Уравнения третьей и четвертой степеней над кольцом двойных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.075.8

УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНЕЙ НАД КОЛЬЦОМ ДВОЙНЫХ ЧИСЕЛ

CUBIC AND QUARTIC EQUATIONS OVER A RING OF DUAL NUMBERS

А. Н. Михайлова A. N. Mikhailova

ФГБОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. Исследованы уравнения над кольцом двойных чисел. Доказана теорема о том, что уравнение n-й степени над кольцом двойных чисел имеет n2 корней.

Abstract. The equations over the ring of dual numbers are studied. The theorem on the n-degree equation over a ring of dual numbers having n2 of roots is proved.

Ключевые слова: двойные числа, уравнения над кольцом двойных чисел, количество корней.

Keywords: dual numbers, equations over a ring of dual numbers, quantity of roots.

Актуальность исследуемой проблемы. Уравнения над различными полями (полями действительных или рациональных чисел, полем комплексных чисел) достаточно хорошо изучены. Известно, что любое уравнение n-й степени над полем имеет не более n корней. А уравнения над кольцами, которые не являются областью целостности, в алгебре почти не изучены. Известно, что любое коммутативное кольцо, содержащее поле действительных чисел, элементы которого имеют вид a + bi, где i не является действительным числом, является либо полем комплексных чисел, либо кольцом двойных чисел, либо кольцом дуальных чисел. Если свойства поля комплексных чисел исследованы очень подробно [3], [4], [5], [6], то двойные и дуальные числа изучены недостаточно.

Материал и методика исследований. В работе используются метод Кардано для решения кубических уравнений и графический метод.

Результаты исследований и их обсуждение. Важно отметить, что в литературе по данной теме вводятся лишь понятия двойных и дуальных чисел, арифметических операций над ними, рассматривается представление данных чисел при помощи точек на соответствующей поверхности второго порядка, приводится их тригонометрическая форма, дается историческая справка [1], [2]. В статье [7] автор различает понятия модуля и нормы числа, определяет двойные и дуальные числа как системы без деления.

Определение [4]. Кольцом двойных чисел называется коммутативное кольцо с единицей (Dj, +, •, ix), содержащее поле действительных чисел (R, +, •) и элемент ix i R , для

которого выполняется условие ij2 = 1. Всякий элемент из Dr представим в виде a + bix, где a,b е R . Элементы из Dj называются двойными числами, а запись двойного числа в виде a + bix - его алгебраической формой.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления в кольце двойных чисел (D1, +, •, i1) определяют обычным образом, причем

а + Ы1 (а + Ь/\)(с - di1) ас - bd Ьс - ad

-1 = '-^-^ = —--+ —--i1, где (с Ф±d).

с + di1 (с + di1)(c - di1) с2 - d с - d

Нетрудно доказать, что делителями нуля в кольце двойных чисел являются числа вида z1 = а ± тъ z2 = Ь + Ы1, в которых а ф 0, Ь ф 0 . В силу существования делителей нуля кольцо двойных чисел не является полем.

Рассмотрим кубическое уравнение вида

х3 + рх2 + дх + г = 0, где р = а + Ых, д = с + di1, г = е + f i1, а, Ь, с, ^ е, f е R. (1)

Решение ищем в виде х = т + п/1, где т, п е Я . Подставив т + пц в исходное уравнение и приведя подобные слагаемые, получим

I т3 + 3тп2 + ат2 + ап2 + 2тпЬ + ст + dn + е = 0, [3т2 п + п3 + 2атп + т 2Ь + п 2Ь + сп + md + / = 0;

|(т + п)3 + (а + Ь)(т + п)2 + (с + d)(т + п) + (е + /) = 0, [(т - п)3 + (а - Ь)(т - п)2 + (с - d)(т - п) + (е - /) = 0.

Введем обозначения и = т + п, Г = т - п, причем и, V е Я , так как т,п е Я . Тогда последняя система уравнений будет равносильна системе

|и3 + (а + Ь)и2 + (с + d )и + (е + /) = 0,

[ V3 + (а - Ь)У2 + (с - d)V + (е - /) = 0. (2)

Таким образом, решение уравнения (1) можно записать в виде

и + V и - V

х = —-— + —:— *1, (3)

2 2 1

где каждая пара (и; V) является решением системы (2) в поле действительных чисел.

Пример 1. Найдем корни кубического уравнения х3 - 2х -11 +10/1 = 0 .

Решение. а = 0, Ь = 0, с = -2, d = 0, е = -11, / = 10. Согласно (2) получим систему

|и3 - 2и -1 = 0,

[V3 - 2У - 21 = 0.

Тогда или и = -1, или и =--—, или и =-; V = З.Таким образом, в си-

2 2

„ , 7 + л/5 л/5 - 5. 7-л/5 л/5 + 5. лу (3) найдутся корни х1 = 1 - 2/1, х2 = —---1---— /1, х3 = —-----— /1.

Хочется заметить, что мы «привыкли» раскладывать многочлен на множители и приравнивать каждый множитель к нулю. В кольце двойных чисел данный метод неприменим (это связано с наличием в данном кольце делителей нуля). Подтвердим данный факт последним примером. Если считать первый корень уравнения х1 = 1 - известным, то исходное уравнение представим в виде

(х - (1 - 2/1))(х2 + (1 - 2/1)х + (3 - 4^)) = 0. (4)

Уравнение х2 + (1 - 2^) х + (3 - 4/1) = 0 не имеет корней над кольцом двойных чисел.

„ 7 + л/5 л/5 - 5. 7-л/5 л/5 + 5. Несложно проверить, что числа х^ =--1--и и х, =---и не являют-

2 4 4 1 3 4 4 1

ся корнями квадратного уравнения х2 + (1 - 2/1)х + (3 - 4/1) = 0 , но при этом удовлетворяют исходному кубическому уравнению. Все это объясняется тем, что подстановка именно этих чисел в уравнение (4) приведет к произведению двух делителей нуля, результатом которого будет нуль. Практически эти два корня можно найти следующим образом: если делители нуля в кольце двойных чисел имеют вид а ± а\ и Ь + Ых, то мы найдем такие числа х = т + п/1, т, п е R, при подстановке которых в уравнение (4) в первой скобке получится число вида а ± а\, а во второй - Ы + Ых. Отсюда придем к системе уравнений:

т -1 = ± (п + 2),

т2 + п2 + т - 2п + 3 = + (2тп + п - 2т - 4);

7 + л/5 л/5 - 5

х =--1--и ,

4 4

7-л/5 л/5 + 5

х =---и .

4 4 1

Итак, в ходе решения данной системы мы как раз и нашли «недостающие» корни.

Замечание. Как известно, в поле действительных чисел любое уравнение третьей степени имеет не более трех корней. Возникает вопрос: каким образом в кольце двойных чисел кубическое уравнение может иметь шесть решений (даже, как будет рассмотрено далее, и девять решений)? Это все также связано с наличием в данном кольце делителей нуля. По аналогии с предыдущим примером, считая три корня х4 = 2 + /1, х5 = 2 - 3/1 и х6 = 1 - 2/1 известными, представим исходное уравнение в виде

(х - (2 + г1))(х - (2 - 3/1))(х - (1 - 21)) = 0 .

Далее будем искать такие числа х = т + п/1, т, п е R, при подстановке которых в уравнение в одной из трех скобок получится число вида а ± а\, а во второй - вида Ы + Ых. Заметим, что тогда найдем «недостающие» корни х1 = -г1, х2 = 4 - г1 и х3 = 3.

Пример 2. Найдем корни кубического уравнения

х3 - (2 + 4^)х2 - (10 - 6/1)х + (-4 + 28/1) = 0 .

Решение. а = -2, Ы = -4, с = -10, d = 6, е = -4, f = 28. При использовании (4) имеем

и3 - би 2 - 4и + 24 = 0, систему: <{

V3 + 2V2 - ^ - 32 = 0.

Тогда из (3) найдем корни уравнения:

1 I Ъгх, х2 — 3 /]_,х3

х 6 — 2 + 4 /ц, х7 — 3 + /\, х*8 — 1 3 /ц, х9 — 2.

х1 — -1 + 3/1, х2 — 3-/1, х3 — 2/1, х4 — 1 + 5/1, х5 — 5 + /1,

Справедлива

Теорема 1. Кубическое уравнение (3) над кольцом двойных чисел имеет 1, 2, 3, 4, 6 или 9 корней.

Доказательство данной теоремы опирается на метод Кардано [8] для кубических уравнений над полем действительных чисел. В зависимости от количества действительных корней I и II уравнений системы (2) найдем количество корней уравнения (1). Варианты комбинаций количества корней уравнения представлены в табл. 1.

Таблица 1

I II 1 (А > 0) 2 (А = 0) 3 ( а < 0)

1 (А2 >0) 1 2 3

2 (А2 = 0) 2 4 6

3 (А2 < 0) 3 6 9

В данной таблице приняты обозначения

D1 = В2 +—А3. 1 27

А = D2 + — С3, где

27

А = с + d -

(а + Ь)2 3

С = с - d -

(а - Ь)2 3

В = А(а + Ь)3 - 1(а + Ь)(с + d) + е + /,

А = 27(а -Ь)3 -3(а - Ь)(с - d) + е - / . Пример 3. Рассмотрим кубическое уравнение над кольцом двойных чисел:

х3 - (2 + 4/х)х2 - (10 - 6/х )х + (-4 + 28г1) = 0. (5)

Как указано выше, найдем его корни:

1 — 5 I 71, 2 — 3 71, 3 — 1 1, 4 — 1 I 571, ^х5 — 1 I 371, хб — 3 ху — 2 4?1, х8 — 1, х9 — 2. Изобразим корни на координатной плоскости (рис. 1). Заметим, что все корни лежат на прямых вида у = ± х + Ь, где Ь е Я .

1. Возьмем любые три корня, например, х1 = 5 + х3 = 1 - 3^, х9 = -2 , и составим с ними новое кубическое уравнение:

(х - х1)(х - х3)(х - х9) = х3 + (3 - )х 2 + (8 -12^)х + (12 - 4^) = 0 . (6)

Решив это уравнение, получим четыре корня:

х1 = 5 + х2 = 1 - 3г1, х3 = -2, х4 = 2 + 4г1, т. е. получили эти же три корня и еще один х4 = 2 + 4^ .

Если провести на координатной плоскости (рис. 2) через точки х1, х3, х9 прямые вида

у = +Х+Ь, то они пересекутся в точке х4 =2 + 4/,, которая является корнем уравнения (6).

2. Возьмем другие три корня, например х5 = -1 + 3^, х2 = 3 - , х8 = И1, и составим с ними новое кубическое уравнение:

( х-х5)( х-х2)( х-х8) =

= х3 - (2 + 4^)х2 + (-2 +14^)х + (-20 + Щ) = 0. Корнями этого кубического уравнения будут числа х5 = -1 + 3^, х2 = 3—i1, х8 = И1. Изобразим их на координатной плоскости (рис. 3).

3. Возьмем другие три корня, например Рис. 1 х5 = -1 + 3^, х2 = 3 - , х8 = И1, и составим

с ними новое кубическое уравнение:

(х - х5)(х - х2)(х - х8) = х3-(2 + 4г1)х2 + (-2 +14^)х + (-20 + 12г1) = 0.

/ ■ х 4 — 1 + 5 1

х7 = 2+ ц

х5 = -1 + 3ц

- 2г

-3 +11 ~z.i1 х1— 5 +11

\

х = = -2 \ /

/ х2 = 3- г1

\ /- 1- 3;

х3 - 31

Корнями этого кубического уравнения будут числа х5 = -1 + 3/х, х2 = 3 -, х8 = 2/х. Изобразим их на координатной плоскости (рис. 3).

Все три числа х5 = -1 + 3/х, х2 = 3 - , х8 = 2/х лежат на одной прямой, поэтому дополнительные корни не появятся.

4. Возьмем еще три корня: х2 = 3 -/х, х6 = -3 + /х, х7 = 2 + 4/х. Составим кубическое уравнение:

(х - х2)(х - х6)(х - х7) — х3 - (2 + 4/1)х2 - (10 - 6/^)х + (-4 + 28^) — 0 .

Получили кубическое уравнение (5), которое, как указано выше, имеет девять корней.

Оказалось, что эта иллюстрация расположения корней уравнения над кольцом двойных чисел справедлива и в общем случае.

Теорема 2. Каждый корень уравнения п-й степени в кольце двойных чисел на координатной плоскости является точкой пересечения прямых вида у = ± х + Ы (Ы е R), проходящих через два других корня этого уравнения.

1 \ х 7 = 2 + 4 '1

х1 —

= 2

= 1- 3/1

5 = -1 + 3/1 ■■ v

\

\х 8 = 2 'г1

х г= 3 -/1

Рис. 2

Рис. 3

Доказательство. Достаточно доказать эту теорему для двух множителей, входящих в уравнение любой степени. Возьмем две точки на координатной плоскости с координатами (а, Ы) и (с, d) . Они будут соответствовать двойным числам а + Ых и с + d/1. Проведем через точки (а, Ы) и (с, d) прямые, параллельные прямым у = ±х .

Через точку (а,Ы) проходят прямые: /х : у = х + (Ы - а) и т1: у = -х + (Ы + а), а через точку (с,d) будут проходить прямые: /2 : у = х + ^ -с) и т2 : у = -х + ^ + с) .

а+Ы+c-d а+Ы-с+d\

Точки

пересечения

прямых

т1 п /2 — А

2

2

„Га-Ы + с + d -а + Ъ + с + d | ТТ а + Ы + c-d а + Ы-с + d т2 п /1 — л I---;---I. Числу ----+----¡х соответ-

. „ а-Ы+с+d -а+Ы+с+d ствует точка А, а точка В - числу--^--11.

Вычислим значение многочлена (х - (а + Ьг1))(х - (с + Лу)) в точках А и В:

а + Ь + с - d а + Ь - с + d < , чУ а + Ь + с - d а + Ь - с + d -+-и - (а + Ьи ) II-+ -

/ , чУ а + Ь + с - d а + Ь - с + а / , Л -7\ -(а+ь;1 П-2-+-2-г'1 -(с + 1 )1 =

- а + Ь + с - d а - Ь - с + d У а + Ь - с - d а + Ь - с - d . -+-ц -+-ц I = 0,

а - Ь + с + d - а + Ь + с + а / , чУ а - Ь + с + d - а + Ь + с + d ( , Л

-+-;1 -(а+Ь;1 л-2-+-2-;1 -(с + )Г

- а - Ь + с + d - а - Ь + с + d У а - Ь - с + d - а + Ь + с - d .

+-/ -+-; I = 0.

2 2 Л 2 2

Значение многочлена (х - (а + Ь/1))(х - (с + Л^) в точках А и В будет равно нулю

.. , , г, ^ а + Ь + с - d а + Ь - с + d

при Уа, Ь, с, а е Я . Следовательно, числа--^--ц и

2 2 1

а - ь + с + а - а + ь + с + а _

----!----^ , наряду с числами а + Ь/1 и с + д/1 , также будут являться

корнями множителя (х - (а + Ь/1 ))(х - (с + )).

Теорема будет справедлива и для уравнений высших степеней.

Следствие 1. Уравнение п-й степени над кольцом двойных чисел будет иметь не

более чем п2 корней.

Следствие 2. Если уравнение над кольцом двойных чисел составлено из чисел а + Ь/1 , с + а^,..., где а, Ь, с, а е Q , то все корни этого уравнения будут вида т + п/1 , где т, п е Q.

Следствие 3. Если уравнение над кольцом двойных чисел составлено из чисел а + Ь/1 , с + а^,..., где а, Ь, с, а е 2, то все его корни будут вида т + п/1 , где 2т,2п е 2 . Следствие 4. При подстановке в (х - xi )(х - хj) — (х - хк) = 0 вместо xi, хj,— хк

разных наборов значений из множества корней конкретного уравнения п-й степени получаем различные уравнения, при этом множество корней этих уравнений замкнуто.

Пример 4. Рассмотрим расположение корней уравнения четвертой степени над кольцом двойных чисел. Возьмем четыре числа х1 =-3 + 2^,х2 = 2 + 6^, х3 = 2 + 2^, х4 = 3 - ^ и из них составим уравнение четвертой степени:

(х - х1)(х - х2)(х - х3)(х - х4) = (7)

= х4 + (-4 - 9^) х3 + (13 + 29^) х2 + (-44 + 36^) х + (-32 - 32^) = 0. Все точки, являющиеся точками пересечения прямых, проходящих через точки х1 = -3 + 2^, х2 = 2 + 6^, х3 = 2 + 2^, х4 = 3 - i1 параллельно прямым у = ±х, будут корнями данного уравнения четвертой степени (можно убедиться подстановкой в (7)): х1 =-3 + 2^, х5 = -1.5 + 3.5^, х9 =-1 + 3^, х13 = 4 + 4i1,

х2 — 2 + 6^, х6 =-0.5 + 4.5i1, х10 = 4^, х14 = 1.5 - 2.5i1,

х3 — 2 + 2^, х7 = 1.5 + 6.5^, х11 =-0.5 - 0.5i1, х15 = 4, х4 — 3 - i1, х8 =-2.5 + 1.5i1, х12 = 1 + i1, х16 = 6 + 2i1.

2

2

2

2

2

2

2

2

Изобразим их на координатной плоскости (рис. 4).

У Х7 — 1,5 + 6,5 /1 - 2 + 6/1

х6 = 1 -0,5 1 п + 4, 5/У — л; Х13 4 + 4/1

-I — 1, -г о. Х0 - 4/1

+ 2/1 Л 9 1 + /1 - 2 + 2/1

.,5> 1,5/1 Ч£з х16 -

/Х1 2\ 1 + /1

0,5 -0, 5/1\ /Х15 — 4

х 4 — 3 /1

X 14 — 1,5 2,5/1

Рис. 4

5

Резюме. В работе доказано, что количество корней уравнения равно квадрату степени уравнения. Реализован графический метод нахождения корней уравнения над кольцом двойных чисел.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ивлев, Д. Д. Короли и академики / Д. Д. Ивлев. - Чебоксары : Чувашия, 1999. - 93 с.

2. Ивлев, Д. Д. О двойных числах и их функциях / Д. Д. Ивлев // Математическое просвещение. - М. : ГИФМЛ, 1961. - С. 197-203.

3. Куликов, Л. Я. Алгебра и теория чисел : учебное пособие для педагогических институтов / Л. Я. Куликов. - М. : Высшая школа, 1979. - 559 с.

4. Ларин, С. В. Числовые системы : учебное пособие для студентов педагогических вузов / С. В. Ларин. - М. : Академия, 2001. - 160 с.

5. Сборник задач по алгебре : учебное пособие / под ред. А. И. Кострикина. - М. : Факториал, 1995. -

454 с.

6. Сидоров, Н. Н. Аксиоматические теории числовых систем : учебное пособие для студентов педагогических вузов, обучающихся по специальности «Математика» / Н. Н. Сидоров. - Чебоксары : Изд-во Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева, 1998. - 185 с.

7. Сильвестров, В. В. Системы чисел / В. В. Сильвестров. - Режим доступа: http://www.pereplet.ru/cgi/ soros/readdbxgi?f=ST561.

8. Солодовников, А. С. Задачник-практикум по алгебре. Ч. IV / А. С. Солодовников, М. А. Родина. -М. : Просвещение, 1985. - 127 с.