Уравнения Маджи в квазикоординатах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(20)

УДК 534.870

Уравнения Маджи в квазикоординатах

А. Б. Бячков

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассматривается задача записи уравнений движения механических систем с голономными и неголономными идеальными связями. Обсуждается место уравнений Маджи в общей системе различных форм уравнений динамики. Представлена новая форма уравнений Маджи - уравнения Маджи в квазикоординатах. Рассматривается задача моделирования динамики механических систем с переменной кинематической структурой, в которой целесообразно применение указанной формы уравнений движения.

Введение

В аналитической механике существует много форм уравнений движения для систем, подчиненных идеальным голономным и него-лономным связям [1-4]. Ряд работ [1, 4] посвящен обобщению классических методов вывода уравнений движения, систематизации многообразия форм уравнений динамики. Однако в связи с новыми прикладными задачами механики, связанными, прежде всего, с моделированием систем твердых тел, проблема выбора формы уравнений движения не теряет своей актуальности.

Центральной задачей моделирования механических систем является проблема учета связей. Именно различие в подходах к решению проблемы учета связей породило разнообразие форм уравнений движения.

Следует выделить два классических способа учета связей в механике, предложенных Лагранжем: метод независимых параметров (обобщенных координат) и метод неопределенных множителей.

Известно, что прямое применение метода обобщенных координат к достаточно

© А. Б. Бячков, 2008

Работа выполнена при финансовой

РФФИ (проект № 07-01-97611-р_офи)

поддержке

сложным системам приводит к значительным вычислительным трудностям. Кроме того, проблема выбора обобщенных координат и разрешения уравнений связей для механических систем общего вида (с замкнутыми кинематическими контурами, с неголономными связями) не имеет формализованного решения. Исключение зависимых координат также может оказаться сложной проблемой, особенно из-за того, что уравнения связей в общем случае являются неинтегрируемыми выражениями от зависимых координат.

Определенное решение проблемы связано с применением метода неопределенных множителей Лагранжа. Метод неопределенных множителей исключает необходимость выбора совокупности независимых координат, позволяет универсальным образом учитывать дополнительно наложенные связи. Однако сами множители Лагранжа в дальнейшем используются только для нахождения реакций связей и затрудняют качественное исследование уравнений динамики.

Позднее в рамках теории неголономных систем был разработан метод учета дополнительных связей путем построения системы независимых вариаций. Появление этого метода связано, прежде всего, с работами Маджи [4, 5] и Пуанкаре [2].

1. Классические уравнения Маджи

В 1901 г. Г.А.Маджи [4, 5] предложил форму записи уравнений динамики систем с неголономными связями.

Приведем вывод уравнений Маджи. Рассмотрим механическую систему, стесненную идеальными голономными связями. Для учета связей введем п обобщенных координат С, q2 , для которых уравнения голо-

номных связей удовлетворяются тождественно.

Пусть q = (С,С2,..-С„)Т- вектор обобщенных координат системы.

Запишем выражение для принципа Да-ламбера-Лагранжа в матричной форме:

цт |ЛЁТ— Е.—д | = о,

| Лі дд дд 1

(2.1)

пользуя (2.3), выразим вариации обобщенных координат q через вариации величин е :

Sq = А-ёе. (2.4)

Тогда, исходя из принципа Даламбера-Лагранжа (2.1), имеем

5ётАт |адГ——— д\ = 0,. (2.5)

-т лт | а дТ дТ Лі дд дд

Учитывая независимость вариаций 5Є получим уравнения Маджи:

.Т | Л дТ дТ

а1 I —-------------------------д = о,.

| Лі дд дд 1

(2.6)

где Т = Т(¿, q, С) - кинетическая энергия системы, Q = Q(t, С, С) - вектор обобщенных сил, производящих работу на перемещениях 5Ц .

Допустим, что при движении системы обобщенные координаты должны удовлетворять также 5 линейно независимым дифференциальным уравнениям

С - С + с = 0, (2.2)

где элементы матриц С е п, с е 1 в общем случае являются функциями С, t (Мхп и М - множества матриц над полем действительных чисел размерности (5 X п) и (5 X 1)

соответственно).

При наложении дополнительных связей

(2.2) обобщенные скорости С становятся зависимыми величинами. Уравнения (2.2) позволяют выразить все обобщенные скорости через некоторые независимые параметры

8 = 8,е2,...8пу)Т , называемые кинематическими характеристиками [4]:

С = А-8 + а, (2.3)

где элементы матриц А е Мпп_^, а е Мп 1 в

общем случае также зависят от обобщенных координат и времени.

Представляя кинематические характеристики 8 как производные по времени от

некоторых величин е = ( е , е ,---еп-.у )Т , ис-

Матричные уравнения (2.6) содержат п — s скалярных уравнений относительно п неизвестных величин д . Присоединяя 5 уравнений связей (2.2), получаем замкнутую систему п уравнений для определения п не известных функций д .

Интересно отметить, что уравнения

(2.6) не содержат кинематических характеристик є , которые, таким образом, при построении уравнений движения носят вспомогательный характер. Очевидно, что в качестве характеристик є может быть принята часть обобщенных скоростей Ід .

Позднее (Пшеборский,1931) уравнения Маджи были обобщены для случая нелинейных неголономных связей первого порядка [4]:

/(і,Ш = 0, / єМ5Д. (2.7)

Рассмотрев соотношения, определяющие новые независимые переменные (кинематические характеристики) в общем виде

д=д (і, д ,є),

Пшеборский показал, что вид уравнений движения (2.6) сохраняется при условии, что

дд

А =

б8Т'

(2.8)

Уравнения (2.6) в этом случае называются обобщенными уравнениями Маджи [4].

Анализируя подход Маджи, отметим три основных момента.

Во-первых, это использование кинематических характеристик. Уравнения Маджи были получены для случая, когда связи (2.2) представляют собой неинтегрируемые соотношения (неголономные связи). При этом величины 8 являются квазискоростями. Однако в случае, когда соотношения (2.2) являются интегрируемыми, уравнения Маджи также

справедливы и являются при этом уравнениями в избыточных координатах.

Во-вторых, отметим способ учета дополнительных связей путем умножения уравнений динамики на матрицу, связывающую старые и новые координаты на уровне скоростей. При таком способе учета связей задачу разделения координат в виде (2.2) также необходимо решать, но исключение координат в основном уравнении (2.6) не производится. В отличие от нелинейной задачи исключения избыточных координат задача разделения координат на уровне скоростей (задача построения системы независимых вариаций) является линейной.

В-третьих, геометрически уравнения Маджи можно интерпретировать как проекции уравнений Лагранжа второго рода на го-лономное или неголономное многообразие, порожденное уравнениями дополнительных связей [4, 5].

Уравнения (2.6) в известном смысле являются исходными для получения разнообразных форм уравнений движения. Так, в работах [4, 5] показано, что основные виды уравнений движения неголономных систем являются следствиями уравнений Маджи.

В частности, выразив кинетическую энергию Т с использованием соотношений

(2.3) через кинематические характеристики є и преобразовав все необходимые производные, получим уравнения Пуанкаре [2].

Отметим также, что, хотя сами уравнения Маджи и не нашли широкого применения в динамике неголономных систем, указанный прием учета связей был использован позднее в задачах построения математических моделей отдельного твердого тела и систем связанных твердых тел [6-9].

2. Уравнения Маджи в квазикоординатах

Отметим особую роль квазикоординат (неголономных координат, псевдокоординат) в решении проблем моделирования систем твердых тел.

Использование уравнений в квазикоординатах позволяет объединить в одной форме как известные уравнения в обобщенных координатах, так и классические уравнения движения твердых тел. При этом в задачах кинематики и динамики твердого тела квазикоор-

динаты приобретают вполне определенный физический смысл. Например, проекции поступательных и угловых скоростей тела на оси подвижных или неподвижных систем координат. Это упрощает процессы формирования моделей твердых тел системы и уравнений связей. Поэтому квазикоординаты широко применяются при построении уравнений движения систем тел и в случае голономных связей между телами.

Можно говорить, что неголономные координаты - это наиболее "естественный" способ описания динамики твердого тела и соответственно системы твердых тел. В связи с этим запишем уравнения Маджи для случая применения квазикоординат.

Рассмотрим механическую систему, движение которой подчинено голономным связям. Пусть С е Яп - вектор обобщенных координат системы, построенный с учетом связей.

Для вывода уравнений динамики воспользуемся принципом Суслова-Журдена для механической системы, записанным в терминах обобщенных координат [4, 6].

В матричной форме записи выражение для принципа Суслова-Журдена имеет вид

^ТІ Л дТ дТ

8С1 1 Лі дІ[ дд д ' 0

(3.1)

где Т = Т(^ С, С ) - кинетическая энергия системы, Q = Q(t, С, С) - вектор обобщенных сил.

Рассмотрим случай, когда уравнения динамики исследуемой системы удобно формировать в терминах квазикоординат.

Введем вектор квазискоростей х е Яп . Пусть квазискорости связаны с обобщенными координатами и скоростями соотношениями х = х^,С,С) . (3.2)

При этом допустим, что система уравнений (3.2) разрешима относительно С и имеют место обратные соотношения:

С = ТС(^ С, х). (3.3)

Запишем выражение принципа Сусло-ва-Журдена в квазискоростях. Для этого, используя уравнения (3.2) и (3.3), исключим обобщенные скорости из (3.1).

Пусть Т * = Т* (^ С, х ) - кинетическая энергия системы, выраженная в квазискоростях. Дифференцируя соотношение

Т (1, С, С) = Т* О1, с , х О1, с , с )) (3.4)

по вектору обобщенных скоростей, имеем

5Т дхТ 5Т*

Отсюда

— 5Т —

( дхТ Л дТ * дхТ ( — дТ * Л

— дд —1 дд 1 дх дд

— дх

/

(3.5)

Дифференцируя (3.4) по вектору с , получим

дТ

дс

дТ* дхТ дТ* - + -

(3.6)

дс дс дх Для того чтобы выразить ёС, проварьируем соотношения (3.3). Получим

о- дс

°С =—^ёд -

дС-ёх.

(3.7)

дс1

Учтем, что в принципе Суслова-Журдена варьирование производится при фиксированной конфигурации и, следовательно, ёС.

Тогда выражение для вариации обобщенных скоростей примет вид

ёс =-дуёх. дх Т

(3.8)

Подставляя найденные выражения (3.5),

(3.6), (3.8), в которых по формуле (3.3) исключены обобщенные скорости, из (3.1) получим выражение для принципа Суслова-Журдена в квазискоростях:

Г — дТ" . дТ * г дТ" Т Л

-------+ О--------Н---------Н Q = 0 .(3.9)

’ дх дс

ёх Т

— дх

В уравнении (3.9) приняты обозначения

НТ = -

тТ _ ддТ

где

дх

НТ е М , О*=дС^ I — — —— I О * е М .

п,п ? - I -ч— _ Р п,п

дх ^ — дс дс

(3.10)

Символ " * " означает, что при построении матриц О* и Q* обобщенные скорости исключены с использованием выражений (3.3).

В важном для приложений случае, когда квазискорости введены посредством линейных соотношений, зависимости между квазискоростями и обобщенными скоростями могут быть записаны в виде

С = Н - х + к, х = Н ~1 - с - Н ~1 - к, где Н е Мя я, к е Мя1 - матрицы, зависящие в

общем случае от времени и обобщенных координат.

В этом случае компоненты матрицы О*, наряду с выражением (3.10), могут быть вычислены по формуле

п

{О*}ш=^Укгхк +&, г,5 = п ,

к=1

где коэффициенты - трехиндексные символы Больцмана [1], = К+1,г . Выражения в

скобках в записи принципа Суслова-Журдена (3.9) принимают вид левых частей уравнений Эйлера-Лагранжа в квазикоординатах [1].

Заметим, что в случае, когда движение системы подчинено также неголономным связям, в качестве части скоростей целесообразно принять функции связей [1, 3, 4].

После выполнения всех указанных операций по построению вариационных уравнений (3.9) эти квазискорости следует положить равными нулю. В итоге число уравнений (3.9) уменьшится на число неголономных связей. Такое преобразование уравнений (3.9) не влияет на последующие рассуждения.

Форму записи принципа Суслова-Журдена в квазикоординатах (3.9) примем в качестве исходного выражения для дальнейшего изложения.

Пусть на систему наложены дополнительные независимые идеальные дифференциальные связи первого порядка

/(1,С,С) = 0, / еМ,,1. (3.11)

Наряду с (3.11), дополнительные связи могут быть заданы в виде

/*(1,С,х) = 0, /* еМ,,1. (3.12)

Представления (3.11), (3.11) эквивалентны в силу наличия взаимнооднозначного соответствия (3.2), (3.3).

При рассмотрении дополнительных связей вариации ёх , в силу (3.12), не являются независимыми.

Рассматриваемая механическая система после наложения связей имеет п — 5 степеней свободы. Для получения уравнений движения необходимо выразить вариации квазискоростей ёх через вариации независимых параметров, определяющих поле скоростей системы с учетом дополнительных связей.

Пусть связи (3.12) удовлетворяются тождественно при представлении X в виде функций некоторых независимых параметров є є Rn—s (кинематических характеристик):

х = х (і, с,є). (3.13)

Уравнение (3.13) по отношению к уравнению связи (3.12) носит более общий характер, поскольку в качестве характеристик є может быть принята часть квазискоростей. Тогда соотношения (3.13) есть решение нелинейных алгебраических уравнений (3.12) относительно части квазискоростей.

Предполагая, что условия разрешимости уравнений (3.13) выполнены, получим обратные соотношения:

є=є(і, С, X ). (3.14)

Проварьируем соотношения (3.13) при фиксированной конфигурации системы

Зд = 0 . В результате получим матричное со-

отношение между вариациями:

Зх = А -Зє ,

где

А =

дх

дє

—Т •

(3.15)

(3.16)

С учетом (3.16) выражение для принципа Суслова-Журдена (3.9) преобразуем к виду

Зєт АТ

(Л дТ* ,дТ' т дТ* т ^

--------+ о--------------нт---------------нтд

Лі дх дх дд

= 0 .

В силу независимости параметров 58 получим результат применения принципа Сусло-ва-Журдена в виде уравнения

(

Л дТ , дТ* т дТ т ,

-------+ о-----------------нт-----------нтд>

Лі дх дх дд

= 0 .(3.17)

Уравнение (3.17) является обобщением уравнений Маджи для случая применения квазикоординат. Действительно, при х = д, уравнения (3.17) преобразуются в обобщенные уравнения Маджи (2.6).

В уравнениях (3.17), как и в классических уравнениях Маджи, зависимые параметры состояния механической системы в несвободном движении выражаются через некоторый набор независимых кинематических характеристик. Обобщение заключается в форме записи уравнений в квазикоординатах. Поскольку неголо-номные координаты носят более общий харак-

тер, чем истинные (лагранжевые) координаты, уравнения движения, записанные в квазикоординатах, более универсальны. Кроме того, за счет удачного выбора квазикоординат выражения в скобках этих уравнений могут иметь более простую структуру [1,4].

В общем случае кинетическая энергия Т*, обобщенные силы Q*, компоненты матриц О и Н , являются функциями обобщенных координат д и соответствующих им квазискоростей х .

Таким образом, матричное уравнение (3.17) содержит п — 5 скалярных уравнений, содержащих 2п неизвестных величин д , х .

В общем случае матрица А может зависеть также от кинематических характеристик х .

3. Вычисление реакций связей

Рассмотрим практический способ введения новых кинематических характеристик 8, который также предоставляет возможность вычисления обобщенных реакций наложенных связей.

Введем в рассмотрение "расширенный" вектор новых кинематических характеристик

— т\п

£, е К , первые п — 5 -компоненты которого будем задавать произвольно, а в качестве остальных 5 -компонент примем функции связей (3.12). Таким образом,

8 = (8Т,/)Т =8(1,С,х) . (3.18)

Причем 8/ = / (1, С, х ) .

Основным требованием к выбору новых кинематических характеристик 8 , выдвинем требование разрешимости соотношений (3.18) относительно х . Тогда получим

х = х(1,С,8) . (3.19)

Обозначим А * =

дх

дє?

дх

дёт

дх Л

дєї

і у

Первый блок матрицы А представляет собой матрицу А для построения уравнений Маджи (3.17). Матрица

К =

дх

дЩ

К є М.

позволяет получить выражение для обобщенных реакций связей ЛеК5 (ссылка):

/'

(

Л дТ , дТ т дТ т ,

--------+ о-------------нт — — нтд

Лі дх дх дд

(3.20)

В общем случае обобщенные реакции связей зависят от всех неизвестных величин модели с , х . Для определения реакций по формуле (3.20) следует прежде всего определить указанные величины, проинтегрировав основные уравнения.

4. Пример. Движение диска по плоскости - преобразование уравнений движения

Рассмотрим задачу формирования уравнений движения механической системы при изменении ее кинематической структуры.

Пусть построены уравнения движения некоторой механической системы при фиксированной кинематической структуре. Поставим задачу формирования модели системы при изменении параметров кинематической структуры - при мгновенном наложении или снятии кинематических связей между компонентами системы или элементами внешней среды. Причем модели, соответствующие разным кинематическим условиям, могут отличаться не только количественными характеристиками (размерностью системы, массовогеометрическими параметрами), но и качественно (типом координат, формализмом вывода уравнений, способом учета связей и т.д.).

Уравнения Маджи в квазикоординатах, метод учета связей, лежащий в их основе, позволяют решать задачу формирования новой модели путем преобразования модели, принятой на предыдущем интервале функционирования, без повторения всех этапов моделирования.

В качестве иллюстрации рассмотрим одну из классических задач механики "Построение уравнений движения жесткого диска по горизонтальной плоскости".

Пусть Оху2 - инерциальная система

координат. Однородный круглый диск катится по неподвижной горизонтальной плоскости, положение в пространстве которой совпадает с координатной плоскостью Оху (см.

рис.). Будем полагать, что диск соприкасается с плоскостью в одной точке. Пусть О - точка тела, в которой в данный момент времени

происходит соприкосновение тела с плоскостью.

Система координат Схуг жестко связана с диском так, что ось Сх перпендикулярна плоскости диска, точка С является центром тяжести диска. Оси выбранной таким образом связанной системы координат являются главными центральными осями инерции.

Пусть главные центральные моменты инерции диска соответственно равны

^ ^ 1 тр2, 1 тр2 (где т - масса

диска, р - радиус диска).

В зависимости от физической структуры плоскости и диска существует достаточно большой выбор моделей взаимодействия двух абсолютно твердых тел [10].

Рассмотрим некоторые основные модели:

— диск на абсолютно гладкой плоскости;

— диск на абсолютно шероховатой плоскости;

диск на льду.

Диск на плоскости

Введение контакта диска с плоскостью в рассматриваемую модель приводит к наложению дополнительных кинематических связей, изменению кинематической структуры системы.

Пусть диск движется по абсолютно гладкой плоскости, когда возможно проскальзывание в точке контакта по всем направлениям в плоскости. Такой вид контакта моделируется путем наложения одной голономной связи:

2 = рътв . (4.1)

Примем в качестве обобщенных координат две координаты центра тяжести х , у в инерциальной системе координат и три угла-Эйлера, 0 , (р (см. рис.), описывающие ориен-

тацию связанной системы координат относительно инерциальной.

Примем в качестве квазискоростей x, x2, x проекции вектора угловой скорости Ш на оси "полуподвижной" системы координат Cx2y2z2 [1], x, x - проекции вектора поступательной скорости точки C на оси "полуне-подвижной" системы координат Cxyz [1]-

Применение методики построения уравнений Эйлера-Лагранжа приводит к классическим уравнениям движения в квазискоростях:

px2 (2x - ctg 9 • X) - 2р sin 29 • xf +

+4g cos9 + p(3 + 2cos29)- x = 0

x (cos9- x - 2sin9- x) + sin9- x = 0

І2 mP• x = 0

- cosec9- xx + x = 0 cosec9- xx + x = 0

- (4.2)

Уравнения (4.2) совместно с уравнениями Í x ^ f cos^- x - sin^- x5^

sin^- X + cos^-x5 cosec9- x2

x

ctg9- x + x3

(4.3)

голономна. Положение диска определяется пятью координатами - х, у, ^ , в , ^, но система имеет только четыре степени свободы: среди скоростей одна является избыточной (связанной).

Выразим проекции вектора скорости точки контакта в квазискоростях х :

( р- х + х4 ^

■x.

(4.5)

р ■ sin 9 ■ X'

0

Проекция вектора скорости точки контакта на вертикальную ось равна нулю, поскольку кинематические характеристики X, в силу их подбора, тождественно удовлетворяют уравнению голономной связи. Дополнительная неголономная связь в квазискоростях имеет вид

X + р- sin9- х = 0. (4.6)

Введем новые квазискорости по формулам

ҐЄ > Є1

\Є5

x

\

образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений движения относительно десяти неизвестных величин - х , х , х , х , х, х, у, \у , 0 , р.

Примем уравнения (4.2) в качестве исходных.

Предположим, что в процессе движения диска по плоскости изменились физические условия контакта диска с плоскостью. Рассмотрим задачу о движении диска по льду. В случае, когда край диска достаточно острый, проскальзывание в точке контакта возможно только в плоскости диска. Накладывается новая кинематическая связь: вектор скорости точки касания должен быть параллелен оси Ох "полунеподвижной" системы координат. Получаем уравнения связи в виде

УВу = 0, УВ2 = 0 . (4.4)

Второе уравнение (4.4) интегрируется и представляет собой голономную связь, рассматриваемую в предыдущей модели (условие движения по плоскости без отрыва). Первое уравнение (4.4) неинтегрируемо, связь не-

(4.7)

р- х + х4 рsinв - х + х у Здесь квазискорости є4, є5 представляют собой проекции скорости точки контакта на оси Сх и Су "полунеподвижной" системы координат.

Используя соотношения (4.7), выразим старые кинематические характеристики х через новые є =(є ,є2,є,є,є)Т . В матричном виде получим

(

l

0

0

0

0 0 0 0^ 10 0 0 0 10 0 0 -p 10

(4.8)

—рът0 0 0 0 1 В силу уравнения неголономной связи

(4.6) квазискорость е5 обращается в нуль. Тогда первые четыре столбца матрицы АЦ образуют матрицу А :

Є

A =

i

о

о

о

0 0 0^ i о о о i о о -p i

(4.9)

-psin0 о о оу

связывающую систему зависимых вариаций Sx ,Sx2 ,Sx3 ,Sx4 ,Sx5 с системой независимых вариаций Ssx ,Ss2 ,Ss3 ,Ss4.

Для построения уравнений Маджи в виде (3.17) умножим левую часть уравнений (4.2) слева на транспонированную матрицу A . Получим уравнения в квазикоординатах для диска, движущегося по льду:

2р sin 20 • xj2 - px2 (2x3 - ctg в • x) + 4x2x4 --4g cos0 - p(3 + 2cos20) x + 4sin0 • x5 = о

X (cos0 • x - 2sin0 • x) + sin0 • X2 = о (4.10) 2 cosec 0 • XX + px3 - 2X4 = о

cosec0 • XX - X = о Система дифференциальных уравнений (4.10) совместно с уравнением связи (4.6)

X +р- sin0- Xj = о и одним из уравнений (4.3) 0 = X образуют замкнутую систему уравнений для нахождения величин 0, X, X, X, X, X . Квазискорость X - избыточная. Другие соотношения (4.3) могут быть использованы для нахождения остальных координат.

В рассмотренном выше примере "диск

шероховатой плоскости. Скольжение в точке контакта отсутствует, диск катится по поверхности.

Используем вновь в качестве исходной модели уравнения (4.2). Условия отсутствия скольжения

(4.13)

VDx = о,

VDy = о

дают две неголономные связи, в квазискоростях имеющие вид

X + р- X = 0,

X + р- зт#- х = 0. (4.14)

В силу уравнений связи две квазискорости зависимы.

Уравнения связей (4.14) удовлетворяются тождественно путем введения нового набора квазискоростей по формулам (4.7).

При этом две квазискорости £4,£5 обращаются в силу связей (4.14) в нуль и старые квазискорости выражаются через три оставшиеся £1, £2, £ъ :

(4.15)

Г Xi ' Г s si

X S2

X = S3

X4 -P•

v X у v-PSin

Соотношения (4.15) в матричной форме имеют вид

= (si,s2,s3)Г . (416)

X =A •s , s

s s s

на льду", последний столбец матрицы A¡ об-

разует матрицу Матрица

Г о ^ О о

о о i о

K = о (4.11) As = о о i

о о о р

v i J v-psin0 о о у

для вычисления реакции наложенной связи.

Умножив левую часть уравнений (4.2) слева на транспонированную матрицу К1, получим согласно формуле (3.20) выражение для обобщенной реакции связи (4.6), препятствующей проскальзыванию диска в поперечном направлении:

Лг = т (созес#- х2х4 + х5) . (4.12)

Построим также модель динамики в случае, когда диск движется по абсолютно

(4.17)

является матрицей, связывающей зависимые вариации 5х с набором независимых 8ех ,де2,5еъ.

В этом случае система уравнений в избыточных квазискоростях для диска, движущегося по плоскости без проскальзывания, состоит из трех уравнений:

4gcosí - 2psin26 • xj2 + p(3 + 2cos2ö)x + px2 (2x3 - ctg в • x2) - 4 (xx + sin ö • x) = 0 X (cos в • x - 2sinö • x) + sinö • x = 0 2 cosec в • xx + px3 - 2x = 0

(4.18)

и содержит две избыточные квазискорости. Для образования замкнутой системы необходимо к уравнениям (4.18) добавить уравнения связей (4.14)

X + р- X = 0,

X + р- зт#- х = 0 и уравнение # = х .

Получим шесть уравнений относительно шести величин - #, х, X, X, X, X, причем две квазискорости связанные.

Используя соотношения (4.15), исключим квазискорости X из уравнений (4.18). В результате получим уравнения движения диска по плоскости без проскальзывания в квазикоординатах:

p(6sinö -£3 - cos в -£2)е2 +

+2g sin (2в) + 5p sin в • ¿ = 0

¿(cosв ¿2 - 2sinв•¿) + smв•é2 = 0 —2¿¿2 + 3¿3 = 0

Уравнения (4.19) совпадают с уравнениями, приведенными в [1,10], где они были получены непосредственно из уравнений Эйлера-Лагранжа и Аппеля.

В случае движения диска без проскальзывания матрица для вычисления обобщенных реакций связей будет иметь вид

( 0 0 ^

0 0

К = 0 0 . (4.20)

1 0

V0 1 ,

В соответствии с формулой (3.20) получим обобщенные реакции в случае движения диска без проскальзывания:

Л =

m (-cosec в • xx + x) m (cosecв • xx + x)

(4.21)

При переходе к новому набору квазискоростей соответствующие выражения для обобщенных реакций примут вид

Л =

-mp

(¿i

mp (¿1¿2 -¿3 )

cosí

' + ¿2¿3 cosec в

+ ¿

.(4.22)

Итак, исходя из базовой модели "Движение диска по плоскости с проскальзыванием", последовательным применением уравнений Маджи в квазикоординатах получен ряд моделей движения однородного круглого диска по горизонтальной плоскости, соответствующих различным вариантам взаимодействия диска с плоскостью в точке контакта.

Заключение

Полученные в статье уравнения Маджи в квазикоординатах являются обобщением классических уравнений Маджи на случай применения квазикоординат.

Отличительной особенностью построенных уравнений являются: способ учета связей путем построения системы независимых вариаций и преобразования исходных уравнений без исключения, в общем случае, части связанных координат и связанный с этим избыточный характер списка переменных состояния модели.

Эти особенности уравнений Маджи определяют, на наш взгляд, область их применения в ряде задач моделирования механических систем: построение уравнений движения систем твердых тел, в том числе составных [9, 11] систем; моделирование систем с переменной кинематической структурой; моделирование систем адаптивного управления с "расширенным" вектором состояния и т.д.

Список литературы

1. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И.Лурье. М: Физматгиз, 1961.

2. Румянцев В.В. Об общих уравнениях динамики / В.В.Румянцев // Нелинейная механика. М.: Физматлит, 2001. С.4-38.

3. Неймарк Ю.И. Динамика неголономных систем / Ю.И.Неймарк, Н.А.Фуфаев. М.: Наука, 1967.

4. Поляхов Н.Н. Теоретическая механика / Н.Н.Поляхов, С.А.Зегжда, М.П.Юшков. М.: Высшая школа, 2000.

5. Зегжда С.А. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы

механики. Новый класс задач управления / С.А.Зегжда, Ш.Х.Солтаханов, М.П.Юшков. М.: Физматлит, 2005.

6. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / Й.Виттенбург. М.: Мир, 1980.

7. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных тел / Л.К.Лилов. М.: Наука, 1993.

8. Коноплев В.А. Агрегативная механика систем твердых тел / В.А.Коноплев. СПб.: Наука, 1996.

9. Погорелое Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел / Д.Ю.Погорелов. Брянск: БГТУ, 1997.

10. Маркеее А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью / А.П.Маркеев. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.

11. Byachkov A.B. Maggi's equations in terms of quasi-coordinates / A.B.Byachkov, V.M.Suslonov // Regular and Chaotic Dynamic. 2002. V7. № 3. P.269-279.

Maggi’s equations in terms of quasi-coordinates

A. B. Byachkov

Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

The article is devoted to the developing of methods of holonomic and nonholonomic mechanics. A new form of Maggi’s equations, Maggi’s equations in terms of quasicoordinates, is represented. The application of this form of equations of motion to solving problems of simulation of mechanical systems with variable kinematical structure is discussed.