Условие устойчивости автоколебаний системы «Однофазный асинхронный электродвигатель – пружина» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-83:621.313.333

УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ «ОДНОФАЗНЫЙ АСИНХРОННЫЙ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЬ - ПРУЖИНА»

В.И. ЛУКОВНИКОВ, Г.И. СЕЛИВЕРСТОВ,

А.В. ТУРЕНКОВА

Введение

В ряде областей науки, техники и производства, где используется колебательное движение рабочего органа машины, очень перспективным оказывается применение автоколебательных режимов работы электродвигателей. Это, например, испытательные стенды пружинных подвесок и других упругих элементов, дисбалансные вибраторы, станки-качалки, аппараты спортивной вибростимуляции, игрушки, рекламные качающиеся устройства и т. д. [1-3].

Цель работы

Цель работы заключается в анализе уравнения движения электромеханической системы «однофазный асинхронный двигатель - пружина» на предмет нахождения условий возникновения в ней незатухающих периодических колебаний и определения основных зависимостей выбора АД с целью поддержания устойчивых автоколебаний при известных параметрах нагрузки.

Метод решения

В первых работах по исследованию системы «однофазный асинхронный электродвигатель - пружина» устойчивость предельных циклов автоколебаний определялась по периодическим решениям уравнения движения.

Поскольку приближённые периодические решения находились методами Галёркина-Бубнова [1], Ван-дер-Поля (Van der Pol) [3] и методом компенсации, предложенным авторами [2], то результаты получались близкими, но различными и справедливыми для частных случаев.

В данной работе будет исследована указанная автоколебательная система по критерию Льенара [4], что позволит определить условие устойчивости автоколебаний независимо от метода поиска периодического решения.

Такой подход обусловлен тем, что уравнение исследуемой системы может быть сведено к виду уравнений, рассмотренных Льенаром.

Действительно, согласно [2], уравнение движения рассматриваемой системы может быть записано в относительных переменных в виде

ф + Д(ф) + ф = ^ (1)

где ф, ф, ф - относительные угловые координаты положения вала АД, её первая (скорость), и вторая (ускорение) производные по относительному времени т; д(ф) = дс (ф) - дЭМ (ф) - силовая функция.

Слагаемые ф и ф описывают в относительных переменных консервативную пару «момент инерции - упругость», функции дс (ф) и д ЭМ (ф) определяют диссипативные

силы нагрузки и электромагнитные силы подпитки от АД.

Ограничиваясь нагрузкой жидкостным (демпфирование) и сухим трением, запишем:

дс = m1 ф + m2 Sign(cp).

(2)

Механическую характеристику однофазного АД аппроксимируем по Сюмеку ^итес) [5] кубической параболой

д 3 = т3 (ф-а-ф3).

(3)

С учётом (2) и (3) получим для рассматриваемого случая выражение силовой функции:

д(ф) = (т1 - т3) ф + т2 Sign(ф) + ат3ф3.

(4)

С целью приведения уравнения (1) к виду уравнения, рассмотренному Льенаром, продифференцируем его по относительному времени г и получим

... ф(ф) .. . -

ф н---— • ф + ф = 0.

дф

Заменяя ф = х, запишем это уравнение в классической по Льенару форме:

х + /(х) •х + ^(х)= ^ (5)

ф(ф)

где тух

/(х )=

дф

- функция, определяющая поведение автоколебательной системы, а

g(х) = х - функция упругости.

С целью получения аналитических соотношений, удобных для исследования,

аппроксимируем Sign(ф) зависимостью 2агС£(й • ф), имея в виду, что Ь ^ да для

достижения идеальной аппроксимации. Тогда с учётом замены переменных

/(х) = (ті - т2) +

т2 - Ь 1 + Ь2 х2

+ 3ат3 х

g(х) = х .

(6)

В соответствии с критерием Льенара должны быть выполнены следующие условия:

1. Функция Т(х) должна быть чётной, а g(x) - нечётной. По уравнениям (6) видно, что это условие выполняется.

2. Функция Т(х) в точке х = 0 должна быть меньше нуля. По уравнению (6) получим,

что

/ (о) = (т1 - т3)+т2Ь2.

Отсюда получим, что это условие выполняется, когда

т1 + т2 - Ь - т3 < 0 .

(7)

3. Третье условие g(х)• х = х2 > 0 выполняется для всех х Ф 0 .

4. По четвёртому условию требуется, чтобы интеграл F(х)| dx ^ да при х ^ да . В соответствии с уравнением (6) получим:

г (х) = |о

(т1 - т3) +

т2Ь 1 + Ьх2

+ 3ат3 х

dх = (т1 - т3 )х + т2 - агс

tg(bх ) +

ат3 х

откуда видно, что и это условие выполняется.

5. По пятому условию интеграл F(x) должен иметь нуль в точке х0 > 0 и монотонно возрастать при х > х0. Уравнение третьей степени

F (х) = ат3 • х3 + (т1 - т3) • х + т2 агС; g(bx) = 0

будет иметь положительный корень х0 только при знакопеременных коэффициентах. Это возможно только для т3 > т1, что явно следует и из неравенства (7).

При х > х0 > 0 функция F(x) будет монотонно возрастать из-за положительного коэффициента при неизвестной высшей степени (ат3 > 0).

Найдём аналитическое выражение для величин т1, т2, т3, входящих в условие устойчивости (7), через параметры электросети, асинхронного электродвигателя, пружины и нагрузки.

С этой целью запишем уравнение движения системы в абсолютных величинах в следующем виде:

. н±. с. м„ЦЙ )=м±).

где У, Н, С, Мтр - момент инерции колеблющихся частей системы, коэффициенты демпфирования нагрузки, коэффициент жёсткости пружины и момент сухого трения;

dф'

МЭМI — I - механическая характеристика однофазного электродвигателя; t - абсолютное

^ dt)

время; ф - угловая координата колебаний ротора.

Вводя относительное время т = ©0 -1, где ©0 = л]С/І - собственная частота автоколебаний системы, и аппроксимируя механическую характеристику по Сюмеку [5].

dф^| 3л/3

Мэм| Л ) 2 Мкр1Ф

1 Лф 1 (Лфл3

ш1 dt ©3 ^ Лі

где МкР1Ф, ©1 - критический момент и синхронная скорость однофазного асинхронного электродвигателя.

После преобразований запишем уравнение движения в относительных переменных:

•• н . мТР . э^/эмкР1Ф I. ©2 .3 Л

ф+ІСф+—&8"ф+ф=чф-“ф ■ (8)

©2 )

Сравнивая (1, 2, 3) и (8), найдём, что

Н М ТР 3лІ3

т1 = , , т2 =——, т3 =----------, М кР1Ф.

1 ІС 2 с ’ 3 2©1ТСІ крлФ

Тогда условие устойчивости автоколебаний согласно [7] можно представить следующим образом:

Мкр1Ф > 343

2©1 ( МТР - Ь Л

1 Н + —Т^

©0 )

(9)

В качестве однофазного асинхронного электродвигателя целесообразно использовать серийный трёхфазный электродвигатель, статорные обмотки которого пересоединены для подключения к однофазной сети [6].

В этом случае согласно [3] критический момент однофазного АД можно найти по соотношению

1_________2SКР С1 + aSКР X2 ~ SКР )

SКР + (2 _ SКР )2 + 2aSкр2 (2 _ SКР >

_ 4 м КР 4?КР) ■ (io)

где Mкp, ¿'кр - критические момент и скольжение трёхфазного АД по паспортным данным;

г

о(£КР) - коэффициент, зависящий от критического скольжения; а = — 1

Г2(1 + х1/ хт )

относительное активное сопротивление статорной цепи АД; г\, г2', х\, х2', хт - параметры Т-образной схемы замещения АД.

Подставляя (10) в (9), получим условие устойчивости в другом виде:

Oo J

(11)

Из теории электрических машин известно, что

Мкр _---------------,-----,3ри2 , (12)

2o1 (1 + xJ xm )| Г + JГ +[x1 + x2 (1 + xJ xm )]2 I

где U1 - напряжение на фазной обмотке статора; р - число пар полюсов АД.

Объединяя (11) и (12), можно получить ещё одно уравнение связи параметров АД, сети и нагрузки при устойчивых автоколебаниях.

Заключение

Итак, анализ показал, что общим условием устойчивости автоколебаний системы «однофазный асинхронный электродвигатель - пружина», когда механическая характеристика двигателя достаточно точно аппроксимируется по Сюмеку, статическая характеристика пружины линейна, нагрузкой является сухое и жидкостное трение будет выполнение одного из условий (7), (9), (11) или (11) совместно с (12).

Этот результат подтверждается совпадением его в частных случаях, рассмотренных в

[1-3].

Литература

1. Луковников В. И. Исследование автоколебательного движения однофазного асинхронного электродвигателя с линейной пружиной на валу /В. И. Луковников, Л. В. Веппер // Вестник ГГТУ им. П. О. Сухого. - 2001. - № 2. - С. 33-42.

2. Луковников В. И. Анализ электромеханической автоколебательной системы «асинхронный электродвигатель - упругий элемент» / В. И. Луковников, Ю. А. Рудченко // Вестник ГГТУ им. П. О. Сухого. - 2003. - № 1. - С. 61-66.

3. Веппер Л. В. Автоколебательный режим однофазного асинхронного электродвигателя: Автореф. дис ... канд. техн. наук / Л. В. Веппер. - Гомель : УО «ГГТУ им. П. О. Сухого», 2001. - 18 с.

4. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. - М. : Госиздат ТТЛ, 1958. - 628 с.

5. Sumec I. K. Der einphasige Induktions motor // Archivb der Math und Physik. - 1905. - Bd 8. -S. 306.

6. Пат. № 4958 (Республика Беларусь) Автоколебательный электропривод / Луковников В. И., Тодарев В. В.; опубл. в 2003 г.

Получено 07.10.2005 г.