Уравнения Эйлера в методе групповых функций. Метод множителей Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В МЕТОДЕ ГРУППОВЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

Косарев Р. Н. (ruslan_kosarev@yahoo.com)

Санкт-Петербургский Государственный Университет, Отдел Теоретической Физики

Аннотация

Волновая функция основного состояния многоэлектронной системы рассматривается в приближении антисимметризованного произведения сильно ортогональных групповых функций. С точки зрения функционального анализа исследуется ограничение сильной ортогональности. Рассмотрены экстремальные задачи с ограничениями нормировки и сильной ортогональности для функционала полной энергии системы и функционала эффективной энергии. Описан формализм применения метода Лагранжа к экстремальным задачам с ограничениями на примере этих задач. По методу Лагранжа получены уравнения Эйлера для групповых функций.

1 Введение.

В предыдущей статье [1] мы сформулировали две экстремальные задачи с ограничениями. Первая из них это задача для функционала полной энергии системы

E (Ф1, Ф2,..., Ф9) —► min , (1.1)

£о(Ф*) = 0 i = 1, 2 ,...,q, (1.2)

g(Ф\ Фк) = 0 i,k = 1, 2,..., q , i > k . (1.3) Вторая — задача для функционала эффективной энергии

Eff (Ф') —► min , (2.1)

2о(Фг) = 0 , (2.2)

д(Ф', Фк) = 0 k = 1, 2,..., q , k = i. (2.3)

В настоящей статье мы рассмотрим метод множителей Лагранжа (в регулярном случае) в применении к этим задачам.

Специфика задачи (1) такова, что случай д = N существенно отличается от случая д < N. В первом случае, волновая функция аппроксимируется аптисимметризоваппым произведением епин-орбиталей и уравнения Эйлера для епин-орбиталей можно получить, используя метод множителей Лагранжа, В настоящее время, эти уравнения известны как уравнения Хартри-Фока. Что касается последнего случая, то в этой статье мы покажем, что задача (1) имеет следующую особенность: метод множителей Лагранжа (в регулярном случае) можно применить к задаче (1) только при д = N в случае д < N этот метод применить уже нельзя.

Попытки применить метод множителей Лагранжа к задаче (1) в общем случае имели место в работах [2, 3]. К сожалению, автор этих работ не совсем корректно применил данный метод к поставленной задаче и, в результате, им были получены неверные уравнения для групповых функций (см. параграф 5.1).

2 Основные определения.

В нашем изложении метода множителей Лагранжа мы будем опираться на книги [5, 6], в которых изложена теория экстремальных задач для функционалов, заданных в вещественных линейных пространствах. Поскольку в настоящей статье мы будем иметь дело с функционалами заданными в комплексных линейных пространствах, то сначала мы обобщим необходимые нам результаты из [5, 6].

2.1 Дифференцирование в комплексных линейных пространствах. Введем обозначения: Ш — поле вещественных чисел и Бк — вещественное линейное пространство, С — поле комплексных чисел и Бс — комплексное линейное пространство. Линейное пространство, не важно над каким полем Ш или С, будем обозначать Б,

Отображение А : Бс ^ Б будем называть Ш-линейным оператором, если

1, А(х\ + х2) = Ах\ + Ах2 для всех х\,х2 е Бс ,

2, А(ах) = аАх для всех х е Бс и а е Ш ,

Пусть Бс и Б — нормированные пространства. Рассмотрим отображение I : Бс ^ Б. Отображение I будем называть Ш-ди^ференцируемым в точке х, если существует такой непрерывный М-линейпый оператор А : Бс ^ Б, что

I(х + 5х) - I(х) = А5х + о(6х) , (3)

где

иш 11; 11 =о. 4

Оператор А будем называть сильной Ш-прошводной отображения I в точке х и обозначать I'(х). Оператор I'(х) зависит от х как от параметра. Выражение I'(х)6х будем называть сильным М-дифференциалом (далее просто дифференциалом) отображения I в точке х. Отображение I назовем регулярным в точке х, ести для всех у б Б существует такое 6х, что

Р^бх = у . (5)

Точку х, в которой Г(х) = 0 будем называть стационарной точкой отображения I. Рассмотрим дифференциал I'(х)8х более подробно ,

1) Дифференциал отображения I : Sc —^ Sc можно представить в виде

I'(x)öx = I1(x)öx + I2(x)öx* , (6)

где I1(x) и I2(x) — линейные операторы Sc — Sc, зависящие от x как от параметра.

2) Дифференциал отображения I : Sc — SR также можно представить в виде (6), но в данном случае I1(x) и I2(x) суть линейные операторы Sc — Sc, где Sc — комплексификация SR (см. параграф 5.2).

В дальнейшем, для операторов I1(x) и I2(x) мы будем использовать обозначения

I = ''<*> • dx = ^ • m

Можно показать, что для отображения I : Sc — SR уравнение I'(x) = 0 эквивалентно каждому из ниже следующих уравнений в отдельности

dI dI

-FT = 0 , TT- = 0 . 8

dx ox*

2.2 Метод множителей Лагранжа. Пусть Sc и SR — банаховы пространства, в которых заданы функционал f : Sc — R и отображение G : Sc — Sr. Для экстремальной задачи

f (x) —> min ,

(9)

G(x) = 0

имеет место следующая теорема.

f

и отображение G непрерывно R-дифференцируемы в точке x и, кроме того, отображение G xx

существует такой непрерывный линейный функционал Л : SR — R, что точка x является стационарной точкой функционала

L = f + Л о G . (10)

Функционал L называется функцией Лагранжа задачи (9), а функционал Л — множителем Лагранжа. В свою очередь уравнение

L'(x) = 0 (11)

называется уравнением Эйлера (или Эйлера-Лагранжа) задачи (9). В настоящей статье любое уравнение эквивалентное уравнению (11) мы также будем называть уравнением Эйлера.

В дальнейшем, все функционалы и отображения, с которыми мы будем иметь дело, являются непрерывно М-дифференцируемыми и мы не будем на этом останавливаться. Что действительно для нас является существенным, так это требование регулярности отображения, задающего ограничение.

3 Регулярность отображений.

В этом разделе мы исследуем свойства функционала д0 и отображения д с точки зрения функционального анализа.

3.1 Функционал д0 : Нг —> К По определению [1] функционал д0 есть

до(Ф*) = <Ф*|Фг> - 1 . (12)

Напишем выражение для дифференциала функционала до в точке Ф*

д0(Ф*)5Ф* = <£Ф*|Ф*> + <Ф*|£Ф*> . (13)

Понятно, что если Ф* = 0 то для всех а Е К существует такое $Фг, что

<£Фг|Фг> + <Фг|£Фг> = а . (14)

Это означает, что функционал д0 регулярен во всех точках Фг, кроме Ф* = 0.

3.2 Отображение д : Нг © Нк — Нгк. По определению [1] отображение д есть

д(Ф\ Фк) = / [Фг*(хг)]Жг1=ж[Фк(хк)]Хк1=^х . (15)

Введем обозначения, пусть Х^д обозначает набор коордипат X*, из которого исключена координата Хц. Далее, мы будем считать, что д(Ф\ Фк) есть функция переменных Х^д и Хк1, Мы

д

ство, которое мы обозначили Нгк.

Напишем выражение для дифференциала отображения д в точке (Ф*, Фк)

д'(Ф\ Фк)(£Ф\ 8Фк) = д(8Ф*, Фк) + д(Ф\ 8Фк) . (16)

Для того чтобы выяснить является ли отображение д регулярным в точке (Ф*, Фк), необходимо исследовать уравнение

д(8Ф*, Фк)+ д(Ф*,8Фк) = Ф , (17)

где Ф € Нгк, Если мы покажем, что уравнение (17) имеет решения для всех Ф € Нгк, то тем самым мы покажем, что отображение д регулярно в точке (Ф*, Фк) и, наоборот, если мы приведем в пример такое Ф € Нгк, при котором уравнение (17) не имеет решений, то тем самым мы покажем, что отображение д те является регулярным в точке (Ф*, Фк), В задачах (1) и (2) на групповые функции накладывается ограничение сильной ортогональности, поэтому мы будем исследовать уравнение (17) только для сильно ортогональных Ф* и Фк.

Ниже мы рассмотрим уравнение (17) для трех различных случаев. При этом, одно-электронные групповые функции (епин-орбитали) мы будем обозначать символом <р.

1) N = 1 Nк = 1. В этом елучае, д(<р1,<р2) есть комплексное число и множество значений д

Пк = С

(18)

Легко показать, что если <2) = (0, 0), то для всех а € С существует такая точка (8<р1, что

д(ё<р1,<р1)+ д(^1,8^2) = а. (19)

Таким образом, справедлива лемма.

Лемма 1. Пусть Ыг = 1 и Ык = 1, тогда отображение д регулярно во всех точках кроме (<^<2) = (0, 0).

2) N = 1 Nк > 1. В этом случае, д(<, Фк) есть квадратично интегрируемая антисимметричная функция переменных Хкд, то есть множество значений отображения д можно поместить в гильбертово пространство Н^к -1

Нгк = Пмк-1 . (20)

Рассмотрим уравнение (17). Умножим левую часть этого уравнения на ^*(жк2) и проинтегрируем по переменной жк2. После несложных вычислений получаем, что если д(<, Фк) = 0, то для всех (8<р, 8Фк)

J д(<,5Фк)<*(xk2)dxk2 + ! д(6<р, Фк)<*^к2Хк2 = 0 . (21)

Первое слагаемое равно нулю, так как 5Фк — антисимметричная функция, второе слагаемое равно нулю, так как Фк сильно ортогональна к < В тоже время существует такая функция Ф, что

I Ф(Xk,l)<*(xk2)dxk2 = 0 , (22)

например

N

Ф(ХМ) = Авут Д <п ^ы) , (23)

п=2

где <п € Н1 и <2 = < Сравнивая (21) и (22), мы видим, что уравнение (17) не может иметь

Фд в тех точках (<, Фк), в которых д(<, Фк) = 0, Аналогично можно рассмотреть случай Ыг > 1 и Ык = 1.

3) N > 1 Nк > 1. В этом случае д(Фг, Фк) есть антисимметричная функция переменных Хг,1 и отдельно Хкд, Также, д(Фг, Фк) является квадратично интегрируемой функцией, тогда

Нгк = Н^-1 ®Нмк-1 . (24)

Умножим левую часть уравнения (17) на ^^й) и ^^и) и проинтегрируем по переменным xi2 и xk2 (здесь < и — натуральные спин-орбиталп функций Фк и Фг, соответственно). Получаем, что если д(Фг, Фк) = 0 т0 Для всех (^Фг, ^Фк)

J д(5Ч>\ Фк+ У д(Ф\£Фк)ф12№(хк2)(1хг2(1хк2 = 0 . (25)

Здесь оба слагаемых равны нулю, так как функция Фк сильно ортогональна к р, а функция Фг сильно ортогональна к <р (см. теорему о сильной ортогональности [1]). В тоже время существует такая функция Ф, что

у Ф(Х*д|Хк,1)^(Хг2)ф*(Хк2)^2^Хк2 = 0 , (26)

например

N N

Ф(ХМ|ХМ) = (л8уш Д <р*п(хш)) (Лзуш Д фп(хкп)) , (27)

п=2 п=2

где <п,рп € Н1; <2 = < и <р2 = ¡р. Сравнивая (25) и (26), мы видим, что уравнение (17) не

Фд регулярным в тех точках (Фг, Фк), в которых д(Фг, Фк) = 0.

Таким образом, доказана лемма.

Лемма 2. Пусть Ыг > 1 и/ил, и Ык > 1, тогда отображ ение д не является регулярным в тех точках (Фг, Фк), в которых д(Фг, Фк) = 0

4 Уравнения Эйлера. Метод множителей Лагранжа.

4.1 Уравнения Эйлера в случае д = N (уравнения Хартри-Фока). В этом случае волновая функция системы N электронов аппроксимируется антисимметризованным произведением епин-орбиталей <2, ,,., <N

N

Ф(Х) = ^N1 Л8уш Д <г(хг) (28)

г=1

и функционал полной энергии системы определен в пространстве

Н® = Н ©Н ©•••©Н . (29)

4-*-'

N раз

Пусть ф = (<1,<2,... ,<N) обозначает элемент этого пространства. Чтобы применить теорему 1 к задаче (1) необходимо построить отображение С со следующими свойствами: во-первых, ограничение С(ф) = 0 должно быть эквивалентно ограничениям (1.2) и (1.3) и, во-вторых, отображение С должно удовлетворять условиям теоремы 1. Для того чтобы построить такое отображение С, рассмотрим следующие отображения.

1) Отображение С1 : Н® ^ ^^

Gl(ф) = (al,a2,...,aN) , а = <<г|<»> - 1 . (30)

Ограничение С1(ф) = 0 эквивалентно ограничениям (1.2).

2) В задаче (1) кроме N ограничений (1.2), имеются также К = N (Ж — 1)/2 ограничений (1.3). Построим отображение С2 : Н® ^ Ск

= (а21,аз1,аз2,... (и-1)) , = ) . (31)

Ограничение С2(р) = 0 эквивалентно ограничениям (1.3).

3) Отображение С : Н® ^ Ки х Ск

С(р) = (С1(р),С2(р)) . (32)

Множество Ки х Ск мы будем рассматривать как вещественное гильбертово пространство

С

С(р) = 0 эквивалентно ограничениям задачи (1) и, во-вторых, если С(р) = 0, то система уравнений

С[(ф)8ф = х 1

= У

разрешима для всех х € Ки и у € Ск, Последнее означает, что отображение С регулярно во всех точках р, в которых С(р) = 0.

С

задаче (1) применить эту теорему.

Напишем функцию Лагранжа задачи (1)

Ь(р) = Е(р) — <в|С1(^)> — <А*|С2М) — <А*|С2(р)>* , (34)

где £ € Ки и А € Ск — множители Лагранжа

£ = {^1, £2,..., £и} , А = {Л21, Л31, Лз2,..., Ли (и-1)} . (35)

Более подробно функционал (34) можно записать в виде

и и

ад = Е(р) — ^£г(— 1) — ^ (л*) + Л*.)*) . (36)

¿=1 г,к=1(г>к)

Набор {Лгк}г>к удобно дополнить до набора {Лгк}г=к таким образом, чтобы Л*к = Лкг, Тогда функционал (36) можно представить в виде

Цр) = Е(Р) — ^ £г(— ^ — ^ ЛгкЫ^) . (37)

¿=1 г,й=1(г=й)

Если р является точкой локального минимума в задаче (1), то существуют такие числа € К и Лгк € С (Л*. = Лкг), при которых р является стационарной точкой функционала (37), что означает следующее

д£ и и

¿р* = ^ ^г И^ ^ — — ^ Л^^ = 0 ДЛЯ ВС6Х 8р , (38)

др

г г=1 й=1(й=г)

где Щд — эффективный гамильтониан [1]

N

Нй = Ь + ^ (л* - К*) . (39)

к=1(к=г)

Принимая во внимание, что (Лг — Кг)рг = 0, из (38) получаем систему уравнений Хартри-Фока

N

Р^г = + ^ Хгк<£к , (40)

к=1(к=г)

где Р — оператор Фока [4]

N

Р = ь + ^ (Л* — К^ . (41)

к=1

Известно, что оператор Фока инвариантен относительно унитарного преобразования епин-орби-талей р2, ..., <Рьг

N

Фг = ^2, Щк ^к , (42)

к=1

где {щк} — элементы унитарной матрицы и, и всегда существует такая унитарная матрица и, что епин-орбитали фь ф2,... ,ФN будут удовлетворять каноническим уравнениям Хартри-Фока

Рфг = . (43)

4.2 Уравнения Эйлера в случае д < N. Как мы показали в параграфе 3.2, свойства отображения д в случае N > 1 и/ил и Хк > 1 существенно отличаются о т случая N = 1 и Хк = 1

(см. леммы 1 и 2). Вследствие этого, к задаче (1) в случае д < N мы не можем применить метод множителей Лагранжа по аналогии с тем как это было сделано в случае д = N. Поэтому, в этом параграфе вместо задачи (1) мы рассмотрим задачу (2). Рассмотрим следующие отображения.

1) Отображение С2 : Нг ^ Бг

С2(Фг) = (Ф1, . . . , Фг—1, Фг+1, . . . , Фд) , Фк = д(Фг, Фк) . (44)

Здесь Бг обозначает множество значений отображения 02, Вследствие полулинейности отображения д по первому аргументу на множестве Бг можно ввести линейную структуру

«1 С2(Ф1) + «2 С2(Ф2) = 02 («1 Ф1 + «2 Ф2) , (45)

где а1, а2 € С, Более того можно показать, что множество Бг образует комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением

д г-

(02(Фг)|02(Фг)) = ^ / Ф к Фк ^Хг^Хкд , (46)

к=1(к=г) ^

где Фк = д(Фг, Фк) и Фк = д(Фг, Фк)■ в итоге отметим, что ограничение 02(Фг) = 0 эквивалентно ограничениям (2.3)

Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" 608 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/052.pdf 2) Отображение С : Нг ^ К х 5г

С(Ф*) = ЫФг),С2(Ф*)) . (47)

Как и множество х Ск в предыдущем параграфе, мы будем рассматривать множество К х 5г как вещественное гильбертово пространство (см. параграф 5.3). Отображение С обладает следующими свойствами: во-первых, ограничение С(Фг) = 0 эквивалентно ограничениям задачи (2) и, во-вторых, если С(Фг) = 0, то система уравнений

д0 (Фг) ¿Фг = а

, . . (48)

С'2(Ф>Фг = Ф

разрешима для всех а € К и Ф €5г, Постеднее означает, что отображение С регулярно во всех точках Фг, в которых С(Фг) = 0.

Таким образом, отображение С удовлетворяет всем требованиям теоремы 1 и мы можем к задаче (2) применить эту теорему.

Напишем функцию Лагранжа задачи (2)

¿(Фг) = Е^(Фг) - Ег до(Фг) - <Л*|С2(Фг)> - <Л*|С2(Фг)>* , (49)

где Ег € К и Л* € 5г — множители Лагранжа

Л = {Лг1,...,Лг(г-1),Аг(г+1),...,Агд} , Лг/ = д(Фк, Фг) . (50)

Более подробно функционал (49) можно записать в виде

Ь(Фг) = Е^(Фг) - Ег((Фг|Фг)- 1) - £ (Лгк(Фг) + Л*к(Фг)) , (51)

/=1(/=г)

где Ег — вещественное чиело и Лгк — функционал вида

Лг/с(Фг) = I Лг/(Хгд|ХМ)д(Ф\ Ф^Х^Х/д . (52)

Интегрирование в выражении (52) следует понимать в следующем смысле.

1. Если N = 1 и N = 1 то Лгк и д(Фг, Фк) суть просто комплексные числа и интегрирование не производится.

2. Если N = 1 и N > 1, то интегрирование производится только по Хк>1 и, аналогично, для случая N > 1 и N = 1.

3. Если N > 1 и N > 1, то интегрирование производится по переменным Хг>1 и Хк1, Теперь напишем функционал (51) в симметризованном виде

¿(Фг) = е:й(Фг) - Ег((Фг|Фг) -1) - £ ((Фг|Ф/) + (Ф/|Фг)), (53)

/=1(/=г)

где

Фк = А8уш / \гк(ХгД|Хм)[Фк(X)]

(54)

Фг

ное число Ег и такие фуикции Агк вида (50), при которых Фг является стационарной точкой функционала (53), то есть

дЬ

¿Фг

И^Фг - ЕгФг -

^Г Фк ) = 0 для всех ¿Фг .

к=1(к=г)

Фг

(55)

Фг = Ег Фг + ^ Фгк. к=1(к=г)

Аналогично, мы можем написать уравнение Эйлера для всех функций набора Ф1, Ф2, итоге, мы получим систему из д уравнений.

(56) Ф9, В

Агк

ется в том, что с их помощью учитываются ограничения (2.3). В уравнениях Хартри-Фока (40) множители Лагранжа связаны соотношением

А!к = Акг . (57)

В общем случае при д < N мы не можем сказать что-либо определенного о том, как связаны

Агк Акг

тельного исследования.

Рассмотрим случай N = 1 и N = 1. В Агк Акг

Фг Фк

Фг Фк

ЩяФг = ЕгФг + АгкФк + ФП ,

га=1(га=г,к)

9

Ид Фк = Ек Фк + АкгФг + ^ ФП

га=1(га=г,к)

(58)

Введем оператор

И = ь + ^ (Лк - Кк

к=1

Принимая во внимание, что (Лг — Кг)Фг = 0 и (Лк — Кк)Фк = 0, получим

Щд Фг = ИФг

икя Фк = иФк.

Из (58) и (60) следует

Агк = (Фк|ИФг) , Акг = (Фг|ИФк) .

Оператор И эрмитов, поэтому множители Лагранжа Агк и Акг при Nг

соотношением (57).

1 и N

(59)

(60)

1

*

4.4 Примеры. Нет необходимости показывать, что система уравнений Хартри-Фока (40) является частным случаем системы уравнений (56).

В приложениях часто используется следующее приближение для волновой функции

Ф(Х) = ^^ Л8УШ [ П <Рг(Хг)] Ф^ь) . (62)

V ь' ¿=1

Напишем уравнения Эйлера для епин-орбиталей р1, р2,..., Рма и функции Фь (Мь > 1). Для епин-орбиталей р1, р2,..., получаем

/ \ "а ,

(р + Л6 - Кь) ¡г(х) = £грг(х)+ ЛгкРк(х)+ Лгь(ХЬ)1)[ФЬ(Хь)]хы=х(Хьд . (63)

"а

|Рг(Х) = Ег^г(х) + ^ Лгк ¡к (х) + / ЛЛ(

к=1(к=г)

Напишем уравнение для функции Фь

"Ь "Ь "а

1 ^ ~?ь,т,ь/

Е(хь„) + 1 ^ У(хьт,Хь„^Фь(Хь) = ЕьФь(Хь) + ^ Л8уш ЛьДХьдМхы) . (64)

п=1 т,га=1(т=га) ¿=1

Как и в методе Хартри-Фока можно показать, что существует такое унитарное преобразование епин-орбиталей р2, ,,,, рма

"а

¡Л = ^ ЩкРк , (65)

к=1

где {пгк} — элементы унитарной матрицы, что сппн-орбпталп р1.1 р2, ..., и функция Фь будут удовлетворять уравнениям

(V + Ль - Кь)Рг(х) = лрг(х) + у Лгь(Хь;1)[Фь(Хь)]хы=х(Хь)1 ,

"Ь 1 "ь "а (66)

Р(хьп) + 1 ^ У(хьт,хьп))Фь(Хь) = ЕьФь(Хь) + ^ Л8уш Льг(Хм)Лг(хы) .

п=1 т,га=1(т=га) ¿=1

Лгк Лкг

Вопрос о том, как связаны между собой функции Лгь(Хь>1) и Льг(Хь>1) в уравнениях (63) и (64) (и, следовательно, Лгь(Хьд) и Льг(Хь>1) в уравнениях (66)), требует отдельного исследования.

5 Дополнение.

5.1 Пояснения к работам [2, 3] Следуя этим работам, рассмотрим функционал

д(Фг, Фк) = У д(Фг, Фк)д*(Фг, Фк)(Хгд(Хм . (67)

Как было отмечено в работах [2, 3], ограничение д(Фг, Фк) = 0 эквивалентно ограничению

д(Фг, Фк) = 0 . (68)

Очевидно, что это действительно так. Напишем выражение для дифференциала функционала д (Фг, Фк)

д'(Фг, Фк)(£Фг,£Фк) = у (д (¿Фг, Фк)+ д (Фг,£Фк))д*(Фг, Фк+

д*(¿Фг, Фк)+ д *(Фг,£Фк))д (Фг, Фк)^Хг,1ЙХк,1 .

(69)

д(Фг, Фк) = 0

д'(Фг, Фк)(£Фг,£Фк) = 0 для всех (¿Фг,£Фк) . (70)

Из чего следует, что функционал д те является регулярным именно в тех точках (Фг, Фк), когда

Фг Фк

Таким образом, если в задаче (1) мы заменим ограничение д(Фг, Фк) = 0 на д(Фг, Фк) = 0, то мы получим эквивалентную задачу. Но к такой задаче, вследствие (70), мы не сможем применить метод множителей Лагранжа.

5.2 Комплексификация. Пусть — вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество 5 всевозможных формальных сумм вида х + гу, где х, у € 5 и г — комплексная единица. На множестве 5 введем операцию сложения

(х1 + гу1) + (х2 + гу2) = (х1 + Х2) + г(у1 + У2) (71)

и умножение на комплексное число а + ¿в (а, в € К)

(а + ¿в)(х + гу) = (ах — ву) + г(ау + вх) . (72)

Итак, 5 есть комплексное линейное пространство. Пространство 5 называется комплексифика-циеи

5.3 Непрерывные линейные функционалы в гильбертовых пространствах. Введем обозначения: пусть и обозначают вещественное и комплексное гильбертовы пространства.

1) Для произвольного непрерывного линейного функционала /, заданного на существует единственный элемент хо € такой, что

/ (х) = (хо|х) , (73)

где (х0|х) обозначает скалярное произведение элементов х0 и х.

2) Рассмотрим декартово произведение гильбертовых пространств Множество Н«хНс образует вещественное гильбертово пространство с линейной структурой

а1 (х1,у1) + а2(х2,у2) = (а1х1 + а2х2,а1у1 + а2У2) , (74)

где х € Нк, у € и а1, а2 € К, и со скалярным произведением

((х1,У1 )|(х2,у2)) = (х1 |х2) + (у1|у2) + (у1|у2)*

(75)

Тогда, для произвольного непрерывного линейного функционала /, заданного на HR х Hc, существует элемент (x0,y0) такой, что

f(x,V) = ((xo,yo)Kx,y)) = (xo|x) + ЫУ) + {yo\vY . (76)

В заключение, автор выражает признательность и благодарность И, В. Абаренкову, А. И, Панину, В. Г. Кузнецову, К. В. ( '.мол ко г,у и А. И. Карьковой за обсуждение работ и полезные замечания.

Список литературы

[1] Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ"стр. 589-599, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/051.pdf

[2] Е. Kapuv, Acta Phys. Acad. Scient. Hung. 12, 185 (1960).

[3] E. Kapuv, Acta Phys. Acad. Scient. Hung. 13, 345 (1961).

[4] И.В. Абаренков, В.Ф. Братцев, A.B. Тулуб, Начала квантовой химии. Москва "Высшая школа"(1989).

[5] А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров, Теория экстремальных задач. Москва "Наука"(1974).

[6] А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа. Москва "Наука"(1989).