CC BY
21
Приведенный метод позволяет определить тепло-физические характеристики материалов сложной композиционной структуры.
Литература
1. Алифанов Я.М. Обратные задачи тепломассообмена. М.,
1988.
2. Круковский П.Г. Обратные задачи тепломассопереноса
(общий инженерный подход): Киев, 1998.
3. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. К., 1982.
4. Никитенко Н.И. Сопряженные и обратные задачи тепло-массопереноса. Киев, 1988.
5. Лыков А.В. Некоторые аналитические методы задач нестационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. 1969. № 2. С. 3-27.
6. Лыков А. В. Методы решений нелинейных уравнений нестационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. -1970. № 5. С. 109-150.
7. Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена.
М., 1970. Ч. 1.
8. Драганов Б.Х., Черных Л.Ф., Ферт А.Р. Методы расчета
теплового режима наружных ограждающих конструкций сельскохозяйственных зданий. Киев, 1991.
9. Кошляков Н.С., Глиер Э.Б., Смирнова М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.
Кубанский государственный аграрный университет, г. Краснодар 18 апреля 2005 г.
УДК 624.042.8
УДАР ДВУХ ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
© 2006 г. Е. У. Жариков
На рис. 1 представлены два соударяемых тела. Точки П' и П" принадлежащие первому и второму телам, в момент начала удара занимают положение точки П. Точка П принята за начало координат. Ось х направлена по общей нормали к телам в точке П. Оси у, 2 лежат в касательной плоскости, проходящей через точку П. Центры инерции соударяемых тел С
их координаты С1(хС1,уС1,гС1ХС2(хс 2ус2,2) .
Рис. 1
Постановка задачи. По заданным скоростям
центров инерции тел Ус1 (Ус^х , Усху , Усх2 X Ус2 (Ус2х ,
Ус у Ус 2), а также заданным угловым скоростям
этих тел Ю 10(Ю 10 х, ЮШу, ЮШг ), ю 20(Ю 20 х,ю 20 у >ю 20 2 ) в
момент начала удара, определить скорости центров
инерции И сх(И с1Х , И сху , И с12 ), И с 2(И с 2х , И с 2у , И с 22 ), а
также угловые скорости этих тел ю^ю^, Ю1 ,), Ю 2(ю 2 х , ю 2 у, ю 2 2 ) в момент конца удара. Считаются
данными массы этих тел т1, т2, а также осевые и центробежные моменты инерции этих тел относительно центров инерции С1, С2. В основу решения задачи положена двухфазная модель удара. В связи с этим в расчетную схему удара вводятся скорости центров инерции тел исх(ис1Х,ис1у,ис,2), ис (ис х,ис у,ис 2), а также угловые скорости юи (юи х, юи у, юи 2), юи (юи х, юи у, юи 2) соот-
\ и 1 х' у и^/' и2^ и2х> и2У и22/
ветствующие концу первой фазы удара.
В момент первой фазы удара ударный импульс £ 1, приложенный в точке П', определяется формулой
£1 = Т£ 1х + ~]РХу + кРг, (1)
где £1х - нормальная составляющая импульса £ 1, а Р1у, Р12 - касательные составляющие импульса £ 1, направленные по осям у, 2.
Ко второму телу в точке П" приложен импульс £ '1,
S '1 =- S! =-( iS lx + JPly + kPlz).
(2)
Ударный импульс второй фазы, приложенный в точке П' , представим равенством
£2 = Т£ 2 х + 1Р2 у + кР2 2. (3)
Ко второму телу в точке П" приложен импульс £ '2
S'
- S 2 =-( iS 2 X + jP2 у + kP2 z ).
(4)
(5)
(6)
(7)
Уравнения удара
Первая фаза удара:
Щ(УС1 - УС1) = Я 1х + 1Р1у + Р
}с1хх (т и1х -т 10 х ) - •1с1ху (т и у -т10у ) --}с1х2 (т и12 -т 102 ) = 2с1 Р1у - Ус1 р12 ,
-}с1ух (т и1х -Ю10х ) + }с1уу (т и1у -т 10 у ) -су (ю и12 -Ю10 2 ) = хс1 р12 - 2 с1 S 1х ,
-}с12х (ти1х -Ю10х ) - }с12у (юи1у -т10у ) + + }с122 (т и12 -Ю10 2 ) = ус1 1х - хс1 Р1у •
т 2(йс 2 - К 2) = -(/51х + 7л у + кР12),
}с 2хх (т и 2х -т 20 х ) - }с 2 ху (т и 2у -т 20у ) -^ с 2 х2 (т и 2 2 -т 20 2 ) = ус 2 Р12 - 2с 2 Р1у ,
с 2 ух (ти 2 х -Ю20х ) + } с 2 уу (ти 2 у -т 20у ) -с 2 у2 (ю и 2 2 -Ю 202 ) = 2 с 2 51х - хс 2 р12 ,
-с 2 2х (юи 2 х -Ю20 х ) - } с 2 2у (юи 2 у -Ю20у ) + + }с 2 22 (т и 2 2 -т 20 2 ) = хс 2 Р1у - ус 2 51х •
Конец первой фазы удара заканчивается равенством скоростей точек В' и В''.
Скорости этих точек определяются равенствами:
¥п, = ис -ти Гс , ¥п„ = ис -ти 7Г .
В с1 и1 с^ В с 2 и 2 с 2
Из равенства скоростей точек В', В"следует
(8)
Uc - Uc = ю u rc -ю u rc .
Cj c 2 Uj Cj u 2 c 2
(9)
Векторное равенство (9) является дополнительным уравнением динамики удара первой фазы.
Вторая фаза удара:
т1 (И С1 - ^с1) = 52 = (75 2 х + 7Р2 у + кР2 2), (10)
Jc1xx (ю1х -ю ujx ) - Jc1xy (ю 1y -ю ujy ) --Jcjxz (ю1 z -Ю u1z ) = zc1 P2y - ycj P2z ,
-Jc1yx (ю1х -ЮuJx ) + Jcjyy (ю1 y -ЮuJ y )-
-Jc2yz (юJz - юujz ) = xcj P2z - zcj S2x >
-Jcjzx (юJx -ЮuJx ) - Jc1zy (ю1 y -Ющу ) + +Jcjzz (Ю Jz - Ю ujz ) = ycj S2x - xcj P2y.
m 2(И c2 - Uc2) = S '2 =-(/S 2x + jP2y + Pz ), (12)
(11)
(13)
} с2хх (т 2х т и 2х ) } с2ху (т 2у т и 2у ) -}с2х2 (т 2 2 -т и22 ) = ус2 Р22 - 2с2 Р2у ,
-} с 2ух (т 2 х -т и 2 х ) + } с 2уу (т 2 у -т и 2 у ) -с 2 у2 (т 2 2 -т и 2 2 ) = 2 с 2 5 2 х - хс 2 Р2 2 ,
-} с22х (т 2х -т и 2х ) - } с22у (т 2у -т и 2у ) + +} с 2 22 (ю 22 -т и 2 2 ) = хс 2 Р2 у - ус 2 5 2х.
В пяти векторных (5), (7), (9), (10), (12) и в двенадцати скалярных (6), (8), (11), (13) уравнениях содержатся 30 неизвестных величин И1,И2,и ,Пс
т и1,т и 2, ^ т 2 , 51х, 5 2 х, Р1 у , Р2 у , Р12 , Р22^
Одним из дополнительных равенств уравнений удара является понятие коэффициента восстановления к , определяемого нами соотношением
к = ^. (14)
5
5 1х
Остальные недостающие уравнения получим исходя из следующих соображений. По аналогии с сухим трением, касательные импульсы представим равенствами:
х у Р2у=Л52х , (15)
P1z=f2S1x, Р21=1т52х. (16)
Так как искомые величины будем находить в скалярной форме, то векторное уравнение (9) представим в форме проекций:
ис1х -ис 2х = (2с1 т и1у - ус1т ) - (2с 2 т и 2у - ус2 т и 22 X
(17)
ис1у - ис 2у = (хс1 т и12 - 2с1 т и1х ) - (хс 2 т и 2 2 - 2с 2 Ю и 2х X
(18)
ис12 - ис 2 2 = (ус1 т и1х - хс1 т и1у ) - (ус 2 т и 2 х - хс 2 Ю и 2у У
(19)
Сложив векторные равенства (5) и (7), получим:
т1ис1 + т 2ис2 = т ГС1 + т 2УС2.
Из последнего векторного равенства следуют три скалярных:
т1ис1х + т 2и с2х = т1¥схх + т 2^с2х, т1ис1у + т 2ис2у = т1Ус,у + т 2Ус2у , т1ис12 + т 2ис22 = т1Ус,2 + т 2^с22 .
Из векторного равенства (5) следует:
51
U = Vc,x +
1x
c1 x
c1x
да.
U = V +
c1 y c1x
P
1y
да.
Uc1z = Vc1z +-
P1
1 z
(20) (21) (22)
(23)
(24)
(25)
Равенства (17)—(19) содержат проекции векторов ю1; ю 2 на оси координат. Эти проекции связаны уравнениями (6), (8). Правые части этих уравнений являются свободными членами. По правилу Крамера эти проекции определяются равенствами:
А,
« u1x «10 x — д
1x
« u 1 у «10 у — '
-Чу
д 1 :
(26) (27)
«1z -«10z Д 1z Д1 ' (28)
^ c1xx -1 cx I c\xz ( ^ p1 у - yc1 P1z ),
где Д1 — - Ic1 yx I c1 yy "Ic1 yz (xc1 P1z - zc1 S1 x
^ c^zx -1 c1zy Ic1zz (yc1 S 1x - xc1 P1 у )•
Из системы уравнений (8) следует:
Д -
«u2x -«20x --
« 2 у -« 20 у --
« u 2z -« 20z
2x
2y
2 z
(29)
(30)
(31)
(32)
где
I c 2 xx -1 c 2 xy I c 2 xz (yc 2 P1z - zc2 P1y X
Д 2 — -1 c 2 yx I c 2 yy - I c 2 yz (z c 2 S 1x - xc2 P1z ),
I c 2 zx -1 c 2 z I c 2 zz (xc2 P1y - yc2 S 1x
(33)
Рядом с определителями систем уравнений (6) и (8) стоят колонки свободных членов.
Подставив равенства [(26)-(28)], [(30)-(32)] в
уравнения [(17)-(19)] получим:
Ucxx - Uc2x - Lx +
UClу - Uc2у - Ly +
Uc1z - Uc2z - Lz +
где
zc1 Д 1у - Уc1 Д 1z zc2 Д 2у - Уc2 Д 2z
Д1 Д 2
(34)
xc1 Д 1z - zc1 Д 1x xc2 Д 2z - zc2 Д 2x
д 1 Д 2 '
(35)
yc1 Д 1x - "xc1Д 1y yc2 Д 1x - xc2 Д 2у
(36)
Lx — (zc1 «10у - Уc1 «10 z ) - (zc 2 « 20 у - Уc 2 « 20 z h (37) Ly — (xc1 «10z - zc1 «10 x ) - (xc 2 « 20 z - zc 2 « 20 z h (38) Lz — (yc1«10x - xc1«10 у ) - (yc 2 « 20 x - xc 2 « 20 у )• (39)
Из каждого равенства [(34-36)] исключим левые их части. Для этого умножим равенство (34) на да 2 и сложим с равенством (20). С учетом равенства (23) получим:
т1т 2 [(х - Уа 2 х )- рх ]= т\т 2 Х
' ^ А 1у - Уа1 А 1* 2а 2 А 2 у - Уа 2 А 2 „ "
Д 1
-(да1 + т 2 ) 1х.
(40)
Аналогичным образом поступим с равенством (35). Умножим (35) на да2 и сложим результат с равенством (21). Учитывая равенство (24), найдем:
m
1m 2 [((у - Vc2у )- Ly ] — m1
- m,m2 х
С xc1 Д 1z - zc1 Д 1x xc2 Д 2z - zc2 Д 2x ^
-(да! + да 2 )у.
(41)
Наконец, умножив равенство (36) на да 2 и сложив с (22), с учетом равенства (25), имеем:
М"'2 [(z - Vc 2 z )-Lz }
m1m 2 [(z - К С yc1 Д 1x - xc1 Д 1y yc2 Д 2x - xc2 Д 2у )
-(ml + m 2 )P1z •
(42)
Левые части равенств (40) - (42) являются известными, правые части этих равенств составляют комбинации трех составляющих вектора S1 - S1x, P1y, P1z .
Раскроем определители, входящие в равенства (40) -(42). Раскрыв определители по столбцам свободных членов, получим:
Д lx = (( «lx - xc1 c1x )P1y + ((b1x - Ус1 a1x )P1z + + ( c1x - zc1 b1x )S 1x,
(43)
Д 1y = (zc1 a1y - xc1 c1y )p1y +(( b1y - Ус1 a1y )P1z + + (yc1 c1y - zc1 b1 y )S 1x,
(44)
Д 1z = (zc1 a1z - xc1 c1z )P1y +(( b1z - yc1 a1z )P1z +
+ (yc1 c1z - zc1 b1z )S 1x,
где
a1x — Ic1 yy^c1zz Ic1zyIc1yz , b1x — I c1xyI c1zz + I c1zyI c1xz , c1x — ^ c1xy^ c1yz + Ic1 yy^ c1xz •
a1y — ^ c1yxI c1zz + ^ c^x^ c1yz , b1y — Ic1^^Ic1zz Ic1zxIc1xz , c1y — Ic1^^Ic1 yz + Ic1 yx^ c1xz •
(45)
(46)
2
2
2
a 1z = yx^ Cizy + 1C,zX^C, yy' b1z = 1C,XXIC,zy + 1 CiZX1C,Xy ' C1z = ^ CiXX^ C^yy IC1 yX^ C,Xy *
(48)
Из равенств [(30)-(32)] следует:
А 2 х = (хс 2 с 2 х - 2с 2 а 2 х )Р1у +(ус 2 а 2 х - хс 2 Ь 2 х )) + + (2с 2 Ь 2 х - ус 2 с 2 х )£ 1х.
(50)
А 2 у = (хс 2 с 2 у - 2с 2 а 2 у )Р1 у +(ус 2 а 2 у - хс 2 Ь 2 у )) + + (2с 2 Ь 2 у - ус 2 с 2 у )£ 1х.
(51)
А 2 2 = (хс 2 с 2 2 - 2с 2 а 2 2 )Р1у +(ус 2 а 2 2 - хс 2 Ь 2 2 )Р12 + + (2с 2 Ь 22 - ус 2 с 2 2 )£ 1х .
где
a 2x IC2yyIC2zz IC2zyI C2yz ' b 2x = IC 2XyI C2zz + IC2zyI C2xz ' C 2x = IC 2xyI C2yz + IC2yyI C2xz *
a 2y = IC2yxI C 2zz + IC2zxI C2yz ' b2y = IC2 xxI C 2 zz IC 2 zxI C 2xz ' C 2y = IC2xxI C2yz + IC2yxI C2xz •
a 2z IC2yxIC2zy + IC2zxIC2yy ' b2z = IC2XXIC2zy + IC2zxIC2xy ' C 2z = IC 2xxI C2yy IC2yxI C2Xy *
(52)
(53)
(54)
(55)
значения определителей
в равенства
Подставив [(43)-(45)], [(50)-(52)]
[(40)-(42)], получим систему трех уравнений тремя неизвестными Р1у, Р12, £ 1х :
[(Ус,х - Ус 2 х )-рх ] =
BxPly + ^xPlz +
^ _ да, + да2 А Ex--1-2
(56)
[( y - ^^с2y )- Ly ] =
By -
да, + да 2
А
P, y + DyPiz + EyS ix
[(z - VC2z )-Lz ] =
BzPiy +
D, -
да, + да 2
А
М 2
P1z + EzS ix
(57)
(58)
где
Bx =
)-Ус, ((,2 - XC,C1z )
2C, (zCiaiy - XC,C1 y I- Ус Kiz - XC,C,
)-yC2 (XC2C2z - 2с2a2z )
zc2 (xc2C2у -zc2a2у i-yC2 (Xc2C2z -Zc2a,
А 2
Dx =-
(Xc,b1y - Ус, a1y )-Ус, (Xc,b1z - Ус, a1z )
2с2 (Ус2a2у - Xc2b2y )-Ус2 (Ус2a2z - Xc2b2z )
(59)
А2
Ex =
C 2
2с, (с^у - 2с1b1y )-Ус, (C,z - 2с1b1z )
А
(2с 2 b 2 у - Ус 2 C 2 у )-Ус 2 (2с 2 b 2 z - Ус2 C 2 z )
А2
ВУ =
)-2с, (2с1a1x - Xс1c1x )
xc, (2с1a1z - xc, C,z I-2~ ((a,x - X„,C,
А,
Xc2 (xc2c2z - 2с2a2z I-z,. ( x,2c2x - 2с2a2
)-2с 2 (xc2 c 2 x - 2 с 2 a 2 x )
А2
Dy =
XC, (( b,z - Ус, a,z )-2с, ((x - Ус, a,x )
а ,
Xc 2 (у, 2 a 2 z - Xc 2 b 2 z )-2c2 (Ус2 a 2 x - Xc2 b 2x )
(60)
А2
Ey =-
XC, ( C,z - 2с1b1z )-2с, ( C,x - 2сЬы )
а ,
xc2 (2c2 b 2z - Ус 2 C 2z )-2с 2 (2c2 b 2x - Ус 2 C 2x )
с
В, =
Ус, (
А2
2C, a,x - xCc,x)-xC, a,y - xC,c,
с, ,x -л-с^Ы)
* с, ,y
i
ус 2 (xc2 C 2x 2 с 2 a 2x ) Xc 2 (xc 2 C 2 у 2 с2 a 2y )
Dz =-
((
Ус, Xc,b!x - Ус, a,x
)) ((y - Ус, a,y )
Ус2 (Ус2a 2x xc2b 2x ) xc2 (ус2 a 2у xc2b 2у )
(6,)
Ez =
Ус, (Ус1C1x - 2с1b1x У XC, (Ус1C1 у - 2сЬу )
Ус2 (2c2b2x - Ус2C2x У Xc2 (2с2b2у - Ус2C2y )
2
2
Из системы уравнений [(56)-(58)] определяются ударные импульсы Р1 , Р1г, £ 1х .
Определение кинематических характеристик тел конца удара
Сложив равенства (5), (10), учитывая (15), (16), получим:
т 1 (И С1 - УС1) = (1 + к) (75+ /Лу + кРХ:). (62)
Сложив равенство (7), (12), найдем
т2(Ис2 -К2) = -(1 + к)(( + ~)РХу + кРХ:). (63)
Сложив одноименные равенства (6), (11), а также (8), (13), будем иметь:
3Сххх (©1х - ©10х ) - ^ с1 ху (1 у - ©10у ) --^хг ( 1Г - © 10Г ) = (1 + к) (( р1 у - ус1 Р1 г ),
-Jcxyx (©1x -©10x ) + Jc1 yy (©1 y - ©10y ) -
- Jc1 yz (© 1 z - © 10z ) = (1 + k )(( P1 z - zc1 S1 x )
- Jc1zx (© 1x - © 10x ) - Jc1zy (© 1 y - © 10y ) +
+Jcxzz (© 1z - © 10z ) = (1 + k)( S1 x - xq P1 y ).
Jc2xx (© 2x - © 20x ) - Jc2xy (© 2y - © 20y ) -- Jc 2 xz (© 2 z -© 20 z ) = ( + k )(yc 2 p1z - zc 2 P1 y )
, (64)
к y s
x
/7 \ \ 1
( 1 \ 1
IV »//Ч \ ;У
z
Рис. 2
Эта прямая является общей нормалью к шарам в точке В. С учетом системы координат и свойства шаров имеет место:
1. Координаты центров шаров имеют вид
С1 (^Л0) С 2 (Хс2Л0) хс1 =-г , хс2 = г 2 •
2. Все центробежные моменты инерции относительно С1, С2 равны нулю.
3. Осевые моменты инерции
1 с1хх = 1 с1 уу = 1с1и = 5 т 1Г1 ,
= I c^y = I = — m 2 r
c 2 xx " c 2 yy " c 2 zz
2 2
4 ^ 1 ^ хх1с1 уу1 с1 И , ^ 2 1с 2 хх1с2уу1 с2ГГ .
Все искомые кинематические характеристики определяются из равенств [(62)-(65)] . Для шаров эта система примет вид:
1 (и^ - VCi ) = (1 + k)(iS 1x + IP1y + kP1z ),
2 (И с2 - Vc2 ) - (1 + k) ((S 1x + IP1 y + kP1z);
(66)
.(65)
Jc2yx (© 2x © 20x ) + Jc2yy (© 2y © 20y ) -Jc2yz (©2z - ©20z ) = (1 + k)(zc2S 1x - xc2p1z ),
- Jc2 zx (© 2x - © 20x ) - Jc2 zy (© 2y - © 20y ) + +Jc2zz (© 2z - © 20z ) = (1 + k)(xc2 P1 y - yc2 S 1x )
В равенствах [(62)-(65)] , определяющих искомые кинематические характеристики, неизвестными являются только (51х, Р1 у, Ръ), которые определяются из уравнений [(56) - (58)] .
В заключение рассмотрим удар двух шаров как частный случай удара двух тел при движении в пространстве. Рис. 1 для шаров примет вид рис. 2. На рис. 2 точка соприкосновения шаров В лежит на прямой, соединяющей центры шаров.
Icxxx (© 1x -© 10x ) = 0
Icx yy (© 1 y -© 10 y ) = -(1 + k )r1 P1 z ,
Icxzz (© 1z -© 10z ) = (1 + k)r1 P1 y ;
(67)
I c 2 xx (© 2 x -© 20 x) 1 = 0,
I c 2 уу (© 2 y -© 20 y, ) = -( 1 + к)r2P1z , (68)
Ic zz 1 c 2 zz (© 2 z -© 20 z) = (1 + k )Г2 P1y.
В искомых равенствах [(66)-(68)] неизвестными являются только 51х , Р1 у, Р1г . Эти неизвестные определяются из равенств [(56)-(58)], в которых числа Вх, Вх, Ех определяются из (59) соответственно Ву, Ву, Еу из (60), В2, В2, ЕГ из (61).
Для шаров эти числа имеют вид:
Вх = 0, Ох = 0, Ех = 0,
ВУ =-
^ X 2, C ,z + X22 C 2 z А
V
А,
да,да 2
Dy _ 0, Ey _ 0,
ВУ _ 0, Dz _-
( x2 b x2 b А
xc, b,y + xc2 b 2у
А,
2
да,да
У 2
Ez = 0*
Подставив эти числа в равенства [(56)-(58)], получим:
[(х - Ус 2 х )-Lх ] = 0 Р, у + 0 Р1г +
(0 - да, + да2 S,x ^ да,да
У 2
[(У - V,2У)-Ly ] = -3,5 ^ [V w 21 ] да,да 2
(69)
P,у + 0P,z + 0S,x ,
(70)
[(z - Vc 2 z )-LZ ]_ 0 P,y - 3,5
да, + да 2
M"'2
А
P,z + 0S,x *
(7,)
Из равенств [(69)-(71)] следует:
_ да, + да;
S ,x =
да,да 2
( - V )
V C,x с 2x/'
P, У =
[((у - VC 2 у )- Ly ] _](-yc1y)-Ly]
-3 5 да, + да 2
Ч '"2
3,5 ( - V,2x )
P,z _
[(z - V,2z)-Lz ] [( - Vc2z)-Ly ]S,x
-3 5 да, + да 2
Ч '"2
3,5 ( - V,2x )
Система уравнений (56)-(58) для шаров распалась на три независимых [(69)-(71)] равенства.
Подставив значения £ 1х, Р,у, Р12 в равенства [(66)-(68)], получим искомые кинематические характеристики шаров.
Отметим, что результат решения задачи динамики шаров, полученный из общего метода динамики удара тел при движении в пространстве, совпадает с результатом, полученным иным способом [1].
Литература
1. Жариков Е. У. Динамика косого удра двух твердых ткл при движении в пространстве // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. № 2.
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
14 июля 2005 г
УДК 685.15
ПЕРЕХОДНЫЕ МАТРИЦЫ ЛИНЕИНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ ОБЩЕГО ТИПА И СТОХАСТИЧЕСКИМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Переходные матрицы линейных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами
Решение уравнения движения системы 1 () = А()Х() + В р () ()+В с () в()
с периодической матрицей А () = А ( + ]Т) пред ставим в виде
© 2006 г. Г.В. Воронцов
X (t)_ П (t ,t 0 )X 0 +
t
+ f П (t,t) [bf (t)F (t)+b g (t) G(t)] dx.d)
t,
0
Сформируем так называемую фундаментальную матрицу
х( )=[ ! ()... , ()... 1 п (г)]
