Физические процессы автоколебательного движения в системе «Однофазный асинхронный электродвигатель – упругий элемент» Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62-83: 621.313.333

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ «ОДНОФАЗНЫЙ АСИНХРОННЫЙ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЬ - УПРУГИЙ ЭЛЕМЕНТ»

В. И. ЛУКОВНИКОВ, Ю. А. РУДЧЕНКО

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

Введение

Развитие безредукторных электроприводов автоколебательного движения [1], [2] требует исследования происходящих в них физических процессов с целью детализации анализа и синтеза оптимальных условий возникновения и стабилизации автоколебательного процесса.

Цель работы

Выявить общие необходимые и достаточные условия и особенности возникновения устойчивого автоколебательного движения в системе «однофазный асинхронный электродвигатель - упругий элемент» на основе анализа происходящих в ней физических процессов.

Метод достижения цели

В основу метода положен классический подход к анализу энергообмена по Лагранжу при допущении, что процесс установившихся автоколебаний является гармоническим.

При этом в системе учитываются консервативные силы упругих элементов и движущихся масс, диссипативные силы сухого и жидкостного трения, а также электромагнитные силы непотенциального характера.

Общие аналитические соотношения

В канонической форме уравнение движения автоколебательной системы «однофазный асинхронный электродвигатель - линейный упругий элемент» может быть записано в виде [1]

ф + Ф = Дд(Ф)-^(Ф^ (1)

где ф, ф, ф - относительные угловая координата, скорость и ускорение; дд(ф) -относительная механическая характеристика однофазного электродвигателя; дн(Ф) -относительная механическая характеристика диссипативных сил нагрузки.

Ограничиваясь полиномиальной аппроксимацией механической характеристики двигателя по Сюмеку

Д д(ф ) = М> -Д 2ф 3 (2)

и механической характеристикой нагрузки в виде сил сухого трения по Кулону и линейного жидкостного трения (демпфирования)

Дн(ф) = Д3^П ф + Д4ф , (3)

запишем уравнение (1) в виде

ф + ф = д1ф -д2ф3 -^3Sign ф -д4ф . (4)

При гармонической линеаризации установившегося автоколебательного режима ф = R cos т из уравнения (1) прямой подстановкой можно получить, что амплитуда первой гармоники электромагнитного момента двигателя ддш 1 равняется амплитуде первой гармоники нагрузки днот 1.

Тогда в соответствии с разложением в ряд Фурье получим с учетом равенств (2-4), что

2р 1 2р

If Гг

— I [^ (-R sin x) - д2 (-R sin x)3 ] • (- sin x)dx = — І [д3 Sign(-R sin x)

P о P о

+ д4 (-R sin т)] • (- sin x)dx.

После преобразований найдем уравнение радиусов предельных автоколебаний:

3 3 4

д^ —д2R =д4R + —д3.

4 к

Вводя новую переменную

3р -д 2

р = R •

16 -д 3

получим обобщенное уравнение условий возникновения автоколебательного движения

р3-рр +1 = 0, (5)

где Р - бифуркационный параметр, определяемый по формуле

Р = 3

P (д1 Д 4 )

12д2•д2

Наибольший из вещественных корней уравнения (5)

27

)]

4р3

определяет устойчивый автоколебательный цикл с амплитудой

Rm = Pm

16д 3

3р • д2

(6)

Тогда можно записать следующим образом законы изменения:

- координаты ф = Rm cos х ;

- скорости ф = -Rm sin х ;

- ускорения ф = -Rm cos х ;

3 3

- электромагнитного момента дд = -(д1 Rm - 4 д2Rm ) sin х;

- нагрузочного момента дн = -(д4Rm + — д3)sin х ;

р

• 2 г>2 • 2

- кинетической энергии qK = ф = Rm sin х;

2 г>2 2

- потенциальной энергии qn = ф = Rm cos х;

dq 2

- кинетической мощности pt. = —- = 2Rm sin х • cos х ;

dх

dqn „л2 .

- потенциальной мощности pn = —— = -2Rm sin х • cos х ;

dх

3

- электромагнитной мощности pд = ддф = Rm (д1Rm - 4 д2R,^) sin2 х;

4 2

- мощности нагрузки pij = днф = Rm (д4Rm + — д3)sin х .

р

Численная иллюстрация физики автоколебательного процесса

Рассмотрим физику процесса в реальной автоколебательной системе «однофазный асинхронный электродвигатель - маятник» при малых углах автоколебаний, когда ее параметры по (4) равны: д1 = 1,73; д2 = 0,77; д3 = 0,25 ; д4 = 0,4.

Радиус фазовой траектории устойчивого автоколебательного цикла согласно (6) будет Rm = 1,3798, а законы изменения переменных величин:

- ф = 1,3798cos х;

- ф = -1,3798 sin х ;

- ф = -1,3798cosх;

- дд =-0,87sin х;

- дн =-0,87sin х;

- qK = 1,9038sin2 х;

- qп = 1,9038cos2 х;

- pt. = 1,9038sin2х;

- pп =-1,9038sin2х;

- pд = 1,2sin2 х;

- Pн = 1,2sin2 х.

На рис. 1 представлены временные диаграммы указанных переменных, сориентированные в периоде по крайним и средним точкам положения маятника.

Рис. 1. Временные диаграммы координаты, скорости и ускорения (а), кинетической и потенциальной энергий (б), моментов и мощностей двигателя и нагрузки (в) при автоколебательном движении

Их анализ показывает, что в системе одновременно происходит два принципиально различных физических процесса: периодическое преобразование потенциальной энергии в кинетическую и компенсация механической энергии, потребляемой нагрузкой, электромагнитной энергией, вырабатываемой электродвигателем.

В первом приближении (гармоническая линеаризация) эти процессы идут независимо, поскольку ф + ф = 0.

Потенциальная qп и кинетическая qк энергии положительны, изменяются с двойной частотой автоколебаний со сдвигом по фазе на 180° так, что суммарная энергия qк + qп = 1,9038 остается постоянной и равной энергии, затраченной на первоначальное отклонение маятника для пуска в автоколебательный режим.

Потенциальная pп и кинетическая pк мощности разнополярны, изменяются тоже с двойной частотой со сдвигом по фазе на 180° так, что суммарная мощность pп + pк = 0.

Сопоставление знаков энергий и мощностей показывает, что при движении маятника из положения 1 в положение 2 (qп > ^ Pп < 0; qк > 0, Pк > 0) потенциальная энергия полностью преобразуется в кинетическую, а при движении из положения 2 в положение 3 ( qп > 0, pп > 0; qк > 0, pк < 0) кинетическая энергия преобразуется в потенциальную.

Этим обусловлено отсутствие электромагнитных пусковых процессов электродвигателя в крайних положениях маятника (ф = 0) и «застревания» его в нейтральном положении ( ф = ф m ).

Процесс компенсации нагрузки электродвигателем идет так, что мгновенная механическая мощность двигателя pд изменяется с двойной частотой автоколебаний и

полностью потребляется нагрузкой pн, а электромагнитное усилие двигателя и силы сопротивления нагрузки изменяются с частотой автоколебаний и равны друг другу.

a)

б)

Рис. 2. Построение временных диаграмм моментов двигателя и нагрузки (а)

и их расхождение (б)

С целью уточнения физики процессов, происходящих в автоколебательной системе, были графически получены циклограммы моментов нагрузки и электродвигателя при гармоническом законе автоколебаний с помощью механических характеристик.

В рассматриваемом случае согласно (2) и (3) механические характеристики двигателя и нагрузки можно записать в виде

д д(ф) = 1,73ф - 0,77ф3; дн (ф) = 0,25 Sign ф + 0,4ф .

Результаты построений представлены на рис. 2, для ф = -1,3798sin т, где точками 1,..., 4 обозначены соответствующие положения маятника на рис. 1.

Видно, что при перемещении маятника из положения 1 в положение 2 первоначально дн > дд , что приводит к подтормаживанию движения, затем дд > дн, что заставляет маятник разгоняться, и, наконец, при подходе к нейтральному положению 2 вновь дн > дд и вновь маятник тормозится.

За счет кинетической энергии маятник проходит нейтраль с максимальной скоростью и процесс «подтормаживания - разгона» повторяется.

Таким образом, в течение цикла автоколебаний имеется девиация закона колебаний по отношению к гармоническому. Кроме того, выяснилось, что для получения устойчивых автоколебаний рабочая точка на механической характеристике электродвигателя должна «забегать» за критическую и точку пересечения механических характеристик электродвигателя и нагрузки.

На рис. 2, б представлены временные диаграммы момента двигателя, нагрузки и их разности. В рассматриваемом случае эта разность достаточно велика, что говорит о необходимости уточнения закона колебаний, например, по методу гармонического баланса.

Выводы

1. В исследованной системе в первом приближении периодические процессы преобразования потенциальной энергии в кинетическую и обратно и компенсации диссипативных сил электромагнитными можно рассматривать независимо друг от друга.

2. Устойчивый автоколебательный цикл возникает в системе при «забегании» рабочей точки механической характеристики двигателя за критическую и точку пересечения ее с механической характеристикой нагрузки.

3. При большом различии в механических характеристиках двигателя и нагрузки в течение цикла автоколебаний возникает девиация закона колебаний по отношению к гармоническому.

Литература

1. Луковников, В. И. Условие устойчивости автоколебательной системы «однофазный асинхронный электродвигатель - пружина» / В. И. Луковников, Г. И. Селиверстов, А. В. Туренкова // Вестник ГГТУ им. П. О. Сухого. - 2005. - № 4. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2005. - С. 64-68.

2. Пат. 1С1 BY, МПК G01B 1/00, G01M 13/00. Стенд динамических испытаний пружин / Луковников В. И., Рудченко Ю. А. - № 2156; заявл. 14.02.05; опубл. 30.09.05 // Афщыйны бюлетэнь / Дзярж. пат. ведамства Рэсп. Беларусь. - 2005. - № 3.

Получено 14.07.2006 г.