CC BY
28
МЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА
УДК 62-83:621.313.333
ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ОДНОФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ С ЛИНЕЙНОЙ ПРУЖИНОЙ НА ВАЛУ
В.И. ЛУКОВНИКОВ, Л.В. ВЕППЕР
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,
Республика Беларусь
Введение
Эффективность применения безредукторного электропривода возвратновращательного (колебательного) движения с мягким реверсом обусловлена тем, что он позволяет не только уменьшить металлоемкость и исключить электромеханические удары в рабочей машине, но и осуществить плавное оперативное регулирование частоты и амплитуды колебаний, облегчить интеграцию привода с рабочим инструментом, повысить динамические и энергетические показатели, а значит, в целом повысить производительность рабочей машины и качество выпускаемой продукции.
Первые работы по созданию теории и практическому внедрению безредуктор-ных электроприводов мягкого колебательного движения основывались на принципе возбуждения качающегося магнитного поля в воздушном зазоре асинхронного электродвигателя [1] или электрической машины двойного питания [2].
В последнее время нами разрабатываются колебательные электроприводы на совершенно новом принципе - создании условий возникновения устойчивого автоколебательного режима в электромеханической системе «однофазный асинхронный электродвигатель - упругий элемент» [3].
Автоколебательный асинхронный электропривод чрезвычайно прост в реализации, поскольку для него в отличие от традиционных колебательных приводов не требуются достаточно сложные силовые электронные блоки модуляции сетевого напряжения для электропитания обмоток, а достаточно статорные обмотки общепромышленного асинхронного электродвигателя подключить к однофазной электросети и на валу разместить пружину или маятник.
Предварительные исследования [4] показали, что введение пружинного или маятникового элемента хотя и упростило колебательный электропривод, но привело к бифуркациям его движения на:
- устойчивое нулевое состояние равновесия;
- предельный неустойчивый автоколебательный цикл;
- предельный устойчивый автоколебательный цикл;
- смещение нейтрали колебаний;
- вращение.
Цель работы
Создать математическое обеспечение для анализа и синтеза условий возникновения, устойчивости и бифуркаций автоколебаний в однофазном асинхронном электродвигателе (ОАД) с пружиной на валу как научной основы его выбора в качестве силового элемента автоколебательного электропривода.
Метод достижения цели
Опуская предварительные математические преобразования, подобные частному случаю, рассмотренному в статье [4], запишем уравнение движения ОАД с пружиной на валу в канонической форме
ф + ф = - м2 • sign(ф) + (м3 - м\) • ф — м4 • ф3 + м • ф5 + м6 • ф1, (1)
где ф, ф, ф - относительная угловая координата положения вала АД и ее первая (скорость) и вторая (ускорение) производные по относительному времени;
/и1, ц2 - коэффициенты нагрузки жидкостным и сухим трением;
М3 - коэффициент электромагнитного демпфирования ОАД;
М4, л5, /и6 - коэффициенты полиноминальной аппроксимации механической характеристики АД.
1. Условия равновесных состояний
Представим уравнение (1) в виде системы двух уравнений первого порядка
ф = О,
(2)
О = —ф — Ц2SignО + Л — М\)О — /л4О + Л5О — МбО .
Дифференциальное уравнение интегральных кривых получится делением второго уравнения на первое
dО — ф — Л2 SignО + (Л3 — М )О — Л4О + Л5О — МбО
(Лф~ О . (3)
Координаты точек равновесия, то есть особые точки семейства интегральных кривых на фазовой плоскости, найдем, приравнивая к нулю правые части системы (2).
ГО = 0,
(4)
— ф — Л2 SignО + (Л3 — Л1 )О — Л4О + Л5О — МбО = 0.
Видно, что существует одна особая точка в начале координат, для которой О = 0, ф = 0 .
Определим устойчивость этого состояния равновесия. Для этого запишем переменные в виде
Го = О0 + ао,
| А ^
[ф = ф0 +Аф.
Так как О0 = фо = 0 координаты особой точки, то после подстановки (5) в (2) получим в отклонениях
Аф = О
(б)
АО = — Аф — Л2 Sign АО + (Л3 — М\)АО — АО + Л5АО — Мб АО .
2
Аппроксимируя функцию £/£я(ДО) функцией — аг^(Ь ■ АО) и используя раз-
п
ложение в степенной ряд, запишем
/4„ч 2 2Ь 8Ь3АО3
^/^и( АО) = — аг^ (Ь ■ АО) = — АО----------------з-+...,
п п Зп
где Ь - крутизна касательной к функции аг^ в начале координат. После подстановки этого ряда во второе уравнение системы (6) и отбрасывания членов со степенями выше первой (слагаемые высших порядков малости) получим систему линейных уравнений для малых отклонений
Ар = О,
2Ь..
(7)
АО = -Ар-------2АО + (.3 -.)АО.
п
Корни характеристического уравнения системы (7) найдутся через определитель 0 - р 1
л 2Ъ.2
- 1 .3 - .1-------------------Р
п
п
в виде
Рі,2 = -1.3
.1
- 2Ь.2
п
1
1 Г. -и -2.
А*3 А*і
4 I п
- 1
Очевидно, что при Ь ^ да корни р1,2 всегда отрицательны, следовательно, рассматриваемое состояние равновесия устойчиво.
Если же сухое трение отсутствует (и2 = 0), то состояние равновесия устойчиво при /и3 < и, когда суммарное нагрузочное и электромагнитное демпфирование положительно, и неустойчиво при /и3 > и, когда суммарное демпфирование отрицательно.
Этот вывод совпадает с известным результатом для линейного осциллятора.
2. Наличие предельных циклов автоколебаний
Будем искать уравнение радиусов и условие устойчивости предельных циклов автоколебаний по методу Ван-дер-Поля.
С этой целью запишем уравнение (1) через малый параметр /и в виде
Р+Р = .[-.2,0^ Р + (.3,0 - .1,0 ) Р- .4,0 Р 3+ .5,0 Р 5- .6,0 (Р1]-где .2,0 = .2^.,..., .6,0 = .б/ ..
Решение будем искать в виде
р = ртСоьХ ,
(8)
(9)
дополнив его по идее метода вариации постоянной связью
Р= -рт&пХ.
2
1
Подстановками (9) и (10) в (8), а также (9) в (10) получим
- р т&пХ -рт X СояХ +ртСояХ = и[и2,0Sign(рmSinX) -
- (.3,0 - Их^Рт^ + иЖ^ПХ - ^ПХ + Мб,0Р^п^П
р mCosX -рт X 8тХ +р^тХ = 0.
Решая данную систему уравнений относительно р т , найдем
р т = -^тХ[М20>^^(Рт8тХ) - (из,0 - Ul,o)PmSІnX +
+ .4^^Х - ирт^П'Х + и,0Р7т^П?Х\
2
Заменим как и ранее Sign(рmSinX) = — аг^(Ь ■ р^тХ), а затем считая, что ам-
п
плитуда рт по сравнению с фазой X является «медленной переменной» усредним это уравнение по X, то есть выделим справа постоянные составляющие и получим
2 .2,0 \2 ГГ 1 \ .3,0 - .
Pm = —.
к- bP„
(+ (bPm )2 + 1 - 1) -ih^JhlL Pm +
3.4,0 3 3.5,0 5 . 9.6,0 7
+--------------Pm--------Pm +----------------Pm
8 16 64
Знак +J~
означает, что учитываются только положительные значения корня.
При установившихся автоколебаниях р т = 0 поэтому уравнением радиусов (амплитуд рт) предельных циклов будет
9.6,0 8 3.5,0 6 . 3.4,0 4 .3,0 .1,0 2 . 2.2,0 ^ ^ ^ 1 ^
= 0.
Переходя к пределу b ^ да, то есть приближая «arctg» к «Sign», найдем для предельных циклов
8 4^5,0 6 8^4,0 4 32(.3,0 — .1,0 ) 2 128.2,0 ,/ ~ р. /114
Pm -------Pm + "-------Pm-----------------Pm +~-------+1P m = 0. (11)
3.6,0 3.6,0 9.6,0 9n.6,0
Автоколебания будут устойчивыми, если производная от данного уравнения по Pm будет отрицательна. Следовательно, условием устойчивости является с учетом в
(11) сомножителя +Pm
р7 , -^5,0 р5 4м4,0 р3 , 8(м?,0 м1,0) р ^2,0 < 0 (12)
-Рт +------Рт --------Рт +------ -----------------------------------------------------Рт - < 0. (12)
мб,0 3мб,0 9мб,0 9рм6,0
Уравнение (11) дает первый корень рт1 = 0, что говорит о вырождении предельного цикла в особую точку.
Она устойчива, если выполняется неравенство, полученное из (12) при подстановке рт = 0,
16.2,0 < 0
9п.
6,0
Так как .2 0 > 0 и .6 0 > 0, то это неравенство выполняется всегда.
Если сухое трение отсутствует ( .2 0 = 0), то из (12) получим неравенство
8(.3,0 — .1,0 ) < 0
9.6,0
которое выполняется при .3 0 < .10 и не выполняется при .3 0 > .10.
Эти результаты совпадают с полученными ранее в разделе 1.
Остальные корни определяются из уравнения
7 4.5,0 5 . 8.4,0 3 32(.3,0 — .1,0) , 128.2,0 Л ПОЛ
Pm —^- Pm +1Г— Pm---------------Г--------^ Pm ^ = 0. (13)
3.6,0 3.6,0 9.6,0 9п.6,0
Аналитическое решение этого уравнения, записанное в замкнутой форме, не существует. Можно найти численными методами приближенные значения его корней Pmi,---, Pm8, оставить для анализа вещественные и положительные, чтобы далее подстановкой в (12) установить, которые из них дают устойчивые предельные циклы.
Для получения инженерных аналитических соотношений, пригодных для исследования, с целью определения бифуркаций, рассмотрим «усеченное» уравнение (13), отбросив члены с P1m и P5m из-за малости коэффициентов при них.
Это уравнение сводится к виду
4 16
P3m — - А - Pm + — А = 0, (14)
3 3п
где А = (.3,0 — .1,0 V.4,0 , А2 = .2,0/.4,0 .
С целью получения общего бифуркационного параметра, пронормируем уравнение (14) введением новой переменной
Р = Pm • ^3п/ 16А2 .
После преобразования получим
с3 — вс +1 = 0, (15)
где в =
= 3
Р— * 0,93693—л=
12 V? ^2
В соответствии с теорией кубического алгебраического уравнения можно получить, что при в < 3/^4 «1,889882 корни уравнения (15) отрицательные и мнимые, что говорит об отсутствии предельных циклов.
При в > 3/^4 имеются один отрицательный и два положительных корня, равных
Р 2 = в/3 • Cos(60° + р/3),
(16)
гдер = агсСо^(0,^^/(^б)3).
Эти корни дают предельные циклы автоколебаний на фазовой плоскости, устойчивость которых можно определить по условию (12). В «усеченном» виде (12) через переменную р можно записать так
р3 - 0,5вр + 0,25 > 0.
(17)
Прямой подстановкой (16) в (17) можно убедиться, что устойчивыми являются предельные циклы для больших (р1) и неустойчивыми для меньших (р2) радиусов.
При в = 3/3/4 эти циклы сливаются в один и дают полуустойчивый цикл с радиусом р1 = р2 = 1/^2 .
На рисунке 1а представлена бифуркационная диаграмма, на которой параметром бифуркаций является величина в.
а)
б)
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма (а) и граница раздела существования и отсутствия предельных циклов автоколебаний (б)
Предельные циклы вне кривой р (в) не существуют. Верхняя часть кривой определяет устойчивые, а нижняя (помечена крестиками) - неустойчивые циклы, точка А (координаты указаны на графике) дает полуустойчивый цикл.
Из экспликации к (15) следует, что параметр в связывает две величины Л1 и Л2 соотношением
разделяющей области существования и отсутствия предельных циклов автоколебаний (рис. 1б).
Для определения бифуркационных диаграмм в реальных амплитудах автоколебаний через параметры Л1 и Л2 осуществим обратные замены в (16), после чего получим
При расчете диаграмм по (19) параметры бифуркаций Л1 и Л2 задаются в соответствии с рисунком 1б или соотношением (18).
По представленным на рисунке 2а бифуркационным диаграммам видно, что рост параметра Л2, который определяется сухим трением, уменьшает амплитуду предельных устойчивых циклов (верхняя часть кривых), но увеличивает амплитуду неустойчивых циклов (нижняя часть кривых). При значениях Л2, связанных с Л1 соотношением (18), циклы сливаются и становятся полуустойчивыми (точки А1, А2, А3). Этот результат с точностью до коэффициентов совпадает с полученным в [6].
Рост же параметра Л1, который определяется превышением электромагнитного восстанавливающего демпфирования АД (.3,0) над демпфированием от жидкого трения, приводит к росту амплитуды устойчивых колебаний и уменьшению амплитуды неустойчивых, начиная с точек А1, А2, А3 полуустойчивых циклов.
Таким образом, кривая Л1(Л2) на рисунке 1б является сепаратрисой, фиксирующей области существования и отсутствия предельных циклов.
Изложенное иллюстрируется изображенными на рисунке 3 характерными фазовыми портретами рассматриваемой автоколебательной системы.
Наличие устойчивого и неустойчивого фокуса (рис. 3б, в) было показано в разделе 1, а отсутствие вращательного движения при использовании пружинного КРЭ не только очевидно физически, но и легко подтверждается прямой подстановкой в (8) предполагаемого решения при вращении р = О • т. Поведение системы при нулевых значениях бифуркационных параметров достаточно просто проанализировать по уравнениям (8) или (14).
Например, при Л1 =Л2 = 0, когда согласно экспликаций к (14) должно быть .10 = .2 0 = .3 0 = 0, что означает отсутствие в автоколебательной системе АД сухого и жидкостного трения, в уравнении движения (8) исчезает правая часть и остается
Тогда по условию
можно получить уравнение границы
(18)
(19)
хорошо исследованное уравнение гармонического осциллятора без потерь, дающее на фазовой плоскости один устойчивый цикл автоколебаний (рис. 3 а).
а)
б)
Рис. 2. Бифуркационные диаграммы в координатах «амплитуда - сухое трение» (а) и «амплитуда - суммарное демпфирование» (б)
При Я2 = 0, что означает отсутствие сухого трения, из уравнения (14) получаем три корня
Рш1 = 0
Рш 2,3 = ±:
(20)
Первый корень дает устойчивый фокус при Л1 < 0 (рис. 3б) и неустойчивый при Л1 > 0 (рис. 3в). В последнем случае положительный корень (19) дает один устойчивый предельный цикл.
Результаты по фазовым траекториям электромеханической автоколебательной системы с пружинным и пружинно-маятниковым КРЭ сведены в таблицу 1.
Рис. 3. Фазовые портреты автоколебательной электромеханической системы с пружинным и пружинно-маятниковым КРЭ: устойчивый предельный цикл (а); устойчивый фокус (б); неустойчивый фокус с предельным устойчивым циклом (в); полуустойчивый предельный цикл с устойчивым фокусом (г); один предельный устойчивый и один неустойчивый циклы с устойчивым фокусом (д)
МЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА
Таблица 1
Фазовые траектории автоколебательной электромеханической системы с пружинным и пружинно-маятниковым КРЭ
\ Вид фазовой \траектории Параметры \ Устой чивый пре- дель- ный цикл Устойчивый фокус Неустойчивый фокус с устойчивым предельным циклом Неустойчивый фокус с полуустой-чивым предельным циклом Неустойчивый фокус с одним неустойчивым и другим устойчивым предельными циклами
А 0 0 или < 0 > 0 3 (9А/п)2 (9V nf
0 > 0 или 0 0 Пд/1^/9 <nj% /9
Рш! (УСт) р(+°) 2д/ А/3 Ц 600 | Cosy = 9 л/Пд/л^
Рш2 (неуст.) пА73 4^ Cosí 60- + У \ Cosy = 9 л/
Заключение
Проведенные исследования автоколебательного движения ОАД с линейной пружиной на валу показали, что имеются его бифуркации в виде:
- устойчивый предельный цикл;
- устойчивый фокус;
- неустойчивый фокус с устойчивым предельным циклом;
- неустойчивый фокус с полуустойчивым предельным циклом;
- неустойчивый фокус с одним неустойчивым и другим устойчивым предельным циклами.
Определяющие эти виды движения аналитические соотношения, представленные в таблице 1, определяют собой основы методики научно-обоснованного выбора общепромышленного АД в качестве силового элемента автоколебательного электропривода.
Литература
1. Луковников В.И. Электропривод колебательного движения. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.
2. Аристов А.В. Электропривод колебательного движения с машиной двойного питания. - Томск: Изд.-полиграфическая фирма ТПУ, 2000. - 176 с.
3. Луковников В.И., Тодарев В.В., Веппер Л.В. Автоколебательный режим однофазного асинхронного электродвигателя //Известия ВУЗов и ЭО СНГ. Энергетика. - 1998. -№ 2. - С. 45-49.
4. Веппер Л.В. Анализ уравнения движения асинхронного автоколебательного электропривода //Сборник материалов межвузовской конференции аспирантов и студентов. -Гомель: ГКИ-ГПИ, 1997. - С. 25-27.
Получено 01.10.2001 г.
