Уравнения образующей профиля кроны и дерева в целом Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Широкое внедрение машин «Крона» обеспечит комплексную механизацию и частично автоматизацию всего производственного процесса по дозировке, приготовлению, транспортировке и внесению элементов пи-

тания в почву. Технология машин «Крона» позволит экономно вносить минеральные удобрения и другие средства химизации и исключит загрязнение химикатами окружающей среды.

УРАВНЕНИЯ ОБРАЗУЮЩЕЙ ПРОФИЛЯ КРОНЫ И ДЕРЕВА В ЦЕЛОМ

Г.А. ИВАНОВ, МГУЛ

Уравнений для описания формы кроны, как правило, не применяют, а используют качественные характеристики формы кроны типа: плоская, шаровидная, кубический параболоид, конусовидная, яйцевидная и некоторые другие [1, 3, 4, 5] либо признаки типа: протяженность кроны, наибольший диаметр кроны, коэффициент формы кроны для вычисления, например, миделя кроны [5]. Вместе с тем наличие уравнения для описания профиля кроны дерева значимо при определении нагрузок на элементы рабочего оборудования валочных машин и при нахождении массы кроны. Именно аналитическое описание профиля, увязанное с характеристиками кроны, позволяет достаточно точно находить положение ее центра тяжести и, следовательно, положение центра тяжести дерева в целом. Существующие рекомендации о местоположении центра тяжести кроны не только разноречивы, но иногда не учитывают ее особенностей.

Задачу по нахождению уравнения образующей формы кроны дерева определим следующим образом:

- из класса элементарных функций одной переменной подобрать такую, чтобы не более чем по четырем значимым признакам: протяженности кроны; наибольшему диаметру; коэффициенту формы кроны; коэффициенту асимметрии воспроизвести профиль образующей формы кроны.

Три первых значимых признака общеприняты при описании формы кроны, тогда как потребность в четвертом возникает именно в случае аналитического задания ее

профиля. В этом случае требуется вполне конкретное указание на местоположение максимального диаметра кроны. Введем коэффициент асимметрии как частное от расстояния от начала кроны и до ее максимального диаметра к длине кроны, именно

= (1) где Ьм - расстояние от шейки ствола (комлевого среза) и до максимального диаметра кроны; Ьк - расстояние от шейки ствола (комлевого среза) и до основания кроны; Ьс

- длина (высота) дерева.

Примем ряд упрощающих допущений и ограничений и решим вопрос описания формы кроны следующим образом. В качестве допущения положим, что форма кроны аппроксимируема телом вращения вокруг центральной оси ствола. Данная аппроксимация возможна в силу того, что вся совокупность крон сводится к следующим формам: плоская, шаровидная, кубический параболоид, параболоид второго порядка, яйцевидная, конусовидная и стреловидная. Дополнительно введем ограничения, служащие для отбраковки непригодных формул:

1) уравнение, описывающее продольный профиль кроны должно интегрироваться в элементарных функциях;

2) произведение квадрата ординаты продольного профиля кроны с абсциссой х также должно интегрироваться в элементарных функциях;

3) совокупность уравнений, удовлетворяющих независимым условиям, характеризующим форму кроны, должна быть разрешима относительно параметров, вхо-

дящих в уравнение для описания продольного профиля кроны.

При этом интегрирование понимается в обычном смысле, численное интегрирование отвергается в силу невозможности выразить параметры, входящие в уравнение для описания продольного профиля кроны, посредством значимых признаков кроны.

Образующая форм кроны всех видов, кроме плоской, пересекает геометрическую ось тела ствола в той же точке, где и вершинная точка образующей ствола. Исключение составляет плоская крона, которая пересекает ось ствола в начале кроны, - на расстоянии Ьк от комлевого сечения.

Продольный профиль форм кроны с плавным переходом от профиля ствола к профилю кроны можно описать достаточно большим числом формул из класса элементарных функций. Однако те из них, которые получены умножением или делением элементарных функций в подавляющем большинстве либо не интегрируемы в элементарных функциях сами, либо не интегрируемы произведения их квадратов с абсциссой х, т.е. не выполняются первое и второе ограничения. Последнее важно для определения центра тяжести кроны. Поэтому основным критерием отбора их пригодности здесь выступают сформулированные выше ограничения. Функции, получаемые посредством сложения или вычитания элементарных функций, удовлетворяют, сформулированной задаче и ограничениям, но имеют, как правило, больше параметров, входящих в уравнение для описания продольного профиля кроны, что делает их применение менее удобным из-за большего объема вычислений.

Для описания продольного профиля кроны предлагается уравнение в виде произведения двух степенных функций в виде

X

\ц*1

Ьс 1^,,

У‘*2

1-

а

к ’

^ /

х е [0, (1с-Ьк)], где ц*1 и \1кг ~ показатели степени, определяемые посредством значимых признаков

кроны; ак - коэффициент, определяемый

посредством значимых признаков кроны.

Продольный профиль кроны может быть описан также разностью двух степенных функций, например, у(х) = х*к'акХ - х^ак2, х е [0, (Ьс - Ц)], (3)

где \1к\ и \i-ia - показатели степени, определяемые посредством значимых признаков кроны; ак1 и ак2 - коэффициенты, определяемые посредством значимых признаков кроны.

Помимо большего объема вычислений использование уравнения (3) имеет и второй недостаток. Он заключается в том, что для его численного решения необходимо предварительно построить график специальной функции, который позволяет обоснованно выбрать величину начального приближения ДЛЯ |Л.£1.

Для некоторых пород деревьев таких, например, как бук лесной характерна шаровидная форма кроны. В этом случае может быть использована более простая формула, которая не требует вычисления параметров уравнения, а именно

у(х) = \ьс - 1к \1с - х) - (Ьс - х)2 ]1/2. (4)

Также встречаются породы деревьев со сложной волнистой формой профиля кроны, например, ясень обыкновенный. Для него профиль кроны может быть вычислен также с использованием формулы (2). Однако путем некоторого усложнения формулы (2) и проведения вычислений в два этапа может быть получено более точное описание профиля. На первом этапе определяют параметры уравнения (2) некоторого усредненного профиля. На втором этапе профиль уточняют с помощью корректирующего множителя тригонометрического вида, например, синусоиды. В этом случае формула (2) имеет следующий вид:

/ \И*2

/ \Ин

у{*)= ак X

\Ьс — Ьк у

1-

Ьс - Ь,

'к У

1 + X эт

2 л-

(5)

где X - коэффициент волны, равный отношению размаха волны к диаметру; V - число волн (как правило, дробная величина).

Следует иметь в виду, что формулы (2-5) дают решения в верхней полуплоскости, поэтому для получения полного профиля кроны необходимо брать положительные и отрицательные значения расчетных величин. Данное положение показано далее в формулах профиля дерева.

Объединяя результаты, полученные ранее для описания продольного профиля ствола дерева и его кроны, можно представить продольный профиль дерева суммой трех функций в виде

у(х)=±

gp-1

h3'2

п\,ъ

(hl3-x)

3/2

+ 1

■*1,3

2

ф(\3-х)+

+ a(h - х)ц [ф(х - hx з)- ф(х - hk )]+ + [ak{h-xfk]Ф(х-A*)},

(6)

где qo = do/do - коэффициент формы у шейки корня; do - диаметр у шейки корня; d\j -диаметр на высоте груди; h - высота дерева; /г 1з - высота груди (1,3 м); А* - высота основания кроны; яиаг коэффициент степенной функции ствола и кроны; ц и ц* - показатель степени профиля ствола и кроны; Ф(...) - ступенчатая единичная функция.

Формула (6) описывает продольный профиль дерева, когда продольный профиль ствола скачком переходит в основание кроны.

А*)=±\

g0-i

hm

П\,Ъ

(\3-х)

,3/2

+ 1

-*1,3

2

ф(\3-х)+

+ a(h - х)ц [ф(х - /г, 3)- ф(х - hk)]

+

+

а,.

Kh-Kj

Х~К

h-h

\M-A2

Ф (*-Л)

• (?)

4* •

-{к,

■хУ2+1

^-ф(л,з-х) опи-

сывает профиль ствола от шейки корня и до высоты груди вогнутой функцией, вторая ± а(И - х}1 [ф(х - /г, 3) - Ф(х - Ик)] - ствол дерева от высоты груди и до начала кроны и оставшаяся третья описывает продольный профиль кроны.

Если представить профиль дерева от шейки корня и до высоты груди не вогнутой, а выпуклой функцией, как и в остальной части ствола, то для описания продольного профиля дерева первой частью уравнений (6) и (7) можно пренебрегать. В этом случае формула (7) будет иметь вид

у{х) = ±^(И - х)м ф(кк - х) +

\И*2

+

■К

\Ц*1

а,.

h-h

1-

x-h

\

h-h,

к У

Ф (х-Ю

.(8)

Для деревьев, имеющих волнистый профиль кроны, формула (8) преобразуется к виду

^(х) = ±{я(/г - х}1 Ф(Ьк - х) +

Г — П.

1

+

x-h

\Ц*|

h-hb

h-h

к У

Ф(х ~hk)

X

1 + X sin

2п-

h-h

ф(х ~hk)\

(9)

Формула (7) описывает продольный профиль дерева, когда продольный профиль ствола плавно переходит в продольный профиль кроны. В формулах (6 и 7) первая часть

Проиллюстрируем применение данных формул к основным древесным породам: сосна, ель, осина и береза - формула (8), ясень - формула (9). Реальные профили деревьев взяты из работы [2]. Основные параметры деревьев (даны в порядке перечисления пород): отношение максимального диаметра кроны к длине ствола ки = 0,36; 0,26; 0,45; 0,36; 0,55; коэффициент формы кроны кг = 0,82; 0,65; 0,76; 0,8; 0,68; отношение длины кроны к длине ствола к, — 0,5; 0,83; 0,79; 0,71; 0,68; коэффициент асимметрии ка = 0,5; 0,12; 0,52; 0,5; 0,42; коэффициент волны X = 0,2; число волн V = 3,3.

а

Рис. 1. Графическое изображение аппроксимации пород хвойных деревьев

Д

Рис. 2. Графическое изображение аппроксимации пород лиственных деревьев

На рис. 1, 2 профиль, вычисленный, изображен пунктирной линией. Некоторое несовпадение профилей ствола реального и расчетного у основания кроны (рис. 1, а, б, в, рис. 2, г, д) связано с тем, что реальные деревья, изображенные на рисунках, имеют небольшой наклон в левую сторону, тогда как расчетные профили имеют строго вертикальное положение. Поэтому при совмещении профилей ствола у основания дерева, как это сделано на изображенных рисунках, наблюдается незначительное смещение расчетного профиля от реального по всей высоте дерева кроме его основания.

На рис. 1, а представлен профиль сосны с резким, а на рис. 2, б с гладким профилем кроны.

Из приведенных рис. 1, б, в и 2 следует, что формула (8) достаточно успешно может быть использована при описании продольных профилей стволов деревьев в случае гладко очерченных форм кроны. При этом не обязательно введение в формулу члена описывающего профиль ствола от шейки корня и до высоты груди вогну-

той функцией, как это представлено в формуле (7). Аналогично для стволов с резко очерченным переходом профиля ствола в профиль кроны (рис. 1, а) также успешно может быть использована формула (6), но без первого члена. Деревья с волнистым профилем кроны (рис. 2, е) в главных и основных чертах профиля достаточно полно могут быть изображены с помощью формулы (9).

Метод расчета профиля кроны деревьев будет полезен при проектировании объектов озеленения.

Литература

1. Анучин Н.П. Лесная таксация. - М.: Лесная промышленность, 1982. - 552 с.

2. Атрохин В.Г., Солодухин Е.Д. Лесная хрестоматия.

- М.: Лесная промышленность, 1988. - 399 с.

3. Загреев В.В., Гусев Н.Н., Мошкалев А.Г. и др. Лес-

ная таксация и лесоустройство. - М.: Экология, 1993.-384 с.

4. Захаров В.К. Лесная таксация. - 2-е изд. - М.: Лес-

ная промышленность, 1967. - 408 с.

5. Люманов Р. Машинная валка леса. - М.: Лесная промышленность, 1990. - 280 с.