Закон сохранения энергии при центральном ударе двух тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

уДК 62017175 Ю. А. БУРЬЯН

Д. Д. ЧЕРНЯВСКАЯ Д. И. ЧЕРНЯВСКИЙ

Омский государственный технический университет

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ УДАРЕ ДВУХ ТЕЛ

Статья посвящена определению уравнения связи законов сохранения энергии, импульса и коэффициента восстановления при центральном ударе двух тел. Даны рекомендации по оптимизации параметров ударной машины в процессе проектирования.

Ключевые слова: центральный удар, соотношение масс тел, соотношение скоростей тел до удара.

В процессе проектирования машин ударного действия на первом этапе необходимо найти основные параметры ударного взаимодействия для определения скоростных и массогабаритных характеристик проектируемого ударного узла. Для этой цели применяется классическая теория удара, основанная на законах сохранения энергии и импульса, а также несложных математических формулировках. Главным недостатком данной теории является невозможность расчета быстро меняющихся сил, деформаций, напряжений, а также других прочностных характеристик. Однако эта теория позволяет провести первоначальные конструктивные наброски будущего изделия. Во многих ударных

машинах происходит ударное взаимодействие только двух элементов — бойка и наковальни. Как правило, такой удар является центральным ударом. «Соударение двух невращающихся тел в точке, расположенной на линии, соединяющей их центры масс, называется центральным ударом» [1] (рис. 1).

В работах [1—3] предложена система коэффициентов восстановления для описания ударного взаимодействия с точки зрения классической теории удара, в механической системе, состоящей из N материальных точек. Данная система коэффициентов восстановления объединяет КПД передачи кинетической энергии; коэффициент восстановления импульса, а также коэффициент

о

го

п

_ тЩ

мр 2

т, т

МО

т1Р1 + т 2 и,

V - V

у 1 ''г

(1)

(2)

(3)

п

(т рР 2- -м 1 Р\> |(м1 + м2]

(т ) +04)2] (м1 + 10.(0)

(тхРх + м2Р21 (т1У11 + м2У2 )2

=-Р2-Р И к = У-У2)2

(4)

(5)

(6)

Решая систему уравнений (4 — 6), получим:

= тР+тМ+т^^^+РЙ (т1У12 +т2У22 )(т1 +т2 )

т12Р12 + т22Р22 = -2т1т2и11У2 п + т12У12 + м22Н22 + 1м1м2V1V2)

к2 (V,-У )2 = (^2 -(М1^2^^ВД)-

С учетом выр^аясентй (8, <3) прсобр^-зусзм (7):

-2тл2 , 2тг2

(8) )П

т) + м)

2т1т2У1У2 -—

"(^У^У2';;))х

( б—т. 1У(+Р1 + )222 2)6)) ^ х (т1 + т2 2

Введем влыдумщме oУузyaчбнмн:

Г»2

Рис. 1. Центральный удар двух тел

восстановления. КПД передачи кинетической энергии характеризуют изменение механической энергии в ходе ударного взаимодействия. Коэффициент восстановления импульса показывает изменение механического импульса в ходе ударного взаимодействия в незамкнутой механической системе. Для систем замкнутых в механическом смысле коэффициент восстановления импульса равен 1. Далее в работе определено уравнение связи коэффициентов восстановления между собой на основе использования координат точек в декартовой системе координат.

На базе данной работы рассмотрим систему, состоящую из двух материальных тел (бойка и наковальни) применительно к центральному удару, (рис. 1). Удар в такой системе описывается тремя уравнениями: закона сохранения энергии, закона сохранения импульса и коэффициента восстановления:

2

м

V1

. (10)

(11) (12)

С учетом выраженлб (И, 12) преобразуе» (10):

(13)

= (14- тУ)Р + lГе1(3- V)

П (И+mBB-VИ)H

где п — КПД пррп+тчр иинeтичeс+ий энергии; к — коэффициент и04и)грн0вуeиия; тр +И) — массы первого и второго те^ и+и(прувcvбeнно; V, У2 — скорости первого и итсмого гел д2 удыра соответствын-но; и, и2 — си»!осор 06-202) 1 второго тел после удара соответствснм сг

Преобразуем вы сгеыу уравнени й (1—3).

Выражение (13) является уравнением связи закона сохранения энергии, закона сохранения импульса и выражения коэффициента восстановления.

Данное выражение применимо для всех машин ударного действия.

Проведем анализ выражения (13). Величина п является функцией значений т, V и к. Значения величин т и V задаются из начальных технических условий проектирования ударной машины. Задать значения величины к практически невозможно, так как коэффициент восстановления к зависит от большого количества разнообразных факторов, многие из которых до сих пор мало изучены. Единственное условие, которое достоверно известно при задании технических условий при проектировании ударной машины, — 0 > к > 1. Поэтому определим экстремальные значения функции (13) от изменения значений т и V с использованием частных производных.

_ [(1 + т V)2 + тУ2 (1 - О)211 [() + тУ2)(т т-))] дУ [(1 + тУ2)(—и))]2

[(12-0У)2 --тA:1(B-О)2] [(1лтУ2)(т и))] ц4) )(1 + м У2)(т + ))]1 '

л = тоУд-^-^а- к)]()- mv23-дУ (1 - о)2 )2х

-V[(1 - тУ)2 - тк2(1 - V)2 ])

х (т +1)

0. (15)

Для выражения (15) должно выполняться условие тУ2Ф — 1 и т Ф — 1. Учитывая, что в физическом смысле выражение (11) и квадрат выражения (12) всегда положительны, данное условие выполняется всегда.

Решая выражение (15), получим т = 0, У=1, к2=1+тУ. Дифференцируя выражение (13) по т, получим:

П

2

дц = [(1 + тУ)2 + тк2(\-¥)2 |[()1 + (?г1к2)(;»г-н1)] дт [(1 + тУ2)(ш -(1)]2

[(1 -УшнУ")2 +[тук2д-1т)2] [((1 + тУ 2)(т +1)] [(1 + тУ2)(т Н-1)] 2 '

дч_ = (1 -т)2[к2(1 - тУ)(1 +ту)-1]-

дт [(1 _тУ2 _(т _ 1_]2

— т=2(1 + тУ )2

С:К(2

0. (17)

ложная — слишком большая доля потерь энергии вызовет интенсивные пластические дет_рмации деталей механизмов машины, ее перегре1 а также другие факторы, снижающие работоспособность 1)] егатов устройства; т -1

- т >> т, -+ н = 1000 ^ Ц =-1-« 0 .

2 _ 1000-1

В данном случае удт -1я машина полностью неработоспособна. Кинетаческая энергия бойка слишком мала для сове рп^е1ия полезной работы;

б) удар абсолютн1 упругий (все деформации бойка и наковальни упруг ие) — к =1.

Решаем выражение (17) с учетом решений уравнения (15):

при т = 0 У=1; к=1;

при У=0 т = 0; тУ= — 1. С учетом того, что т>0 ^ У<0;

при к2=1+тУ

дц_ = Н2 [(1 - У) 2 (1 - тУ) - тУ 2 ]- (1 - ют2 _0. дт 2 [(1 _тУ 2РрП + Юр

при к = 0 У=1;

при к=1 тУ =0 ^ тн0,^=^0.

Используем полученные даины_ пун пуоекти-ровании ударной машины. Наиболее частым слу~ чаем работы ударных машин являетня ил—ий, к)и да боек наносит удар по неподвижной накояальне (ударные прессы, молотки, ударные иcрыуятелб_ыe стенды и т. д.).

1 _ т_ 1 _ т

1. У = 0 ^ У=0

1 _ ььН т_1

1

т _ 1

т_1 т_ 1

1.

(20)

КПД передачь кинетическоь 1нергии ц в данном случае не зависиь _т совт—оттения соударяющихся масс бойка и нkK2ш_нянр. Идеальный вариант для ударной машите

У2 = V ^ У =1

+ _ т)2

(1 _ т )(т _ 1)

1.

(21)

В данной ситуьции пояерь кинетической энергии не происходит ь y_Pk_ь2Ь ^вцес 1 не зависит от кнэффициента восстар_вkенир _ так как нет самого процесса удара. 1- т 2 3. У2=-У1 -^У = -1

- ту _ НтН у (1 _ т)

(22)

(18)

В данном примере боек и наковальня движутся навстречу друг другу.

а) удар абсолютно не упругий (пластический) — к = 0

Величина коэффициента восстановления к зависит от многих фактор+в, которти нр _1ссма-триваются в классичесьой теории удара. В данной теории известны только kккк_зkны изменения к — 0 > к > 1.

а) удар абсолютно ьеу+ругиь (пласти1еский) — к = 0

(1 - т )2 (1 + т)2 '

(23)

(19)

КПД передачи кинет—ежо- э^рти ц в данном случае зависит от соотн0+рния соударяющихся масс бойка и наковальню. Ра с смотрим несколько вероятных случаев:

— т2 и 0 ^ т = 0 ^ г[ = О1 В да+ной ситуации массивный боек пробивает тонкую стенку и продолжает дальнейшее д^и^е^ие^. С точки зрения классической теории удара, ударного взаимодействия не происходит;

— т2 = т{ ^ т = 1 ^ ц б_,И Для данного случая половина первоначальной кинетической энергии поступательного движения бойка переходит во внутреннюю энергию ударно взаимодействующих бойка и наковальни. Для ударной машины этот вариант неприемлем. Для ударного пресса слишком большая доля кинетической энергии должна рассеиваться в элементах его конструкции, что неизбежно приведет к скорой поломке пресса. Для перфоратора ситуация абсолютно противопо-

КПД передачи киьетической э 1нргии ц в данном случае зависит от сютношения соударяющихся масс бойка и наковал^^ Ра_стотрим несколько вероятных случаев.

— т2 и 0 ^ т = 0 ^ ц =_1. В данной ситуации массивный боек «не зам-чает» наксшальню и продолжает дальнейшее движение. С тотни зрения классической теории удара, ударного взаимодействия не происходит;

— т2 = т{ ^ т = 1 _ г) =0. 0 данном примере происходит «слипание» бойка и наковальни; оба тела находятся в полном покое. Для данного случая вся первоначальная кинетическая энергия поступательного движения бойка и наковальни переходит во внутреннюю энергию ударно взаимодействующих тел. Для ударной машины этот вариант неприемлем, так как будет происходить разрушение ударного узла. Данные условия необходимо реали-зовывать для определенных тех 1 - т)2ческих процессов, связанных с обработки = матер иалов или их получением;

(1 -1000)2 ,

- т>>т, ^ т=1000 ^ и = 7-~ 1

2 1 (1+1000)2

Данный случай аналогичен случаю т2 и 0 ^ т = 0 ^ ^ ц =1, только тела меняютсяместами — боек становится наковальней, а наковальня —бойком;

о

го

и

и

>7

Г]

и

Значения п при центральном ударе двух тел

Таблица 1

к У2 = 0 — V = 0 V = -\ — V =-1

т = 0 т = 1 т = 1000 т = 0 т = 1 т = 1000

0 П = 1 П = 0,5 П и 0 П = 1 П = 0 П и 1

1 П = 1 П = 1 П = 1 П = 1 П = 1 П = 1

б) удар абсолютно упругий (все деформации бойка и наковальни упругие) — °= 1.

(о - ш)2 + 4т (Юн)2

(24)

КПД передачи кинетической энеогии ц в данном случае зависит от со оппош ения соударяющихся масс бойка и наковаль+и. Рпосмотримнесколько вероятных случаев.

— т2 и 0 — т = 0 —> += 1.

В данной ситуации массивный боек «не замечает» наковальню и продолжает дальнейшее движение. Масса наковальни настолько мала, что, с точки зрения классической теории удара, можно принять отсутствие ударного взаимодейство ят 2

— т2 = т1 — т=1 — п=1.

В данном примере боек и на о+ т ьня обмениваются кинетическими энергиями и, далее, оба тела разлетаются с одинаковыки скоростями. Для ударного процесса этот вариант можно признать наилучшим, так как вся первоначо-ьная кннетиче-ская энергия не теряется, переходя в +рщгие формы энергии;

(- 999)2 + ИРРР ,

/ к ^-- % о

(опп о)2

П2 и "

т2 >> т1 — т=1000 — в=

Данный случай аналогичен случаю т2 и 0 — т = 0 — — П =1, только тела меняются местами — боек становится наковальней, а наковальня — бойком.

Представим полученные данные в табл. 1. Анализируя данные таблицы, можно отметить следующее:

1. При проектировании ударной машины, предназначенной для проведения технологических операций (забивка свай, бурение шпуров, разрушение асфальтобетонного покрытия и мерзлого грунта и т. д.) необходимо стремиться к достижению максимально возможной величины коэффициента восстановления, т. е. стремиться к к=1. При этом крайне желательно обеспечить одинаковую массу бойка и наковальни при неподвижном положении наковальни до удара.

2. При проведении технологических процессов, связанных с максимальным превращением кинетической энергии удара во внутреннюю энергию вещества, необходимо стремиться к достижению минимально возможной величины коэффициента восстановления, т. е. стремиться к к= 0. При этом необходимо обеспечить одинаковую массу бойка и наковальни и реализовать встречное движение бойка и наковальни до удара.

Рассмвтр им пример применения полученных выражений.

Коэффиц иенн во становления при ударе стальной сферы 0 2,54 см то неподвижной толстой чугунной плите с начальной скоростью удара У1 =1,5 см/с равен к = 0,7 [4,с. 308].Используя начальные условия в выр ажени и(lИ), пол^и м:

(I)2 + 49Рр1 - Р)2 49Р1 плп В к¥--V к-к р ,49.

(о+п) (шппп+оГ ипи

Для данного случая примерно половина первоначальной кинетической энергии удара превращается в энергию пластических деформаций, ударных волн, тепло и т.д. Ударная машина с такими энергетическими показателями является достаточно эффективной.

Библиографический список

1. Чернявский, Д. И. Определение параметров удара в машинах ударного действия : моногр. В 2 ч. Ч. 1 / Д. И. Чернявский. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2009. - 135 с.

2. Чернявский, Д. И. Определение параметров удара в машинах ударного действия : моногр. В 2 ч. Ч. 2 / Д. И. Чернявский. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. - 123 с.

3. Чернявский, Д. И. Расчет коэффициента восстановле-нияударной системы, состоящей из трех и более материальных точек / Д. И. Чернявский, Д. Д. Чернявская // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. -2014. - № 1 (127). - С. 80-84.

4. Гольдсмит, В. Удар. Теория и физические свойства со-ударяемых тел : пер. с англ. / В. Гольдсмит. - М. : Стройиздат, 1965. - 450 с.

БУРЬЯН Юрий Андреевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Основы теории механики и автоматического управления».

ЧЕРНЯВСКАЯ Дарья Дмитриевна, аспирантка кафедры «Основы теории механики и автоматического управления».

ЧЕРНЯВСКИЙ Дмитрий Иванович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Менеджмент».

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 19.02.2016 г. © Ю. А. Бурьян, Д. Д. Чернявская, Д. И. Чернявский

Ц