Оценки решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.4

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ С ПАРАМЕТРАМИ*)

И, И, Матвеева, А, А, Щеглова

Рассмотрим системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом следующего вида:

= + В(г)у(г - т) + у(г), у (г - т)), г > т > о, (1)

где Л(г), В(г) — матрицы размера п х ^^^^^вдывшми Т-пернодпче-скими элементами, т. е.

Л(г + Т) = Л(г), в(г + т) = в (г),

спектр матрицы Л(г) принадлежит левой полуплоскости С_ = (Л € С : ИеЛ < 0} для любого г € [0, Т], / > 0 — параметр, Б (г, и, у ) — вещественнозначная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая и

||Б(г,и,у)|| < ||и|| + |М|1+Ш, ^ 0, ш > 0 — постоянные. (2)

Исследуем асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1) в зависимости от параметров / ш. Укажем множество притяжения нулевого решения и получим оценки решений системы (1), характеризующие скорость убывания при г ^ го.

Работа выполнена при поддержке фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009^2013 гг. (гос. контракт № 16.740.11.0127), Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 10-01-00035, № 10-01-00132), СО РАН (междисциплинарный проект № 80) и Программы Президиума РАН (проект 17.1).

© 2012 Матвеева И. И., Щеглова А. А.

§ 1. Предварительные сведения

В настоящее время имеется очень большое число работ по изучению устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом (см., например, [1-8] и библиографию в этих источниках). В теории устойчивости активно применяется аппарат функций Ляпунова — Ра-зумихина и функционалов Ляпунова — Красовского, основанный на идеях из работ Б. С. Разумихина [9] и Н. Н. Красовского [10].

Уравнения с переменными коэффициентами представляют отдельный интерес. В [11] введен функционал Ляпунова — Красовского, с использованием которого проведены [11,12] исследования асимптотической устойчивости решений систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида

jty{t) = A(t)y(t) + B(t)y(t - т) + F(t, y(t), y(t - т)), t > т > 0,

где A(t), B(t) — матрицы с T-периодическими элементами, вектор-функция F(t, u,v) удовлетворяет оценке

|| F(t,u,v) || < q||u||1+q,u >0.

С учетом результатов из [13,14] в работах [11,12] получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения, указаны множества притяжения нулевого решения и установлены оценки экспоненциального убывания решений на бесконечности. Следует отметить, что величины, характеризующие границы множеств притяжения и скорость убывания решений на бесконечности, вычисляются конструктивно. Поэтому полученные результаты эффективно применяются на практике для исследования конкретных систем уравнений с запаздывающим аргументом.

В настоящей работе продолжим исследования асимптотической устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с периодическими коэффициентами в линейных членах и параметрами. В [12,15,16] рассматривались линейные

системы вида (1):

jty{t) = ¡i,A(t)y(t) + B(t)y(t - т), t>r> О, (3)

где были указаны условия асимптотической устойчивости и получены оценки экспоненциального убывания решений. Для формулировки соответствующих утверждений потребуется ввести некоторые обозначения. Поскольку для любого t £ [О, T] спектр матрицы A(t) принадлежит левой полуплоскости C_, согласно критерию Ляпунова для любого фиксированного t £ [О, T] существует решение H(t) = H*(t) > О матричного уравнения Ляпунова

HA(t) + A* (t)H= -I.

Обозначим Hmax = max ||H(t)||, vmax = max v(H(t)), где v(H(t)) = te[o ,T] te[0,T]

||H(t)||||H(t)|| — число обусловленности матрицы H(t). Теорема 1. Пусть N такое, что выполнено неравенство

тах^ ||A(t) - A(s)\\ < ли 1 ^----(4)

i—4iimaxv/^max

v„

Тогда при всех удовлетворяющих неравенству

max)N max ||B(t)|

te[o ,T

(5)

M ( 1 - (ь,тах)ДГехр (-7777— )) > 4ег/2Ятах (i/max)W max ||B(i)||, V 2Hm^ J J te[o,T

нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво.

Рассмотрим для системы (3) следующую начальную задачу:

= 1лА(г)у(г) + в(1)у(1 - г), * > г, у(*) = <?(*), t е[оу(т + о) = ^(т), где £ С[0, т] — заданная вектор-функция.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для решения задачи (6) имеет место оценка

Ы^/Г'фехр (- I «м, *

где L(t) — T-периодическое продолжение решения краевой задачи ( ftL + (j,LA(t) + /лА* (t)L=-1, О < t < Т,

1 m = l(t) > о, n

h(t) >0 — минимальное собственное число матрицы L(t),

e(t) = min |1 - 2eT||B(t)||2||I/(t)||2, ||L(i)|| J > 0,

T

v(t,V) = {L(rMr)^(r)) + l- j e-^Ms)\\2d8.

о

Следует отметить, что условия теоремы 1 гарантируют однозначную разрешимость краевой задачи (7) для дифференциального уравнения Ляпунова. Действительно, как показано в [15], при всех ц > jn г,тах Нулевое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

—у = fj,A(t)y, t > 0,

асимптотически устойчиво. Тогда в силу критерия асимптотической

¡

имеет единственное решение L(t) = L*(t) > 0. Причем, как показано в [15], имеет место оценка

ЦГАЛИ ^ 2ffmax (^тах) / . .N ( ¡T W /о\

-м- (1-K.ax) exp I ~2Ятах ) ) • (8)

Очевидно, если ¡л удовлетворяет неравенству (5), то ¡л > In z/max.

В [16] рассматривались нелинейные системы вида (1), где вектор-функция F(t, u, v) удовлетворяет оценке (2) с ш = 0. На параметры qi и q2 указаны условия, при которых можно гарантировать асимптотическую устойчивость нулевого решения системы, и получены оценки экспоненциального убывания решений. Цель настоящей работы — провести исследования асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1), указать множество притяжения нулевого решения и получить оценки решений системы (1), характеризующие скорость убывания при t ^ ж.

Авторы выражают глубокую благодарность профессору Г. В. Де-миденко за полезные дискуссии.

§ 2. Основные результаты

В этом параграфе докажем основное утверждение работы.

Теорема 3. Пусть N такое, что выполнено (4), 0 < а < 1 н параметры у qi, q2 удовлетворяют неравенству

М\ 1 (^max) exp f J J > 2iimax(^max)

H

x (<Zi + + + max ||B(t)P + (qi + ^ + q^ .

(9)

Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво и множество вещественнозначных функций

§ = L{t) G С[0, т] : max { (qi + Jq\ + 4) ( max |И*)||)2ш, I I v ,TJ

v V ' J te[o,TV 2||Lt) V

te[0 ,T]

является множеством притяжения нулевого решения. При этом для решения системы (1) с начальными данными ip(t) £ S имеет место оценка

\\УШ2 < Ч1 (t)ехР Jрщ^

где

(П)

Доказательство. По аналогии с [12] определим следующий функционал Ляпунова — Красовского:

t

v(t,y) = {L(t)y(t),y(t)) + ± J e-^\\y(8)\\2d8, (12)

t—т

где L(t) — T-перподнческое продолжение решения задачи (7). Дифференцируя по t вдоль решения y(t) системы (1), имеем

Jtv(t, у) = ( (±L(t) + мL(t)A(t) + ^A*(t)L(t) + l^vit), v(t) + {L{t)B{t)y{t - т), y{t)) + (B*(t)L(t)y(t), y{t - r))

t

-\z-TMt-T)\\2-\ J e-^\\y(

s)||2 ds

t—T

Поскольку является решением задачи (7), полученное тождество можно записать в виде

г

-Ц е-^\\у(8)\\и8 + 2Пе(ЩГ(г,у(г),у(г-т)),у(г)), (13)

г—т

где

( _( \1 -ЩВ® \ ц1] " \-В*Ц)Щ \е-Ч )■ В силу (2) получаем

г—т

+ (2^||у(*)||2 + 2®\\у(1 - т)"\\у(г)||)||^)у.

Нетрудно показать, что для любого 0 ^ а < 1

(t)

О %е-Ч

c{t) ^ I I1 ~ j^e-L(t)B(t)B*(t)L(t) О

<а<

1 Г

-V(t,y)^-Cl(t)Ыг)Г-с2\\у(г-т)Г-- J e-WMs)\\*ds

t

d

Ht'

t-T

(2^ ||y(t) ||2 + 2q2\\y(t - t) " ||y(t) У,

где

С1® = \- -З-еЦВтЦьт*, с2 = (14)

2 1 — а 2

Нетрудно показать, что имеет место оценка

2Ч1\тг + 2Ч2ы1-т)\\^\\Ут_

< Ы + ^ч1 + 4){\т\\2 + \\vit - г)и2+2ы).

Следовательно,

г

г—т

+ (<71 + у/я1 + я!)(мт2 + \\yit - г)||2+2ы)||^)||

г

= -Ш - (ъ + + д!)\\щ\\)\тг - 1 I е-^\\у(3)\\и3

г—т

- (С2 - (чг + у/я1 + я1)\\у(г - т)|Н|Ь(*)||)||у(* - г)||2. (15)

Пусть £ £ [г,2г]. Тогда у(£ — т) = — т). Если принадлежит множеству определенному в (10), то с учетом обозначений (14)

С2 " (Ч1 + + <£)Ш " т)П|Ь(*)|| > 0, *е[т,2т].

Тогда

< -(<*(*) - («ь + ^<7? + <7!)||Ц*)||)Ы*)||2

г

I е-^Ы8)\\и8, ¿£[г, 2г]. (16)

г—т

Заметим, что при выполнении условия (9) справедливо неравенство

(91 + ^1+<71) 11Д*)Н >0, ¿>0.

Действительно, в силу (8) и (9) при £ ^0 имеем

11^)11 < (У(</1 + + «I)2 + т^еТ11в^)112 + Ы + ^ + ^2))

Следовательно, с учетом обозначений (14) получаем

ci(t) ~ (qi + yfg + ti)\\W\\ = \~ г^еЦВтЧЩЦ*

-(qi + ^ql + q!)\\L(t)\\ > 0, t > 0. Учитывая определение функционала v(t,y), имеем оценку

d , ч

dtv{t>y)^-jmv{t'yh

где ô(t) > 0 определено в (11). Отсюда при t G [т, 2т] получаем неравенство

Ht, у) < exp j dej v(t, ф). (17)

В силу определения функционала (12) из полученной оценки при t G т, т

\\y(t)f < l^(t)ex. p J p||<i?J v(r,<p). (18)

Пусть t G [2т, Зт]. Тогда из указанной выше оценки вытекает неравенство

\\y(t-r)\\2 J dej v(r,<p). (19)

Если p(t) G é>, то нетрудно показать, что

С2 " (qi + y/ql + qî)\\y(t ~ т) ||2ш || Щ || > 0. (20)

Действительно, в силу (19) получаем

||y(t - т)II2- < ( tmrnT] hit))-ыv»(т, tfi). Если p(t) G é>, то с учетом обозначений (14) справедлива оценка Ы + min^-"v"^) < - (||Щ|).

Отсюда получаем (20). Тем самым из (15) следует неравенство

jtv(t,y) < -(Cl(i) - (qi + ^й + 4)\\т\\)мт2

t

J e-^\\y(s)fds, t £ [2т, 3r].

t-T

С учетом (16) оно верно при t £ [т, Зт]. Проводя рассуждения, изложенные выше, при t £ [т, Зт] получаем (17) и (18).

Повторяя аналогичные рассуждения, получаем оценку (18) при t ^ т, из которой вытекает асимптотическая устойчивость пулевого решения системы (1).

Теорема доказана.

Замечание. Если qi = = 0, то утверждение теоремы 3 совпадает с утверждениями теорем 1 и 2, поскольку в этом случае можно взять a = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959.

2. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. В. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

3. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

5. Кореневский Д. Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наук, думка, 1989.

6. Kolmanovskii V. В., Mysbkis A. D. Introduction to the theory and applications of functional-differential equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. (Math. Appl.; V. 463.)

7. Gu K., Kbaritonov V. L., Chen J. Stability of time-delay systems. Control engineering. Boston: Birkhäuser, 2003.

8. Micbiels W., Niculescu S. I. Stability and stabilization of time-delay systems. An eigenvalue-based approach. Philadelphia: Soc. Industr. Appl. Math., 2007. (Adv. Des. Control; V. 12.)

9. Разумихин В. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, № 4. С. 5004512.

10. Красовский Н. Н. о применении второго метода А. М. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, № 3. С. 315-327.

11. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2005. Т. 5, вып. 3. С. 20-28.

12. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 5. С. 1025-1040.

13. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 332-348.

14. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об устойчивости решений квазилинейных периодических систем дифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 6. С. 1271-1284.

15. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об асимптотической устойчивости решений систем дифференциально-разностных уравнений с параметром. Новосибирск, 2009. 14 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 231).

16. Матвеева И. И., Щеглова А. А. Оценки решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с параметрами // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. Т. 14, № 1. С. 83-92.

г. Новосибирск, г. Иркутск

12 марта 2012 г.