CC BY
24является 1) нулевым, если векторы a и b коллинеарны; 2) перпендикулярен
вектору a и вектору
/V л \ / л л л ж
a, с W У
b, с v у
2
; 3) его длина равна произведению длин
f л ^
(
векторов a и О на синус угла между ними
•sin
a, b
v У У
; 4) тройка векторов
а, Ь, С ориентирована так же, как и заданная система координат [1].
Векторное произведение векторов а и Ь обозначается как а х Ь Векторное произведение может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин. Рассмотрим данный случай на следующем примере.
Пример. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах а (1; -2;
5) и Ь (0; -2; 1).
Решение. Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
По формуле находим:
i j к
a ■ b =
1 - 2 5 0 - 2 1
- 2 5 _ 15 _ 1 -2
i - j +
- 2 1 0 1 0 - 2
k = 8i + j - 2k
Так как
a ■ b
д/82 + (-1)2 + (-2)2 = V69 , то искомая площадь S = л/б9 .
Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, который равен произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.
Отметим, что векторы широко используются также в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически. Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением.
Библиографический список:
3. Темербекова, А. А. Аналитическая геометрия: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / А. А. Темербекова - Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ, 2017. - 25 с.
4. Байгонакова, Г. А. Решение задач повышенной сложности (стереометрия) : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / Г. А. Байгонакова, А. А. Темербекова. - Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ, 2017. - 108 с.
и
УДК 378.147227
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ THE EQUATION OF A STRAIGHT LINE IN PLACE
Барабанова Е. Н., студент Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор Горно-Алтайский государственный университет Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск Lizk_o_14@mail.ru
Аннотация. В статье рассматриваются уравнения прямой в пространстве, которые являются основными базовыми знаниями для решения многих геометрических и стереометрических задач.
Ключевые слова: прямая, уравнение, пространство, плоскость.
Abstract. The article deals with the equations of direct in space, which are the internal basic knowledge management for the internal solution of many first geometric and stereometric problems.
Key words: direct, equation, space, plane.
Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим
Уравнением прямойназывается соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей. Плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:
N ■ F + D = 0 , где N - нормаль плоскости; F - радиус-вектор произвольной точки плоскости[1].
Пусть в пространстве заданы две плоскости: Nj ■ F + D1 = 0 и N2 ■ F + D2 = 0 ,
векторы нормали имеют координаты: Nj (A1, B1, C1), N2 (A2, B2, C2); F (x, y, z). Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:
Nj ■ F + D1 = 0
N2 ■ F+d2 = 0.
Общие уравнения прямой в координатной форме:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа т, п, р. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.
^ = n1 х n2 =
j
1 Bj
k C
B2 C2
= i
в1 C1 A C1 A B1
- j +k
B2 C2 A C2 A B2
= im + jn + kp
[1]
Угол между прямой и плоскостью
Пусть плоскость а задана общим уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0, а прямая L каноническим уравнением:
х — х0 у — у0 г —
m
и пересекает данную плоскость. Возможны два варианта (см. рис. 2):
2
n
а)
Рисунок 2 - Угол между прямой и плоскостью
Ф - угол между прямой и плоскостью, ф - угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Видно, что в случае
а) ф = 900 -w ^ C°S ф = C°s(9°0 -W) = sin W - (острый угол), а в случае
б) ф = w -900 ^ c°sp = Cos(W -900) = -SinW (тупой угол). Объединив, эти
_U sin ф = Icos lW
формулы получим: г 1 .
Прямая, как ось пучка плоскостей.
Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая L - осью пучка. Пусть ось пучка задана уравнениями:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 =0
Почленно умножим второе уравнение системы на постоянную и сложим с первым уравнением: А1х + В1у + С^ + D1 + Л(А2х + В2у + С^ + D2) = 0.
Это уравнение имеет первую степень относительно х, у, z и, следовательно, при любом численном значении Л определяет плоскость. Так как данное уравнение есть следствие двух уравнений, то координаты точки, удовлетворяющие этим уравнениям будут удовлетворять и данному уравнению. Следовательно, при любом численном значении Л данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Полученное уравнение есть уравнение пучка плоскостей[2].
При написании данной работы были раскрыты содержания основных понятий аналитической геометрии по теме «Уравнение прямой в пространстве», изучены основные уравнения прямой. Материал изложен по возможности полно и доступно, так как преследовалась цель сообщить основные сведения по данной теме.
Библиографический список:
1. Деев, М. Е. Геометрические построения на плоскости: учебное пособие [Текст] / М. Е. Деев, Н. А. Пахаева. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2006. - 100 с.
2. Атанасян, Л. С. Геометрия 10-11 класс [Текст] / Л. С. Атанасян [и др.] - М. : Просвещение, 2008. - 238 с.
