Касательные и тензорные расслоения типа (2,0) над группой Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

КАСАТЕЛЬНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ ТИПА (2,0) НАД ГРУППОЙ ЛИ

H.A. Опокина

Аннотация

В работе Е.В. Назаровой [5] изучалось касательное расслоение ТО группы Ли с точки зрения естественного и синектического продолжений этой группы в алгебру дуальных чисел. Найдены инвариантные синектические связности, отвечающие инвариантной связ-О

расслоений Т§О над группой Ли. Доказано, что эти расслоения тривиальны, а пространства расслоений также являются группами Ли. Построены лифты левоинвариантных век-

ТО

Т02О, получены структурные уравнения этих алгебр. В качестве примеров рассмотрены касательные и (2, 0)-тензорные расслоения над 2-мерными связными группами Ли.

1. Тензорные расслоения над группой Ли

Пусть О - группа Ли размерности п, ТО и Т*О -ее касательное и кокаса-тельное расслоения. Следуя [9], дадим следующее

Определение 1. Тензорным расслоением типа (р, д) над О называется расслоение

п : Трр (О) = ТО < ■ ■ ■ < ТО < Т*О <... < Т* О ^ О. Оно является векторным расслоением ранга N = пр+ч.

Перейдем к координатным формулировкам. Пусть (е^х)} - базис касательного пространства ТХО, |ег(х)| - сопряженный ему базис кокасательного пространства. Тогда тензоры

= еп % < е31 < ■ ■ ■ < е3ц

образуют базис в слое ^Х = ТХ < ■ ■ ■ < ТХ < ТХ* < ■ ■ ■ < Т*, так что для любого иХ € ^Х имеем

_ ¿1.. . iq 31. . Зц

и'Х = и31 ...зре»1 ...¿р .

Такой базис возникает естественным образом над всякой координатной окрестностью и с О. Тогда векторы е^х) = д и ег = ¿хг образуют соответственно натуральный репер и корепер в точке х € и. Совокупность чисел (XА) = (хг, игу.л? ^ образует допустимые координаты в пространстве тензорного расслоения, при этом хг называются базисными, а иа = иУ.'Зр слоевыми координатами. В силу отождествления р-1(и) = и х тензорное расслоение ТрО является локально тривиальным.

О

Ли достаточно ограничиться окрестностями единицы. На пересечении двух карт и и и' преобразование координат имеет вид: хг = /г(хк ). Тогда преобразования натурального репера в ТХ и корепер а в Т* имеют, как известно, вид

дк' = /, д{, dxi = /Ъ dxk',

где /к = дк' /г, а /к — элементы обратной якобиевой матрицы. Отсюда возникает следующий закон преобразования допустимых координат тензорного расслоения:

хг = /V), := = /т1... Х' иХ'.Х /£... /кр. (1)

Это значит, что ТрО является гладким расслоением.

Тензорное расслоение ТрО можно также определить как расслоение с типовым слоем Тр, присоединенное к расслоению линейных реперов ЬО [9]. Левое действие группы ОЬ(п) та тензорном пространстве Тр задается линейными операторами Л(/) = ®р/ ® 9/* по формуле

Щ/Ж1 ) = 1 /,..., £р/, /-1 V!,..., /). (2)

Учитывая правое действие г' = г ■ / группы ОЬ(п) на ЬО:

ег' = ек /кк (3)

и ее левое действие в Тр в соответствии с формулой (2), определим ее действие на прямом произведении ЬО х Тр формулой

(г,1) о / := (г ■ /,Я(/-1)1). (4)

Тогда тензорное расслоение получается факторизацией по этому действию с отображением факторизации Ф : Ь(О) х Тр —> Тр(О). Если и с О тривиализующая окрестность базы с натуральным полем реперов го = {дг}, то это отображение реперу г(х) : ег (х) = хкдк, в точке х £ О и тензору Ь £ Тр, заданному своими координатами относительно стандартного базиса, ставит в соответствие точку X = (х,их) £ ТрО, пХ = х с допустимыми координатами

Х = х\ Ха := и^Х = <\ ...х* Х , (5)

где тильдой обозначены компоненты обратной матрицы.

2. Касательное расслоение над группой Ли

О

(х,у) —► г = ху. (6)

Обозначим через Ьа и Ка левый и правый сдвиги на группе О, порожденные элементом а, через £ — инволюцию х ^ х-1. Это диффеоморфизмы группы О.

Рассмотрим касательное расслоение ТО над этой группой. Пусть X, У £ ТО. При локальной тривиализации р-1 (и) —> и х К"имеем X = (х,их) и У = = (у, и у). Определим та многообразии ТО операцию умножения "о" следующим образом [8]:

(х,их) о (у,иу) = (ху,Ь*(х)иу + К*(у)их). (7)

В координатной записи

гк = дк(хг,уХ), и\ = Ь1(х)иу + Як8 (у)иХ,. (8)

ТО

пой Ли.

Доказательство.

1. Е = (е,0) € ТО есть единичный элемент, где е — единица группы О. Действительно, согласно (7)

(х,иХ) о (е, 0) = (хе, Ь* (х)0 + Д* (е)^) = (х,иХ).

Аналогично (е, 0) о(х,иХ) = (х, иХ).

2. Найдем обратный элемент для X € ТО. Сначала заметим [8], что дифференциал инволюции 5 может быть выражен через дифференциалы левого и правого сдвигов следующим образом: 5* = — Ь-1(х)Д-1(х). Условие Xо У = Е дает ху = е, Ь * (х)иу + Д * (у)иХ = 0. Отсюда у = х-1 и иу = —Ь * (х)-1 Д-1 (х)иХ = 5* иХ. Значит, обратный элемент имеет вид

X-1 = (х-1,5*^). (9)

3. Проверим ассоциативность. В соответствии с (7) имеем

(х,иХ) о (у,иу) = (ху,Ь* (х)иу + Д* (у)иХ) = (ху,^Ху),

(((х,иХ ) о (у,иу)) о (г,и2) = ((ху)^,Ь * (ху)и2 + Д* (¿^у). С другой стороны,

(у,иу) о (¿,и2) = (уг,Ь*(у)и2 + Д*(^)иу)) = ),

(х,иХ) о ((у,иу) о (¿,и2)) = (х(уг),Ь *(х)«у2 + Д*(у^)^).

В силу Ь * (ху) = Ь * (х)Ь * (у), Д * (ху) = Д * (у)Д * (х), Ь * (х)Д * (у) = Д * (у)Ь * (х) эти выражения совпадают.

Кроме того, операция (7) — гладкая. Значит, ТС - группа Ли. □

Замечание 1. Пусть вХ € Т*О - ковектор в точке х € О. Так как 0Х(иХ) 0Х-1 (5* иХ), то отсюда следует, что 5 * 0Х-1 = 0Х . Значит,

(хА)-1 = (х-1,5 *-1 0х) (Ю)

есть обратный элемент для (х, вХ) € Т *О.

Как известно, векторное поле £(х) на группе Ли называется левоинвариантным, если оно инвариантно при левых сдвигах

Ь * (а)С(х) = £(ах). (11)

Положим х=е Тогда

£(а) = Ь * (а)«, (12)

где V - вектор в единице группы Ли О. В координатах

е (а) = ЬЗ (а)«3, (13)

ЬЗ (а) = (Зхзд'(а,х))е. (14)

ТО

Ь(А) в ТО определен формулой (7), а в координатах - формулой (8). Левоинва-

ТО

£(А) = Ь * (А)У, (15)

где А £ ТО, V - вектор в Е £ ТО. Оно является элементом алгебры Ли д^ группы Ли ТО. Найдем компоненты этого поля. Продифференцировав (7) по ж и их и положив затем (х,их) = (е, 0), получим матрицу Ь*(А) следующего вида:

L* A) = ( гл L*fal Т 0 ) ) . (16)

1 (dxR* (x))eUa L*(a) 1

Из координатной записи операции (8) следует, что ненулевые блоки этой матрицы имеют вид

(

L*(a) = (Lj (a)),

(dx R*(x))e Ua = (Rj (a)u{),

- W> • W

Учитывая это, получим

Z(A) = Lj (a)vj di + [Rksi (a)ua vs + Lk (a)Zi ]dk, (19)

~ d .

где dk = ——г, (vl, v3) - координаты вектора V в единице группы ТО. Таким

dus

образом, справедлива

Теорема 2. Всякое левоинвариантное векторное поле на группе TG имеет компоненты (19). Оно является проектируемым на левоинвариантное векторное G

Известно [7], что если векторное расслоение E ^ M ранга n допускает n глобальных сечений (si (x),..., sn(x)), линейно независимых в каждой точке, то оно тривиально, т. е. существует изоморфизм p : E ^ M х F.

TG

TG

ным. Выберем базис {ei} £ TeG, где n = dim G, и построим левоинвариантные векторные поля ei (x) = L* (x^ . Они линейно независимы в каждой точке x £ G.

n TG TG

слоение. □

Пусть д' - множество всех левоинвариантных полей на группе Ли TG. Тогда д' является алгеброй Ли группы Ли TG. Поля Ea(A) = (ei(A),eZj(A)), где

ei(A)= L(a)dj + RSj (a)u{dk,

(20)

Zj (A) = LS(a)ds

образуют ее базис. Произвольное левоинвариантное векторное поле (19) В Ыр ЕЖ 3.~

етсм через них линейной комбинацией с постоянными коэффициентами:

V (A) = vi ei(A)+ Zj Zj (A).

Найдем структурные уравнения алгебры Ли gg . Для этого вычислим коммутаторы [ei}ej ], [ei,'es ], [Zj ,Zs ] ■ Учитывая определение коммутатора [W, V](F) = W oV (F) — —V o W(F) и вид базиса (20), получим

[ei,ej ] = а% ek + pS Zs. (21)

Подставив сюда выражения (20) и сравнив коэффициенты при д^ и д^, получим при А = Е

аЗ = (д Ь* — дз Ь* )е = С*,

(22)

вз = 0.

где еЗ - структурные константы алгебры Ли д группы Ли О. Рассмотрим коммутаторы [е* , е, ]. Пусть

[е^ё,] = ег + А^з е. (23)

Учитывая снова (20) и сравнив коэффициенты при натуральном репере, получим А=Е

АЗ =(д Ь* )е — (Д* )е, 73 =0.

Учитывая, что

(ДЧ (а))е = (д,Ь* (а))е, (24)

найдем АЗ = еЧз и, следовательно, [е* , е,] = еЗ. Наконец, получим

[е^ез] = 0,

что следует из вида базисных элементов е* в (20). Итак, пришли к следующему результату

Теорема 4. Структурные уравнения алгебры Ли д^ группы ТО в базисе (20) имеют вид

[е*, ез]= еЗеч, [е^е,] = еЗе, [е*,е,] = 0. (25)

ТО

О

левоинвариантных форм на О в дуальную область были получены структурные уравнения Картана

= ¿йп+а = ~^саЬсйь Айп+С, (26)

где сеа = исеп+а = сс {сеа,сеп+а} является взаимным базису (20). Таким образом, уравнения (25) и (26) двойственны друг другу.

Примеры

Известно [2], что существуют лишь следующие связные группы Ли второго IX о рядкя.

1) Абелевые группы: К2, К х 8, Т2 = 8 х 8. Они локально изоморфны. Поэтому при рассмотрении алгебр Ли достаточно рассмотреть лишь первую из них. Операция на группе К2 задается следующим образом: г = х + у = (х1 + у1, х2 + у2). Вследствие (14) дифференциал левого сдвига имеет следующие отличные от нуля компоненты: Ь = 1, Ь2 = 1. Структурные уравнения этой группы [е^е, ] = 0. Тогда структурные уравнения группы ТК в соответствии с формулой (25) имеют вид: [е*,ез] = 0, [е*, е,] = 0, [е*, е,] = 0, где г, = 1,2. Такие же структурные уравнения имеют касательные расслоения других абелевых групп второго порядка.

2) Связная группа аффинных преобразований вещественной прямой, сохраняющих ориентацию А// +(1, К.): х' = а1х + а2, (а1 > 0). Она изоморфна группе вещественных 2-матриц:

где detA > 0. Операция на группе задается с помощью матричного умножения:

. ( а\ а2\ ( х\ хх2 \ ( а\хх\ а\Х2 +

АХ ^0 О V 0 1

Найдем структурные уравнения касательного расслоения этой группы. В силу (14) дифференциал левого сдвига имеет следующие компоненты, отличные от нуля: Ь\ = а\, Ь2 = а\. Структурные константы:

4 = 1, 4 = -1. (27)

Тогда структурные уравнения согласно (25) имеют вид

[в1,в2] = в2, [е1,е2]= е2 , [€2,(^1] = -62.

О

Рассмотрим тензорное расслоение Т02 О. Определим действие группы О на тензоры их типа (2, 0) при левых сдвигах. Пусть Ь(а) : х ^ ах. Дифференциал левого сдвига Ь*(а) : их ^ иах действует по формуле

(Ь*(а)их)(£,х ,0 х) = иах (Ь*(а )£, х ■> Ь* (а )0 х, (28)

где £х ,0х € Т*. Это левое действие, так как

(Ь*(аЪ)их)(£х,0х) = иаЬх (Ь*((аЪ)-1 )&,Ь*((аЪ)-1)0х) =

= иаЪх(Ь*(а-1)Ь*(Ъ-1)^х ,Ь*(а-1)Ь*(Ъ-1)0х) = (Ь*(а)Ь*(Ъ)их)(Ь,вх). Аналогично определим действие Я* (а) : их ^ иха

(Я* (а)их)(£х ,0х)= иха(К* (а-1)£х, Я* (а-1)0х). (29)

Это правое действие группы О, так как Я*(аЪ) = Я*(Ъ)Я*(а).

Определим операцию умножения на Т^О, использовав формулы (28) и (29):

(х,их) о (у,иу) = (ху,Ь*(х)иу + Я*(у)их). (30)

В координатной записи

гк = дк (х ), и* = Ьу (х)Ьт(х)икут + Я\ (у)Я^ (у)и^Г. (31)

Т02О

Доказательство.

1. Покажем, что Е = (е, 0) € Т^О, е € 0, 0 € Т^О - единичный элемент относительно умножения (30). Имеем

(х,их) о (е, 0) = (хе, Ь* (х)0 + Я* (е)их) = (х,их).

( е, 0) О ( х, их ) = ( х, их )

( у, иу ) ( х, их )

ху = е, Ь*(х)иу + Я*(у)их =0.

Тогда у = х-1. Учитывая, что обратный элемент для 0х имеет вид (10), из условия инвариантности функции их(0х,£х) = иу(0у) получим

их(0хЛх)= их-1 (Б *-10х *-1^х ).

Отсюда следует 1 ^¿х — 1 — *

Значит,

(х,иХ) = (х , 5*их).

3. Проверим ассоциативность. В соответствии с (30) имеем

(х,иж) о (у,иу) = (ху, Ь* (х)иу + Д* (у)их) = (ху,№ху).

Тогда

(((х,иж) о (у,иу)) о (г, и^) = ((ху)г, Ь*(ху)и2 + Д*). С другой стороны,

(у,иу) о (г,и2) = (уг, Ь* (у)и2 + Д* (г)иу)) = (уг,«у2)

и, следовательно,

(х,иж) о ((у,иу) о (г,и2)) = (х(уг),Ь*(х)«у2 + Д*(уг)их).

В силу Ь * (ху) = Ь * (х)Ь * (у), Д * (ху) = Д * (у)Д * (х), Ь * (х)Д * (у) = Д * (у)Ь * (х) эти выражения совпадают.

Операция (30) ГЛ ЭД Ке1Я. Значит, ТдС - группа Ли. □

Всякое гладкое преобразование х ^ г = / (х) в О порождает преобразование с/ = (/,/*) в Т02О, которое в координатах имеет вид

у' = / (х), <Ъ = /?(х)/* (х)иХ3. (32)

Но любое векторное поле £ на О порождает локальную однопараметрическую группу преобразований у = /(х, £) = Ехр(££)х. С точностью до малых первого IX о рядкя

у' = х' + £* (х)! (33)

Подставив (33) в (32), с той же точностью получим

<Ъ = <Ъ + *(4Ъд £а + их3 д, £Ъ).

Таким образом, векторное поле £ порождает в расслоении Т02О векторное поле

^ )= £а да + £аЪ даЬ, (34)

£аЪ = иХЬ д'£а + иХ3 дз £Ъ. (35)

Это полный лифт векторного поля £ в расслоение Т02О.

О

ставив (13) в (35), получим

£аЪ = и?дс(Ьа (хУ) + иХедс(Ь^(х)«^). Следовательно, справедлива

£(х) х € О

и вид

£(X) = Ьа(х)«Ъда + (иХЪ дс Ь5(х) + иХсдсЬ^(х))«^ даЪ. (36)

ение Т02О имеет вид

Найдем теперь левоинвариантные векторные поля на группе Т02С. Левый сдвиг в Ь(А) в Т02С определен формулой (30) и в координатах формулой (31). Левоин-вариантное векторное поле в Т02 С имеет вид

£(А) = Ь * (А)У, (37)

где А £ Т02С, V - вектор в Е £ Т02С. Найдем компоненты этого поля. Продифференцировав (30) по х и и положив затем (х, их) = (е, 0), получим матрицу Ь ( А)

L *(A)=( (dx Д*(У)е ua L * (a) ® L * (a) I' (38)

(((ds Д* (x))e j + (ds Д™(х))е J* )<j).

Запишем матрицу (38) в координатах. Ее третий блок

(дхД * (x))e u„ = (ds (Д* (х)ду (x))e ) =

(((d ^^^ Тогда с учетом обозначения (18) получим

(dxR (x))eUa = (Д* (a)«? + Д? (a)Uj )■ В итоге каждый из ненулевых блоков имеет следующий координатный вид: L * (a) = (Lj (a)),

(dx Д* (x))e Ua = (RSi (a)u1m + Д? (aKj), (39)

L * (a) ® L * (a) = (Lj (a)L?(a)) := (L j(a)).

Учитывая это, получим

£(A) = Lj (a)vj di + [(RSi (a)u1m + Д? (a)^' К + Lijm(a)vij ]dfcm. (40)

Таким образом, справедлива

Теорема 7. Всякое левоинвариантное векторное поле на группе T02G имеет компоненты (40). Оно является проектируемым на левоинвариантное векторное поле (12) на группе G.

Пусть $2 - множество всех левоинвариантных полей на группе Ли T02G. Тогда $2 является алгеброй Ли группы Ли T02G. Поля Ea(X) = (ei(X),efcm(X)), где

ei(X) = Lj(x)dj + (Д* (x)uXm + Д?(x)uXs)dfcm, ij

efcm(X) = Lj (x)dij

образуют ее базис. Произвольное левоинвариантное векторное поле выражается через них линейной комбинацией с постоянными коэффициентами:

V (X) = V ei (X)+ efcm (X).

Замечание 2. В силу формулы (24) левонвариантное векторное поле (37) сов-

T 2G

V (X) = V ei(X), где vi = const. В частности, это так для абелевых групп.

Найдем структурные уравнения алгебры Ли д2 . Для этого вычислим коммутаторы [вг, ву], [вг, вгк], [ву, вкт] ■ Учитывая вид базиса (41), получим

] = аку в к + У в кт. (42)

Учитывая (41) и сравнив коэффициенты при дк и дкт при А = Е, получим

4 = (дъ Ц - ду ьк )е,

(43)

у = 0

Таким образом, ак = ск , где ск - структурные константы алгебры Ли группы О. Рассмотрим коммутаторы [вг ,вкт]• Пусть

[вг ,вкт] = 1Ггктвт + Лгктвкр ■ (44)

Подставив в (44) базис д^ (41), сравнив коэффициенты при векторах натурального А=Е

МРп = (дг Ь% ) е ¿Рт + (^ Ь^е ¿к - (Щк )е ¿1 - (Щт)е ¿1, -У?,п+3 =

Учитывая (24), будем иметь

Л кр = ск ¿р + ср ¿к

Лг кт = сгк ¿т + сгт0к

и, следовательно,

[вг,вкт] = (скк ¿т + ^гт ¿к )вкр ■ Наконец, очевидно последнее структурное уравнение

[вгУ , вкт]

Итак, имеем следующий результат.

Теорема 8. Структурные уравнения алгебры Ли дд группы Т02О в базисе (41) имеют вид

[вг ,вУ] = ск вк , [вг ,вкт] = (скк ¿т + 4т¿к )вкр , [вгУ ,вкт] = 0. (45)

Примеры

Найдем алгебры Ли дд для групп Ли второго порядка, которые были рассмотрены в п. 2

1) Абелевые группы: К2, К х Т2 = 8 х 8. В соответствии с вычислениями, проведенными ранее, структурные уравнения в силу формулы (45) имеют вид

[вг,ву ] = 0, [вг,вкт ] = 0, [вгу ,вкт}=0■

Такие же структурные уравнения имеют и другие абелевы группы второго порядка.

2) Группа ориентированных аффинных преобразований второго порядка

А// +(1,К). Структурные константы этой группы указаны в (27). Тогда струк-

д02

[в1,вд]= в2 , [в1,в12] = в12 , [в1,в21]= в21, [в1, в22] = 2в22 , [в2,в21] = -в12, [в2,в12] = -в12, [в2,в21] = -в12 - в21.

Summary

N.A. Opokina. Tangent and tensor bundles of (2,0) type under Lie group.

In the E.V. Nazarova's work the tangent bundle of TG Lie group was studied from the natural and synectics extension point of view of this group in algebra of dual numbers. Invariant synectics linkages under group G. Our aim was to study the tangent and tensor bundles T02 G under Lie group. These bundles were proved to be trivial and the bundle spaces were proved to be Lie groups. The lifts of these left-invariant vector fields were built un these bundles. Lie

TG T02G

of these algebras were obtained. The tangent and (2, 0) tensor bundles under 2-dimensional linked Lie groups were regarded as examples.

Литература

1. Винберг 9.В., Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Строение групп и алгебр Ли // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. - 1990. - Т. 41. - 254 с.

2. Гаврилов С.П. Геодезические левоинвариантных метрик на связной двумерной неа-белевой группе Ли // Гравитация и теория относительности. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1981. - Вып. 18. - С. 28-44.

3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. - М.: Наука, 1987. - 344 с.

4. Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. - М.: Наука, 1984. - 208 с.

5. Назарова Е.В. К геометрии касательных расслоений групп Ли // Тр. геом. сем. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. - Вып. 11. - С. 70-78.

6. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 5. Дифференциальная геометрия. -М.: Наука, 1979. - 312 с.

7. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. - М.: Мир, 1979. - 442 с.

8. Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложениям. - М.: НИЦ «РХД», 2002. -256 с.

9. Шапуков Б.Н. Тензорные расслоения // Сб. «Памяти Лобачевского посвящается». -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992. - С. 104-125.

Поступила в редакцию 21.12.04

Опокина Надежда Анатольевна - аспирант кафедры геометрии Казанского государственного университета.