет вид:

г£)г (г,£) = ^г;£), (21)

8г_

&

дп(5, г;£)

д5

= —п(0, г;£) — / (п(—1, г;£);£2).

(22)

(17)

(18)

Соотношения (21),(22) определяют тождества, которые должны равномерно по £ выполняться с точностью до величин порядка о(| г 13 ). Они позволяют последовательно определять функции и (5, £) и коэффициенты й £) , входящие в (19) и (20), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ги. Приравняв коэффициенты при первых степенях г , получим равенства в силу выбора Лп (£) и ип (я; £).

Приравняем коэффициенты в тождествах (21),(22) при , (п + п2 + п = п). В ре-

зультате получим краевую задачу

ип (ъ;£)йп^^(£) +

+(Л(£) + Лп2 (£) + Л (£))ип^^^ £) = (23)

йи (ъ;£)

пп п

dп (5;£)

пп,п3 у ' у

ds

ds

= —п (0;£) —

П^пз у ' у

—(1 +£2)пп^^ (1, ґ) —

(24)

(19)

—р/3пт (—1;£)п^(—1; £к*(—1;£),

действующую из ъ(г0) © {| £ |< £0} в С1 (—1,0), гладкую по совокупности переменных, и систему дифференциальных уравнений в /2 вида

К = 4 (£Х + 23 (*>£) = £)

(23(г,г;е) = X (20)

(п1п2п3 )еПп

в которых г—п = гп , г е я(г0), й_

= ищщгн-> (и = ±1,±2,...), ||г|| Є5(г0),

О3 ={{п1,п2,пъ):п^ =±1,±3 ...,п = п1 +п2+пъ}.

Функции ипхп2пъ (ъ;£) и йпхп2пъ (£) подлежат

определению.

Рассмотрим выражение (19) как преобразование краевой задачи (17), (18) в систему уравнений (20). Условие принадлежности

для определения йпхп2пъ (£) и ипп2^ (£) , где Р -целое число, принимающее значение 1,3,6 в зависимости от количества соответствующих резонансных соотношений. Сформулируем следующую гипотезу, которая при построении конкретных решений будет проверяться численно.

Будем предполагать, что при | £ |< £0 резонансные соотношения вида

л„ (£) = \ (£)+К2 (£)+\ (£)

(у\,п2,пъ = ±1,±3,±5,...) могут выполняться лишь при £ = 0 .

В дальнейшем будем использовать обозначение \пп, (£) = \ (£) +Лп2 (£) + Лп3 (£) . Общее

решение уравнения (23) имеет вид

и (ъ;£) = ехр(Л (£)ъ)\с +

+ 4уу% (£)(1 — еХр(Лп (£) — \пЛ (£)5)) + (25)

(Лп (£) — Лпп2%(£))/(1 + £1 +£1Лп (£))1/2 ],

5=0

5=0

2

где с - произвольная постоянная. Подставим в

(25) краевое условие (24). В результате с необходимостью имеем с = 0 и

d (£) =

Пп2пз \ /

£ + (1 + £2)ЄХр(—(£)) X

(26)

(1 — ехр(Лп^^(£) — Лп (£))

Х (Л^ (£) — Лп (£))

хр/3 ехр(—Лт (£)) X

Х(1 + £1 + £хЛп )1/2(1 + £ + £!^ ) 1/2 Х

Х(1 +£1 + £1Л^ ) 1/2(1 + £1 + £1Л^ ) 1/2.

Тем самым и (,?;£) определяются однозначно. При этом <1Л2„з(£) и и„^{5\е) ограниченные при, £|<£0, —1<5<0, и,«!,и2,и3 = ±1,±3,+5,... функции. Отсюда следует, что 2{3)(г, г;£) - кубический оператор, действующий из /1 в /1 , а и3(г,г;£) = и3(ъ,г,г;£) - кубическая форма в /\, принимающая значения в С1 (—1,0) при 1 £ |< £0 .

Систему уравнений (20) в дальнейшем будем называть нормальной формой краевой задачи (17),(18) (уравнения (1)).

4. Анализ нормальной формы

Перейдем в (20) к полярным координатам, положив гп = рп ехр(г'ти )(А > 0). В результате получим систему уравнений вида:

А = Гп (£)Рп + К (А г,£)- (27)

тп=тгп + <тп (£) + Тп (р, т; е), (28)

где и = 1,3,5,..., уп(£) = ЯеЛп(£), пп + ап(е) = =1тАп(£), р = (р1,р3,р5,..), т = (т1,т3,т5,...), функционалы Кн (р. г. г.). Тн(р. г. с) - 2л-

периодические по г. С/= 1,3,5,...).

Структура системы (27), (28) позволяет ввести одну «быструю» переменную и счетное число «медленных» переменных. Продемонстрируем это на примере «усеченных» систем. Положим в (20) гп = 0, п = ±5, ±7, С учетом

равенства гл = гп имеем :

^ = МФі + (£) к І2 +

2 ”2

+<^13-3 (£) I гз І 21 + <*-1-13 (£)гі гз>

і3=Л3(є)г3+41_13(є)\г1І2 г3 +

+d33—3(є') 1 гз\ гз + d111(є) г1 .

Обозначим

& (£) = а (£) + ЇЬ, (£),

Л (£) = (а2(£) + Ь2£))1/2,

Д (£) = arctg (Ь (£) / О, (£) и перейдем в (29), (30) к переменным

рх,ръ,в = —3тх+т3, тх. В результате получим систему уравнений:

А = (Гг (£) + «п-1 (£)д2 + «13-3 (£) А2) А + +Л-1-13 (£) соэСб» + /У , |3 (£))/?2А,

А = (Гз(£) + «1-13 (£) р\ + «33-3 (£) А2) Р3 + +Діі(£)с°8(-6» +/Зт(є))рІ, вх = ^ (£) + (*!_!з (£) - ЗЙП_! (£))/72 +

(31)

(32)

+ (Ь33—3(£) — 3Ь13—3(£))Р32 +

+Л111 (£) 8ІП(—19Х + Д111(£))р1 / р3 —

(33)

(34)

(29)

—3Л— 1—13(£)8ІП((91 + Д—1—13(£))Р1Р3

«медленных» переменных и уравнение для «быстрой» переменной

Ті =я- + &ц_і(£)А2 +Ь13_3(є)р23 +

+^-1-13 (£) ^ 1 13 (£)) А А >

которое отщепляется от (31), (32). В (33)

^1(£)= СТ3(£) — 3<Т1(£) .

Структура уравнений (20) ((27), (28)) позволяет ввести по аналогии с системами (29), (30) взамен гп, (и = ±1,±3,±5,...) «медленные» переменные р = (р1,р3,р5,..), в = (в1,в3,в5,...) и одну «быструю» переменную 7. Ввести переменные вп можно неединственным способом. Любой другой способ является линейной комбинацией введенных переменных. В качестве одного из возможных способов введения переменных вп может быть предложен следующий.

Введем совокупность (п, п2, п ), удовлетворяющих условию п + П + П =1 (П, П, П = —1,

±3, ±5,...). По ним построим переменные вп (п = 1,3,...) последовательно полагая

вп =8ЩП(п1)Гп + 8щп(п2)г^ + —71 ,

исключая при этом те из них, которые являются линейными комбинациями предыдущих. В результате получим систему уравнений вида:

Рп = Г„(£)А +Я„(А<9;£), (35)

4 =^„(£) + ©„(а^;£),(« = 1,3,5,...) (36)

где 8п (в) (8 (0) = 0) - линейная комбинация из

трех <гп £), определяемая соответствующим

і

резонансом; функционалы Яп (р,в;£) и

©л (р,в;£) имеют структуру, аналогичную правым частям (31), (33), 2п - периодические

по каждому в. = 1,3,5,...).

Уравнение для «быстрой» переменной тх имеет вид

іх=п + ах{є)+Т(р,в\є\ (37)

где функционал Т(р,9,є) - 2л-

периодический по = 1.3....) и имеет струк-

туру, аналогичную (34).

Предположим, что в области | £ |< £0 имеется подобласть О(£0), примыкающая к точке £ = 0, при значениях £ из которой система уравнений

(35)-(36) имеет состояние равновесия (р*(£),в*(£)), (р*(£) — 0, в*(£) — в*(0) є

є[0;2л) при £ —— 0,р (£) є ї\).

Обозначим

(

р=р£) =|| р£) ||,1 = Хл2£) | Х(£) |

V'

і=1

г(1) (£) г(2) (є)

(41)

Здесь

Г(1)(£) = дК \ д^. К . (п * /),

п У ' п \£(е)/(е)) У

Г(2)(£) = дЯ \ дв. N . ,

п 1 '« (£),в*(£))’

в(1)(£) = д© \ д%. К . ,

п п 1 '(/(£,в (£))

в(2)(£) = д© \ дв I . . .

ппУ ’ п 1 '(! (£),в (£))

Для определения глл1)(£) представим

К(4,в;е) в виде К(4,в;ё) = в!(1(^,в;£)^п +

Я{2)(%,в;£), где Я{2>(*) - не зависящий от £и функционал. Тогда = дК^ \ д%п%„ +

я(2)/ г )| . . .

п Ьп’ '(! (£),в (£))

Вьфазим т = (т1,т3,т5,...) через в = (в1,вг,..) в обратном порядке. В результате для определения тп (?) на состоянии равновесия

(р (£),в (£)) с учетом (28) получим систему уравнений вида:

т = лп + ап (£) + р (е)2Тп (С, в"; е) =

= лп + оп (£) + р *(£)2 ап 2(£) =

(42)

(38)

и нормируем в (35), (36) р = гпр. В результате, учитывая структуру функций К ( * ), ©п ( * ), получим систему уравнений

£=гя(е)£+рЧ(£0;е), (39)

вп =„ (£) + р2®п(<^, 0;£), (и = 1,3,5,...). (40)

Точка (£) = р (£) / р, в* (£), (||£* (£)|^ = 1),

будет состоянием равновесия системы уравнений (39), (40).

Введем в рассмотрение матрицу частных производных по 4, и ^ (у = 1,2...) правых

частей системы дифференциальных уравнений

(39), (40) (матрицу Якоби), вычисленную в точке (г £), в £)). Эту матрицу можно записать в виде р2В(£) , где

(43)

= лп + ап(р (£);£),(и = 1,3,5,...).

Здесь постоянная Тп(г ,в ;£) получена с учетом (28) и выполненных замен. Отметим также, что между правыми частями (42) выполнены условия синхронизации, определяемые видом вп. В связи с этим с учетом вида (37),

(42) справедливы равенства тп = + ап (£)

(п = 2,3,...), где функции осп(е) определяют фазу синхронизации. Отсюда следует, что система уравнений (20) имеет периодическое решение гп (I:£) с периодом

Т(£) = 2(1 + а,(р' (£); £)/ л)-1

вида

= р\Ф1(т{^) =

= р(£)4*(£)ехр(/(ит1 + ап(е))),

А =к + ст1(р*(е);е)

(п = ±1, ±3,.. .)•

Справедливо следующее [3]

Утверждение 1. Пусть при £еО(£) для

некоторого £0 вещественные части собственных значений матрицы (41) меньше некоторого т <0 . Тогда при указанных £ краевая задача (17), (18) имеет асимптотически орбитально устойчивый предельный цикл, период которого Т(£) — 2 при £ —— 0, и имеющий следующую асимптотическую формулу:

и * (5, (';£) = ри* (ъ, тх; £) + р3и* (ъ, тх; р, £), т1=л + ст1(е) +р2а2(р,е),р = р(е), (44)

да

и*(Х *1;£) = ^ип(ъ;£);£)),

—да

где функции и* (я,^ ;р,£) = и* (я,^ + 2л;р,£) и <у2 (р,£) непрерывных по совокупности переменных и бесконечно дифференцируемы по я,^, р.

5. Численное исследование нормальной формы

Утверждение 1 дает механизм построения периодических решений уравнения (1).

мерах она составляет 10—4. Одновременно происходит проверка гипотезы, сформулированной в п. 2.

На рис. 2 приведён график функции р£), построенный для значений £ ,£2) вдоль кривой, отмеченной пунктирной линией на рис. 1.

Рис. 1.

На рис. 1 приведена картина Б -разбиений [7] плоскости параметров £ ,£2) (£ > 0,

1 = 1,2). При значениях £ е Б0 корни характеристического уравнеия (3) находятся в левой комплексной полуплоскости. При значениях £ е Б одна пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (3) находится в правой комплексной полуплоскости, а остальные в левой; при £ е Д, две пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (3) находятся в правой комплексной полуплоскости, а остальные в левой, и т.д. При увеличении £ указанные корни остаются в правой полуплоскости. На рис. 1 точечной линией условно обозначены границы последующих областей неустойчивости, характер которых аналогичен приведенным и которые прижимаются к оси £ при £ — 0. Вычисление состояний равновесия системы уравнений (35), (36), которым в соответствии с утверждением 1 отвечают периодические решения краевой задачи (17), (18), проводится по следующей схеме. Для последовательности «усеченных» систем уравнений, состоящих из двух (система (29), (30)), трех и т.д. уравнений, строятся по

(35), (36) соответствующие «усеченные» уравнения «медленных» переменных. Для каждого состояния равновесия системы уравнений (35),

(36) при каждом фиксированном £ строится последовательность состояний равновесия

Pз*(£), рl(£),..., Рп(£\ вl*(£),вз*(£),

в5 (£),..., вп (£) «усеченных» уравнений «медленных» переменных. Процесс продолжается до тех пор, пока относительная погрешность вели-

( п 'А1,

Рп(£)= £р*2(£)| Х(£)|2

V і=!

при переходе к очередному шагу не достигнет заданной точности. В приведенных ниже при-

Рис. 2.

На рис. 3 приведены периодические решения уравнения (1), построенные по приведенной выше схеме для случая £ = 0.02 при возрастающих значениях £. Эти значения отмечены точками на рис. 1. При £ = 0.01 находимся в области Д. При значениях (£ ,£) є Д уравнение (1) имеет единственное устойчивое периодическое решение. Его вид представлен на рис. 3 а. При £ = 0.04 находимся в области Д. При этом значении £ уравнение имеет, по крайней мере, 2 устойчивых периодических решения. Вид их представлен на рис. 3б и рис. 3в. При увеличении £ проявляются новые периодические решения. Так, при £ = 0.07 отмечено существование трёх периодических решений. Их вид приведён на рис. 3 г,д,е. Дальнейшее увеличение £ приводит к возникновению, по крайней мере, ещё одного периодического решения. Так, при £= 0.13 установлено существование четырёх периодических решений. Они представлены на рис. 3 ж, з, и, к. Первые три являются развитием ранее обнаруженных решений. Последнее решение новое. Заметим, что с ростом £ амплитуды решений также растут. Механизм возникновения новых периодических решений до конца не изучен. Похоже, что они бифурцируют от имеющихся периодических решений.

Как известно, отмеченная ситуация - одновременное существование нескольких устойчивых периодических решений в поведении динамической системы - носит название мультистабильности.

В заключение отметим, что численный анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений проводился с использованием программы Tracer [8].

Список литературы

1. Дмитриев А.С., Кислов В.А. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

2. Гласс Л., Мэкки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни. М.: Мир, 1991.

3. Кубышкин Е.П. Построение асимптотики периодических решений с запаздывающей обратной связью,// Вестник Ярославского госуниверситета им. П.Г. Демидова. Серия: Естественные и технические науки. 2011, №2. С. 87-94.

4. Кубышкин Е.П. Метод равномерной нормализации в исследовании периодических решений дифференциально-разностных уравнений с малым параметром при производной // Моделирование и анализ информационных систем. Т. 19, №3. С. 143.

5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.М.: Наука, 1971. 296 с.

6. Шиманов С.Н. К теории квазилинейных систем с запаздыванием // ПММ. 1959. Т. 23. № 5. С. 836-844.

7. Неймарк Ю.И. Структура D-разбиений пространства квазиполиномов диаграммы Выше-радского и Найквиста // ДАН СССР. 1948. Т. 60. С. 1503-1506.

8. Tracer. Построитель фазовых портретов. Версия 3.70. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №20о8б11464.

THE MULTISTABILITY IN THE BEHAVIOR OF THE SOLUTIONS OF THE DIFFERENTIAL EQUATION WITH DELAY AND A SMALL PARAMETER

AT THE DERIVATIVE

E.P. Kubyshkin, A.Yu. Nazarov

It shows a possibility of simultaneous existence a few stable periodic solutions. The method of uniform normalization of nonlinear equations with delaying argument and small parameter at the derivative is used like investigation method.

Keywords: differential equation with delaying argument and a small parameter at derivative, normal form of differential equation with delaying argument, stability of periodic solution.