CC BY
46
УПРАВЛЯЮЩИЕ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
УДК 62-83: 621.313.333
ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ С МАЯТНИКОМ НА ВАЛУ
В.И. ЛУКОВНИКОВ, Л.В. ВЕППЕР
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,
Республика Беларусь
Введение
В нашей работе [1] сообщалось о перспективности построения безредукторных электроприводов колебательного движения на основе реализации мягкого реверса за счет обеспечения устойчивого автоколебательного режима работы системы «однофазный асинхронный электродвигатель - упругий элемент».
Повысить мощность и надежность такой системы с одновременным упрощением технической реализации можно за счет использования общепромышленного трехфазного асинхронного электродвигателя (АД) с обмотками, присоединенными к однофазной сети электропитания, и замены пружины маятником (дисбалансом), закрепленным на валу двигателя [2, 3].
Как следует из [1], анализ автоколебательного движения АД, даже с линейной пружиной на валу (линейная позиционная нагрузка), представляет собой серьезную теоретическую задачу. Замена же пружины маятником существенно усложняет ее, т. к. в консервативной паре «масса - упругость» появляется периодическая нелинейность, что приводит не только к особенностям бифуркаций автоколебательного движения, рассмотренных в [1], но и появлению новой бифуркации - срыву автоколебаний во вращение.
Цель работы
Создать математическое обеспечение для анализа и синтеза условий возникновения, устойчивости и бифуркаций автоколебаний в асинхронном электродвигателе с маятником на валу, как научной основы его выбора в качестве силового элемента автоколебательного электропривода.
Метод достижения цели
Опуская предварительные математические преобразования, запишем уравнение движения АД с маятником на валу в канонической форме [4]:
ф + вт ф = -о+ (О -О)Ф -О&3 + ОзФ5 -МвФ7, (1)
где ср,ф, ф - относительная угловая координата положения вала АД и ее первая (скорость) и вторая (ускорение) производные по относительному времени;
О, О - коэффициенты нагрузки жидкостным и сухим трением;
О - коэффициент электромагнитного демпфирования АД;
О, О, О - коэффициенты полиномиальной аппроксимации механической характеристики АД.
Представим уравнение (1) в виде системы двух уравнений первого порядка:
p = v,
v = - sin p - *2signv + (*3 - *)v - *4v3 + /u5v5 - *6v7 .
(2)
Дифференциальное уравнение интегральных кривых получится делением второго уравнения на первое
dv = - sin p - *2Signv + (*3 - *)v - /и4v3 + /u5v5 - *6v7 dp v
(3)
Анализом уравнений (2) и (3) установим условия возникновения, устойчивости и бифуркаций автоколебательного движения.
1. Условия существования равновесных состояний
Координаты точек равновесия найдем, приравняв нулю производные р и V, что позволит записать систему уравнений (2) в виде
/V = 0,
[- этр - д2Signv+ (д - - д4уъ + д5V5 - /и(у1 = 0.
Анализируя полученное, можно найти, что в отличие от случая, рассмотренного в [1], здесь существует множество особых точек семейства интегральных кривых на фазовой плоскости, расположенных на оси абсцисс Ор (V = 0), с координатами р1 = ±iж, где i = 0, 1, 2, 3,... - ряд натуральных чисел.
Следуя изложенному в [1], определим устойчивость равновесия в особых точках с помощью системы уравнений для малых отклонений переменных Ар, Av от состояния равновесия vo = 0, ры = ±1ж
A p = Av,
A v = - sin(± in + Ap) - 2Ъ* Av + (*3 - * )Av,
п
(4)
где Ъ - крутизна касательной в начале координат к функции arctg, аппроксимирующей функцию Sign и совпадающей с ней при Ъ ^ да [1].
Поскольку для малых Ap величина
sin(± іп + Ap) & (- 1)г Ap,
то корни характеристического уравнения системы (4), равные
P1,2 = 2 і* - A -■
2Ъ*
п
І
1 f 2Ъ*
і *
будут при Ь ^ да отрицательны для четных i = 0, 2, 4,. и положительны для нечетных i = 1, 3, 5,..
Значит в первом случае состояние равновесия устойчиво, а во втором - неустойчиво, что хорошо согласуется с известным из физики положением об устойчивости маятника при его остановке внизу от точки подвеса и неустойчивости при остановке вверху.
2
1
Если же сухое трение отсутствует (/2 = 0), то при /3 > /1 все состояния равновесия неустойчивы, а при /3 < /1 - устойчивы.
2. Условия возникновения предельных циклов автоколебаний
Проинтегрируем уравнение интегральных кривых (3) для начальных условий —, vo и запишем уравнение фазовых траекторий через параметр Л и интеграл Q(—, учитывающий взаимодействие сил диссипации и подпитки, в следующем виде:
v - 4^Л - sin2 — j = Q(p\ (5)
где интеграл, учитывающий влияние сил диссипации и подпитки, равен
—
iv + (u3 -u^v-uV +■■' 5
Q—) = 2 • j [-uSign v + (//3- Ui)v - u4v3 + vv'- uv1 ]d—.
Vo
В установившемся режиме силы подпитки и диссипации компенсируют друг друга, тогда Q((p) = 0 и уравнение (5) сводится к системе уравнений
v2 = 4\ Л- sin2 —
2 .
(6)
j [-/2Sign v + (/3 -/i ) v - /1^ + /5v5 - /6v? ] d— = 0.
—o
Его параметр Л = — v2 + sin2—^ является бифуркационным (лимитационным),
Первое уравнение описывает известную фазовую траекторию свободного движения маятника, исследованного, например, в работах [5, 6].
- V2 + sin2 —
4 o 2
разделяющим вращательное (Л > 1), колебательное (Л < 1) и равновесное (Л = 0 или — =vo = 0 ) свободные движения маятника.
Анализ выражения для Л показывает, что даже при предельном начальном отклонении маятника — = ±п вращение не возникает, если нет толчка с начальной
скоростью ( vo = 0 ), т. к. не выполняется неравенство Л > 1.
При отсутствии же начального отклонения (— 0 = 0) всегда возникает вращение,
если |vo| > 4. Знак vo определяет направление вращения или колебания (по часовой
стрелке или против).
Уравнение сепаратрисы, разделяющей на фазовой плоскости вращательный и колебательный режимы движения маятника, найдем для Л = 1 в виде
v = 2 cos —. (1)
2
Варианты фазовых траекторий, рассчитанных по первому уравнению системы (6) и уравнению (1), представлены на рис. 1. Они же справедливы и для установившегося движения АД с маятником на валу, нагруженного диссипативными силами, при условии их компенсации активным электромагнитным усилием «подкачки», когда выполняется второе уравнение системы (6).
Рис. 1. Фазовые траектории установившегося движения АД с маятником на валу при скомпенсированной нагрузке: 1 - вращение при Я = 2; 2 - сепаратриса при Я = 1;
3 - колебания при Я = 0,5; 4 - равновесные состояния при Я = 0
Это уравнение по существу описывает условия возникновения предельных циклов автоколебаний и позволяет установить взаимосвязь между начальными условиями пуска (фо, Уо), нагрузкой (а, а), параметрами АД и его электропитания (а, А, а), определяющую существование этих циклов.
В работе [5] показано, что уравнение свободного движения маятника имеет точное установившееся решение, записываемое с помощью эллиптических функций Якоби.
Анализ гармонического состава, проделанный в работе [6], позволил установить, что в диапазоне амплитуд колебаний от 15 до 90° относительная величина амплитуды первой гармоники изменяется от 0,9996 до 0,985, что позволяет в рассматриваемом случае с высокой степенью точности считать закон установившихся автоколебаний маятника гармоническим с амплитудой фт = 2л[Л и начальной фазой та = -аг^ (фо/уо), то есть
ф
V
2^[Л Бт
2у/Я
Г
т
V
(
СОБ
фо
V
I
V
(8)
Интеграл Q(ф) будет равен нулю, поскольку при компенсации сил диссипации и подпитки будет равна нулю подынтегральная функция
(9)
Прямой подстановкой (8) в (9), используя гармонический баланс по первой гармонике, найдем уравнение существования предельных циклов автоколебаний в виде
4 2 3
-----ц*2 + (л — М) — 3 А/л + 10А Л5 — 35А Мб = 0.
п
(10)
Поскольку рт = 2л[А , то уравнение (10) представляет собой уравнение радиусов предельных циклов.
С помощью подходов, использованных нами в работе [1], можно по нему построить бифуркационную диаграмму, а также показать, что предельные циклы существуют только при положительных корнях, причем большим корням соответствуют устойчивые, а меньшим - неустойчивые циклы.
Отметим, что расчет фазовых траекторий неустойчивых автоколебаний следует производить непосредственно по уравнению (5), а временных диаграмм - по уравнению (1).
При автоколебаниях нагруженного маятника с амплитудой рт < п, фазовые траектории его движения очень близки к траекториям автоколебаний нагруженной пру-
п
жины [1], хотя законы колебаний достаточно хорошо совпадают только для рт < — .
Сказанное, в частности, подтверждает рис. 2, где представлены фазовые траектории и временные диаграммы автоколебаний для неустойчивых предельных циклов, рассчитанные по полученным здесь и в [1] соотношениям.
р,а>,8
0,5
0
-1
1
2 3 /
0 12 3 4 56 7 8 9 10 ^ С
а)
б)
Рис. 2. Временные диаграммы (а, б) угла р (1), скорости а (2), ускорения е (3) и фазовые траектории (в, г) неустойчивого предельного цикла автоколебаний АД с пружинной (а, в) и маятниковой (б, г) упругостью для СУ = 80 Нм, МтрУ = 4 Нм,
JУ = 3,2 кг • м2, р0= 1 рад
3. Условия возникновения вращательного движения
Исследование движения АД с маятником на валу при скомпенсированной нагрузке показало, что в установившемся режиме в нем возникает бифуркация автоколебательного режима во вращательное (рис. 1, кривая 1).
Соответствующее этому первое уравнение системы (6) было исследовано в работе [5] для случая круговращения маятника.
Выяснилось, что точное аналитическое выражение угловой скорости маятника можно записать с помощью эллиптических функций Якоби. Если пуск во вращение производится только с помощью толчка ( ро = 0, уо ^ 0 ), то для уо >> 2 это выражение в принятых в данной статье обозначениях можно для среднего значения скорости приближенно записать как
уср =---2 У° -4------- ~ V.
р 1 + УГ, +УГ, + ...
Теперь прямой подстановкой у0 в уравнение (9) можно найти условие существования вращательного движения в виде
- А + (а - А К - А^03 + А V5 - А^07 = °.
(11)
Вращательное движение АД с маятником на валу существует только при положительных корнях этого уравнения, причем для больших корней оно устойчиво, а для меньших - неустойчиво.
Расчет фазовых траекторий и временных диаграмм неустойчивого вращательного движения следует производить непосредственно по уравнениям (5) и (1).
На рис. 3 представлены рассчитанные по полученным соотношениям фазовые траектории, иллюстрирующие срыв автоколебаний во вращение.
Рис. 3. Фазовые траектории срыва автоколебаний во вращение АД с маятником на валу: а) СУ = 20 Нм, МтрУ = 1,95 Нм, JУ = 0,3 кг • м2, сро = 1 рад ;
б) СУ = 80 Нм, МтрУ = 2,0 Нм, JУ = 3,2 кг • м2, що = 1 рад
Заключение
Проведенное исследование показало, что в автоколебательном движении АД с маятником на валу имеется несколько устойчивых и неустойчивых положений равновесия с координатами щ = ±іп, у = 0; существуют устойчивые и неустойчивые предельные циклы автоколебаний, определяемые уравнением (10); возникает срыв автоколебаний во вращение, если при нулевом начальном отклонении маятника (щ = 0) начальный толчок дает скорость у0 > 2у/ Я-1 ; существует устойчивое и неустойчивое вращательное движение, определяемое уравнением (11).
Полученные аналитические связи и уравнения представляют собой теоретическую основу инженерной методики выбора АД с маятником на валу в качестве силового элемента автоколебательного электропривода.
Предполагается опубликовать эту методику в последующих номерах настоящего
журнала.
Список литературы
1. Луковников В.И., Веппер Л.В. Исследование автоколебательного движения однофазного асинхронного электродвигателя с линейной пружиной на валу //Вестник ГГТУ им. П О. Сухого. - 2001. - № 2. - С. 33-42.
2. Веппер Л. В. Однотиристорный автоколебательный маятниковый асинхронный электропривод //Современные проблемы машиноведения: Материалы междуна-род. науч.-техн. конф., посвящ. П.О. Сухому. - Гомель: ГПИ. - 1998. - Т. 2. -С. 69-72.
3. Луковников В.И., Веппер Л.В. Автоколебательный асинхронный электропривод //Энергосбережение. Электроснабжение. Автоматизация: Материалы МНТК - Гомель: Учреждение образования «ГГТУ им. П.О. Сухого». - 2001. - С. 94-96.
4. Веппер Л. В. Автоколебательные режимы однофазного асинхронного электродвигателя: Автореф. дис. ... канд. техн. наук /Гомель: Учреждение образования «ГГТУ им. П.О. Сухого», 2001. - 21 с.
5. Лойцянский Н.Г., Нурье А.И. Курс теоретической механики. - Т 2: Динамика. -М.: Наука, 1983. - 640 с.
6. Иориш Ю.И. Виброметрия. - М.: ГНТИ Машиздат, 1963. - 771 с.
Получено 04.01.2002 г.
