CC BY
45
НЕРАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПО ДЛИНЕ СТВОЛА И ДЕРЕВА НАГРУЗКА С УЧЕТОМ КРОНЫ И ПЕРЕМЕННОЙ
ПЛОТНОСТИ ДРЕВЕСИНЫ
Г. А. ИВАНОВ, доцент кафедры теории и конструирования машин
При решении различных задач, связанных с установлением технологических сил на элементах рабочего оборудования лесных машин используют предположение о неизменяемости плотности древесины по всей длине ствола. Вместе с тем [3] и экспериментальные исследования [2,5] плотности ствола и кроны в зависимости от положения по высоте дерева показали, что плотность ствола ели и сосны изменяется по высоте нелинейным образом. Представленные аналитические зависимости имеют вид квадратичных многочленов [2]:
-для ели
р(х) = р|о.945 - 0.031 £+}; (I)
- для сосны
р(*) = р^.995 - 0.155 £+0.3640*]? ], С)
здесь координата х изменяется от комлевого сечения и до вершины, р - средняя плот-
л
ность древесины, кГ/м ; Ьс - длина ствола, м. Согласно этим исследованиям плотность ствола возрастает от комля к вершине. Здесь же [2] получено, что для лиственных пород по длине ствола плотность можно считать величиной постоянной.
При перемещении хлыста (вершинка ствола длиной хо удалена) за вершину комель будет находиться на расстоянии Ьс - хо от вершинной точки. Тогда наибольшая плотность будет иметь место в начале координат; чтобы зависимости (1 и 2) соответствовали данному технологическому процессу, преобразуем их к виду:
- для ели
р(л:) = р|0.945-0.031(^^)+0.384(^^)2 ];
(3)
- соответственно для сосны
р(х) = р 0.995-0.1 З^^^^О.Зб^^Ь)2 ],
(4)
с областью задания х е [0, (Ьс - хо)] функций р(х).
Недостатком вышеприведенных формул (1-2) является то, что они получены при некотором среднем значении коэффициента формы ствола, присущего древостою насаждения, в котором проводились эксперименты по определению зависимости плотности древесины от высоты. Их использование при нахождении массы ствола будет вести к ее завышению при больших величинах коэффициента формы и, наоборот, к ее уменьшению при малых величинах коэффициента формы. Поэтому при интерпретациях результатов, полученных с использованием данных формул следует учитывать эту их особенность. Однако, сохранив идею зависимости плотности от высоты, можно предложить формулу такой структуры, которая устранит указанный недостаток.
Из рассмотрения формул (1-4) видим, что если многочлены заменить степенными функциями, то интенсивность неравномерно распределенной вдоль ствола нагрузки будет определяться формулой аналогичной формуле профиля ствола дерева, но с иными численными коэффициентами. Возможность такой замены обусловлена тем, что всякий многочлен может быть получен из функций вида у = с и у = х” с помощью сложения и умножения.
Предлагаемые для замены степенные функции будут содержать две неизвестные величины. Для их определения требуется сформулировать два независимых условия, формализация которых обеспечит их нахождение в зависимости от таксационных параметров ствола. В силу того, что хотя обе функции непрерывны, однако степенная помимо этого еще и монотонна, то необходимо, чтобы одно из требований не содержало
строгого равенства, а другое содержало такое требование, но всего лишь в интегральном смысле.
Для достоверной замены формул (1-4) степенными зависимостями вида:
- при перемещении за комель
р(х) = рЬ*р(Ьс-х)2^; (5)
- при перемещении за вершину
р(х) = р6Вр(х0 + х)2^; (6)
потребуем выполнения следующих двух очевидных условий:
- минимально возможное по длине ствола уклонение плотности, выражаемой степенной функцией от плотности, выражаемой многочленом для любого поперечного сечения ствола;
- при замене многочлена, выражающего плотность по длине ствола степенной функцией, сила тяжести ствола должна сохраниться.
Первому требованию при перемещении за комель для ели удовлетворяет зависимость
Др(х)=
[о.945 - 0.031* + 0.384(*)2 ]-
0.975 = ЬКрЬс
(9)
= р
■Ькр(ьс-хГ*
для \/хє [О, £,(?]; при перемещении за вершину
Лр(х) = р
0.945 -0.03 і((^с°Ь*)+ + 0.384(^Ь)2-
АР(*о +
—>шт,
для V* е [0, (Ьс - х0)]. Аналогичное имеет место и для сосны. Так как зависимости справедливы для любого значения аргумента, то они справедливы и для х = 0 для ствола ели, перемещаемого за комель
0.945 = 6„р£с*\ (7)
а за вершину - при х = (Ьс - хо)
0.945 = ЬВрЬс*в’. (8)
Для ствола сосны, перемещаемого за комель при х = 0 получим
а за вершину - при х = (Ьс - х0)
0.975 = ЪВрЬс**. (10)
Для нахождения левой части зависимостей (7-10) рассматривалась не невязка по оси р, а отклонение от минимального значения функции разности силы тяжести ствола, полученной с использованием многочлена и силы тяжести ствола, полученной с использованием степенной функции, когда изменениями второго порядка малости в значениях функции разности сил тяжести можно пренебречь, в силу того, что данная функция дифференцируема, то с необходимостью она имеет нулевой тангенс угла наклона касательной в точке минимума.
Второму требованию при перемещении за комель ели и сосны удовлетворяет зависимость
Ьс Ьс
с,^{Ьс-х)1)Хс1.х = фкр |(Ьс-х)21ц*р+юйх; (11) о о
при перемещении за вершину ели и сосны получим
и-хй
£>с-Хл
? / (хо+х)2^х = ФвР /(*о+х)1(^Ых.
о о
(12)
Из совместного решения системы уравнений (7 и 11) найдем показатель степени для ствола ели, перемещаемого за комель
(0.945 -р(2ц + 1).
М-лгр - >
и коэффициент
0.945
■'Кр
(13)
(14)
Ьс ^ '
Аналогично решая совместно уравнения (9 и 11) получим для сосны при замене 0,945 на 0,975.
Изменения относительной плотности древесины для ствола длиной Ьс = 22 м, диаметрах на высоте груди = 40 см и в верхнем отрубе йо = 6 см, <72 = 0.7, а р =
Л "1
794 кг/м у ели и ^2 = 0.65, а р = 860 кг/м у сосны по длине ствола представлены на рис. 1.
Из совместного решения системы уравнений (8 и 12) найдем показатель степени для хлыста ели, перемещаемого за вершину
0.945£с(2м+1)
-(2ц + 1| 1 +
-ьс
.(2М-+1) + х(2ц+1)
0.945Ьс
(2ц+1) 0.945-£с(2,1+|> , (2ц+1)[о.945£с<2,1+|>|
-х
-Ьс(2ц+‘) + х^+1)
и коэффициент
0.945
'Вр
Ьс
(15)
(16)
относительная длина ствола
- уравнение (1 ДЛЯ ели
- уравнение (5 ДЛЯ ели
- уравнение (3 для ели
- уравнение (6 ДЛЯ ели
- уравнение (2 ДЛЯ сосны
- уравнение (5 ДЛЯ сосны
- уравнение (4 ДЛЯ сосны
- уравнение (6 ДЛЯ сосны
Рис. 1
Аналогично решая совместно уравнения (10 и 12) получим для сосны при замене 0,945 на 0,975.
Получено, что при переменной плотности древесины по длине ствола интенсивность неравномерно распределенной нагрузки при перемещении за комель определяется зависимостью
9к(х,р) = <;кп(ьс-х)2^, (17)
где ^ = pg^га2ЬКр, = ц + у.Кр, х е [0, Ьс]-,
за вершину
(18)
где с,Вп =pg^ta2bв^l, \хВп =)1 + цВр, х е [0, (Ьс
- хо)] и в обеих случаях р е [породный состав насаждений лесосеки]. Здесь \хкр вычисляется по формуле (13), а ЬкР - из формулы (14) и (Л-вр - по формуле (15), а Ьвр - из формулы (16) в зависимости от породы дерева и технологии ведения работ.
При рассмотрении продольного перемещения деревьев возникает проблема, связанная со способом учета массы кроны; возможно несколько принципиально различных подходов. Вычислять массу кроны в долях от массы дерева и учитывать ее в центре масс дерева. Определять объем кроны в зависимости от ее формы и породы дерева, затем, умножив на среднюю плотность кроны вычислять массу и учитывать ее в центре масс кроны или дерева. Найти линейную плотность кроны и учитывать ее совместно с линейной плотностью ствола. Рассматривать крону как упругую среду, с которой взаимодействует упругий ствол. Формализовать сучья кроны упругими балками, имеющими консольное закрепление в мутовках с упругим стволом. В каждом из этих подходов есть свои внутренние особенности и частности, требующие учета. Так, например, представление сучьев упругими балками, требует рассматривать: на каком расстоянии расположены мутовки, сколько сучьев (четное или нечетное число) содержит каждая мутовка, какая связь диаметра ствола дерева с диаметром сучьев, каковы физико-механические характеристики древесины сучьев, как
расположены сучья в соседних мутовках, -один за другим или имеют смещение, величину угла между осью сучка и осью ствола, таксационные характеристики и так далее.
Поэтому примем ряд упрощающих допущений и решим данный вопрос следующим образом. Аппроксимируем форму кроны телом вращения вокруг центральной оси ствола с образующей, описываемой степенной функцией вида
У = ак{Ьс-хУк, хе [Ьк,Ьс]. (19)
Данная аппроксимация возможна в силу того, что вся совокупность крон сводится к следующим формам: плоская, шаровидная, кубический параболоид, параболоид второго порядка, конусовидная и стреловидная. Образующая форм кроны всех видов кроме плоской пересекает геометрическую ось тела ствола в той же точке, где и вершинная точка образующей ствола. Исключение составляет плоская крона, которая пересекает ось ствола в начале кроны, - на расстоянии Ьк от комлевого сечения и аппроксимируется также степенной функцией
у = акх, х е [0,(£с -Ьк)]. (20)
Предлагаемые две степенные функции (19) и (20) при соответствующем образом найденных значениях ак и ]_и охватывают собой всю совокупность возможных форм кроны деревьев. Для вычисления коэффициента ак и показателя степени сформулируем два независимых условия: наибольший радиус кроны и максимальное значение степенной функции в области ее задания равны между собой; проекция кроны на вертикальную плоскость и удвоенная площадь под графиком степенной функции в области ее задания совпадают.
Первому условию (кроме плоской кроны) удовлетворяет формула
^клЬс = а,(Ьс-Ь,У\ (21) где к, - отношение максимального диаметра кроны к длине ствола (ка = 0,12 - 0,14 -сосна; к4 = 0,14 - 0,20 - ель, пихта; ки =0,14
- 0,18 - береза; ка = 0,16 - 0,20 - осина [4]).
Второму условию (кроме плоской кроны) удовлетворяет уравнение
Ьс
к/как1Ьс1 = 2ак |(Ьс - хУк с1х, (22)
Ьк
где к; - коэффициент формы кроны; кг -отношение длины кроны к длине ствола (Лу = 0,67, к, = 0,2 - 0,3 - сосна; к/ = 0,5, кг - 0,5
- 0,65 - ель, пихта; кг = 0,67, к, = 0,3 - 0,4 -береза; к; = 0,69, А:, = 0,25 - 0,35 - осина [4]).
Из совместного решения уравнений (21 и 22) получим показатель степени
И*=Т£7-ГТ-1; (23)
к^кгЬс и коэффициент
каЬс
2{и-Ь,У‘ ' <24)
Абсцисса центра тяжести тела вращения кроны при равномерной плотности определяется формулой
с __ Ьс + {2^хк +\)Ьк
2\х.к +2
(25)
При средних значениях коэффициентов, а именно: ка = 0,13, к{ = 0,25 - сосна;
ка = 0,17, А:, = 0,55 - ель, пихта; ка = 0,17, к; = 0,3 - береза, осина найдены соответствующие относительные величины абсцисс центра тяжести. Получено ^к /Ьс = 0,834 -
сосна, *,к!Ьс = 0,587 - ель, пихта и /Ьс =
0,802 - береза, осина.
Данные величины относительных координат центра тяжести кроны получены в предположении, что плотность кроны неизменна на всем ее протяжении. Однако из экспериментальных исследований [2, 5] следует, что она тем больше, чем ближе поперечное сечение кроны к вершине. С учетом экспериментальных данных [2, 5] были пересчитаны относительные абсциссы центра тяжести кроны, получено: ’£>к/Ьс = 0,872 -
сосна, ^к]Ьс = 0,734 - ель, ^к/Ьс = 0,837 -
береза, осина.
Скорректированные относительные абсциссы центров тяжести кроны позволяют сделать вывод, что координата центра тяжести кроны для основных древесных пород всегда расположена за пределами поднятой части дерева и поэтому, в первом приближении, массу кроны можно отнести к волочащейся части ствола при вычислениях сил на рабочих органах технологического оборудования. Иначе говоря, в первом приближении допустимо определять массу волочащейся части дерева как сумму массы волочащейся части ствола и массу кроны.
Силу тяжести кроны будем определять из уравнения
Ок =
(26)
р(2ц + 1)
где = 378 -ЗООй?, з - сосна,
рк =498—300^ з - ель, рк = 136 + 400^, 3 -береза, рк = 136 + 400й?[ з - осина [1]. Здесь
- диаметр на высоте груди, м; £ - коэффициент, зависимый от плотности древесины и таксируемых параметров ствола.
В том случае, если возникает потребность в более точном решении поступим следующим образом. Представим массу дерева как сумму масс ствола и кроны, но не в виде суммы двух числовых величин, а в форме сумм неравномерно распределенных нагрузок, выражаемых единым уравнением, как неравномерно распределенную нагрузку ствола. Очевидно, что в этом случае плотность дерева с кроной будет переменной и зависима от абсциссы х, хотя плотность ствола и кроны в отдельности могут приниматься как постоянные величины. Определим переменную по длине дерева с кроной плотность рс1 уравнением
Ра(х) = а*{Ьс-хУ4 ■ (27)
Для такого представления плотности неравномерно распределенная нагрузка дерева с кроной выразится уравнением вида
qd=gшг2ad(Lc-x)2(^d). (28)
При этом момент инерции поперечного сечения поднятой части дерева с кроной остается тем же что и у ствола.
Вначале рассмотрим случай с постоянной плотностью древесины ствола. Для нахождения коэффициента и показателя степени потребуем выполнения двух независимых условий: во-первых, равенства суммы сил тяжести ствола и кроны силе тяжести дерева с кроной; во-вторых, равенство общего центра тяжести ствола и кроны центру тяжести дерева с кроной
Первому условию с учетом (26) удовлетворяет уравнение
С,Ьс2^ ркС,Ьс
2ц+1
+ -
g^za1adLc2{^yx
2ц+ 1 р(2ц +1) 2(ц + ц^)+1
откуда раскрывая С, находим
2(ц+ц,)+1р+р» (29)
2ц+ 1 Ьс2»*
Второму условию удовлетворяет
■ +
Я9кЬс2^[Ьс + {2»к+\)Ьк]
уравшш^
(2ц + фц + 2) " р(2ц + 1Х2ц^ + 2)
ф?** | дркЬс2^
(2ц+ 1) р(2ц + 1)
2(й + й^)+ 2
отсюда получим
^ - р, (ц+\\2\хкЬк (ц+1 )+у[Ьс+Ьк)-у.кЬс+Ьк], рЬ({\хк +1)+р*[1,с+(2ц* +1)4](ц+1)
(30)
где ц* определяется уравнением (23), Ьк =
к[Ьс.
Рассмотрим теперь неравномерно распределенную нагрузку при переменной плотности древесины ствола дерева. Так как в подавляющем большинстве случаев дерево с кроной перемещают комлем вперед, то будем использовать зависимость (17). Формулы (27 и 28) имеют тот же вид, но коэффициенты а^ и \1с1 заменяем на а^р и ц^ и они имеют уже иное значение; условия для их определения те же. Первое условие запишется так,
2ц + 2|1,., т! р(2ц + 1) 2(^1 + цф)+Г’
отсюда находим коэффициент а^р
**>='
2ц + 2ц„0+1 2ц+ 1
Рк
Ьс
(2ц + 2цф +1).
(31)
Второму условию соответствует следующее уравнение
Фкр^С _____________ | ^Р<;^2Ц+>[^ + (2^ +1^]
2(ц + ц^р + + 2\хКр+\) 2р(2ц + 1ХцА+1) 1 Ьс
фКрЬс , с,9кЬс2^ 2ц + ц*+1
(2ц + 2ц^р+Т) р(2ц + 1)
отсюда находим показатель степени
(2ц+ 1 )Ьс^ .
-----гР^р+Р*
2И + 2Ц**,+1 .. ,
М-ф / \ гцк. , / ч М' 1 ■ (32)
(2ц + 1 )Ьс >ЬКр | Рк(Ьс + 2укЬк+Ьк)
(ц + ц*р+1Х2Ц + 2|%р+1) (ц* + \)Ьс
л
о £
X о
а, ч
а) т
о •
X £[
и Ф
со СЬ
а С
а) О
X га
а,
о
О
10
15
20
длина ствола в м
Рис. 2
Неравномерно распределенная вдоль ствола сосны длиной Ьс = 22 м, с1\.ъ ^
0.4 м, #2 = 0.65, р = 860 кг/м3 нагрузка представлена на рис 2. Здесь: 1 - ствол, плотность древесины постоянна; 2 - дерево с кроной, плотность древесины ствола и кроны постоянна; 3 - дерево с кроной, плотность древесины ствола переменна, а кроны постоянна.
Из рис. 2 следует, что учитывать изменяемость плотности древесины ствола по высоте не обязательно, если учитывается распределение массы кроны по длине ствола. Во-вторых, использование формул (27-32) обеспечит точное решение в тех задачах, где применяют обобщенные характеристики масс дерева с кроной и его центра тяжести и приближенное в уравнениях с использованием распределенных по длине ствола параметров плотности или неравномерно распределенной нагрузки.
Литература
1. Баринов К.Н., Александров В.А. Проектирование лесопромышленного оборудования. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1988. - 240 с.
2. Закревский П.Б. Влияние изменения плотности ствола и кроны по высоте на положение центра тяжести и момент инерции дерева // Механизация лесосечных работ / Тр. ЦНИИМЭ. - Химки: 1974.
- С. 70-73.
3. Ларионов Л.А., Шелгунов Ю.В., Кузнецов Г.В. и др. Технология и организация лесопользования. - М.: Лесная пром-сть, 1990.-496 с.
4. Люманов Р. Машинная валка леса. - М.: Лесн. пром-сть, 1990. -280 с.
5. Новиков Б.Н. О плотности древесины ветвей ели // Механизация лесосечных работ / Тр. ЦНИИМЭ. - Химки: 1974. - С. 52-57.
