Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

КОНФОРМНЫЕ МОДЕЛИ РАССЛОЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ АЛГЕБРОЙ АНТИКВАТЕРНИОНОВ. III

И.А. Кузьмина

Аннотация

В работе [1] Н.Е. Беловой доказано, что любое двумерное подпространство алгебры антикватернионов, содержащее единицу, является подалгеброй, изоморфной 2-алгебре комплексных, двойных или дуальных чисел. В этой работе рассматривается третий случай. Построена связность в расслоениях сфер вещественного и мнимого радиуса и найдена ее кривизна. Построены также конформные модели этих расслоений.

1. Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов

Рассмотрим 4-алгебру А антикватернионов [3] с базисом 1, /, е, г и с таблицей умножения

1 / е i

1 1 / е i

/ / 1 i е

е е —г 1 ~f

i i —е / -1

Всякий антикватернион можно записать в виде x = x0 + x1 f + x2e + x3i. В алгебре антикватернионов определен переход от элемента x к сопряженному элементу X = = х° — ж1/ — ж2е — хпри котором ху = ух, а произведение хх = (ж0)2 — (ж1)2 — — (x2)2 + (x3 )2 есть число вещественное. Скалярное произведение двух антикватернионов определяется как ху = ^ (ху + ух). Тем самым в А возникает структура 4-х-мерного псевдоевклидова пространства Е| ■

Квадратный корень |х| = VxS, вещественный и положительный, если хх > О, и из верхней полуплоскости комплексного переменного, если xX < 0, называется модулем антикватерниона [6]. Заметим, что |1| = |i| = 1, |e| = |f| = i. Если | x| = 0 x

x-1 = X/|x|2. Если |x| = 0, то получим (x0)2 — (x1)2 — (x2)2 + (x3)2 = 0. Это уравнение изотропного конуса в псевдоевклидовом пространстве E| ■ Множество обратимых элементов алгебры A антикватернионов

A = {x ||x|2 = 0}

образует группу Ли.

В работе Н.Е. Беловой [1] доказано, что любое двумерное подпространство алгебры антикватернионов, содержащее единицу, является подалгеброй, изоморфной 2-алгебре комплексных, двойных или дуальных чисел. Первый случай рассмотрен нами в [4], второй - в [5]. В этой работе мы рассмотрим третий случай -

2-подалгебру К(е) дуальных чисел с базисом {1,е}, где е = f + г. Множество ее обратимых элементов

К(е) = {А = а + Ье | а = 0}, а, Ь € К,

есть подгруппа Ли группы А, 2-плоскость без двойной прямой. Запишем антикватернион в виде

х = ж0 + ж2 + ж1 е + (ж3 — ж1 + ж2е)г = + .2г, .1, .2 € К(е).

Расширим таблицу умножения алгебры антикватернионов, дополнив ее элементами е и е, где е = f — г, б2 = 0. Получим

б/ = — ег = /б = ге = — ее = 1 — е, /б = —¿6 = б/ = бг = —бб = 1 + е,

ее = —ее = г + f, ее = —ее = г — f.

Согласно этому установим нужные произведения. Например, если г = а + Ье € К(е) и г = а + Ьб € К(е), то

гб = бг, ге = бг. (1)

Тогда

х = б1 — ¿2 г, хх = (б1б1 + .262) + (.2.1 — .1.2 )г,

л 0 2 1 л л 3 1 2 л

где .1 = ж + ж + ге, .2 = ж — ж + же.

Рассмотрим фактормножество правых смежных классов А/К(е). Антикватернионы х, у € А принадлежат одному и тому же правому смежному классу по К(е) тогда и только тогда, когда ху-1 € К(е). Но ху-1 = ху/|у|2, где

ху = (.1 + .2г)(г«1 — ^2 г) = (.1 г + ^«Ы + (.2^1 — .1^2 )г. (2)

Поэтому этот антикватернион является ненулевым дуальным числом, если выполнены условия

¿2и>1 — .1^2 = 0, .1гб1 + .2^62 = 0. (3)

Первое из них означает, что : .2 = г1 : г2 и тогда второе дает г1 гб1 +г2гб2 = 0 и аналогично .161 +¿262 = 0. Отсюда следует, во-первых, что каноническая проекция п : А ^ А/К(е) имеет вид

п(х) = (.1 : .2). (4)

Во-вторых, фактормножество есть подмножество М с Р(е) дуальной проективной прямой

М = {[.1 : .2] € Р(е) | ад + .2б2 = 0}. Оно покрывается двумя картами:

= {[21 : 22] | |-г2| 0} с координатой г; = —, (5)

где |.|2 = 1, т. к. ^161 + .262 = 0;

£/2 = {[-21 : -г2] | 1 0} с координатой г' = —, (6)

.1

где по той же причине |.'|2 = 1. Таким образом, при вещественной реализации М

И2 = 1.

Итак, мы имеем главное расслоение Е = (А, п, М) правых смежных классов

(е)х. На нем структурная группа К.(е) действует слева К,(е)х ^ К,(е)х. Отображения тривиализации и их обратные имеют вид

VI :тгС/1 хМ(е), <р1(г1+г2{) =[—, г2

¿1

¿2

е)х)

А) = А(г + г),

: тг х(г72) —> Е/2 х Ж(е), <^>2(-21 + 22«) = —,

¿2

<^2 (г', А) = А(1 + г 'г).

Эти формулы следуют из равенств

х = ¿1 + г2г = г2 I — + г = г2(г + г) при \г2\ ^ 0,

V г2 )

х = + г2{ = -|—-г^ = 21(1 + .г'г) при |1 0.

Функция склейки имеет вид

-1

Аг .

^12(г, А) = ^2 ◦

Поэтому расслоение локально тривиально. Следовательно, справедлива

Теорема 1. Расслоение (А, п, М), определяемое формулой (4), является главным локально тривиальным расслоением над псевдоконформной плоскостью без пары параллельных прямых с типовым слоем, диффеоморфным 2-плоскости без двойной прямой и структурной группой К(е).

Определим прообраз любой точки базы при отображении п. Пусть в = и + е« € € М С Р(е) над окрестностью и. Мы получим 2-плоскостп ¿2 : ¿1 — = 0,

которые задаются двумя вещественными уравнениями

х0 +

1

ж1 -

1 + V 1

1 + V

((и2 + V + 1)ж2 — иж3) = 0,

(7)

(иж2 + «ж3)

0.

Рассмотрим сечения плоскостей ¿2 с изотропным конусом (ж0)2 — (ж1 )2 — (ж2)2-+(ж3)2 = 0. Исключив ж0,ж1 из (7), получим Р(иж2 — ж3)2 = 0, где Р = и2 + 2« + 1.

Так как при Р = 0 условие Р(иж2 — ж3)2 = 0 выполняет«! при любых ж2 и ж3, то это означает, что плоскости (7) принадлежат изотропному конусу, являясь его плоскостными образующими.

Так как Р = 0, то (иж2 —ж3)2 = 0. В сеченнп получим одну двойную изотропную прямую. Таким образом, над всякой точкой в € и стой п-1 (в) есть полуевклидова 2-плоскость, которая касается изотропного конуса пространства Е| ■

Аналогично, если в' = и' + бv' £ /, то получим полуевклидовы 2-плоскости Ь2 : ¿2 — в' г\ = 0 с уравнениями

ж2 + —1—- Ых° + и'Xх) = 0,

V — 1

(8)

ж3 И---—(и'х° + (и'2 — г/ + 1)ж1) = 0

V' — 1

с теми же свойствами, что и 2-плоскости (7).

2. Метрика и связность в расслоении сферы вещественного радиуса

1. Группа антикватернионов единичного модуля хх = 1 изображается сферой вещественного радиуса (1) С Е| псевдоевклидова пространства

(х0 )2 — (х1 )2 — (х2 )2 + (х3 )2 =1.

(9)

22

Если а £ б"!(1), то преобразования х' = ах и х' = ха в силу |х'|2 = |а являются вращениями в Е|, которые характеризуются тем, что параметр поворота

х

Пусть а = а\ + «2«, х = г\ + ¿2«, где а\ ,а.2 ,21,22 - дуальные числа. Тогда согласно (1) получим

х' = ах = («1 + «2 г)(^1 + ¿2 г) = («1 ¿1 — «2/2) + («1 ¿2 + «2/1)«. Найдем вещественную 4-матрицу этого преобразования. Пусть

¿1 = х0 + х2 + Ж1 б, ¿2 = ж3 — ж1 + х2 б,

0 2 1 3 12

«1 = р + р + р б, «2 = р — р + р б.

Тогда

/ р0 р1 — 2р

А«

, 0 2 р р — р р

р2 2р2 — р3 р

2 2р2 — р3

30

0 р1 — 2р2 2 1 0 2

detAR

1.

(10)

\ р3 —2р2 р1 р0 + р2 /

А« - специальная псевдоортогональная матрица.

Аналогичным образом для преобразований вида х' = ха а £ (1) > получим

'' = «1^1 — «2^2, ¿2 = «2^1 + «1^2

(П)

с матрицей

А =

«1 —«2

«2

«1

Рассмотрим ограничение расслоения Е = (А, п, М) на сферу вещественного радиуса 5*1(1) С А, т. е. расслоение (£|(1)>п, М). Возьмем метения сферы 5|(1) плоскостями ¿2. При Р = 0 имеем (их2 — х3)2 = (1 + V)2/Р. Возможны два случая:

a) и2 + 2v + 1 < 0; в сеченпн получим мнимые кривые.

b) и2+2v+1 > 0; в сеченнп получим полуевклидовы окружности, изображаемые в проекции на плоскость (х2, х3) парой параллельных прямых (их2 — х3)2 = = « > 0

Таким образом, для сферы 5|(1) имеет смысл рассматривать только расслоение над областью и2 + 2v + 1 > 0. Ограничение подгруппы К.(б) дуальных чисел на (1) есть подгруппа I дуальных чисел единичного модуля.

Теорема 2. (5|(1) , п, М) есть главное расслоение группы $|(1) на пРавые смежные классы по подгруппе Ли I антикватернионов единичного модуля

(а!, 0) : а.10.1 =1.

Доказательство. Пусть х' = антикватернионов из (1). Тогда

г' + г'г, х

+ г2г - произвольная пара

21 — г2 г и согласно (2)

(г! 21 + г' ¿2) + (г' ¿1 — ¿2)«.

Отсюда при г2 = 0, г' = 0 следует, в частности, что I является подгруппой в (1) • Кроме того, это замкнутое 1-мерное подмногообразие (большая окружность, изображаемая парой параллельных прямых) в 5*1(1) и' следовательно, в силу теоремы

х' х

правому смежному классу по I, если х'х-1 £ I, т. е. если х'х-1 = 1 + ег для некоторого г. Тогда действие структурной группы на $|(1) имеет вИД х' = (1 + ег)х

г1 = (1 + е*)г1, г' = (1 + ег)г2. (12)

□

Отметим, что в силу (10) псевдоортогональная матрица преобразования (12) имеет вид

/1 г о — г \ г 1 г о о —г 1 г г0г1

А(г)

(13)

2. Введем на (1) координаты, адаптированные к расслоению. В качестве таких координат возьмем координаты точки г = г1/г2 = и + е« £ М С Р(е) и параметр сдвига, отсчитанный от некоторой фиксированной точки q орбиты (г1 (г),г2(г)). Согласно (12) г1(г) = (1 + ег)г1; г2(г) = (1 + ег)г2. Тогда дуальные координаты точки х = (1 + ег^ согласно (12) будут равны

г1 = (1 + ег)(д0 + д2 + д1 е), г2 = (1 + ег)(д3 — д1 + д2 е).

Выберем теперь начальную точку орбиты в гиперплоскости д2 = 0 и от нее будем отсчитывать параметр г. Тогда г1 = (1 + ег)(д0 + д^е), г2 = (1 + ег)(д3 — д1) и

д0 + д1е

г = —--— = и + ег>.

д3 — д1

Отсюда определяются координаты начальной точки. С точностью до знака

0

д

~7=и, = Ч2 = О, Ч3 = + V),

где Р = и2 +2« + 1 > 0. В результате получим следующее параметрическое уравнение сферы $|(1), отнесенной к адаптированным координатам (и,«,г):

—¡={и - г),

:(« + иг),

(14)

=(1 + V + иг).

а

1

х

0

ж

1

1

X =

2

3

X

Найдем псевдориманову метрику сферы 5*1(1), отнесенную к адаптированным координатам (и, V, г). Для этого ее параметрическое уравнение (14) запишем в векторном виде. Если ввести пару псевдоортогональных векторов

а= —;=(«.,г',0,1+г»), а = —т=(—1, и, 1, и),

л/Р

то уравнение сферы запишется в виде

х = а + а!

Найдем компоненты матрицы метрического тензора для = 1, 2, 3), где Х1 = хи, х2 = хи, х3 = хг. Имеем

(15)

(хл,хя), (А, В =

аи + aut,

+ а„ г,

хг

В результате получим

/ 2г> + 1 -и -1 \

р2 ^

(для) =

р2

р

—и —1 ~р2 ~р2

— 1 V ~Р

(16)

/

Заметим, что элементы матрицы не зависят от г. Это согласуется с тем, что сдвиги г ^ г' являются движениями 3-сферы 5|(1). Метрика (16) неопределенная.

3. Построим связность в расслоении (5|(1),п,М) [2]. Подалгебра дуальных чисел касается изотропного конуса, поэтому мы не можем выбрать горизонтальное распределение, ортогональное слоям.

Коэффициенты римановой связности для метрики (16) имеют вид

Г

11

2 и ~Р '

"р1 _ "р1 _ "р3 _ "р3

Г 12 = Г 21 = Г 23 = Г 32

1

Р'

2

~р2 _ _

1 22 — ~~ р> 1 12

Г2 Г21

Г3 Г13

Г3 Г31

" Г2 р. 1 13

Г2 Г31

1.

Остальные коэффициенты связности равны нулю. Псевдориманово пространство (5*2 (1),для) является пространством постоянной кривизны К = —1.

3. Конформная модель расслоения (5|(1),п,М)

Построим конформную модель расслоения (£|(1),п,М)• Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:

I

523 (1)

\ п / Р

М,

с2

х

и

х

и

а.

0

0

1

где / - стереографическое отображение сферы (1) на псевдоконформное пространство [6]. Отображение р = п о /-1 : С2 ^ М определяется с помощью этой

диаграммы. Но сфера (1) покрывается двумя картами: и = £|(1) \ Р> гДе полюс р = (1,0,0,0) и и' = б"! (1)\р', где пол юс р' = (-1,0,0,0) ■ В совокупно сти / |и = /1 и / |и' = /2 описывают все /, 5*!(1) = и и и'. Сначала рассмотрим отображение /1 на К3. НМдем координатное выражение отображения р = п о /—1 : К3 ^ М. При ж0 = 1 отображение /1 задается формулами

1 2 ! ж - —_ у - —_ ^ - —__П74)

1-ж°' 1 — ж0' 1-ж°'

где (ж, у, г) е К3, а координаты точки (ж0 ,ж1 ,ж2, ж!) на (1) с Е| связаны условием (9). Обратное отображение /—1 : К3 ^ £г(1) имеет при условии £2 + 1 = 0 вид

г-1 о _ С2 ~ 1 1 _ 2ж 2 _ 2у з _ 2г

Н • ж - + ! ' ж - + ! > ж - + ! > ж - + ! =

где £2 = -ж2 — у2 + г2 . Таким образом, получим

р(ж, у, £) = 7г(Д (ж, у,г)) = тт(г1 ,г2) = —

¿2

+ 2у -у(е -1 + 2 у)+ 2х(г - ж) ^ I 2(г — х) ' --)=М (19)

2(г — ж) ' 2(г — ж)2

при г — ж = 0. В результате локально проекция р : К3 ^ М принимает вид £2 — 1 + 2у _ —у(£2 — 1 + 2у) + 2ж(г — ж)

и = ----—, V =

2(г — ж) ' 2(г — ж)2

(20)

Найдем метрику в К3, соответствующую метрике сферы. Использовав формулу (18), получим

2 4(—с?ж2 - ау2 + Лг1) Ы^

(-ж2-у2+г2 + 1)2 (£2 + 1)2' 1 ;

/1

Пусть q е Б! (1) и ^^ = Б!(1) П Т^ — вещественный конус с вершин ой в точке q, где Т3 - касательная плоскость в этой точке с уравнением х) = 1. Нормальный вектор касательной плоскости N = (д0,д1,д2,д!) совпадает с радиусом-вектором сферы. Так как q е 52(1), то N2 = 1 > 0. Поэтому Т3 - псевдоевклидова плоскость. Qq с Т3 - вырожденная квадрика с особ ой точкой q. Найдем ее образ /1 ) при стереографическом отображении. Для этого проведем прямые через полюс р = (1,0,0,0) и точки конуса Qq, т. е. точки х, удовлетворяющие системе уравнений

х2 = 1, х) = 1, где q2 = 1. (22)

Уравнения этих прямых г = р + ¿х. Ищем точки пересечения этих прямых с гиперплоскостью К3 С Е|, положив г = (0, ж, у, г). Получим

Тогда

0 = 1 + ¿ж0, ж = ¿ж1, у = ¿ж2, г = ¿ж3.

о 1 1 ж 2 У 3 г

X. Ж ---, Ж --, Ж - Ж - -.

Но эти точки должны удовлетворять системе уравнений (22), поэтому

2 2 2 2 0 1 2 3

1 — ж — у + г = £ , —д — д ж — д у + д г =

Исключив получим

((д1 )2 + 1)ж2 + ((д2 )2 + 1)у2 + ((д3 )2 — 1).2 + д2жу—

— 2дУ ж. — 2д2д3 у. + 2д0 д1ж + 2д0д2 у — 2д0 д3. = 1 — (д0 )2, (23)

где q2 = (д0)2 — (д1 )2 — (д2)2 + (д3)2 = 1, я = р. Это уравнения вещественных конусов с вершинами в точках Д (я), определяемых формулами (17). В частности, конусу в точке я = (—1,0,0,0) соответствует изотропный конус —ж2 — у2 + £2 =0 с вершиной в точке (0, 0,0) € К3. Изотропные конусы (23) и конус ж2 + у2 — £2 = 0 связаны конформными преобразованиями.

Пространство С3 получается добавлением несобственной точки, соответствующей полюсу р при расширении диффеоморфизма Д 1 до Д : 5*1(1) ^ С3 и конуса в этой точке.

Аналогично рассмотрим стереографическое отображение области и' = 5|(1)\ \р', где р' = ( —1,0,0,0). При ж0 = — 1 отображение Д задается формулами, аналогичными (17):

123 жжж

Х' = ТТ^' у, = ТТг' = ТТ(24)

где (ж',у',.') € К3, а координаты точки (ж0,ж1 ,ж2,ж3) на 5*1(1) С Е| связаны условием (9). Обратное отображение Д-1 : К3 ^ 5*1(1) имеет при уеловии С'2+1 = 0 вид

То • х — о , X — о , X — о , X — о , (¿-О)

2 С'2 + 1 с2 + 1 С'2 + 1 с2 + 1

где С'2 = —ж'2 — у'2 + 2. На пересечении и П и' локальные координаты связаны следующей зависимостью

/_ х /_ У /_ ^

ж у г

Таким образом, р : С3 ^ М есть главное расслоенное пространство с базой М и структурной группой I. Действие этой группы в пространстве С^ согласно (13) имеет вид

х{1) = ^1(2х + (е -1 + 2у)1), У® = ^(у+(г-х)1),

Ф) = ~1 + 2у)г),

где А = 1 + (. — ж)£. Это параметрические уравнения слоев, проходящих через

(ж, у, .)

даментальное векторное поле) имеет компоненты

V1 = \((г~ х)2 - у(у - 2) - 1), V2 = (г-х)(1-у),

У3 = -±((г-х)2+у(у- 2) + 1).

Используя параметрическое уравнение сферы (1) (14) и формулы стереографической проекции, получаем, что в адаптированных координатах параметрические уравнения слоев имеют вид

1

х = + ut),

B

1

v = -^t, у в ,

z = + v + ut),

B

г'до

в = VP — u + t. Отсюда нетрудно получить матрицу G' метрического тензора пространства Cf в адаптированных координатах: G' = ^G, где ^ = P/B2 -конформный множитель.

Найдем уравнения слоев в C3. Пусть z = (zi : z2) £ M и z = (u, v) - ее стереографические координаты в области Z2 = 0. При z = zi/z2 получим zi — zz2 = 0 или (7). Это уравнение 2-плоскости в E|, в которой лежит полуевклидова окружность, изображаемая парой параллельных прямых - слой над точкой z £ Mb расслоении. Подставив сюда выражения (ж0 , ж1 , ж2 , ж3) через (x,y,z) из формул (18) стереографического отображения, получим

(1 + v)x — uy — vz = 0,

(26)

(x — u)2 + (y — 1)2 — (z — u)2 = 0.

Плоскости (1 + v)x — uy — vz = 0 псевдоевклидовы в C3 относительно изотропного конуса — ж2 — y2 + z2 = 0, т. к.

—x2 — y2 + z2 =0,

(1 + v)x — uy — vz = 0

есть пара вещественных прямых, (26) - это две пересекающиеся прямые. Действительно, исключив z, в проекции та евклидову плоскость XOY получим

— (2v + 1)ж2 + (v2 — u2 )y2 + 2u(1 + v)xy + 2uvx — 2v(v + u2)y + v2 =0.

Оно распадается на два линейных уравнения

(2v + 1)х + (vVP - и( 1 + v))y - v(u + VP) = 0,

(2v + l)x - (vVP + u( 1 + v))y - v(u - VP) = 0.

C13

ний конусов их диаметральными плоскостями. Действительно, плоскости проходят через вершины C(u, 1, u) конусов и начало координат, т. е. через прямую OC. Ось симметрии OC - вещественна прямая с уравненнем (1 + v)x — uy = 0 в плоскости z = 0. Пусть а - угол этой оси с осью OX. Тогда ctga = —u/(1 + v). Выделим

1-параметрическое подсемейство условием u/1 + v = c = const. Тогда оси этих пря-

v

мых х — су = 0 совпадают. Прямые лежат в плоскостях х — су — --- z = 0. Для

(1 + v)

этого подсемейства ctga = c, отсюда а = const. Уравнения прямых в плоскости XOY принимают вид

X2 Y2

u2 + 2v + 1

--Т- = о.

4. Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса

1. Множество антикватернионов мнимого модуля хх = —1 изображается сферой мнимого радиуса (—1) С Е| псевдоевклидова пространства

(ж0 )2 — (Ж1 )2 — (ж2 )2 + (ж3 )2 = —1. (27)

Если а £ ^3(—1), то преобразования вида х' = ах и х' = ха в силу |х'|2 = = |а|2|х|2 = — |х|2 являются антивращениями в Е|, которые характеризуются тем,

х

х' = ах имеет вид (10), где теперь detAR = —1.

Рассмотрим ограничение расслоения Е = (А, п, М) на сферу мнимого радиуса £|(—1) С А, т. е. расслоение (£|(—1),п, М). Возьмем сечения сферы £|(—1) плоскостями ¿2 .При Р' = 0 имеем (и' ж1 +ж0)2 = —(1 — «' )2/Р', где Р' = = и'2 —2«'+1, и' = 1/и, «' = —V/|2 . Возможны два случая:

a) и'2 — 2«' + 1 > 0; в сеченпн получим мнимые кривые.

b) и'2 — 2«' + 1 < 0; в сеченпн получим полуевклидовы окружности, изображаемые в проекции на плоскость (ж0 ,ж1) парой параллельных прямых (и'ж1 + ж0 )2 = = Ь > 0.

Таким образом, для сферы ( —1) имеет смысл рассматривать только расслоение над областью и'2 — 2«' + 1 < 0.

2. Введем на £|( —1) координаты, адаптированные к расслоению. В качестве таких координат возьмем координаты точки г' = ¿2/^1 = и' + е«' £ М С Р(е) и параметр сдвига, отсчитанный от некоторой фиксированной точки q орбиты. Тогда дуальные координаты точки х = (1 + согласно (12) будут равны

¿1 = (1 + е£)(д° + д2 + д1 е), ¿2 = (1 + е£)(д3 — д1 + д2 е).

Выберем теперь начальную точку орбиты в гиперплоскости д1 = 0 и от нее будем отсчитывать параметр ¿.Тогда = (1 + е£)(д° + д2), ¿2 = (1 + е£)(д3 + д2 е) и

/ 43 + 42е /, ,

2; = —::-7Г = и + СУ .

д0 + д2

Отсюда определяются координаты начальной точки. С точностью до знака

л/^Р7 л^Р7 л^Р7

где Р' = и'2 — 2«' + 1 < 0. В результате получим следующее параметрическое уравнение сферы (—1), отнесенной к адаптированным координатам (и', «', ¿):

ж0 = -Д=(1 -V1 -и'г), л/^Р7

11

ж1 =

л/^Р7 1

1'

2

ж

3

ж

Найдем псевдориманову метрику сферы £|(—1), отнесенную к адаптированным координатам («.', V, Ь). Для этого ее параметрическое уравнение (28) запишем в векторном виде. Если ввести пару псевдоортогональных векторов

а = x_(1 -г/,0 ,у',и'), а = ^_(-и'Л.и'Л),

то уравнение сферы запишется в виде

х = а + а!

Тогда

В результате получим

(9'ае ) =

х и' - аи' + аи

х V = ау' + аИ

Хг = а.

( 2г>' - 1 -и' -1

р/2 р/2

-и' 1

= 0

р/2 р/2

-1

\ 0 0

/

(29)

(30)

Заметим, что элементы матрицы не зависят от Ь. Это согласуется с тем, что сдвиги Ь — Ь' являются движениями 3-сферы (—1). Метрика (30) неопределенная.

3. Коэффициенты римановой связности этой метрики равны г/1 _ 2м' _ _ /3 _ /3 _ 1

1 11 — р, > 1 12 — 1 21 — 1 23 — 1 32 — р, >

т^/2 _ 2 „,2 _ „/2 _ г/3 _ г/3 _ и> г/2 _ г/2 _ 1

1 22 — р7> 1 12 — 1 21 — 1 13 — 1 31 — ~~ ~р, > 1 13 — 1 31 —

Остальные коэффициенты связности равны нулю.

Псевдориманово пространство (5| (—1),рАв ) является пространством постоянной кривизны К = 1.

5. Конформная модель расслоения (£|(—1),п, М)

Построим конформную модель расслоения (£|(—1),п,М). Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:

5*!(—1) —- С?

\ п / Р М,

где / - стереографическое отображение сферы б^—1) на псевдоконформное пространство [6]. Но сфера б*3 (—1) покрывается двумя картами: и = б*3 (—1) \ р, где полюс р = (0,1,0,0), и и' = 53( —1) \ р', где полюс р' = (0, —1,0,0). В совокупности / |и = /1 и / |и' = /2 описывают все /, б^—1) = и и и'. Сначала

рассмотрим отображение /1 на К3. Найдем координатное выражение отображения р = п о /—1 : К3 ^ М. При х1 = 1 отображение /1 задается формулами

023

(31)

1 — х1' 1 — х1' 1 — х1 '

где (х,у,г) £ К3, а координаты точки (х0,х1 ,х2,х3) на 5|(—1) С Е| связаны условием (27). Обратное отображение /—1 : К3 ^ (—1) при условии С2 + 1 = 0 имеет вид

г-1 . о _ 1 _ ^_1 2 _ з _ 2г

11 •ж ~ е2 +1' ж ~ е2 +1' ж ~ е2 +1' х ~ е + у

где С2 = —х2 + у2 — г2. В результате локально проекция р = п о / 1 принимает вид ' 2г — С2 + 1 ' 4у(х + у) — (С2 — 1)(2г — С2 + 1)

2(х + у) ' 4(х + у)2

(33)

где х + у = 0. Найдем метрику в К3, соответствующую метрике сферы. Использовав формулу (32), получим

2 _ 4(-с&2 + с1у2 - ¿г2) _ 4с^2

(—х2 + у2 — г2 + 1)2 (С2 + 1)2' /1

Пусть q £ (—1) и Q;^ = (—1)ПТ^ ~ вещественный конус с вершиной в точке Я, где Т3 - касательно плоскость в этой точке с уравнением (я, х) = —1. Нормальный вектор касательной плоскости N = (д0, д1, д2,д3) совпадает с радиусом-вектором сферы. Так как я £ 5|(—1), то N2 =1 > 0. Поэтому Т3 - псевдоевклидова плоскость. Qq С Т3 - вырожденная квадрика с особой точкой я. Ее образ /1 ) при стереографическом отображении имеет уравнение, аналогичное (23):

((д0 )2 + 1)х 2 + ((д 2 )2 — 1)у 2 + ((д3 )2 + 1)г2 — 2д0 д2ху+

+ 2д0д3 хг — 2д2д3 уг + 2д0 д1х — 2д1д2 у + 2д1 д3г = 1 — (д1 )2, (34)

где я2 = (д0)2 — (д1)2 — (д2)2 + (д3)2 = — 1, Я = Р ■ Это уравнение вещественных конусов с вершинами в точках , определяемых (31). В частности, конусу в точке Я = (0, —1,0, 0) соответствует изотропный конус —х2 + у2 — г2 = 0 с вершиной в точке (0,0,0) £ К3. Изотропные конусы (34) и конус х2 — у2 + 2 = 0 связаны конформными преобразованиями. Пространство С3 получается добавлением

Р

физма /1 до / : (—1) ^ С3 и конуса Qp в этой точке.

Рассмотрим стереографическое отображение области /' = (—1) \ р', где Р' = (0, —1, 0, 0) х1 = —1 /2

гичными (31):

023

У' = Г7^Г> *' = 7^Т> (35)

1 + х1 1 + х1 1 + х

где (х', у',г') £ К3, а координаты точки (х0,х1 ,х2,х3) на 5|(—1) С Е| связаны условием (27). Обратное отображение /2-1 : К3 ^ (—1) при условии С' +1 = 0 имеет вид

/¡Г1: ж° =ж1 х2 = ——, = (36)

2 С' 2 + 1 С' 2 + 1 С' 2 + 1 С' 2 + 1

е/2 / 2 / 2 /2 ' = —ж/ + y/ — z/ .

Таким образом, p : С3 ^ M есть главное расслоенное пространство с базой M

и структурной группой I. Действие этой группы в пространстве C3 согласно (13)

имеет вид

x(t) = ±(2х+(е -l-2z)t), V(t) = ¿(2y+(2z-£2 + l)i),

z(t) = j(z+(x + y)t),

где A = 1 — (x+y)t. Это параметрические уравнения слоев, проходящих через точку (ж, y, z). Оператор соответствующей 1-параметрической группы имеет компоненты

V1 = \{{х + у)2 - z{z + 2) - 1), I/2 = 1((ж + у)2 + ф + 2) + 1),

V3 = (ж + y)(1 + z).

Используя параметрическое уравнение сферы Sf (—1) (28) и формулы стереографической проекции, получаем, что в адаптированных координатах параметрические уравнения слоев имеют вид

ж = —(l—v'—u't),

У = ^(y'+u't), 1/

z = -K+i),

где В = \/—Р' — Ь. Отсюда нетрудно получить матрицу С метрического тензора пространства С3 в адаптированных координатах: С = где ^ = —Р'/В2 -конформный множитель.

Найдем уравнения слоев в С3. Пусть .' = (¿1 : .2) € М и = (м',«') -ее стереографические координаты в области .1 = 0. При = получаем

.2 — .'.1 = 0 или (8). Это уравнение 2-плоскости в Е|, в которой лежит окруж-

.' € М

расслоении. Подставив сюда выражения (ж0 ,ж1 ,ж2 ,ж3) через (ж,у,^) из формул (32) стереографического отображения, получим

(«' — м'2)ж — (м'2 — + 1)у + м'. = 0,

(37)

(ж — м')2 — (у + м' )2 + (. + 1)2 = 0. Плоскости («' — м'2)ж — (м'2 — + 1)у + м'^ = 0 псевдоевклидовы в С3 относительно

—ж2 + у2 — .2 = 0

—ж2 + у2 — .2 = 0,

(«' — м'2)ж — (м'2 — + 1)у + м'. = 0

есть пара вещественных прямых; (37) - это две пересекающиеся прямые. В самом деле, исключив y, в проекции та евклидову плоскость XOZ получим

(2м'2 - 2v' + 1)x2 + ((u'2 - v' + 1)2 - u'2)z2 - 2u'(v' - u'2)xz-

- 2u'(u'2 - v' + 1)x + 2(v'(v' - u'2) + u'2 - 2v' + 1)z + (u'2 - v' + 1)2 = 0. (38)

Легко видеть, что уравнение распадается на два линейных уравнения.

Мы имеем в С3 2-параметрическое семейство больших «окружностей» - сечений конусов их диаметральными плоскостями. Действительно, плоскости проходят через вершины C(u', -u', -1) конусов и начало координат, т. е. через прямую OC. Ось симметрии OC - вещественна прямая с уравнением (v' - u'2)x + u'z = 0 в плоскости y = 0. Пусть а - угол этой оси с осью OX. Тогда ctga = -u'/(v' - u'2). Вьщелим 1-параметрнческое подсемейство условием -u'/(v' - u'2) = c = const. Тогда оси этих прямых x - cz = 0 совпадают. Прямые лежат в плоскостях

u

/2

- v/ + 1

y — cz = 0.

(v/ — u/2)

Для этого подсемейства ctga = c, отсюда a = const.

Summary

I.A. Kuzmina. Conformal models of bundles determined of antiquaternions' algebra. III.

In [lj N.E. Belova proved that any two-dimensional subspace of antiquaternions' algebra including the unit was subalgebra isomorphic with two-algebra of complex, throw or dual numbers. In this paper we consider the third accident. We make the connection in the bundles of a real and virtual radius spheres and we find the curvature of this connection. We consider else the conformal models of this bundles.

Литература

1. Белова Н.Е. Расслоения алгебр размерности 4. - Казань: Казан, ун-т, 1999. - 44 с. -Деп. в ВИНИТИ 11.10.99, № 3037-В99.

2. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. - М.: Наука, 1979. - 760 с.

3. Кузьмина И.А., Шапуков E.H. Конформная и эллиптическая модели расслоения Хопфа // Тр. геом. сем. - Казань: Казан, ун-т, 2003. - Вып. 24. - С. 81-98.

4. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов. - Казань: Казан, ун-т, 2004. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.01.2004, № 161-В2004.

5. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антиква-тернионовП. - Казань: Казан, ун-т, 2004. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.06.2004, № 1052-В2004.

6. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966. - 647 с.

Поступила в редакцию 27.12.04

Кузьмина Ирина Александровна - аспирант кафедры геометрии Казанского государственного университета. E-mail: Irina.Kuzmina@ksu.ru