CC BY
37
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА
УДК 62-83:621.313.333
АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА ПРИ РАБОТЕ НА УДАР
В. И. ЛУКОВНИКОВ, М. Н. ПОГУЛЯЕВ,
Ю. А. РУДЧЕНКО, Н. В. САМОВЕНДЮК
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,
Республика Беларусь
Введение
Имеется множество областей науки и техники, отраслей народного хозяйства, где используются устройства, рабочие органы которых совершают колебательное движение с ударом. Это в первую очередь электромолотки, дробилки для измельчения руды, окаривающие механизмы, применяемые в лесной и деревообрабатывающей промышленности, установки ударно-канатного бурения, механизмы для ликвидации прихватов, применяемые при бурении нефтяных и газовых скважин, принтеры (матричные, лепестковые, строчные), перфораторы, механизмы забивки свай и вибротряски деревьев, колокола и т. д. [1].
В ряде областей науки, техники и производства, где требуется осуществлять колебательное движение рабочего органа машины без повышенных требований к качеству колебаний, более перспективным оказывается применение автоколебательных режимов работы электродвигателей. Это, например, испытательные стенды пружинных подвесок и других упругих элементов, станки-качалки, аппараты спортивной вибростимуляции, игрушки, рекламные качающиеся устройства, колокола и т. д.
Цель работы
Данная статья посвящена анализу автоколебательного движения электропривода на основе общепромышленного трехфазного асинхронного электродвигателя, подключенного к однофазной электросети, при работе на ударную нагрузку на примере электропривода колокола.
Механическая часть привода чаши колокола
Для получения звучания в колоколах используют три основных способа [2]. Первый осуществляется путем раскачивания языка и соударения его с неподвижной чашей колокола, при втором способе производят раскачивание чаши и соударение ее со свободно подвешенным языком колокола, третий способ получения звучания заключается в ударах молотом по внешней стороне чаши. В настоящее время наиболее распространенным является второй способ, несмотря на большие затраты энергии, т. к. он улучшает силу и качество звучания благодаря пространственному колебанию чаши.
Для раскачивания колоколов нередко используется электрический привод, который выполняется на основе электромагнитов, электродвигателей вращательного движения и линейных асинхронных двигателей дугового типа [3]. Чаще всего применяется электродвигатель вращательного движения с механическим преобразователем (редуктором), что усложняет кинематическую схему привода, приводит к увеличению потерь энергии в редукторе и уменьшению надежности. К недостаткам
привода с линейным двигателем, прежде всего, следует отнести низкие энергетические показатели из-за наличия краевых эффектов.
Есть еще одна возможность построения электропривода колокола - на основе асинхронного двигателя (АД), работающего в автоколебательном режиме. Такой способ построения исключает необходимость использовать редуктор, т. к. ротор двигателя в автоколебательном режиме совершает возвратно-вращательное движение, частота которого определяется массогабаритными характеристиками двигателя и колокола, а амплитуда колебаний зависит от параметров электропитания двигателя [4].
На рис. 1 представлена схема механической части электропривода чаши колокола на основе автоколебательного асинхронного электродвигателя. Чаша 2 колокола жестко закреплена на раме 4 с помощью штанги 3. Рама 4 имеет возможность поворачиваться в подшипниках 5, установленных на станине 8. К раме 2 с помощью муфты 6 подсоединен ротор асинхронного двигателя 7.
Рис. 1. Схема механической части электропривода чаши колокола:
1 - язык колокола; 2 - чаша колокола; 3 - штанга; 4 - рама; 5 - подшипник; 6 - муфта;
7 - электродвигатель; 8 - станина
Схема подключения двигателя
Три фазные обмотки электродвигателя подключены к источнику однофазного переменного напряжения и соединены параллельно между собой, две из них включены согласно друг другу и встречно третьей (рис. 2, а) [5]. Фазные обмотки I, II и III включены между собой параллельно, что обеспечивает максимальный фазный ток в обмотках и, как следствие, максимальную амплитуду колебания момента двигателя. При этом относительная суммарная МДС Г (рис. 2, б) равна геометрической сумме относительных МДС отдельных фазных обмоток I, II, III (р1, Гц, Гщ).
При геометрическом сложении относительных МДС (р1, Гц, Гш) трех фазных обмоток, две из которых включены согласно между собой и встречно третьей, имеем результирующую относительную МДС Г, которая в два раза больше МДС любой отдельно взятой фазной обмотки.
Е
Я
)
<
а)
б)
Рис. 2. Схема подключения обмоток двигателя к однофазной сети (а) и векторная диаграмма МДС, наводимых в них (б)
Математическая модель электропривода
На основании третьего закона Ньютона запишем уравнение свободного (без языка) движения чаши колокола в следующем виде:
Л • Фч + Мм.ч • 8ІП(фч ) = МДв - Мс.ч ,
(1)
где фч - угол отклонения чаши от положения равновесия; ф ч - скорость чаши; ф ч -
ускорение чаши; Мм ч - маятниковый момент чаши; Мдв - момент двигателя; Мс ч -
момент сопротивления.
Уравнение (1) представляет собой уравнение автоколебательного движения [8]. Маятниковый момент чаши определяется по формуле:
М = т ■ р ■ I ,
м.ч ч о ч ’
где тч - суммарная масса подвижных частей; р - ускорение силы тяжести; 1ч - расстояние от центра тяжести чаши до оси вращения.
Момент двигателя определяется аппроксимацией Сюмека [6]:
Эл/3 • М
Мдв = -
2 • п
кр
'Ф ч
э4Э • Мкр , э
--------•Ф ч =
2 •п
где Мкр - критический момент однофазного асинхронного двигателя (ОАД); п1 -скорость идеального холостого хода ОАД.
Момент сопротивления
Мс.ч = Мс.т • 8І§П(Фч ) + Мж.т • фч ,
где Мст - момент сухого трения; Мжт - коэффициент жидкого трения (демпфирование).
Аналогично запишем уравнение свободного (без соударения с чашей колокола) движения языка внутри чаши:
Ля •&&я + Мм.я • ^П(Фя ) = -Мс.я ,
(2)
где фя - угол отклонения языка колокола от положения равновесия; ф я - скорость языка; ф я - ускорение языка; Мм я - маятниковый момент языка; Мс я - момент сопротивления языка, характеризующийся сухим и жидким трением.
Соударение чаши и языка наступает, когда выполняется условие
|фч -Фя| = Фу ,
(3)
где фу - угол соударения.
После соударения чаши и языка их скорости изменяются. Время переходного процесса изменения скорости от одного квазиустановившегося значения до другого мало по сравнения со временем периода автоколебаний языка и чаши колокола, поэтому будем считать, что скорости изменяются скачком. Скорости чаши и языка после соударения можно определить на основании законов сохранения импульса и энергии [7]:
Лч • Пч2 + Ля • пя2 = Лч • пч1 + Ля • пя^
Лч • пч2 Л,
2
- + -
я пя2
Л
2
ч пч1
2
2
+ -
Л я •пя
2
(4)
где шч1, шя1 - скорости чаши и языка до соударения; шч2. языка после соударения.
Решим систему (4) относительно шч2 и шя2 и получим:
пя2 - скорости чаши и
п ч2 =
п я2 =
2Ля ^пя1 + (Лч - Ля )• пч1 £
(Лч + Ля) ' ’
2 Лч ^пч1 + (Ля - Лч ^ пя1 £
(Лч + Ля) ' ,
(5)
где к - коэффициент, учитывающий снижение скорости чаши и языка, вследствие преобразования некоторой части кинетической энергии движущихся масс в акустическую (0 < к < 1).
Выражения (1)-(3), являются математической моделью, описывающей движение чаши и языка колокола с учетом начальных условий после удара (5). Точный анализ данной модели можно проводить только численными методами.
Качественный (приближенный) анализ математической модели
Для проведения приближенного аналитического исследования модели примем ряд допущений:
- уравнения движения чаши (1) и языка (2) колокола близки к линейным;
- скорости языка и чаши колокола в момент удара изменяются скачком;
- момент инерции чаши намного больше момента инерции языка Jч >> /я;
- маятниковый момент чаши намного больше маятникового момента языка
М >> М •
м.ч м.я 5
- момент сопротивления чаши намного больше момента сопротивления языка
М >> М ;
с.ч с.я 5
- коэффициент, учитывающий снижение скорости чаши и языка, вследствие преобразования некоторой части кинетической энергии движущихся масс в акустическую близок к 1 (принимаем к = 1, т. е. считаем удар абсолютно упругим).
В результате можно считать, что закон движения чаши колокола близок к гармоническому.
К = Фмак.ч 8Іп(ШочҐ),
I Юч = Ф мак.ч ® 0чС°®(® ) = Ю мак.ч С^Кч О,
(6)
где ф
мак. ч мак. ч
максимальные угол отклонения и скорость движения чаши соот-
ветственно; ю0ч - частота собственных колебаний чаши
Ю0ч =
^ ^'1ч
J„
Аналогично будут выглядеть законы изменения угла и скорости языка до и после соударения с чашей.
п 1
Для углов отклонения языка: — ± 2п • п < ш0/ < ш0/у ± 2п • (п + ^), где п е N> 0
п
Фя = Фмак.я ^п(т • ю0чt + Т • [1 - m]),
Пя ф мак.я
2
п п
• m • Ш0чС08(т • Ю0чt + - ^ [1 - m]) = ^акяС^ • ю0чt + - ^ [1 - m]).
(7)
3п
Для углов отклонения языка: — ± 2п • п < ш0/ < ш0/у ± 2п • (п +1), где п е N> 0
Фя = Фмак.я ^п(т • Ю0чt + у •[1 - т])
3п 3п
юя = Фмак.яm • Ю0чС0^(т • ЮССчt + у • [1 - m]) = -® мак.яС^ • Шoчt + у • [1 - m]),
(8)
где ф
мак.я мак.я
максимальные угол отклонения и скорость движения языка соот-
ветственно; ш 0я - частота собственных колебаний языка
mя• g•lя
ш = —я——-----— '
0я т 5
Т я
т - отношение частот свободных колебаний языка и чаши колокола
ш0я т = —°^.
ю0
Кроме того, т. к. Jч >> Jя и к = 1, то можно записать выражения (5) в виде:
(9)
Из выражений (9) видно, что для принятых допущений скорость движения чаши скачком после соударения с языком не меняется, а скорость движения языка изменяется до значения скорости движения чаши.
Для построения временных диаграмм углов и скоростей движения чаши и языка зададим в относительных единицах исходные данные. Рассмотрим частный случай, в котором колебания чаши происходит с амплитудой фмак ч = 1. Характерным для ко-
ч2 ®ч1;
я2 ®ч1.
локолов является, что частота собственных колебаний чаши выше частоты собственных колебаний языка. Примем ш0ч = 1 и ш0я = 0,5 .
Найдем остальные параметры колебательного движения амплитуду скорости движения языка фмакя и угол соударения фу . Для этого составим систему уравнений:
| фу фмак.ч фмак.я, _ 0)
I фу =фч (К ) -фя (tу X
где фч (tу), фя (tу) - углы отклонения чаши и языка колокола в момент соударения
соответственно.
Вычтем из первого уравнения второе:
фмак.ч - фч ^у ) - фмак.я + фя ) = 0 . (1 1)
Запишем (11) с учетом (6)-(8)
3п
фмак.ч - фмак.ч ^Кч^ ) = фмак.я - (-фмак.я • Ш0чtу + ~ • [1 - т])) . (12)
Подставив в выражение (12) исходные данные, получим:
3п
1 - ^Оу ) = фмак я (1 + Sin(0,5ty + —)) . (13)
Данное уравнение является параметрическим, решим его относительно фмак я:
1 - )
фмак.я = ----------—3^. (14)
1 + бш(0,5^ + ~)
Будем считать, что соударение чаши и языка происходит в момент, соответст-п
вующий ш0Х = —, тогда амплитуда колебания языка по выражению (14) равна у 6
1 - эшф
ф.а„ =---------= 0-333.
1 + 8Ш(—+ —)
12 4
Угол соударения по выражению (3)
ф = |ф -ф I = 1 - 0,33 = 0,667.
ту |тмак.ч тмак.я| .
Угол отклонения чаши в момент соударения с языком колокола из первого уравнения системы (6)
п
фч ^у ) = фмак.ч ^п(ш 0чtу ) = вшС^) = 0,5 .
Рис. 3. Временные диаграммы изменения углов и скоростей чаши и языка колокола
Угол отклонения языка в момент соударения с чашей колокола из первого уравнения системы (8) или из второго уравнения системы (10)
3п
п 3пч
фя ^у ) = фмак.я • ш 0ч^ + — •[1 - т]) = -0,33 • + —) = -0,167
0ч у
2 12 4
Амплитуда скорости движения чаши
Ш мак.ч = фмак.чШ0ч = 1 .
Амплитуда скорости движения языка
Шмак.я = фмакя • т • Ш0ч = 0,333 • 0,5 = 0,167
По найденным значениям параметров движения строим временную диаграмму (рис. 3).
Опишем основные этапы цикла движения чаши и языка:
Интервал от t1 до t3 на диаграмме - соответствует движению чаши и языка от положения максимального их отклонения до соударения. На данном интервале движение чаши определяется уравнением автоколебательного движения (1), а движения языка уравнением (2).
Момент времени t3 на диаграмме - соударение чаши и языка колокола. Происходит скачкообразное изменение скорости языка до значения скорости чаши.
Интервал от t3 до t4 на диаграмме - соответствует движению чаши и языка после соударения до положения максимального их отклонения. Траектории движения чаши и языка совпадают (язык «прилип» к чаше), закон их движения определяется следующим уравнением:
(/ + J ) • Ф + (М м.ч + М м.я ) • 8Ш(ф) = Mдв - (Мсч + Мс.я ).
Однако с учетом принятых выше допущений (/ч >> /; М м.ч >> М м.я; Мсч >> М ся) можно считать, что закон движения чаши и языка определяется уравнением (1). Далее цикл движения повторяется.
Заключение
В результате проделанной работы получены следующие результаты:
- предложен новый принцип построения привода чаши колокола на основе без-редукторного асинхронного автоколебательного электропривода;
- разработана схема соединения обмоток асинхронного двигателя для его работы в автоколебательном режиме;
- создана математическая модель электропривода чаши колокола.
- проведено аналитическое исследование математической модели, построены временные диаграммы движения чаши и языка колокола, которые можно использовать для проектирования подобных электроприводов.
Литература
1. Грачев, С. А. Безредукторный электропривод периодического движения / С. А. Грачев, В. И. Луковников. - Минск : Высш. шк., 1991. - 160 с.
2. Бондаренко, А. Ф. Московские колокола 17 века / А. Ф. Бондаренко. - Москва : Русская панорама, 1998. - 256 с.
3. Шымчак, П. Применение линейных двигателей для установок колебательного движения / П. Шымчак // Электротехника. - 2006. - № 6. - С. 10-14.
4. Луковников, В. И. Анализ электромеханической автоколебательной системы «асинхронный электродвигатель - упругий элемент» / В. И. Луковников, Ю. А. Рудченко // Вестн. ГГТУ им. П. О. Сухого. - 2003. - № 1. - С. 61-66.
5. Стенд динамических испытаний пружин : пат. 1С1 BY, МПК G01B 1/00, G01M 13/00 / В. И. Луковников, Ю. А. Рудченко. - № 2156 ; заявл. 14.02.2005 ; опубл. 30.09.2005 // Афщыйны бюлетэнь / Дзярж. пат. ведамства Рэсп. Беларусь. -2005. - № 3.
6. Sumec, I. K. Der einphasige Induktionsmotor / I. K. Sumec // Archiv der Math. Und Physik. - 1905. - Bd 8. - s. 306.
7. Власенков, В. М. Удар. Теория. Практика / В. М. Власенков, С. И. Феоктистов. -Владивосток : Изд-во Дальневосточ. ун-та, 1987. - 158 с.
8. Луковников, В. И. Исследование автоколебательного движения асинхронного электродвигателя с маятником на валу / В. И. Луковников, Л. В. Веппер, В. В. То-дарев // Вестн. ГГТУ им. П. О. Сухого. - 2003. - № 1. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2003. - С. 53-60.
Получено 17.12.2008 г.
