CC BY
39
2282
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2282-2284
УДК 531.38
КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО РОТОРА ИЗ МАТЕРИАЛА С НЕЛИНЕЙНО НАСЛЕДСТВЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ
© 2011 г. Е.П. Кубышкин
Ярославский госуниверситет им. П.Г Демидова
Поступила в редакцию 24.08.2011
Рассмотрены колебательные режимы распределенного однородного вращающегося ротора из материала с нелинейно наследственными свойствами, возникающие при потере устойчивости положения равновесия. Показана возможность возникновения периодической прецессии, двухчастотных и хаотических колебаний.
Ключевые слова: распределенный ротор, устойчивость, нелинейные колебания.
Рассматривается идеальный распределенный ротор (вал) длиной I постоянного сечения, вращающийся с постоянной угловой скоростью П', концы которого опираются на подшипники. Материал ротора считается наследственно вязкоупругим и подчиненным нелинейной реологической модели Ю.Н. Работнова вязкоупругого тела:
с(0 = E
e(t) - JR(t) f (e(t + t))dr
где о(0 и е(^) — соответственно напряжение и относительная деформация, Е — модуль Юнга, Я(т)
— функция релаксации,7(е) = £ + + ... (/. > 0) —
нелинейная функция деформации. Функция Я(т) удовлетворяет следующим условиям:
о
R(t) > 0,
d 2R(t)/ dT2 > 0,
J R(T)dT < 1,
Я(т) < М ехр(у0т) (М,у0 > 0) при т^го.
Математической моделью рассматриваемой механической системы в рамках гипотез изгиб-ных деформаций Эйлера-Бернулли является следующая краевая задача:
utt + a(| ut \2)ut +
b(\ uss |2)us
- JR(t)exp(-Ют)Ь(| uss(s,t + t) |2)x
xu (s, t + s)dT
= 0,
ss
u\s=0 =us s=0 =0, u\s=1 =us\s=1 =0
(1)
(2)
(и(5, ^ = их(5, ^ + ги(5, ^), г = л/-Г), которая приведена в безразмерных переменных 5 = zll, и = ии, t = ^0, П = П7^, t0 = ш1П1 2(Е10)-1|2. Функции а(^) и Ъ(О) являются аналитическими в окрестности нуля
и имеют вид: a(Z) = a0 + a1Z + ..., b(Z) = 1 + bxZ + ... Здесь u'(z, t) = u'(z, t) + iu' (z, t) - соответственно смещения средней линии ротора в направлении осей OX и OY; ось OZ системы координат OXYZ, связанной с инерциальным пространством, направлена вдоль оси недеформированного ротора; t - время; m - погонная масса ротора; функция a(Z) определяет нелинейное вязкое трение; коэффициенты функции b(Z) определяются коэф -фициентами функции f е) и моментами инерции I0 (j = 0, 1,...) поперечного сечения ротора соответствующих порядков.
Уравнение (1) является дифференциальным уравнением с бесконечным запаздыванием аргумента. Приведем определение решения краевой задачи (1), (2). Рассмотрим в H = W22(0,1) оператор Bv = v/v с областью определения
HB = {v(s) e W2 (0,1)> v(0) = v'(0) = v(1) =
= v'(1) = 0}, ((u, v )b = (u'v, v'v )l2,
W u W B = (u>u)B X которая является энергетическим пространством оператора B. Обозначим D^(0 < Y < Y0) пространство непрерывных функций вида {u(s,t):0<s < 1, -^<T<0, u(s,t)e H (поs),
|| u(s,t) ||d = sup (exp(yt)|| u(s, t) ||b) <~};
-~<T< 0
B12 - положительный корень из оператора B. Под решением краевой задачи (1), (2) будем понимать функцию u(s, t + t) (-^ < t < 0), удовлетворяющую уравнению (1), краевым условиям (2) и начальным условиям
u(s,t) = u0(s,t) e Dy,
ut (s,0) = u1(s) e HB1/2. (3)
Исследуем устойчивость нулевого решения начально-краевой задачи (1)-(3). Определяя ре-
шения линейной части (1)-(3) вида ип(у, Ґ) = єп(5)х хехр(Хґ), где X є С, є (6) (п = 1, 2, ...) - собственные функции оператора В, отвечающие собствен-2
ным значениям юп , получим последовательность характеристических уравнений вида
+ юп
1п(Х) = х + а0 +
1 - ІЛ(т)ехр((X-Ю)х)ёх
= 0 (4)
(п = 1, 2, ...), расположение корней которых определяет устойчивость нулевого решения начально-краевой задачи (1)—(3). Отметим, что область ЯеХ < —у0 является спектральной.
Для построения границы области устойчивости нулевого решения краевой задачи (1)—(3) в плоскости параметров а0 > 0, П > 0 используется метод ,0-разбиений, в соответствии с которым положим в (4) X = го (о > 0) и выделим вещественную и мнимую части. В результате получим систему уравнений
— о2 + ®П (1 — кс (о —П)) = 0,
а0 = —®ПЯ (о — П) I о, (5)
которая определяет границу области устойчивости а0 = а0(о), П = П(о), где
Яс (о) = Г0 Я (т)^(от)а?т,
J — ГО
Я5 (о) = Г0 Я(т^т(от)Л
^ «/—го
— составляющие комплексного модуля упругости материала ротора, который определяется экспериментально.
Граница области устойчивости нулевого решения (1)—(3), определяемая (5), носит достаточно сложный характер. При изменении П зоны устойчивости и неустойчивости в зависимости от величины а0 могут чередоваться. Потеря устойчивости нулевого решения (1)—(3) может происходить по одной либо по двум собственным формам оператора В. При этом частоты собственных форм колебаний могут находиться в окрестности резонансных соотношений.
Потеря устойчивости нулевого решения начально-краевой задачи (1)—(3) приводит к образованию автоколебательных решений, анализ ко -торых проводится посредством теории бифур ка-ций с использованием метода инвариантных многообразий, позволяющего свести исследование поведения решений начально-краевой задачи (1)—(3) к исследованию решений некоторой конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение решений на устойчивом критическом инвариантном многообразии. Размерность критического многообразия определяется характером потери устой-
чивости нулевого решения начально-краевой задачи (1)—(3). Предложен эффективный алгоритм построения обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение траекторий на инвариантном многообразии. Уравнения строятся в нормализованном виде и получили название нормальной формы начально-краевой задачи (1)—(3). В случае потери устойчивости по одной форме инвариантное многообразие становится двухмерным, в случае потери устойчивости по двум формам — четырехмерным. В первом случае автоколебательными решениями могут быть только периодические решения, которые в рассматриваемой задаче являются прямой асинхронной прецессией. Для такого решения получена эффективная аналитическая формула. Во втором случае автоколебательными решениями могут быть как периодические решения (прецессии), так и двухчастотные решения (режимы биения). Для тех и других получены эффективные асимптотические формулы. Отметим, что внутренние резонансы между частотами колебаний собственных форм в случае идеального ротора не оказывают влияния на характер автоколебательных решений. Это обусловлено симметрией нелинейностей в уравнении (1). В случае неидеального ротора, автоматически приводящего к появлению асимметрии в уравнении (1), наличие внутренних резонансов между частотами колебаний собственных форм, по которым происходит потеря устойчивости, может приводить к образованию хаотических ко -лебательных решений (странных аттракторов). Приведены примеры возникновения хаотических аттракторов, для которых вычислены ляпунов-ские показатели и ляпуновская размерность.
Рассмотрен случай, когда одна из опор ротора испытывает периодическую вибрацию. В этом случае второе краевое условие в (2) примет вид:
№„ ГК 0
— Г Я (т)ехр( —гПт)Ь(| и55 (5, t + т) |2) х
— го
X и55 (5, t + 5)Л)| 5=1=V! ехр(г(ю + 71)),
(Ь(| и55 |2)и55 —
0
— |Я(т)ехр( —гПт)Ь(| и„ (5, t + т) |2) х
— го
X и55 (5, t + фГ)^ = V 2 ехр(г(ю + у 2)).
Здесь V., у. (/ = 1, 2), ю — соответственно амплитуды, фазы и частота периодических изгибающего момента и внешней силы. Для рассматриваемого случая выявлены условия возникновения хаотических колебательных режимов, для которых по-
лучены различные численные характеристики. рамках гипотез Тимошенко, учитывающих инер-Обсуждается вопрос построения уравнений цию поворота и сдвиговую деформацию сечений изгибных колебаний распределенного ротора в ротора.
VIBRATIONS OF A DISTRIBUTED ROTOR MADE OF A MATERIAL WITH NONLINEAR HEREDITARY PROPERTIES
E.P. Kubyshkin
Vibration modes of a distributed homogeneous rotating rotor made of a material with nonlinear-hereditary properties arising from the loss of stability of the equilibrium position are analyzed. The possibility of a periodic precession of two-frequency and chaotic oscillations is demonstrated.
Keywords: distributed rotor, stability, nonlinear oscillations.
