CC BY
23
УДК 531.66
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ УДАРЕ НЕСКОЛЬКИX ТЕЛ
Д. И. Чернявский. Д. Д. Чернявская Омский государппвенный технический университет, г. Омск, Россия
Лннотання - Для проектирования ударны! типов применяется классическая теория удара, основанная на законах сохранения энергии и импульса, а также несложны! математических формулировка!. Главны?! недостатком данной теории является невозможность расчета быстро меняюппгсся сил, дефор-маипй, напряжении, а также друпи прочностньи характеристик. Однако эта теория позволяет провести первоначальные конструктивные наброски проектируемого ударного узла. Цель исследования — найти оптимальные соотношения масс п скоростей ударно взаимодействулошш тел с целью повышения КПД ударного проиесса. Задача исследования — определить уравнение связи законов со!ранення энергии, импульса и коэффициента восстановления при одновременном центральном ударе нескольких тел.
В результате исследования получены следующее результаты. Определенная часть первоначальной кинетической энергии движения тел до удара может сохраняться в тела! и величина этой энергии не зависит от свойств материала тел н из формы. При ударе главное значение имеет интегральная величина, которую назовем «интенсивность удара -1» и которая определяется произведением масс двух тел н^ тщ на половину квадрата разности скоростей эти! дв^х тел. При одновременном ударе нескольких тел основное воздействие на процесс удара будут оказывать два тела, нмеюшне наибольшие значения интенсивности удара.
Выводы. Даны рекомендации по оптимизации параметров ударны! процессов, которые необходимо учитывать при проектировании ударны! ?сашин. Введено новое понятие - «интенсивность удара».
Ключевые слова: передача кинетической энергии при ударе, интенсивность удара, повышение КПД ударного процесса, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, коэффициент восстановления. проектирование ударны! машин.
I. Введение
Ударные процессы широко применяются в различных отраслях промышленности, горном деле, а также в строительстве. Удар позволяет сконцентрировать значительную механическую энергию в ограниченном объеме тела в течение очень коротких промежутков времени. За счет данного процесса материал в зоне удара интенсивно разрушается, лнбо меняет свои характеристики. Для формирования ударного воздействия широко используют р а этичные ударные машины, основой которых является ударный узел. Ударные узлы мог>т иметь различные схемы н конструкции, однако для нх проектирования необходимо определить основные параметры ударного взаимодействия. Такими параметрами является сочетание масс и скоростей ударно взаимодействующих тел. Для этой цели применяется классическая (стереомеханическая) теория удара, основанная на законах сохранения энерпш и импульса, а также несложных математических формулировках. Главным недостатком данной теории является невозможность расчета быстро меняющихся ешь деформаций, напряжений, а также других прочностных характеристик. Однако эта теория позволяет провести первоначальные конструктивные наброски проектируемого ударного узла.
Как правило, ударный процесс является центральным ударом. В работе В. Гольдсмнтл [1] вводится определение центрального удара «Соударение двух невращающихся тел в точке, расположенной на линии, соединяющей нх центры масс, называется центральным ударом».
Изучению и практическому применению удара посвящено много научных работ. В работах [2-7] изучаются теоретические вопросы, связанные с распространением ударных волн в материале, построением полей напряжений и деформаций в соударяющихся телах. В работе [2] Аракава К. и другие рассматривают экспериментальную установку, стреляющую мячами для гольфа с целью поражения стальной металлической пластины. С помощью методов скоростной фотографии определяются деформации мяча и строятся графики зависимости силы удара в зоне контакта от времени. Чернявский Д. в [3] рассматривает вопрос расчета ударной силы прн упруго-пластическом контакте тел и построение поля напряжений в данных телах, а в работе [4] определяет границы перехода сферического фронта ударной волны в плоский фронт для соударяющихся стержней. Кон-нессон Н. в работе [5] рассматривает экспериментальное распределение энерпш в ходе ударного процесса. Автор отмечает, что главное распределение энерпш происходит в первом цгпае ударного процесса. Кеннер В. в публикации [б] определяет теоретические и экспериментальные отличия в формировании ударных енл и
напряжений при ударе шаров о металлические конусы с различными геометрическими размерами. By Е. в работе [7] проводит экспериментальные исследования нормального удара стержня о металлическую пластину.
'Значительное количество публикаций [8-10] рассматривает практическое применение теории удара для проектирования брони для защиты людей и техники от высокоскоростнсго ударного взаимодействия. Борвик Т. [8] рассматривает ударный процесс проникновения пули 7.62 мм через пластину, изготовленную из алюминиевого сплава. Гольдсмш В. в pauoie [9] pacc.viaipmiaci процесс удара нули и конуса о шисшны. илишв..снныс нз стальной н алюминиевой брони. Он приводит экспериментальные данные о стойкости образцов. Несгернко Б. в ciaibc [10] рассмафнвас! процесс удара пули и оержнх о специальные образцы, изюювленные из упрочненных сплавов. В работе приводятся микрофотографии структуры ударной зоны до н пссле удара.
Чернявский Д. в работе [11] показывает возможность использования удара в нанотехнологнях.
Публикации [12-14] посвящены численным н экспериментальным работам по использованию удара при производстве и испытаниях различных микромеханических устройств. Кимберли Ю. в раооте [12, рассматривает ударное воздействие на работоспособность мнкроэлектромеханических систем (MEMS), установленных на пластине кремниевого диоксида. Санх-вннх Н. в статье [13J изучает влияние удара капелек воды на сенсоры микрозлектромеханических систем (MEMS). Занг Л. в работе [14] рассматривает новый принцип работы акселерометра для определения динамических ускорений выше 120000 g.
На основе проведенного анализа публикаций можно отмегнтъ. что теория удара нахедит широкое применение в практике. Однако, как лравило. рассматривается удар только двух гел. Данная статья посвящена изучения наиболее общего случая - одновременного центрального удара нескольких тел.
Определим цель и задачи, проводимого исследования. Цель исследования - найти олтимальные соотношения масс н скоростей ударно взаимодействующих тел для повышения КПД ударного процесса. Задача исследс-вания — определить уравнение связи законов сохранения энергии, импульса и коэффициента восстановления при одновременном центральном ударе нескольких тел.
Е. Постановка задачи
На 5азе данной задачи рассмотрю! систему, состоящую из Лг материальных тел применительно к центральному удару, рис. I. Удар в такой системе описывается гремя уравнениями: закона сохранения энергии, закона сохранения импульса н коэффициента восстановления. С практической точки зрения, такой удар может встретиться редке однако с точки зрения теории этот случай вызывает несомненный интерес.
_ щи; + тп7U; + + mJJ: +...+ m,U; +... +m„U; m\Vl + m2V2 + nhVl + ™4V4 + - + mYi + •» + тгУп
fr/^yb m:U^r m3ZJi + m4U+ +... + т,и] -...+m„U3 _ 1 ^
mxV. + m:V2 +jn3V5 + m4V4 +... + myi +... + mnVn
где x] - КПД передачи кинетической энергии в ходе удара: ¿-коэффициент восстановления; nij, т,. т,. т„-массы первого, второгс. /-roj-ro и «-го тел соотвегственно; U], Uj. Ь\ Uj. U„ - послеударные скорости первого, второго, /'-го.у-го и л-го тел соответственно; Vj, V\ V,. IV„ - доударные скорости первого, второго, /-го.у-го и и-го тел соответственно.
Для данного случая выражение коэффициента восстановления будег определено ниже. Необходимо отметить. что направления скоростей Г соударяющихся тел направлены в разные стороны, рнс. 1. Таким образом, выражение (1) не зависит от направления скоростей соударяющихся тех. т. е. является скалярной величиной, в оглнчне от выражения (2), которое является векторной величиной. Введем допущение, что одновременный удар нескольких тел состоит из комбинации попарных соударений тел. В результате получим следующее утверждение.
Как известно зекторная зелнчина зависит от направления этой величины. На рис. 1 показаны векторные скорости V. которые межно выразить через соответствующие координатные составляющие: V=(Vy.VT,Vr).
С помощью известных тригонометрических ссотношеннй определим: Vx = Fcos(a), VT = Vzo%{fi), Vz = Vcos(у), где углы a. p и у - утлы между направлением вектора скорости V и проекциями этого векюра на координатные осиX, Г и Z соответственно. Как изьестнс:
V = +VT2+V£ = Vyj{cos2(z)+cos2(j)+cos2(y))=V (3)
tii. по свойству направ.тяюпщх косинусов вектора имеем cos (a)+cos2(/)+cosJ(y)= 1.
г
Таким обра зом, для перевода векторной величины Г в скалярную е выражении (2) возведем данное выражение ъ лладра1.
ЦГ1, + т:1!1 + ж}17, + т4Ь\ + + т!+ + тпТ 7,)2 = ^ \?п/х 4 тУ2 + + -+...+ т^ +... +тУп У
Ш. Теория
Решаем выражения (1 4) соЕместно. Раскрыв скобки в выражении (4) получим:
+т;и; + т]игл +... +т]и}+... +т2„и2„ = -2-Ъп<тРР2-
- 2г//17.»/4(71С/4 —...- 2т1т1и1и! —...- 2т1т„и1ин — 2т1тзи2из - 2т2тли2174--...- 2т2т,и2и, -...- 2т2тпи2Ъ'п - 2тътАЬ\р\ -...- 2тът1И^Ь\ -...-2тгтяизип -—... - 2*и4»1/С74£7/ —... - 2ю4тпи4ип -... — 24- т{ 1\2 У-2 + м:У.~ + У~ -... + + т?Г? +... + т2пУ; + 2т1туу. + 2тхтУуъ+2 щт^ +... + +...+2т1таУ1Уп +
+2щт№ + 2т2т4Г2У4 +...+2щт,У2У, +...+2 т2тпУУп + 2т,т4УУ, +..ЛЪщт,УУ, + + ..Л2т3т„УгУ„+...+2гп4туАЪ +... + 2тАт.лУАУп + ... + 2т.т,УгУп (5) Преобразуем выражение закона сохранения энергия (1): _ (отдС*2 -г т2и1 +тп;Ц: + /л^б"; +...+ + ...+ ?г,пЦ~)Iщ + ш2 -т} + т4 + ... + ???, + ... + ?//„) Ц^2 + тУ: + +... + тп,У~ +...4тУ') {щ + т} -т, + т, +... + т, +... + тп)
Раскрыл гкобки получим
_ щЦ\ т\и\ I т\и\ \ т2Ц2 I ... I т2Ц2 I ... I тр; \ т^Ц2 I Ц22) I т^Ц2 Ц2) +
" ия
+ т?щ(Ц{ + и; )+...+ тм(Ц{ + Ц?)+... + т-р1п№ + Ц; )+ т:т3(и? + )+ т:гщ(и1 + £/:)
! Хщц2 [ У?пг
V ¿=1 А /=1 У
V 7=1 А ;=1 ,
+ »у», + и- )+....■+ И +£//)+-+м,™, И+и-)+...+щтя (и2 +
ЬИвИ
Подставим выражение (5) в (6):
_ т1т2(и2 -Ъ\): +т1т.{иъ -Ъ\I2 +?и;ти4(1/4 -Ц)2 -Ц)2 +...
V ,=1 А 7=1 У
и^/иДЕ/,, -^)2 + т:тъ(ЬТъ -Ц2)2 + т:?пл(ил -Ц2 Г + ...+ т:т([и{ -Ц2 )2 +....
+
>: =
" V "
7=1
7=1
+
12> л2) ¿^
V 7=1 А 7=1 У
+
и Vй ^
V 7=1 А. 7=1 У
(б)
л/;4У42 +... + »г К2 +... + пгУ2 + 2?»1???2У1У2 + 2?>?1т3У1У3 + Ъп^уу^ +... + 2т1п,уу
ОНЙН
п
V '=1
.ЛЪп.тУУ, + ...+ 2тътпУуп + ..Л2тлт,Уу + ... + 2т4тяУ4Уя + ..Л2т,тпУуп
| ¿> I
7=1 Д 7=1
(7)
По аналогии с известным выражением для коэффициента восстановления для случая удара двух тел введем гледующее уравнение коэффициента восстановления для удара / и/ тел:
(р.-Ц,) . .
кц = —ру. при условии 1 Ф у
ЧЬ-ъГ-Рги,}
(3)
(9)
Подставим выражение (9) в (7):
_ го,« 2*¿(vx-V2f + m 2iw3*¿{Vx-F3f +m]?n4k;4(V1 -V4)2 +...+m]m¡.k¡(Vl-Vif +...
+
m У
2>,
m
+
(PIF)
- F.? + - Г4 )2 +... + »yn^te - ^.у +... + m/n^V, - Г J +...
и и
2
! ! V ,=i Д 1=1 у
т4^кЦУ4-У^ + т4тпк24я(У4-Vj + .. Jii^-ft -Vaf+m}V* + т22У2 + m23V2 + m24V2 --?--
I У W;
i = l A f = l
^... + m;V; +... + ю;Уя2 + ¿//y^F, + 2'п^Уу + 2m1m4V1V4 +... - +... ^
( J
+
2 иуи^ + 2 w2w3F2F3 + 2 т2тп4У2У4 +... + 2 тдеР^ +... + 2 т2т„УУп + 2m3mAV2V4 +... +
и V и >
, Í=i A 1=1
Г n ,ïi ( л >|
Z ту; Z mt
V. ;=1 J1 U i ;
+ W;W3f2F1F3-^(F1-F3)2' +m,m4 2[Р,Г4 +(F[ - F, )2
(l><)
w.mJiK^ + ^^-K,)3! ■tfl \+m2m,\lY2Vl+k]i{V2-vJ-}i
IÎ'«л2) i>. 1 I ;=1 A i=1 У i
+
m2 7ni \l V2 F4 + k]4 (V2 ~У4У + ...+ т2щ\2 VM + k'sfc-Vj
i n \ < >=1 (IH
( n \ Z mtf К г=i / л > Z mi V j=1
+
+
...+т ¿п, 2 -«лЬ УУ.+к1(К-уУ +-
Тт1у12 V Г=1 >
+
пцпл | {2Ууа+к.2(У;-Уп?\ |+ ?п{У12 + т2У2 + ™\У{
1
1
Ч Г п V л
УщУ2 У щ
2>,
/=1
(11)
(12)
7=1
Выражение (12) является уравнением связи закона сохранения энергии заксна сохранения импульса и выражения коэффициента восстановления для случая ударного взаимодействия нескольких тел. При ударе двух тел выражение (12) переходит в выражение (13)
, - ^т^Уу, + к:12{1\-У2У\
+ т-У2 \т + т,)
(13)
1\г. Результаты экспериментов Проведем численный эксперимент на примере одновременного соударения шеста тел. как это указано на рис. 1. Начальные условия данной задачи следующие: Р}=10м/с. т>=\кг, м/с, т;=0.5кг. У^=-10м/с,
?п~0Лкг. У^=-0,1м/с. т5=1кг. УН),5м/с, т<=100хг, У<г-0,\м/с.
Выражение (12) для данного примера с учетом начальных условий примет следующий вид:
>/ = 0.063 + £¿(0,8531)+^¿(0,(М1)+Аг^(0,С 17)+^¿(0,0151)+Аг/2(0,007)+^¿(0,001) + к:14 (0.0009 )+■ к256 (0,0005)+к;3 (0.0005) + (0.0001)+к24 II О"5)+ к2< (10"^ }+-
+4(ю-8)-^(0) (14)
Величина выражения (14) зависит от величин коэффициентов восстановления к. значения которых, в езою очередь, определяются множеством факторов, которые не рассматриваются в классической теории удара. В данной теории известны только диапазоны изменения к - 0>*>1. Если удар абсолютно упругий при ¿=1 -7 = 0.9993 ; прн абсолютно неупругом ударе, когда Ь=0 - >/ = 0.063. Таким образом, при абсолютно упругом
ударе ^ = 1 и при абсолютно неупрутом ударе 7 = 0.
Из выражения (14) межно определить удельное влияние удара каждой совокупности двух тел на общий процесс ударного взаимодействия шести тел (табл. 1)
ТАБЛИЦА 1
УДЕЛЬНОЕ ВЛИЯНИЕ ДВУХ ТЕЛ НА ОБЩИЙ ПРОЦЕСС УДАРА
Кинетическая энергия Кинетическая Суммарная кине-
Сочетание двух Коэффициент первого тела (с учетом энергия второго тическая энергия
тел влияния пары тел). Дж тела (с учетом па- удара двух тел.
ры тел), Дж Дж
1 2 3 4 5
Первое и шестое 0.8531 500 0.5 500,5
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТАБЛИЦЫ 1
1 2 3 1 5
Третье и шестое 0.041 25 0.5 25,5
Перьое и третье 0.017 500 25 525
Первое И 11ЯШС 0.0151 500 0.25 500.25
Первое и второе 0.007 500 0.5 50Э,5
Второе н шестое 0.001 0.5 0.5 1
Первое и четвертое 0.0001 500 0.0005 500.Э005
Пятое н шестое 0.0006 0.25 0.5 0.75
Второе и третье 0,0005 0.5 25 0.75
Третье и четвертое 10"7 25 0.0005 25.0005
Второе и четвертое Ю-5 0.5 0.0005 0.5Э05
Второе н пятое 10° 0.5 0.25 0.75
Четвертое и пятое 10"8 0.0005 0.25 0,2505
Четвертое и шестое 0 0.0005 0.5 0.5Э05
V. Обсуждение результатов Учитывая данные табл. 1. можно ответить, что на процесс одновременного удара шести тел основное воздействие оказывает удар первого и шестого тела. Определим пс имеющимся исходным данным физические величины, определяющие весовые коэффициенты удельного влияния двух тел на сбщнй процесс удара. На основании закона сохранения энергии главной физической величиной, оказывающей такое влияние, является ки-нетнческая энергия тел до удара. Однакс на основании данных табл. 1 не наблюдается связи между- значениями коэффициента влияния и величинами кинетической энергии взаимодействующих пар тел. Для определения такой связи введем новую интегральную величину, описывающую процесс ударного взаимодействия двух тел. которую назовем «интенсивность удара - /» и которая определяется произведением масс двух тел т, и на половину квадрата разносги скоростей эти двух тел [кг-Дж].
(15)
Б табл. 2. приведены данные, связывающее значения коэффициента влияния и величины ннтгнснвностн удара для взаимодействующих пар тел. Таким образом, при проектировании ударных машин необходимо стремиться не к максимизации величины кинетической энергии удара, а к достижению максимальной величины интенсивности удара.
ТАБЛИЦА 2
Удельное влияние двух тел на общий процесс удара
Сочетание двух тел Коэффициент влияния Интенсивность улара двух тел-1. кг-Лж
1 2 3
ПерЕое и шестое 08531 51005
1 ретье н шестое CL 041 2450,25
Парное и третье 0.017 1000
Первое н пятое 00151 902,5
Первое и второе 0.007 405
Второе н шестое 0,001 60.5
Первое н четвертое 00С01 51,005
Пятое И шсстсс 00С06 36
Второе н третье 00С05 30,25
Третье н четвертое 10~ 4.Р01
Второе и четвертое ю5 0605
Второе н пятое 10* 0,25
Четвертое и пятое ю8 0.035
Четвертое п шестое 0 0
VI. Выводы и заключшив
Определенная часть первоначальной кинетической энергии движения тел до удара может сохраняться в телах. и величина этой энергии не зависит от свойств материала тел и их формы. Эта кинетическая энергия определяется только мягглш уларяо-ятаимодейгтаутолттс пел и величинами ъг* скоростей по удара
При ударе главное зпачеаие имеет интегральная величина. которую назовем апггеисшкюстъ удара 7» и клирах онрсдсмясю произведением масс двух 1С« m¡ л ni- на половину кнадрааа рашосш CKupccieñ ли двух тел- T9=m.m,(V-Vj¡2, [кг-Дх1.
При одновременном ударе нескольких тел основное воздействие на процесс удара будут оказывать два тела, имеющие наибольшие значения интенсивности удара
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Goldsmith YV. Impact: the theory md physical Oehaviour oí"colliding soli is. Mineóla. .4 Л. : Dover Publications. 2001. Xxv. 379 p. Libraries Australia ГО 22825783.
2. Arakawa K.. Mada T.. Kotnatsu H. [et al.]. Dynamic deformation behavior cf a golf ball during normal impact // Experimental Mechanics. 200?. VoL 4P. no 4. P. 471-177. DOI 10.1007/ell 340-008-9156-y.
3. Qiemyavskii D. I. Strength Design for the Elements of Mining Machines under Elastoplaslic Impact // Journal of Mining Science. 2002, Vol. 38, m.l. P. 8(^86. DOI: 10.1023/A: 1020205105243.
4. Chernyavskii D. I.. Chemyavskaya D. D. Formation of a plane shock-wave front in rods. Russian Engineering Research. 2009. Vol. 29. no. 8. P. 775-777. DOI: 10.3103/81068798X09080061.
5. Conuesson N.. Maqiiiii F.. Pierron F. Experimental energy balance during the first cycles of cyclically loaded specimens under the conventional yield stress //Experimental Mechanics. 2011. 51. P. 23—44. DOI 10.1007/sll340-010-9336-4.
6. Kenner V. H.. Goldsmith W.Elastic waves in truncated cones ft Experimental Mechanics. 1968. Vol. 8. no. 10. P. 442—149.
7. Wti E., Goldsmith W. Normal impact of blunt projectiles on moving targets: experimental study // International Journal of Impact Engineering. 1990. Vol. 9. no. 4. P. 389-404.
8. Borvik T., Forrestal ML J.. Warren T. L. Perforation of 50S3-H116 aluminum armor plates with ogive-nose rods and 7.62 mm APM2 bullets // Experimental Mechanics. 2010. Vol. 50. no. 7. P. 969-978. DOI 10.1007&113404)09-9262-5
9. Goldsmith W.. Finnegan S. A. Normal and oblique impact of cylindro-conical and cylindrical projectiles on metallic plates /. International Journal of Impact Engineering. 1986. VoL 4, no. 2. P. 83-105.
10.Nesterenko V. F., Goldsmith W , Indrakanti S. S., Gil YaBei. Response of hot isostatically pressed Ji-6A1—IV targets to normal impact by conical and blunt projectiles // International Journal of Impact Engineering. 2003. Vol. 28. no 1. P 137-160.
11. Chernyavskii D. L. Chernyavskaya D. D. Mechanical impact in uanotechnology // Russian Engineering Research. 2011. 31. P. 668. DOI: 103103/51068798X11070045
12.Kiniherley J.. Lambros J.. Chasiotis L [et al.]. Hybrid experimental numerical investigation of the response of nmltilayered MEMS devices to dynamic loading Si Experimental Mechanics. 2010. 50. P. 527-544. DOI 1G .1007/5113404)09-92594».
13. Jhanh-Vinh N.Matsurnoto K_. Shimoyaina L Pressure distribution on the contact area during the impact of a droplet on a texmred .surface // EEE 29th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS). 2016. P. 177-180. DOI: 10.1109/MEMSY5.2016.7421587.
14. Zhang L_, Yang F., Li R. A novel intact tester for in situ evaluating the .shock reliability of micro-structures // IEEE 29th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS) 2016. P. 942-945. DOI: 10.1109/MEM S Y5.2016.7421787.
